pi-Herleitung, sehr merkwürdig

[Manfred Ullrich]

Gibt es eine anschauliche(!) Erklärung für die sehr merkwürdige Reihenfolge der Summanden, deren Summe pi ergibt:
pi/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - 1/11 + 1/13 - 1/15 + usw.

Manfred

[Alfred Flaßhaar]

Post by Manfred Ullrich
pi/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - 1/11 + 1/13 - 1/15 + usw.

"Anschauliches" kenne ich nicht dazu. Die Reihe ist die Entwicklung des
arctan an der Stelle 1.

Gesunde Ostern,

Alfred

[Rainer Rosenthal]

Post by Manfred Ullrich
pi/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - 1/11 + 1/13 - 1/15 + usw.
Manfred

Aber die Summe ist doch gar nicht pi.

[Manfred Ullrich]

Post by Rainer Rosenthal

Post by Manfred Ullrich
pi/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - 1/11 + 1/13 - 1/15 + usw.
Manfred

Aber die Summe ist doch gar nicht pi.

Ich hoffe doch, Du merkst, wie das gemeint war (;-))
Manfred

[Rainer Rosenthal]

Post by Manfred Ullrich
pi/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - 1/11 + 1/13 - 1/15 + usw.
Manfred

Die Summe ist pi/4 = 0.7853981635, wie man anschaulich sehen kann:

Schritt 1 1.00000000, zu gross, subtrahiere 1/3
Schritt 2 .66666667, zu klein, addiere 1/5
Schritt 3 .86666667, zu gross, subtrahiere 1/7
Schritt 4 .72380952, zu klein, addiere 1/9
Schritt 5 .83492063, zu gross, subtrahiere 1/11
Schritt 6 .74401154, zu klein, addiere 1/13
Schritt 7 .82093462, zu gross, subtrahiere 1/15
Schritt 8 .75426795, zu klein, addiere 1/17
usw.

Gruß, fröhliche und gesunde Ostern,
RR

[Manfred Ullrich]

Post by Rainer Rosenthal

Post by Manfred Ullrich
pi/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - 1/11 + 1/13 - 1/15 + usw.
Manfred

Schritt 1 1.00000000, zu gross, subtrahiere 1/3
Schritt 2 .66666667, zu klein, addiere 1/5
Schritt 3 .86666667, zu gross, subtrahiere 1/7
Schritt 4 .72380952, zu klein, addiere 1/9
Schritt 5 .83492063, zu gross, subtrahiere 1/11
Schritt 6 .74401154, zu klein, addiere 1/13
Schritt 7 .82093462, zu gross, subtrahiere 1/15
Schritt 8 .75426795, zu klein, addiere 1/17
usw.
Gruß, fröhliche und gesunde Ostern,
RR

Ja, aber das zu_klein/zu_groß würde doch auch mit anderer Folge klappen, warum also gerade diese?
Gruß Manfred - und bleibt gesund!

[Rainer Rosenthal]

Post by Manfred Ullrich

Post by Rainer Rosenthal

Post by Manfred Ullrich
pi/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - 1/11 + 1/13 - 1/15 + usw.
Manfred

Schritt 1 1.00000000, zu gross, subtrahiere 1/3
Schritt 2 .66666667, zu klein, addiere 1/5
Schritt 3 .86666667, zu gross, subtrahiere 1/7
Schritt 4 .72380952, zu klein, addiere 1/9
Schritt 5 .83492063, zu gross, subtrahiere 1/11
Schritt 6 .74401154, zu klein, addiere 1/13
Schritt 7 .82093462, zu gross, subtrahiere 1/15
Schritt 8 .75426795, zu klein, addiere 1/17
usw.
Gruß, fröhliche und gesunde Ostern,
RR

Ja, aber das zu_klein/zu_groß würde doch auch mit anderer Folge klappen, warum also gerade diese?
Gruß Manfred - und bleibt gesund!

Nur zu, gib mal eine hübsche Folge a(n) an, so dass Summe 1/a(n) = pi/4 ist!
Viel schöner als a(n) = (2n-1)*(-1)^(n-1) wird schwer werden.

Aber vielleicht hat der Osterhase irgendwo ein Nest mit hübschen a(n)
versteckt :-)

Gruß,
RR

[Robin Koch]

Post by Manfred Ullrich
Gibt es eine anschauliche(!) Erklärung für die sehr merkwürdige
Reihenfolge der Summanden, deren Summe pi ergibt: pi/4 = 1 - 1/3 +
1/5 - 1/7 + 1/9 - 1/11 + 1/13 - 1/15 + usw.

Ich habe es selbst noch nicht gesehen, aber vielleicht bietet dieses
Mathologer-Video eine befriedigende Antwort:

"Fermat's Christmas theorem:
Visualising the hidden circle in pi/4 = 1-1/3+1/5-1/7+..."
(Mathologer, 25:09 min, English, aber mit deutschem Akzent)

[Roland Franzius]

Post by Manfred Ullrich
pi/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - 1/11 + 1/13 - 1/15 + usw.

Das ist das Integral über 1/(1+x^2) auf dem Intervall (0,1)

Die geometrische Reihe liefert

1/(1+x^2) = 1 - x^2 + x^4 - x^6 +- ..

für -1<x<1

Das unbestimmte Integral ist

int dx ( 1 - x^2 + x^4 - x^6 +- .. ) =
1 - x^3/3 + x^5/5 +- ...

Die alternierende harmonische Reihe konvergiert mal gerade noch soeben
bei x=1, aber nicht absolut, ist also eine Schulbeispiel für Permutationen.

Substituiert man x = tan (y), dx = (1+tan(y)^2 ) dy tan(pi/4)=1

so ist

int_0^1 dx/(1+x^2) = int_0^(pi/4) y = pi/4

dh die alternierende harmonische Reihe, die arctan-Reihe bei x=1 kann
als Fläche des Viertelkreises vom Radius 1 identifiziert werden.

[Martin Vaeth]

Post by Roland Franzius

Post by Manfred Ullrich
Gibt es eine anschauliche(!) Erklärung für die sehr merkwürdige
pi/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - 1/11 + 1/13 - 1/15 + usw.

Das ist das Integral über 1/(1+x^2) auf dem Intervall (0,1)
Die geometrische Reihe liefert
1/(1+x^2) = 1 - x^2 + x^4 - x^6 +- ..
für -1<x<1
Das unbestimmte Integral ist
int dx ( 1 - x^2 + x^4 - x^6 +- .. ) =
1 - x^3/3 + x^5/5 +- ...
Die alternierende harmonische Reihe konvergiert mal gerade noch soeben
bei x=1, aber nicht absolut, ist also eine Schulbeispiel für Permutationen.

Permutationen? Hast Du vielleicht gemeint:
Das Ganze ist daher ein Schulbeispiel für den Satz von Abel.
https://de.wikipedia.org/wiki/Abelscher_Grenzwertsatz

[Roland Franzius]

Post by Martin Vaeth

Post by Roland Franzius

Post by Manfred Ullrich
Gibt es eine anschauliche(!) Erklärung für die sehr merkwürdige
pi/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - 1/11 + 1/13 - 1/15 + usw.

Das ist das Integral über 1/(1+x^2) auf dem Intervall (0,1)
Die geometrische Reihe liefert
1/(1+x^2) = 1 - x^2 + x^4 - x^6 +- ..
für -1<x<1
Das unbestimmte Integral ist
int dx ( 1 - x^2 + x^4 - x^6 +- .. ) =
1 - x^3/3 + x^5/5 +- ...
Die alternierende harmonische Reihe konvergiert mal gerade noch soeben
bei x=1, aber nicht absolut, ist also eine Schulbeispiel für Permutationen.

Das Ganze ist daher ein Schulbeispiel für den Satz von Abel.
https://de.wikipedia.org/wiki/Abelscher_Grenzwertsatz

Wir sind hier doch nicht in der Schule, sondern bei den Hütchen-Spielern

1-1+1-1+-... = 1/2

x^3/3 + x^7/7 + ... - x^5/5 -x^9/9 -... = 1

--

Roland Franzius

[Martin Vaeth]

Post by Roland Franzius

Post by Martin Vaeth

Post by Roland Franzius

Post by Manfred Ullrich
Gibt es eine anschauliche(!) Erklärung für die sehr merkwürdige
pi/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - 1/11 + 1/13 - 1/15 + usw.

Das ist das Integral über 1/(1+x^2) auf dem Intervall (0,1)
Die geometrische Reihe liefert
1/(1+x^2) = 1 - x^2 + x^4 - x^6 +- ..
für -1<x<1
Das unbestimmte Integral ist
int dx ( 1 - x^2 + x^4 - x^6 +- .. ) =
1 - x^3/3 + x^5/5 +- ...
Die alternierende harmonische Reihe konvergiert mal gerade noch soeben
bei x=1, aber nicht absolut, ist also eine Schulbeispiel für Permutationen.

Das Ganze ist daher ein Schulbeispiel für den Satz von Abel.
https://de.wikipedia.org/wiki/Abelscher_Grenzwertsatz

Wir sind hier doch nicht in der Schule, sondern bei den Hütchen-Spielern
1-1+1-1+-... = 1/2

Das ist ein anderer Thread. Aber in der Tat zeigt das Beispiel,
dass man die Voraussetzung des Satzes von Abel eben nicht fallen
lassen darf:

Die geometrische Reihe liefert nämlich wie oben

1/(1-(-x)) = 1 - x + x^2 - x^3 +- ..

für -1 < x < 1. Wenn der Satz von Abel ohne die Zusatzvoraussetzung
gälte, würde er hier für x=1 also tatsächlich

1-1+1-1+-... = 1/2

liefern. WIMRE hatte Euler diese Gleichung in einem seiner
Bücher beschrieben (mit dieser Argumentation über die
Potenzreihenentwicklung von 1/(1+x)) - damals fehlte der
Mathematik halt noch die notwendige Strenge, weshalb weniger
geniale Mathematiker als Euler beim Rechnen mit Nichtexistenten
Limites alle möglichen Fehlschlüsse erhielten.

[Ganzhinterseher]

Post by Martin Vaeth

Post by Roland Franzius
Die geometrische Reihe liefert
1/(1+x^2) = 1 - x^2 + x^4 - x^6 +- ..

Nein, 1/(1+x^2) ist nur der Grenzwert, nicht die Summe. Keines der ℵo Glieder trifft die Summe. Das Gleichheitszeichen ist zwar eine Konvention, aber eine sehr irreführende.

Post by Martin Vaeth
für -1 < x < 1. Wenn der Satz von Abel ohne die Zusatzvoraussetzung
gälte, würde er hier für x=1 also tatsächlich
1-1+1-1+-... = 1/2
liefern.

Man könnte 1/2 als Grenzwert definieren, aber die Summe ist nicht und niemals 1/2, für keines der ℵo Glieder. Hier sieht man das besonders gut, während beim obigen Beispiel die immer kleiner werdende Differenz ein Verschwinden vortäuscht.

Post by Martin Vaeth
damals fehlte der
Mathematik halt noch die notwendige Strenge,

Sie fehlte vor allem den Mathematikern bei Einführung der Mengenlehre. Denn da schlug Eulers Nachlässigkeit bei Summen und Vereinigungen voll durch. Deshalb behaupten heute noch viele, die Menge ℕ der natürlichen Zahlen sei die Vereinigung aller aller Singletons {n}, für die bzw. deren Anfangsabschnitte gilt

|ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo.

Das ist falsch. Keine natürliches Zahl mit endliche vielen Vorgängern ist dafür ausreichend. ℕ bzw. ω ist ein fester, aber niemals von definierbaren Zahlen erreichter Grenzwert.

Und ebensowenig wie oben 1/2 kann einen irrationale Zahl durch Ziffern definiert werden, auch nicht durch ℵo Ziffern.

Gruß, WM

[Me]

Post by Ganzhinterseher
Nein, 1/(1+x^2) ist nur der Grenzwert, nicht die Summe.

Schauen Sie, Sie mathematischer Nixblicker.

Man NENNT diesen Grenzwert (also den Grenzwert der "Partialsummen") /die Summe der Reihe/. Was genau verstehen Sie an dieser Aussage nicht?

Post by Ganzhinterseher
Keines der ℵo Glieder trifft die Summe.

Ja und? hat das IRGENDJEMAND behauptet?

Post by Ganzhinterseher
Das Gleichheitszeichen ist zwar eine Konvention, aber

Nein, "das Gleichheitszeichen" ist keine Konvention.

Eine KONVENTION, und zwar eine m. E. durchaus verwirrende ist es, für die SUMME der Reihe

1 - x^2 + x^4 - x^6 +- ...

(also für den Grenzwert der Folge der "Partialsummen") EBENFALLS

1 - x^2 + x^4 - x^6 +- ...

zu schreiben (für -1 < x < 1).

Immerhin geht der dt. Wikipediabeitrag zu "Reihen" auf diese Problematik ein:

"Dem Symbol [...] kommen zwei unterschiedliche Bedeutungen zu, zwischen denen aus dem Kontext heraus entschieden werden muss. Einmal steht das Symbol für den Wert [bzw. die Summe --me] der Reihe, der im Fall konvergenter Reihen existiert oder im Fall divergenter Reihen nicht existiert [...] Andererseits repräsentiert das Symbol die Reihe als Folge der Partialsummen, unabhängig vom Konvergenzverhalten."

https://de.wikipedia.org/wiki/Reihe_(Mathematik)#Semantik

[Ganzhinterseher]

Post by Me

Post by Ganzhinterseher
Nein, 1/(1+x^2) ist nur der Grenzwert, nicht die Summe.

Man NENNT diesen Grenzwert (also den Grenzwert der "Partialsummen") /die Summe der Reihe/. Was genau verstehen Sie an dieser Aussage nicht?

Ich verstehe, dass dieser Habitus dazu geführt hat, dass die meisten tatsächlich glauben, es sei die Summe und nicht verstehen, dass zwischen allen definierbaren Gliedern und dem Grenzwert noch unendlich viele Glieder liegen. Unter anderem hat es Cantor und sein Anhänger zu dem Glauben geführt, man könne tatsächlich alle natürlichen Zahlen irgendwie bearbeiten, man könne alle Brüche nummerieren, man könne über alle Zeilen einer Cantor-Liste etwas aussagen, mann könne eine irrationale Zahl anhand ihrer Dezimaldarstellung von jeder anderen unterscheiden. Kurz, diese falsche Vorstellung hat die aktual unendliche Mengen als tatsächlich handhabbar erscheinen lassen.

Post by Me

Post by Ganzhinterseher
Keines der ℵo Glieder trifft die Summe.

Ja und? hat das IRGENDJEMAND behauptet?

Wer die Bezeichnung Summe dafür eingeführt hat, hat das sicher nicht nur aus Nachlässigkeit getan.

Post by Me

Post by Ganzhinterseher
Das Gleichheitszeichen ist zwar eine Konvention, aber

Nein, "das Gleichheitszeichen" ist keine Konvention.

Es ist zumindest eine irreführende falsche Konvention. Der Pfeil wäre angebrachter. Allerdings müsste man ihn dann zuweilen auch nach links weisen lassen, was einen größeren Symbolvorrat erfordert.

Post by Me
Eine KONVENTION, und zwar eine m. E. durchaus verwirrende ist es, für die SUMME der Reihe
1 - x^2 + x^4 - x^6 +- ...
(also für den Grenzwert der Folge der "Partialsummen") EBENFALLS
1 - x^2 + x^4 - x^6 +- ...
zu schreiben (für -1 < x < 1).

Das finde ich nun wieder ganz akzeptabel. (Da war wohl der Copy-&-Paste-Teufel am Werk.)

Gruß, WM

[Me]

Post by Ganzhinterseher
dass zwischen allen definierbaren Gliedern und dem Grenzwert noch unendlich
viele Glieder liegen.

Dummes/wirres Gequatsche.

Post by Ganzhinterseher
Wer die Bezeichnung Summe dafür eingeführt hat, hat das sicher nicht nur aus
Nachlässigkeit getan.

Zweifellos hat er/sie das nicht. :-)

Hinweis: Es geht um Folgendes: Man hat eine (unendliche) FOLGE von Werten/Termen, z. B. die Folge

(1/2, 1/4, 1/8, 1/16, ...)

Und man hat die "Idee" all diese Terme zu "summieren". [Diese Idee ist nicht ganz abwegig, so kann man sich ja z. B. eine Gerade mit Länge 1 in unendlich viele Stücke der Länge 1/2, 1/4, 1/8, usw. (ad infinitum) zerlegt denken. Die "Gesamtlänge" dieser Teile (also die Summe ihrer Längen) scheint dann 1 zu sein.]

Wenn man also in diesem Zusammenhang so etwas, wie die "Summe" all dieser Terme definieren möchte, muss man diese "Summe" erst einmal DEFINIEREN (denn AUSRECHNEN geht ja offenbar nicht).

Man kann leicht folgendes einsehen: Setzt man voraus, dass es tatsächlich so etwas wie eine Summe der/aller Terme gibt, dann sollte sie nicht kleiner als der Grenzwert der Partialsummen, aber auch nicht größer als der Grenzwert der Partialsummen sein (falls dieser existiert). Kurz: Man wird dazu gedrängt, die "Summe" all dieser Terme (Man spricht dabei von der /Summe der Reihe/) als den Grenzwert der Partialsummen zu definieren. Tut man das, fügt sich alles weitere zu einem "logischen Bild" zusammen. MEHR will man auch nicht.

Post by Ganzhinterseher

Post by Me

Post by Ganzhinterseher
Das Gleichheitszeichen ist zwar eine Konvention, aber

Nein, "das Gleichheitszeichen" ist keine Konvention.

Es ist zumindest eine irreführende falsche Konvention.

Können Sie nicht lesen, oder sind Sie nur zu blöde das Gelesene zu verstehen? Ich hatte gerade gesagt: Nein, "das Gleichheitszeichen" ist keine Konvention.

Post by Ganzhinterseher
<Dumschwatz gelöscht>

Post by Me
Eine KONVENTION -und zwar eine m. E. durchaus verwirrende- ist es sowohl
(a) die Reihe SELBST mit
1 - x^2 + x^4 - x^6 +- ...
zu bezeichnen als auch (b) die SUMME der Reihe (also den Grenzwert der
Folge der "Partialsummen" falls dieser existiert).

Das finde ich nun wieder ganz akzeptabel.

Na klar. Unsinn/Zweifelhaftes ist für Sie IMMER akzeptabel, nur an präzisen und einwandfrei definierten Begriffen haben Sie etwas auszusetzen.

Hinweis: Hier geht es GENAU um die "Problematik", die Sie fälschlicherweise "in der Verwendung des Gleichheitszeichens (unter Weglassung von "lim")" verorten.

[Ganzhinterseher]

Post by Me

Post by Ganzhinterseher
dass zwischen allen definierbaren Gliedern und dem Grenzwert noch unendlich
viele Glieder liegen.

Dummes/wirres Gequatsche.

Fakt.

Post by Me
Es geht um Folgendes: Man hat eine (unendliche) FOLGE von Werten/Termen, z. B. die Folge
(1/2, 1/4, 1/8, 1/16, ...)
Und man hat die "Idee" all diese Terme zu "summieren". [Diese Idee ist nicht ganz abwegig, so kann man sich ja z. B. eine Gerade mit Länge 1 in unendlich viele Stücke der Länge 1/2, 1/4, 1/8, usw. (ad infinitum) zerlegt denken.

Falsch. Die Länge dieser Stücke ist nicht 1.

Post by Me
Die "Gesamtlänge" dieser Teile (also die Summe ihrer Längen) scheint dann 1 zu sein.]

Wenn man schlampt, ist das scheinbar so.

Post by Me
Wenn man also in diesem Zusammenhang so etwas, wie die "Summe" all dieser Terme definieren möchte, muss man diese "Summe" erst einmal DEFINIEREN (denn AUSRECHNEN geht ja offenbar nicht).

Wer nicht schlampt, so wie Du eben oben, wird nicht Summe sagen, sondern Grenzwert der Partialsummenfolge.

Post by Me
Man kann leicht folgendes einsehen: Setzt man voraus, dass es tatsächlich so etwas wie eine Summe der/aller Terme gibt,

dann hat man sich schon dem Fehlerteufel ergeben.

Post by Me
Kurz: Man wird dazu gedrängt, die "Summe" all dieser Terme (Man spricht dabei von der /Summe der Reihe/) als den Grenzwert der Partialsummen zu definieren. Tut man das, fügt sich alles weitere zu einem "logischen Bild" zusammen. MEHR will man auch nicht.

Man will tatsächlich die Summe aller Stücke haben, denn nach Cantor kennt der liebe Gott ja alle beendet unendlich vielen Stücke, hat sie sogar geschaffen.

Post by Me

Post by Ganzhinterseher

Post by Me
Eine KONVENTION -und zwar eine m. E. durchaus verwirrende- ist es sowohl
(a) die Reihe SELBST mit
1 - x^2 + x^4 - x^6 +- ...
zu bezeichnen als auch (b) die SUMME der Reihe (also den Grenzwert der
Folge der "Partialsummen" falls dieser existiert).

Das finde ich nun wieder ganz akzeptabel.

Na klar. Unsinn/Zweifelhaftes ist für Sie IMMER akzeptabel

Da war nicht Zweifelhaftes, sondern Du schriebst:

****************************************************
Eine KONVENTION, und zwar eine m. E. durchaus verwirrende ist es, für die SUMME der Reihe

1 - x^2 + x^4 - x^6 +- ...

(also für den Grenzwert der Folge der "Partialsummen") EBENFALLS

1 - x^2 + x^4 - x^6 +- ...

zu schreiben (für -1 < x < 1).

*******************************************************

Gruß, WM

[Me]

Post by Ganzhinterseher

Post by Me

Post by Ganzhinterseher

Post by Me
Eine KONVENTION -und zwar eine m. E. durchaus verwirrende- ist es
sowohl (a) die Reihe SELBST mit
1 - x^2 + x^4 - x^6 +- ...
zu bezeichnen als auch (b) die SUMME der Reihe (also den Grenzwert
der Folge der "Partialsummen" falls dieser existiert).

Das finde ich nun wieder ganz akzeptabel.

Na klar. Unsinn/Zweifelhaftes ist für Sie IMMER akzeptabel

****************************************************
Eine KONVENTION, und zwar eine m. E. durchaus verwirrende ist es, für die SUMME der Reihe
1 - x^2 + x^4 - x^6 +- ...
(also für den Grenzwert der Folge der "Partialsummen") EBENFALLS
1 - x^2 + x^4 - x^6 +- ...
zu schreiben (für -1 < x < 1).
*******************************************************

Und abgesehen von einer Umformulierung, die die Sache etwas klarer darstellen soll(te), unterscheiden sich die beiden "Varianten" INHALTLICH (also die AUSSAGE betreffend) wodurch?

Anders gefragt:

Dass man

Post by Ganzhinterseher
für für die SUMME der Reihe
1 - x^2 + x^4 - x^6 +- ...
(also für den Grenzwert der Folge der "Partialsummen") EBENFALLS
1 - x^2 + x^4 - x^6 +- ...
schreibt (für -1 < x < 1) ,

findest Du ganz akzeptabel; aber dass man

Post by Ganzhinterseher
sowohl die Reihe SELBST mit
1 - x^2 + x^4 - x^6 +- ...
bezeichnen als auch die SUMME der Reihe (also den Grenzwert
der Folge der "Partialsummen" falls dieser existiert)

findest Du nicht so ganz akzeptabel?

Interessant.

Ich jedenfalls gebe gerne zu, dass genau DIESER UMSTAND mich als Student im ersten Semester ganz schön verwirrt hat. :-)

Außerdem bin ich der Meinung, dass AUCH DU das noch nicht ganz "geblickt" hast, sonst würdest Du m. E. nicht so einen bodenlosen Unsinn von Dir geben (können), wie

Post by Ganzhinterseher
1/(1+x^2) = 1 - x^2 + x^4 - x^6 +- ..

Nein, 1/(1+x^2) ist nur der Grenzwert, nicht die Summe.
Keines der ℵo Glieder trifft die Summe. Das Gleichheits-
zeichen ist zwar eine Konvention, aber eine sehr irreführende.

oder

An e IN: 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... + 1/2^n =/= 1 implies
1/2 + 1/4 + 1/8 + ... =/= 1.

Wie ich schon sagte: "Hier geht es GENAU um die "Problematik", die Sie fälschlicherweise "in der Verwendung des Gleichheitszeichens (unter gleichzeitiger Weglassung von "lim")" verorten."

[Ganzhinterseher]

Post by Me

Post by Ganzhinterseher

Post by Me
Na klar. Unsinn/Zweifelhaftes ist für Sie IMMER akzeptabel

****************************************************
Eine KONVENTION, und zwar eine m. E. durchaus verwirrende ist es, für die
SUMME der Reihe
1 - x^2 + x^4 - x^6 +- ...
(also für den Grenzwert der Folge der "Partialsummen") EBENFALLS
1 - x^2 + x^4 - x^6 +- ...
zu schreiben (für -1 < x < 1).
*******************************************************

Und abgesehen von einer Umformulierung, die die Sache etwas klarer darstellen soll(te), unterscheiden sich die beiden "Varianten" INHALTLICH (also die AUSSAGE betreffend) wodurch?

Garnicht.

Post by Me
Dass man

Post by Ganzhinterseher
für für die SUMME der Reihe
1 - x^2 + x^4 - x^6 +- ...
(also für den Grenzwert der Folge der "Partialsummen") EBENFALLS
1 - x^2 + x^4 - x^6 +- ...
schreibt (für -1 < x < 1) ,

findest Du ganz akzeptabel; aber dass man

Post by Ganzhinterseher
sowohl die Reihe SELBST mit
1 - x^2 + x^4 - x^6 +- ...
bezeichnen als auch die SUMME der Reihe (also den Grenzwert
der Folge der "Partialsummen" falls dieser existiert)

findest Du nicht so ganz akzeptabel?

Du hast den Grenzwert nicht hingeschrieben. Der würde mit Lim zu bezeichnen sein.

Post by Me
Interessant.
Ich jedenfalls gebe gerne zu, dass genau DIESER UMSTAND mich als Student im ersten Semester ganz schön verwirrt hat. :-)
An e IN: 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... + 1/2^n =/= 1 implies
1/2 + 1/4 + 1/8 + ... =/= 1.

Nur wer das durcheinanderbringt, ist zu verblüffen.

Post by Me
Wie ich schon sagte: "Hier geht es GENAU um die "Problematik", die Sie fälschlicherweise "in der Verwendung des Gleichheitszeichens (unter gleichzeitiger Weglassung von "lim")" verorten."

Man darf den Limes nicht weglassen. Ersatzweise kann man beim Summenzeichen bis oo summieren.

Gruß, WM

[Me]

Post by Ganzhinterseher

Post by Me
Eine KONVENTION, und zwar eine m. E. durchaus verwirrende ist es,
dass man sowohl die Reihe SELBST mit
1 - x^2 + x^4 - x^6 +- ...
bezeichnen als auch die SUMME der Reihe (also den Grenzwert
der Folge der "Partialsummen" falls dieser existiert)

Du hast den Grenzwert nicht hingeschrieben.

Was faselst Du da zusammen? Was ist los mit Dir? Kannst Du nicht mehr lesen, oder verstehst Du das Gelesene nur nicht mehr?

Post by Ganzhinterseher

Ich jedenfalls gebe gerne zu, dass genau DIESER UMSTAND mich seinerzeit
im ersten Semester meines Studiums ganz schön verwirrt hat. :-)

Man darf den Limes nicht weglassen.

Heilige Scheiße! Es geht hier doch nicht darum, ob man "den Limes weglassen darf oder nicht"! Es geht darum, dass man z. B. das Symbol

"1 + 1/2 + 1/4 + ..."

AUCH dafür verwendet, um die Zahl

lim_(n->oo) 1 + 1/2 + 1/4 + ... + 1/2^n (*)

zu bezeichnen. NATÜRLICH kommt (außer Ihnen vielleicht) niemand auf die Idee, in der Formel (*) "lim_(n->oo)" wegzulassen.

Post by Ganzhinterseher

Außerdem bin ich der Meinung, dass AUCH DU das noch nicht ganz "geblickt"
hast, sonst würdest Du m. E. nicht so einen bodenlosen Unsinn von Dir geben
(können), wie

Post by Me
1/(1+x^2) = 1 - x^2 + x^4 - x^6 +- ..

Nein, 1/(1+x^2) ist nur der Grenzwert, nicht die Summe.
Keines der ℵo Glieder trifft die Summe. Das Gleichheits-
zeichen ist zwar eine Konvention, aber eine sehr irre-
führende.
oder
An e IN: 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... + 1/2^n =/= 1 implies
1/2 + 1/4 + 1/8 + ... =/= 1.
Wie ich schon sagte: "Hier geht es GENAU um die "Problematik", die Sie
fälschlicherweise "in der Verwendung des Gleichheitszeichens (unter
gleichzeitiger Weglassung von "lim") "verorten."

[Me]

Post by Me
Wenn man also in diesem Zusammenhang so etwas, wie die "Summe" all dieser
Terme definieren möchte, muss man diese "Summe" erst einmal DEFINIEREN (denn
AUSRECHNEN geht ja offenbar nicht).
Wenn man also in diesem Zusammenhang so etwas, wie die "Summe" all dieser
Terme "bilden" möchte, muss man diese "Summe" erst einmal DEFINIEREN (denn
AUSRECHNEN geht ja offenbar nicht).

[Rainer Rosenthal]

Post by Manfred Ullrich
pi/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - 1/11 + 1/13 - 1/15 + usw.
Manfred

Ausgehend von
pi/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - 1/11 + 1/13 - 1/15 +- ...
kann man sich ja mal fragen, ob man statt des langweiligen Zählers 1 was
anderes nehmen kann. Zum Beispiel das hier:

X = 1 - 2/3 + 2/5 - 2/7 + 3/9 - 2/11 + 2/13 - 4/15 +-

Dabei steht im Zähler statt 1 die Anzahl der Teiler des Nenners. Bei
Primzahl-Nennern also 2, bei zusammengesetzten Nennern ein bisschen
mehr. Diese wirklich merkwürdige Fragestellung stammt nicht von mir,
sondern von dem Zahlentheorie-Giganten Ramanujan(*).
Es zeigt sich, dass X mit pi/4 zusammenhängt.
X ist nämlich ... das Quadrat von pi/4. Hammer, oder?
Wer mehr dazu lesen möchte, schaut zur OEIS-Folge A222068:
https://oeis.org/A222068.

Dank an Hugo Pfoertner für die gute Idee, dieses Bonbon zu präsentieren.
Und bitte nicht motzen, dass X = (pi/4)^2 nur numerisch verifiziert
wurde, sondern ein bissel das Gehirn anstrengen und beweisen oder
widerlegen.
Wie das geht, kann man hier in dsm ja wunderbar lernen *grins*.

Gruß und schönen Sonntag,
Rainer Rosenthal
***@web.de

(*) Srinivasa Ramanujan Iyengar; † 26. April 1920 in Chetpet, Madras;
* 22. Dezember 1887 in Erode

[Roalto]

Post by Rainer Rosenthal

Post by Manfred Ullrich
pi/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - 1/11 + 1/13 - 1/15 + usw.
Manfred

Ausgehend von
pi/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - 1/11 + 1/13 - 1/15 +- ...
kann man sich ja mal fragen, ob man statt des langweiligen Zählers 1 was
X = 1 - 2/3 + 2/5 - 2/7 + 3/9 - 2/11 + 2/13 - 4/15 +-
Dabei steht im Zähler statt 1 die Anzahl der Teiler des Nenners. Bei
Primzahl-Nennern also 2, bei zusammengesetzten Nennern ein bisschen
mehr. Diese wirklich merkwürdige Fragestellung stammt nicht von mir,
sondern von dem Zahlentheorie-Giganten Ramanujan(*).
Es zeigt sich, dass X mit pi/4 zusammenhängt.
X ist nämlich ... das Quadrat von pi/4. Hammer, oder?
https://oeis.org/A222068.
Dank an Hugo Pfoertner für die gute Idee, dieses Bonbon zu präsentieren.
Und bitte nicht motzen, dass X = (pi/4)^2 nur numerisch verifiziert
wurde, sondern ein bissel das Gehirn anstrengen und beweisen oder
widerlegen.
Wie das geht, kann man hier in dsm ja wunderbar lernen *grins*.
Gruß und schönen Sonntag,
Rainer Rosenthal
(*) Srinivasa Ramanujan Iyengar; † 26. April 1920 in Chetpet, Madras;
* 22. Dezember 1887 in Erode

Am liebsten ist mir die Lösung des Baselproblems mit Hilfe von Leuchttürmen
an immer größer werdenden Seen.(Lichtmenge ~ 1/r^2)

Viel Spass weiterhin
Roalto

[Rainer Rosenthal]

Post by Rainer Rosenthal
Ausgehend von
pi/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - 1/11 + 1/13 - 1/15 +- ...
kann man sich ja mal fragen, ob man statt des langweiligen Zählers 1 was
X = 1 - 2/3 + 2/5 - 2/7 + 3/9 - 2/11 + 2/13 - 4/15 +- (X-Formel)
Dabei steht im Zähler statt 1 die Anzahl der Teiler des Nenners. Bei
Primzahl-Nennern also 2, bei zusammengesetzten Nennern ein bisschen
mehr. Diese wirklich merkwürdige Fragestellung stammt nicht von mir,
sondern von dem Zahlentheorie-Giganten Ramanujan(*).
Es zeigt sich, dass X mit pi/4 zusammenhängt.
X ist nämlich ... das Quadrat von pi/4. Hammer, oder?
https://oeis.org/A222068.
Und bitte nicht motzen, dass X = (pi/4)^2 nur numerisch verifiziert
wurde, sondern ein bissel das Gehirn anstrengen und beweisen oder
widerlegen.

Da meine Ausführungen etwas länglich werden, möchte ich die
interessierten Leserinnen und Leser mit einem kleinen Zahlen-Quadrat
begrüßen:

#
# 1 3 5 7 9 11 13
#
# 3 9 15 21 27 33 39
#
# 5 15 25 35 45 55 65
#
# 7 21 35 49 63 77 91
#
# 9 27 45 63 81 99 117
#
# 11 33 55 77 99 121 143
#
# 13 39 65 91 117 143 169
#
# _________________________________________________
# Bild 1: die Nenner von (1-1/3+1/5-1/7+-...)^2
#

Von Robert Israel wurden https://oeis.org/A222068 bereits Umformungen
gezeigt, die nahelegen, dass X = (pi/4)^2 ist. Mathematisch korrekt und
zurückhaltend schreibt er dazu:
"Modulo questions about rearrangement of conditionally convergent
series, which I expect a more careful treatment would handle ...".
Er räumt also ein, dass eine sorgfältige Untersuchung des
Konvergenzverhaltens notwendig sei, ist aber überzeugt, dass man das
hinkriegt. Ramanujan hat aber genau danach gefragt: wie beweist man das
sauber? [1]
Und einen Beweis gibt es auch schon fertig [2].

Ich habe mich mal wieder schwer getan mit dem Formelkram und brauchte
ein Bild, das mir die Umformung von Robert Israel klarmachen konnte.
pi/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 -+ ... multipliziere ich gliedweise mit
sich selbst:
1 * (1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9)
- 1/3 * (1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9)
+ 1/5 * (1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9)
- 1/7 * (1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9)
+ 1/9 * (1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9)

und sortiere die Summanden in einer Tabelle
Zeile i=0: Produkt von 1 = 1/(2i+1) mit alternierender Summe 1/(2j+1)
Zeile i=1: Produkt von 3 = 1/(2i+1) mit alternierender Summe 1/(2j+1)
usw.

An der Position (i,j) steht dann 1/((2i+1)(2j+1)) mit negativem
Vorzeichen genau dann, wenn i+j ungerade ist.
Interessant ist, dass ein Nenner (2i+1)(2j+1) zwar mehrfach auftreten
kann, aber das Vorzeichen ist stets das gleiche, siehe Robert Israels
Bemerkung: 2k+1 = (2i+1)(2j+1) ==> (-1)^k = (-1)^(i+j). (*)

Das Bild 1 oben zeigt die Nenner der Summanden, und die Vorzeichen
wechseln in ganz einfacher Weise:

#
# + - + - + - +
# - + - + - + -
# + - + - + - +
# - + - + - + -
# + - + - + - +
# - + - + - + -
# + - + - + - +
# _________________________________________________
# Bild 2: die Vorzeichen von (1-1/3+1/5-1/7+-...)^2
#

Anschaulich gesprochen ist (pi/4)^2 die Summe aller v*1/n mit den
Vorzeichen v aus Bild 2 und den Nennern n aus Bild 1.
Nach der Bemerkung (*) haben gleiche n auch gleiches Vorzeichen v.

Was Ramanujan nun getan hat, und was in den Umformungen von Robert
Israel deutlich wird, ist folgendes.
Man ordnet die Summe aller v*1/n nach Nennern n und fasst zusammen.
Mit etwas Überlegen sieht man: Ein Nenner n kommt genau so oft vor, wie
die Zahl d(n) seiner Teiler ist. Primzahlen p befinden sich an den
Rändern von Bild 1, sie kommen also nur d(p) = 2 mal in der Summe aller
v*1/n vor. Die erste ungerade Zahl, die nicht prim ist, ist die 9.
Sie hat die Teiler 1, 3 und 9, d.h. es ist d(9) = 3, und man sieht sie
auch tatsächlich genau 3-mal in Bild 1 und in der (X-Formel) ganz oben.

Ich habe den Ramanujan-Film gesehen:
https://de.wikipedia.org/wiki/Die_Poesie_des_Unendlichen
Daraus war mir in Erinnerung geblieben, dass Ramanujan genial im
Erkennen von Zusammenhängen war und die zauberhaftesten Formeln sehen
konnte als Eingebungen seiner Göttin, dass er aber mit
Konvergenzbeweisen nichts am Hütchen hatte. Und so scheint es auch
wirklich zu sein, denn sonst hätte er ja nicht gerade heraus gefragt [1].
Meine Konvergenzbetrachtungszeit ist schon sehr lange her, und ich würde
gerne wissen, ob [2] wohl was Kompliziertes ist, bzw. ob es kompliziert
sein muss, den Nachweis zu führen, dass man die Teilsummen in der Weise
bilden darf, dass man die Summanden nach steigenden Nennern sortiert.
Das ist eine Umordnung von unendlich vielen Summanden, und wie wir alle
wissen, ist das gefährlich und man hat schon von Fällen gehört, in denen
dabei was verloren gegangen ist. Da musste dann extra ein Fundbüro
eingerichtet werden :-)

Gruß,
Rainer Rosenthal
***@web.de


[1] S. Ramanujan, Coll. Papers, Chelsea, 1962, Question 770, page 333.
[2] G. N. Watson, Solution to Question 770, J. Indian Math. Soc. 18
(1929-30), 294-298.

[Rainer Rosenthal]

Post by Rainer Rosenthal
Von Robert Israel wurden https://oeis.org/A222068 bereits Umformungen
gezeigt, die nahelegen, dass X = (pi/4)^2 ist. Mathematisch korrekt und
"Modulo questions about rearrangement of conditionally convergent
series, which I expect a more careful treatment would handle ...".
Er räumt also ein, dass eine sorgfältige Untersuchung des
Konvergenzverhaltens notwendig sei, ist aber überzeugt, dass man das
hinkriegt. Ramanujan hat aber genau danach gefragt: wie beweist man das
sauber? [1]
Und einen Beweis gibt es auch schon fertig [2].
Was Ramanujan nun getan hat, und was in den Umformungen von Robert
Israel deutlich wird, ist folgendes.
Man ordnet die Summe aller v*1/n nach Nennern n und fasst zusammen.
Mit etwas Überlegen sieht man: Ein Nenner n kommt genau so oft vor, wie
die Zahl d(n) seiner Teiler ist. Primzahlen p befinden sich an den
Rändern von Bild 1, sie kommen also nur d(p) = 2 mal in der Summe aller
v*1/n vor. Die erste ungerade Zahl, die nicht prim ist, ist die 9.
Sie hat die Teiler 1, 3 und 9, d.h. es ist d(9) = 3, und man sieht sie
auch tatsächlich genau 3-mal in Bild 1 und in der (X-Formel) ganz oben.
https://de.wikipedia.org/wiki/Die_Poesie_des_Unendlichen
Daraus war mir in Erinnerung geblieben, dass Ramanujan genial im
Erkennen von Zusammenhängen war und die zauberhaftesten Formeln sehen
konnte als Eingebungen seiner Göttin, dass er aber mit
Konvergenzbeweisen nichts am Hütchen hatte. Und so scheint es auch
wirklich zu sein, denn sonst hätte er ja nicht gerade heraus gefragt [1].
Meine Konvergenzbetrachtungszeit ist schon sehr lange her, und ich würde
gerne wissen, ob [2] wohl was Kompliziertes ist, bzw. ob es kompliziert
sein muss, den Nachweis zu führen, dass man die Teilsummen in der Weise
bilden darf, dass man die Summanden nach steigenden Nennern sortiert.
Das ist eine Umordnung von unendlich vielen Summanden, und wie wir alle
wissen, ist das gefährlich und man hat schon von Fällen gehört, in denen
dabei was verloren gegangen ist. Da musste dann extra ein Fundbüro
eingerichtet werden :-)
Gruß,
Rainer Rosenthal
[1] S. Ramanujan, Coll. Papers, Chelsea, 1962, Question 770, page 333.
[2] G. N. Watson, Solution to Question 770, J. Indian Math. Soc. 18
(1929-30), 294-298.
Ich hoffe, dass RRs mitunter launig-leichte Ausführungen nur die
Inkonsistenz dieser Vorgehensweise demonstrieren sollen und dass er nicht
etwa mathematischen Gehalt in ihnen vermutet. Aber es ist trotzdem

schade,

Post by Rainer Rosenthal
dass er seine Zeit damit vertut. Er könnte ja auch stattdessen Mathematik
treiben.

Wenn ich mich mit einer Reihe beschäftige, die nicht absolut-konvergent
ist, dann muss ich mich wahrscheinlich nicht dem Vorwurf aussetzen, Zeit
mit Nicht-Mathematik zu vertun.

Das Umordnungs-Thema hat auch dazu geführt, dass in den Dir unangenehmen
Hilbert-Hotel-Diskussionen plötzlich und unerwartet der Riemannsche
Umordnungssatz auftauchte. Ist doch schön, und dicht an der Frage von
Ramanujan. Leider hilft er mir nicht die Bohne. Ich könnte nun hergehen
und die Referenz [2] zu besorgen und zu verstehen versuchen. Ich kann
aber auch über die Wunder unendlicher Umordnungen meditieren und mir
klarzuwerden versuchen, warum die Ramanujan-Umordnung "nicht so schlimm"
ist. Das halte ich ebenfalls für Mathematik treiben.

[Roland Franzius]

Post by Rainer Rosenthal
Wenn ich mich mit einer Reihe beschäftige, die nicht absolut-konvergent
ist, dann muss ich mich wahrscheinlich nicht dem Vorwurf aussetzen, Zeit
mit Nicht-Mathematik zu vertun.
Das Umordnungs-Thema hat auch dazu geführt, dass in den Dir unangenehmen
Hilbert-Hotel-Diskussionen plötzlich und unerwartet der Riemannsche
Umordnungssatz auftauchte. Ist doch schön, und dicht an der Frage von
Ramanujan. Leider hilft er mir nicht die Bohne. Ich könnte nun hergehen
und die Referenz [2] zu besorgen und zu verstehen versuchen. Ich kann
aber auch über die Wunder unendlicher Umordnungen meditieren und mir
klarzuwerden versuchen, warum die Ramanujan-Umordnung "nicht so schlimm"
ist. Das halte ich ebenfalls für Mathematik treiben.

Wenn du zusammen mit deinem gelehrigen Schüler auf dem 4. Bildungsweg
jedenfalls irgenwann einmal in der Mathematik der 1930er Jahre
angelangen möchtest, also das was heute jeder Physiker so weiß, dann
solltest du einfach den Steinerschen Umordungssatz auf Koeffizienten in
nichtseparablen Hilberträume zu verallgemeinern suchen.

Da bist du dann genau, wo jeden Tag in der Zeitung steht über
Higgsteilchen, Urknall, dunkle Energie und schwarze Monsterlöcher.

[Rainer Rosenthal]

Post by Roland Franzius

Ich kann aber auch über die Wunder unendlicher Umordnungen
meditieren und mir klarzuwerden versuchen, warum die
Ramanujan-Umordnung "nicht so schlimm" ist. Das halte ich ebenfalls
für Mathematik treiben.

Wenn du zusammen mit deinem gelehrigen Schüler auf dem 4. Bildungsweg
jedenfalls irgenwann einmal in der Mathematik der 1930er Jahre
angelangen möchtest, also das was heute jeder Physiker so weiß, dann
solltest du einfach den Steinerschen Umordungssatz auf Koeffizienten in
nichtseparablen Hilberträume zu verallgemeinern suchen.

Das mit dem 4. Bildungsweg war nicht nett.
Nett war der Hinweis auf den Steinerschen Umordnungssatz. Denn
Umordnungen finde ich gerade spannend. Hui "vage Konvergenz" ist mir
gerade beim Stöbern üer den Weg gelaufen. Hübsch.

Du hättest nicht zufällig auch einen Beweis parat für die in diesem
Thread gestellte Frage nach der Zulässigkeit der Ramanujan-Umordnung?

Post by Roland Franzius
Da bist du dann genau, wo jeden Tag in der Zeitung steht über
Higgsteilchen, Urknall, dunkle Energie und schwarze Monsterlöcher.

Will ich das?
Ich habe noch in Erinnerung, dass Du stolz berichtet hast, die
geometrische Konstruktion der Tangente an Kreis K von einem Punkt P
außerhalb nicht zu kennen. Diese kleinen Dinge des 0-ten Bildungswegs
machen mir aber Freude.

Die von Dir genannten großartigen Dinge sind eher nix im Vergleich zu
der erstaunlichen Erkenntnis, dass 1 + 1/2 + 1/3 + ... divergiert.
Sie gehören eindeutig in die Welt des Endlichen, aber vielleicht kennst
Du ja eine Anwendung bei der Reinigung Schwarzer Löcher?

Gruß,
RR

[Alfred Flaßhaar]

(...)

Post by Rainer Rosenthal
Sie gehören eindeutig in die Welt des Endlichen, aber vielleicht kennst
Du ja eine Anwendung bei der Reinigung Schwarzer Löcher?

"Flaschenbürste" ?

Gruß, Alfred

[Roland Franzius]

Post by Rainer Rosenthal
Das mit dem 4. Bildungsweg war nicht nett.
Nett war der Hinweis auf den Steinerschen Umordnungssatz. Denn
Umordnungen finde ich gerade spannend. Hui "vage Konvergenz" ist mir
gerade beim Stöbern üer den Weg gelaufen. Hübsch.
Du hättest nicht zufällig auch einen Beweis parat für die in diesem
Thread gestellte Frage nach der Zulässigkeit der Ramanujan-Umordnung?

Ich zitiere mal, was ich bei in grauer Vorzeit bei Grauert in
Funktionentheorie II für komplexe Funktionen mehrerer Variablen
aufgeschnappt habe.

1) Trivia

Die Funktion CC -> CC f0: z->1/(1+z^2) ist in C\{-i,i} holomorph. Sie
hat in {-i,i} jeweils einen einfachen Pol

Partialbruchzerlegung

1/(1+x^2) = 1/2 ( 1/(1+i x) + 1/(1-i x) )

Die geometrische Reihe sum(-1)^k z^k, auf der beide basieren, ist im
offenen Einheitskreis absolut konvergent und die Summe ihrer
Translationen um +-i stellen dort f0 dar.

Damit sind alle Ableitungen z->fn(z)=f^(n)(z) von f0 positiver und
negativer Ordnung n im offenen Einheitskeis ebenfalls holomorph und
identisch mit den Ableitungen und Integralen der Reihen

(1/2) /(1+-i x) = 1/2 sum_k (+-i x)^k

Ihre Integrale sind

f1 = +- i/2 sum 1/k (+-i x)^k = +- i/2 log (1-+ i x)

in den offenen Einheitskreisen um den Ursprung.

Die Riemannsche Fläche beider Funktionen durch Wege, die den Pol
mehrfach umwinden, ist die Helixfläche mit unendlichem
Verzweigungspunktim Pol bei +-i mit 2pi*Windungszahl als Blatthöhe der
ansonsten identischen Abbildung Riemann(log) <-> CC x {2 pi IN}.

Damit haben wir die Reihe für den arctan als Summe, in der die geraden
Glieder wegfallen

arctan z = 1/2 log((1-i x)/(1+ix) ) = sum (-1)^k/(2k+1) z^(2k+1) |x|<1

Diese Funktion kann holomorph ebenfals in ganz C\{-i,i} fortgesetzt
werden mit einer Riemannschen Fläche mit zwei Verzweigungspunkten in
{+-i} in Form eines dreifaltigen Treppenhauses, Mitte vorwärts nach
oben, Seiten rückwärts nach oben.

Da die Funktion 1/(1+z^2) nur Pole hat divergiert, die Funktion arctan
bei Annährung auf einem beliebigen Weg dorthin wie e^(i phi ) log r im
Abstand r von der Verzweigungsstelle.

Indem man nun zwei beliebige Wege zur Annäherung an die beiden
Verzweigungstellen wählt, erzeugt man damit eine beliebige Umordnung der
Arctan-Reihe.

Die symmetrischen Annäherungen arctan(z) z->+-1 längs der reellen Achse
von z=0 sind also nur zwei sehr spezielle Fälle zweier synchronisierter
Wege in der komplexen Ebene.

arctan(z) = int_C dzeta/(1+zeta^2)


2) Holomorphiegebiete von analytischen Funktionen mehrerer Variablen.

Das formale Quadrat des arctan ist die Diagonale der Funktion zweier
Variablen in Kurzschreibweise

f(v,w) = int dv/(1+v^2) * int dw/(1+w^2) /. {w->z,v->z}

also im Polyzylinder |w|<1 x |v|<1

f(z,z) = (sum_k (-1)^k z^(2k+1)/(2k+1)) *
(sum_l (-1)^l/ z^(2l+1)/(2l+1))
= sum_kl (-1)^(k+l) (z^2)^(k+l+1)/((2k+1)(2l+1))

Im Innern des Polyzylinders sind beide Reihen absolut konvergent, also
auch ihr Produkt und beliebige Umordnungen erlaubt.

Einen Beweisansatz dafür, dass die nach Nennern geordnete Reihe auf der
reellen Geraden z->1 denselben Grenzwert wie das gliedweise Produkt
der ersten mit dem Grenwert der zweiten ergibt


(sum_k (-1)^k z^(2k+1)/(2k+1))*(sum_l (-1)^l/ z^(2l+1)/(2l+1))
= (sum_k (-1)^k z^(2k+1)/(2k+1) (sum_l (-1)^l/ z^(2l+1)/(2l+1)) )
?=?
sum_kl (-1)^(sigma(k)+tau(l))
(z^2)^(sigma(k)+tau(l)+1)/((2sigma(k)+1)(2tau(l)+1))


müsste sich also darauf stützen, dass Teilsummationen mit Umordnung bis
zu einem festen n+l im Summationsquadrat auch für bedingt konvergente
Reihen erlaubt sind.

Speiziell für pi^2 finde ich noch die schöne Reihe

sum__k=0^oo ((2k-1) (2k+3))^-2) = pi/64

[Roland Franzius]

Post by Roland Franzius

Post by Rainer Rosenthal
Das mit dem 4. Bildungsweg war nicht nett.
Nett war der Hinweis auf den Steinerschen Umordnungssatz. Denn
Umordnungen finde ich gerade spannend. Hui "vage Konvergenz" ist mir
gerade beim Stöbern üer den Weg gelaufen. Hübsch.
Du hättest nicht zufällig auch einen Beweis parat für die in diesem
Thread gestellte Frage nach der Zulässigkeit der Ramanujan-Umordnung?

Ich zitiere mal, was ich bei in grauer Vorzeit bei Grauert in
Funktionentheorie II für komplexe Funktionen mehrerer Variablen
aufgeschnappt habe.
1) Trivia
Die Funktion CC -> CC f0: z->1/(1+z^2) ist in C\{-i,i} holomorph. Sie
hat in {-i,i} jeweils einen einfachen Pol
Partialbruchzerlegung
1/(1+x^2) = 1/2 ( 1/(1+i x) + 1/(1-i x) )
Die geometrische Reihe sum(-1)^k z^k, auf der beide basieren, ist im
offenen Einheitskreis absolut konvergent und die Summe ihrer
Translationen um +-i stellen dort f0 dar.
Damit sind alle Ableitungen z->fn(z)=f^(n)(z) von f0 positiver und
negativer Ordnung n im offenen Einheitskeis ebenfalls holomorph und
identisch mit den Ableitungen und Integralen der Reihen
(1/2) /(1+-i x) =  1/2 sum_k (+-i x)^k
Ihre Integrale sind
f1 = +- i/2 sum 1/k (+-i x)^k  = +- i/2 log (1-+ i x)
in den  offenen Einheitskreisen um den Ursprung.
Die Riemannsche Fläche beider Funktionen durch Wege, die den Pol
mehrfach umwinden, ist die Helixfläche mit unendlichem
Verzweigungspunktim Pol bei +-i mit 2pi*Windungszahl als Blatthöhe der
ansonsten identischen Abbildung  Riemann(log) <-> CC x {2 pi IN}.
Damit haben wir die Reihe für den arctan als Summe, in der die geraden
Glieder wegfallen
arctan z = 1/2 log((1-i x)/(1+ix) ) = sum (-1)^k/(2k+1) z^(2k+1)  |x|<1
Diese Funktion kann holomorph ebenfals in ganz C\{-i,i} fortgesetzt
werden mit einer Riemannschen Fläche mit zwei Verzweigungspunkten in
{+-i} in Form eines dreifaltigen Treppenhauses, Mitte vorwärts nach
oben, Seiten rückwärts nach oben.
Da die Funktion 1/(1+z^2) nur Pole hat divergiert, die Funktion arctan
bei Annährung auf einem beliebigen Weg dorthin wie e^(i phi ) log r im
Abstand r von der Verzweigungsstelle.
Indem man nun zwei beliebige Wege zur Annäherung an die beiden
Verzweigungstellen wählt, erzeugt man damit eine beliebige Umordnung der
Arctan-Reihe.
Die symmetrischen Annäherungen arctan(z)  z->+-1 längs der reellen Achse
von z=0 sind also nur zwei sehr spezielle Fälle zweier synchronisierter
Wege in der komplexen Ebene.
arctan(z) = int_C dzeta/(1+zeta^2)
2) Holomorphiegebiete von analytischen Funktionen mehrerer Variablen.
Das formale Quadrat des arctan ist die Diagonale der Funktion zweier
Variablen in Kurzschreibweise
f(v,w) = int dv/(1+v^2) * int dw/(1+w^2) /. {w->z,v->z}
also im Polyzylinder |w|<1 x |v|<1
f(z,z) = (sum_k (-1)^k z^(2k+1)/(2k+1)) *
         (sum_l (-1)^l/ z^(2l+1)/(2l+1))
= sum_kl  (-1)^(k+l) (z^2)^(k+l+1)/((2k+1)(2l+1))
Im Innern des Polyzylinders sind beide Reihen absolut konvergent, also
auch ihr Produkt und beliebige Umordnungen erlaubt.
Einen Beweisansatz dafür, dass die nach Nennern geordnete Reihe auf der
reellen Geraden z->1 denselben Grenzwert wie das gliedweise Produkt
der ersten mit dem Grenwert der zweiten ergibt
(sum_k (-1)^k z^(2k+1)/(2k+1))*(sum_l (-1)^l/ z^(2l+1)/(2l+1))
= (sum_k (-1)^k z^(2k+1)/(2k+1)  (sum_l (-1)^l/ z^(2l+1)/(2l+1)) )
?=?
sum_kl  (-1)^(sigma(k)+tau(l))
(z^2)^(sigma(k)+tau(l)+1)/((2sigma(k)+1)(2tau(l)+1))
müsste sich also darauf stützen, dass Teilsummationen mit Umordnung bis
zu einem festen n+l im Summationsquadrat auch für bedingt konvergente
Reihen erlaubt sind.
Speiziell für pi^2 finde ich noch die schöne Reihe
sum__k=0^oo ((2k-1) (2k+3))^-2) = pi/64

sum__k=0^oo ((2k-1) (2k+3))^-2) = pi^2/64 muss das natürlich heißen.

[Alfred Flaßhaar]

(...)

Post by Roland Franzius

Post by Roland Franzius
Speiziell für pi^2 finde ich noch die schöne Reihe
sum__k=0^oo ((2k-1) (2k+3))^-2) = pi/64

sum__k=0^oo ((2k-1) (2k+3))^-2) = pi^2/64 muss das natürlich heißen.

Ist der untere Summations-/Startindex k=0 korrekt? Wo hast Du diese
Reihe gefunden?

Gruß, Alfred Flaßhaar

[Roland Franzius]

Post by Alfred Flaßhaar

Post by Roland Franzius

Post by Roland Franzius
Speiziell für pi^2 finde ich noch die schöne Reihe
sum__k=0^oo ((2k-1) (2k+3))^-2) = pi/64

sum__k=0^oo ((2k-1) (2k+3))^-2) = pi^2/64 muss das natürlich heißen.

Ist der untere Summations-/Startindex k=0 korrekt? Wo hast Du diese
Reihe gefunden?

Ja. Selber.

[Alfred Flaßhaar]

Post by Roland Franzius

Post by Alfred Flaßhaar

Post by Roland Franzius

Post by Roland Franzius
Speiziell für pi^2 finde ich noch die schöne Reihe
sum__k=0^oo ((2k-1) (2k+3))^-2) = pi/64

sum__k=0^oo ((2k-1) (2k+3))^-2) = pi^2/64 muss das natürlich heißen.

Ist der untere Summations-/Startindex k=0 korrekt? Wo hast Du diese
Reihe gefunden?

Ja. Selber.

Dann nimm auch die letzte "Klammer zu" hinter dem Exponenten selber weg.
Es wäre sicherlich auch für weitere Mitleser interessant zu erfahren,
nicht wer das Ergebnis hergeleitet hat, sondern wie es entstand oder wo
es in welcher Quelle zu finden ist.
Wenn ich wie früher eine Reihe mit Beteiligung von pi in der Summe sehe,
dann geht bei mir nach alter Übungsaufgabentradition die
Fourier-Rundumleuchte an.

[Alfred Flaßhaar]

Post by Roland Franzius

Speziell für pi^2 finde ich noch die schöne Reihe

sum__k=0^oo ((2k-1) (2k+3))^-2) = pi^2/64 muss das natürlich heißen.

(...)

Der Vollständigkeit wegen hier die n-te Partialsumme

-Zeta(2,n+5/2)/32 + (4*n^3+8*n^2+3*n-2)/(8*(2*n+1)^2*(2*n+3)^2) +
+ pi^2/64

Interessanterweise steht zu dieser schönen Reihe nichts im Knopp oder
Ryshik/Gradstein.

[Roland Franzius]

Post by Alfred Flaßhaar

Post by Roland Franzius

Post by Alfred Flaßhaar

Post by Roland Franzius

Post by Roland Franzius
Speiziell für pi^2 finde ich noch die schöne Reihe
sum__k=0^oo ((2k-1) (2k+3))^-2) = pi/64

sum__k=0^oo ((2k-1) (2k+3))^-2) = pi^2/64 muss das natürlich heißen.

Ist der untere Summations-/Startindex k=0 korrekt? Wo hast Du diese
Reihe gefunden?

Ja. Selber.

Dann nimm auch die letzte "Klammer zu" hinter dem Exponenten selber weg.
Es wäre sicherlich auch für weitere Mitleser interessant zu erfahren,
nicht wer das Ergebnis hergeleitet hat, sondern wie es entstand oder wo
es in welcher Quelle zu finden ist.
Wenn ich wie früher eine Reihe mit Beteiligung von pi in der Summe sehe,
dann geht bei mir nach alter Übungsaufgabentradition die
Fourier-Rundumleuchte an.

Bei Konsultation der umfassendsten, letzen gedrucktenvierbändigen
Sammlung of Integrals and Series vor Mathmatica, für die ich mal einen
1000er zahlen musste, weil ich damals bei meinem Lieferanten Blackwells
in Oxford bestellt habe, ohne den Preis zu kennen, drängte sich der
Eindruck auf, dass pi^2 eigentlich immer in Formeln mit zeta(2) und
entprechend höhere Potenzen mit zeta(n) auftreten.

Beim Vergleich der verschiedenen Reihen kam der berühmte Gedankenblitz
morgens unter der Dusche vor dem Abgabetermin.

Mathematica kann das, der Beweis ist trivial, wenn man das Basel Problem
und Eulers Beweis als bekannt voraussetzen darf.

Ein wenig Bekanntheit mit der Digammafunktion kann nicht schaden.

https://en.wikipedia.org/wiki/Digamma_function

[Alfred Flaßhaar]

(...)

Post by Roland Franzius
Bei Konsultation der umfassendsten, letzen gedrucktenvierbändigen
Sammlung of Integrals and Series vor Mathmatica, für die ich mal einen
1000er zahlen musste, weil ich damals bei meinem Lieferanten Blackwells
in Oxford bestellt habe, ohne den Preis zu kennen, drängte sich der
Eindruck auf, dass pi^2  eigentlich immer in Formeln mit zeta(2) und
entprechend höhere Potenzen mit zeta(n) auftreten.

Es ist immer wieder beeindruckend, welche zentrale Rolle pi, e und ln 2
spielen.

Post by Roland Franzius
Beim Vergleich der verschiedenen Reihen kam der berühmte Gedankenblitz
morgens unter der Dusche vor dem Abgabetermin.

Das kann ich aus eigenem Erleben nachempfinden, wenn ganz unerwartet das
"AHA" zuschlägt. Mir ging es mal so mit einer bösartigen Ungleichung -
morgens mit der Zahnbürste in der Hand.

Post by Roland Franzius
Mathematica kann das, der Beweis ist trivial, wenn man das Basel Problem
und Eulers Beweis als bekannt voraussetzen darf.

Das gute alte derive kann das auch. Die Lösung des klassischen
Basel-Problems habe ich im Zusammenhang mit Fourierreihen damals
kennengelernt (Smirnow, Teil II, S. 370). Aber heute ist dieses Problem
viel breiter aufgestellt.

[Roland Franzius]

Post by Alfred Flaßhaar
(...)

Post by Roland Franzius
Bei Konsultation der umfassendsten, letzen gedrucktenvierbändigen
Sammlung of Integrals and Series vor Mathmatica, für die ich mal einen
1000er zahlen musste, weil ich damals bei meinem Lieferanten
Blackwells in Oxford bestellt habe, ohne den Preis zu kennen, drängte
sich der Eindruck auf, dass pi^2  eigentlich immer in Formeln mit
zeta(2) und entprechend höhere Potenzen mit zeta(n) auftreten.

Es ist immer wieder beeindruckend, welche zentrale Rolle pi, e und ln 2
spielen.

Nur in der Lehre, sonst überhaupt nicht.

Post by Alfred Flaßhaar

Post by Roland Franzius
Beim Vergleich der verschiedenen Reihen kam der berühmte Gedankenblitz
morgens unter der Dusche vor dem Abgabetermin.

Das kann ich aus eigenem Erleben nachempfinden, wenn ganz unerwartet das
"AHA" zuschlägt. Mir ging es mal so mit einer bösartigen Ungleichung -
morgens mit der Zahnbürste in der Hand.

Post by Roland Franzius
Mathematica kann das, der Beweis ist trivial, wenn man das Basel
Problem und Eulers Beweis als bekannt voraussetzen darf.

Das gute alte derive kann das auch. Die Lösung des klassischen
Basel-Problems habe ich im Zusammenhang mit Fourierreihen damals
kennengelernt (Smirnow, Teil II, S. 370). Aber heute ist dieses Problem
viel breiter aufgestellt.

Das gilt wohl auch für die Ausgangsfrage, die man heut wohl unter
Zeta-Funktionen für Gruppendarstellungen abhandeln würde.

[Alfred Flaßhaar]

Post by Rainer Rosenthal
Von Robert Israel wurden https://oeis.org/A222068 bereits Umformungen
gezeigt, die nahelegen, dass X = (pi/4)^2 ist.

(...)

Nachdem ich vergeblich versucht habe, an Deine zitierte Quelle [2]
heranzukommen, habe ich mit den Partialsummen numerisch gespielt. Dabei
ist zu beobachten, daß die Reihe für pi^2/16 Grenzwert der Folge von
solchen Partialsummen ist, die alle aus Quadraten rationaler Zahlen
besteht. Stellt man die Partialsummen als Brüche dar (Zähler und Nenner
teilerfremd), dann ist in der Primfaktorzerlegung des Nenners
ausschließlich eine mit 3 beginnende lückenlose Teilfolge der
Primzahlenfolge beteiligt. Die Primfaktoren 3, 5, 7 sind die einzigen,
die in höherer gerader Potenz als 2 auftauchen.

Noch ein abwegiger Gedanke:
Die Reihe für pi^2/16 kann formal als Gleichung für die vielen Werte
d(2*k-1) angesehen werden, wenn man die Nenner und das Ergebnis pi^2/16
als gegeben voraussetzt. Und die hat sogar eine eindeutige Lösung ...
rätsel, rätsel, ...

Versuche, mit Hilfe von Fourierreihenentwicklung bekannter Funktionen an
pi^2/16 heranzukommen, waren erfolglos. Idee war, ähnlich wie bei
f(x)=x^2 die Reihensumme aller Quadratkehrwerte (pi^2/6) bestimmt werden
kann, zu verfahren. Bemerkenswert ist noch, daß die Reihe aus den
Kehrwerten ungerader Zahlenquadrate genau pi^2/8=2*pi^2/16 ergibt.

Wochenendgrüße und bleibt gesund, Alfred

[Rainer Rosenthal]

Post by Alfred Flaßhaar
Die Reihe für pi^2/16 kann formal als Gleichung für die vielen Werte
d(2*k-1) angesehen werden, wenn man die Nenner und das Ergebnis pi^2/16
als gegeben voraussetzt. Und die hat sogar eine eindeutige Lösung ...
rätsel, rätsel, ...

Hallo Alfred, danke für die interessanten Gedanken. Bei der Antwort
halte ich mich an die Bezeichnung 2k+1 für die Nenner, starte also wie
Robert Israel im Kommentar zu https://oeis.org/A222068 mit k=0.

Dein "abwegiger Gedanke" kann so formuliert werden:
Wenn für Folge (a_k) gilt, dass

a_0 - a_1/3 + a_2/5 -+ ... = pi^2/16 (*)

dann ist a_k = d(2*k+1), also die Anzahl der Teiler von 2k+1.

Ich denke, dass das nicht abwegig ist, sondern falsch :-)
Wegen der nicht-absoluten Konvergenz gibt es unendlich viele Folgen
(a_k) mit dieser Eigenschaft.

Ich habe hier zwei solche für Dich:

Eine mit Zählern, die nur 0 oder 1 sind:
1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 0,
1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 1,
1, 1, 1, ...

Und dann auch noch eine mit Zählern, die nur 1 oder 2 sind:
1, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2,
2, 2, 2, 2, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 1, 1, 2, 2,
2, 1, 1, ...

Lieben Gruß, bleib(t) gesund,
Rainer