Was liegt zwischen 0 und den Punkten 1/n auf der reellen Achse?

[Ganzhinterseher]

Die Folge (1/n) werde durch Punkte auf der reellen Achse dargestellt. Die Punkte sind durch die offenen Intervalle (1/n, 1/(n-1)) getrennt. Der Grenzwert 0 der Folge berührt das Intervall (0, 1], d.h., es liegt nichts zwischen 0 und dem Intervall.

Jeder Punkt 1/n und das ihn berührende Intervall (1/n, 1/(n-1)) werde entfernt. Bleibt ein die 0 berührendes Intervall übrig?

Wenn nichts bleibt, dann hat die 0 vorher einen der entfernten Punkte berührt. Das ist aber mathematisch ausgeschlossen.

Gruß, WM

[Me]

Post by Ganzhinterseher
Die Punkte sind durch die offenen Intervalle (1/n, 1/(n-1)) getrennt.

Nein, die Punkte sind nicht durch die Intervalle "getrennt", sondern durch die PUNKTE, die in diesen Intervallen liegen. Anders formuliert: für jedes n e IN und jedes x e IR gilt: x ist in (1/n+1, 1/n) genau dann, wenn x zwischen 1/(n+1) und 1/n liegt:

An e IN: Ax e IR: x e (1/n+1, 1/n) <-> 1/(n+1) < x < 1/n .

Beweis: (1/n+1, 1/n) ist per definitionem die Menge aller x e IR mit 1/(n+1) < x < 1/n.

[Ganzhinterseher]

Post by Me

Post by Ganzhinterseher
Die Punkte sind durch die offenen Intervalle (1/n, 1/(n-1)) getrennt.

Nein, die Punkte sind nicht durch die Intervalle "getrennt", sondern durch die PUNKTE, die in diesen Intervallen liegen.

Ein Intervall reicht von 1/n bis 1/(n-1). Es liegt also nichts zwischen dem Intervall und seinen Endpunkten. Punkte zwischen 1/n und 1/(n-1), für die dasselbe gilt, kann man nicht finden.

Post by Me
Anders formuliert: für jedes n e IN und jedes x e IR gilt: x ist in (1/n+1, 1/n)

Irrelevant. Nächste Punkte existieren nicht. Nächste Intervalle zu Punkten 1/n existieren.

Gruß, WM

[Me]

Es liegt also nichts zwischen dem Intervall und seinen Endpunkten. <blubber>

Es wäre erst einmal zu klären, was es überhaupt heißen soll, dass etwas zwischen einem Intervall und einem Punkt liegt. Sie schwafeln ständig irgendetwas unter Verwendung weitgehend undefinierter Begriffe daher Mückenheim, und wenn man Sie nach einer Definition fragt, kommt in der Regel nur noch mehr Mist. Eine sinnvolle "Diskussion" ist auf dieser Basis nicht möglich.

[Ganzhinterseher]

Post by Me

Es liegt also nichts zwischen dem Intervall und seinen Endpunkten. <blubber>

Es wäre erst einmal zu klären, was es überhaupt heißen soll, dass etwas zwischen einem Intervall und einem Punkt liegt.

Definition: Ein Punkt berührt ein (halb-) offenes Intervall wenn er dessen Endpunkt ist.
Äquivalent dazu: Ein Punkt berührt ein (halb-) offenes Intervall, wenn es eine halbseitige epsilon-Umgebung des Punktes gibt, die außer ihm nichts als Punkte des Intervalls enthält.

Gruß, WM

[Me]

Post by Me

Es liegt also nichts zwischen dem Intervall und seinen Endpunkten. <blubber>

Es wäre erst einmal zu klären, was es überhaupt heißen soll, dass etwas
zwischen einem Intervall und einem Punkt liegt.

Definition: Ein Punkt berührt <blubber>

HALLO, AUFWACHEN! Ich hatte nicht danach gefragt, was es heißen soll, dass ein Punkt irgendetwas "berührt", sondern danach, was es heißen soll, dass etwas "zwischen einem Intervall und einem Punkt" liegt.

Denn heutigen Wochentag kennen Sie aber noch, oder?

[Ganzhinterseher]

Post by Me

Post by Ganzhinterseher

Post by Me

Es liegt also nichts zwischen dem Intervall und seinen Endpunkten. <blubber>

Es wäre erst einmal zu klären, was es überhaupt heißen soll, dass etwas
zwischen einem Intervall und einem Punkt liegt.

Definition: Ein Punkt berührt ein (halb-) offenes Intervall wenn er dessen Endpunkt ist.

Äquivalent dazu: Ein Punkt berührt ein (halb-) offenes Intervall, wenn es eine halbseitige epsilon-Umgebung des Punktes gibt, die außer ihm nichts als Punkte des Intervalls enthält.

Post by Me
Ich hatte nicht danach gefragt, was es heißen soll, dass ein Punkt irgendetwas "berührt", sondern danach, was es heißen soll, dass etwas "zwischen einem Intervall und einem Punkt" liegt.

Das bedeutet natürlich, dass der Punkt das Intervall nicht berührt.

Gruß, WM

[Me]

Post by Ganzhinterseher

Post by Me
Ich hatte nicht danach gefragt, was es heißen soll, dass ein Punkt
irgendetwas "berührt", sondern danach, was es heißen soll, dass et-
was [also z. B. X] "zwischen einem Intervall und einem Punkt" liegt.

Das bedeutet natürlich, dass der Punkt das Intervall nicht berührt.

Huh?! Geht's noch doofer?

[h***@gmail.com]

Post by Me

Post by Ganzhinterseher

Post by Me
Ich hatte nicht danach gefragt, was es heißen soll, dass ein Punkt
irgendetwas "berührt", sondern danach, was es heißen soll, dass et-
was [also z. B. X] "zwischen einem Intervall und einem Punkt" liegt.

Das bedeutet natürlich, dass der Punkt das Intervall nicht berührt.

Huh?! Geht's noch doofer?

"You ain't seen nothing yet... babababy, you just ain't seen nothing yet."

[Michael Klemm]

Post by Ganzhinterseher
Die Folge (1/n) werde durch Punkte auf der reellen Achse dargestellt. Die Punkte sind durch die offenen Intervalle (1/n, 1/(n-1)) getrennt. Der Grenzwert 0 der Folge berührt das Intervall (0, 1], d.h., es liegt nichts zwischen 0 und dem Intervall.

---

Post by Ganzhinterseher
Jeder Punkt 1/n und das ihn berührende Intervall (1/n, 1/(n-1)) werde entfernt. Bleibt ein die 0 berührendes Intervall übrig?

Das kannst Du selbst beantworten, indem Du die Mengen X und Y in der Gleichung IR \ X = Y angibst.

Gruß
Michael

Post by Ganzhinterseher
Wenn nichts bleibt, dann hat die 0 vorher einen der entfernten Punkte berührt. Das ist aber mathematisch ausgeschlossen.
Gruß, WM

[Jens Kallup]

Hallo,

öffenes Interval (0, 1] : 1/n
Zahlen (n) := 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
Ausnahme: 0, da 1/0 nicht erlaubt !

weiter soll gelten: (1/n, 1/(n-1))

Verteilung: 1/n:
0. = i = 0 <-- Achtung !
1. 1/1 = 1,0
2. 1/2 = 0,5_
3. 1/3 = 0,33
4. 1/4 = 0,25
5. 1/5 = 0,20_
6. 1/6 = 0,166 ______
7. 1/7 = 0,142957142957
8. 1/8 = 0,125___
9. 1/9 = 0,111111

Verteilung: 1/(n-1):
0. 1/(0-1) = 0/-1 = -0,0

1. 1/(1-1) = 1/-0 = i = 0 <-- Achtung !
2. 1/(2-1) = 1/-1 = -1,0
3. 1/(3-1) = 1/-2 = -0,5_
4. 1/(4-1) = 1/-3 = -0,33
5. 1/(5-1) = 1/-4 = -0,25
6. 1/(6-1) = 1/-5 = -0,20_
7. 1/(7-1) = 1/-6 = -0,166 ______
8. 1/(8-1) = 1/-7 = -0,142957142957
9. 1/(9-1) = 1/-8 = -0,125
___
übrig: 1/-9 = -0,111111

Behauptung 1:
zwischen -+0 und -+9 liegen 10 Einheiten.

Behauptung 2:
1/10 = 0,1

Stellungnahme zu Behauptung 1:
- möglicherweise eine Einbahnstraße für/nicht Informatiker/Mathematiker:
weil:
a) für Mathematiker: sehen 10 Einheiten aus zehn unterschiedliche
Objekte, die durchaus zum gleichem Typus gehören (hier
Zahlen/digit's),
b) für Informatiker: sollten bei Rechenoperationen nicht nur 10
unterschiedliche Objekte sehen, sondern auch
die Darstellung (also wenn 10 als 2 Bit (0 und 1 = kleinste
Einheit für 1 Bit) betrachtet werden sollen (also zur die 10
zur Basis 2 = 10_2 binär betrachtet), können nur 4 Werte
dargestellt werden!
Hieraus ergibt sich folgendes Schema:

9 - Strom liegt *nicht*,
1 - Strom liegt *an*) 4 Werte dargestellt werden können:

also:
00 = 0 <-- 1. Wert
01 = 1 <-- 2. Wert
10 = 2 <-- 3. Wert
11 = 3 <-- 4. Wert

um jedoch die Zahlen 0 bis 9, also 10 (zehn Zahlen Objekte)
darstellen zu können, wird eine Bandbreite von 4 Bits
benötigt. Folgendes Schema ergibt sich wie folgt:

00 00 = 0 <-- 1. Wert
00 01 = 1 <-- 2. Wert
00 10 = 2 <-- 3. Wert
00 11 = 3 <-- 4. Wert
01 00 = 4 <-- 5. Wert
01 01 = 5 <-- 6. Wert
01 11 = 6 <-- 7. Wert
11 00 = 7 <-- 8. Wert
11 01 = 8 <-- 9. Wert
11 11 = 9 <-- 0. Wert

in der Informatik ergibt sich also durch Kombination der 9
möglichen Stellenwertigkeiten (00 00 bis 11 11)
zugleich eine kleinste *und* eine größte Zahl, die da w#ren
die null (0) sowie die Zahl eins (1).

Es existiert eigentlich kein Grenzwert, da beide Zahlen die
gleiche Stellenwertigkeit besitzen:

bei positiver Betrachtung (unten nach oben):
0 und 1
1 und 0 oder

bei negativer Betrachtung (oben nach unten):
1 und 0
0 und 1

Das heißt: egal wie man das Stromnetzkabel in die Stromdose
stöpselt, es kommt immer das gleiche heraus sofern Wechsel-
strom anliegt.
Die Konvertierung zwischen links/rechts, oder rechts/links
erledigen die elektronischen Geräte selbst.

Das heißt weiter, wenn man den positiven und negativen
Stellenwert betrachtet, so entfernen sich die Beträge
gleich "wohlwollend":

/
/
\
\

da in der Informatik Grenzen bestehen, in Form von
Zeit, die benötigt wird um einen Sachverhalt zu einen
oder mehreren Ergebnissen zu führen, werden/müssen
"Schranken" eingeführt werden.
Und da setzt dann die Differentialrechnung an, die eine
untere und eine obere Schranke angibt.

Wenn diese beiden Schranken also "gleich" sind, dann muss
überlegt werden:
- ist der Computer eingeschaltet = 0 = beide Schranken 0
- liegt bereits ein Ergebnis vor = 1 = Schranke -+ 1 ?
- etc. pp. (rekursiv) ...

Fazit:
- mathematisch: __ __
* kleinster Wert +0,111 größter Wert: +1,000 wenn 1/n gilt
* Ausnahme: 0
__ __
* kleinster Wert -1,000 größter Wert: -0,111
* Ausnahme: 0

WM schrieb:
"Der Grenzwert 0 der Folge berührt das Intervall (0, 1], d.h., es
liegt nichts zwischen 0 und dem Intervall."

ich schreibe:
- wie oben gezeigt, gibt es *einen* einzigen Grenzwert: 0.
- kann nichts dazwischen, ist so nicht richtig: siehe Fazit...

WM schrieb:
"Jeder Punkt 1/n und das ihn berührende Intervall (1/n, 1/(n-1))
werde entfernt. Bleibt ein die 0 berührendes Intervall übrig ?"

ich schreibe:
Da es sich auf das gezeigte Intervall um ein Paar handelt, müssen
links wie auch rechts die berührenden Punkte entfernt werden,
damit beide Seiten stimmen.
Übrig bleibt dann tatsächlich 0, und das Paar(0,0).
0 ist aber nun kein Intervall mehr, sondern nur noch Objekt.
mengenbezogen handelt es sich hier, wie WM gerne wieder andeuten
will, nicht um eine "leere" Menge, sondern 2 Mengen mit den Inhalt
0 (null) als Objekt.

WM schrieb:
"Wenn nichts bleibt, dann hat die 0 vorher einen der entfernten
Punkte berührt. Das ist aber mathematisch ausgeschlossen."

ich schreibe:
textlich und sachlich verfehlt, würde ich sagen.
Es bleibt ja was; ein Mengen-Paar mit 2 Mengen, die den Inhalt 0
als mathematisches Objekt besitzen.

verdeutlicht: Paar(M1,M2)

Wenn *einer* der entfernten Punkte in M1, *einen* anderen entfernten
Punkt in M2 berühren würde, würde eine Seite - egal M1 oder M2; nicht
mehr die gleiche Mächtigkeit besitzen, was zur Folge hat, dass das
Paar/System nicht mehr ausgewogen ist.

In der Informatik/Elektrotechnik würde man hier eventuell von einen
Kurzschluss sprechen, der zur Folge hat, das bestimmte Bauelement
schnell kaputt gehen.

Damit würde WM ein klein wenig Recht haben, wenn er schreibt:
"Das ist aber mathematisch ausgeschlossen."

Wobei aber ich hinzufügen sollte, das ein Paar Socken durchaus
am linken Fuß blau, und am rechten Fuß weiß sein können.

Mit freundlichen Grüßen

Jens

P.S.: Ich denke mal, WM bringt hier einiges durcheinander:
Mathematik und Informatik... blubb ende.

[Me]

On Tuesday, September 22, 2020 at 5:39:34 PM UTC+2, Ganzhinterseher wrote:

Wir gehen aus vom Intervall [0, 1].

[Für jedes n e IN werde] 1/n und [sowie die Punkte im] Intervall (1/n, 1/(n-1))
[...] "entfernt".

Wir betrachten also die Differenzmenge [0, 1] \ ({1/n : n e IN} u U{(1/(n+1, 1/n) : n e IN}) = [0, 1] \ U{(1/(n+1, 1/n] : n e IN}) = {0}.

Und jetzt?

Wenn nichts bleibt, dann <blubber>

Ja, ja, irgendwas wird schon sein.

[Ganzhinterseher]

Post by Me
Wir gehen aus vom Intervall [0, 1].

[Für jedes n e IN werde] 1/n und [sowie die Punkte im] Intervall (1/n, 1/(n-1))
[...] "entfernt".

Wir betrachten also die Differenzmenge [0, 1] \ ({1/n : n e IN} u U{(1/(n+1, 1/n) : n e IN}) = [0, 1] \ U{(1/(n+1), 1/n] : n e IN}) = {0}.

Nein. Es werden nur die Intervalle entfernt, die rechts von einem Punkt 1/n der Folge liegen: Wir betrachten also die Differenzmenge
[0, 1] \ ({1/n : n e IN} u U{(1/n, 1/(n-1)) : n e IN})

Das ist ein feiner Unterschied, denn wenn nun die leere Menge übrig bliebe, dann läge eine rationale Zahl so dicht an 0, dass kein Intervall dazwischen passt. Das ist aber nicht möglich.

Post by Me
Ja, ja, irgendwas wird schon sein.

Wenn es richtig ist, dass zwei rationale Punkte nicht ohne Intervall zwischen einander existieren können, dann muss da etwas sein. Die Frage ist, was? Jedenfalls kein "scattered space". Einen Mathematiker sollte diese Frage eigentlich interessieren.

Gruß, WM

[Me]

Post by Ganzhinterseher

Post by Me
Wir betrachten also die Differenzmenge [0, 1] \ ({1/n : n e IN} u
U{(1/(n+1, 1/n) : n e IN}) = [0, 1] \ U{(1/(n+1), 1/n] : n e IN}) = {0}.

Nein. Es werden nur die Intervalle entfernt, die rechts von einem Punkt 1/n
der Folge liegen: Wir betrachten also die Differenzmenge
[0, 1] \ ({1/n : n e IN} u U{(1/n, 1/(n-1)) : n e IN})

Ah ja? Was ist denn 1/(n-1) für n = 1? Also rechts von 1 = 1/1 liegt (bei der Betrachtung der Zahlengeraden von 0 bis 1) kein Intervall mehr. Nun ist aber

{(1/n, 1/(n-1)) : n e IN\{1}} = {(1/(n+1), 1/n] : n e IN}

Und damit

U{(1/n, 1/(n-1)) : n e IN\{1}} = U{(1/(n+1), 1/n] : n e IN}.

Post by Ganzhinterseher
Das ist ein feiner Unterschied

Ja, das eine ist Unsinn, das andere sinnvoll.

Es bleibt also dabei, dass wir die Differenzmenge

[0, 1] \ ({1/n : n e IN} u U{(1/(n+1, 1/n) : n e IN})
=
[0, 1] \ U{(1/(n+1), 1/n] : n e IN})
=
{0}.

betrachten.

Post by Ganzhinterseher
denn wenn nun die leere Menge übrig bliebe,

Nein, es bleit nicht "nur die leere Menge übrig", sondern eine Menge, die die Zahl 0 enthält. Man kann das auch als das Intervall [0,0] ansehen, wenn man will. (Die leere Menge wäre {}, nicht {0}.)

Das bedeutet "andersrum":

[0,0] u {1/n : n e IN} u U{(1/(n+1, 1/n) : n e IN} = [0,1] .

Post by Ganzhinterseher
dann läge eine rationale Zahl so dicht an 0, dass kein Intervall dazwischen
passt.

Echt jetzt?

Dazu müssten Sie erst einmal DEFINIEREN, was Sie mit "dazwischen passt" meinen in diesem Zusammenhang. Aber zum Definieren sind Sie ja auch zu blöde.

Daher mache ich das einmal für Sie:

Ein Intervall (a, b) (mit a,b e IR, a < b) passt "zwischen"
die reellen Zahlen c, d (mit c < d) wenn für alle x e IR
mit x e (a, b) gilt: c < x < d.

Dann BEWEISEN Sie doch bitte einmal die hier von Ihnen behauptete IMPLIKATION, also den Satz:

[0, 1] \ ({1/n : n e IN} u U{(1/(n+1, 1/n) : n e IN}) = {0}
=> Ex e Q: ~Ea e IR: ~Eb e IR: 0 < a < b & Ay e IR:
y e (a, b) -> 0 < y < x

Hinweis: Diese Implikation GILT (entgegen Ihrer Behauptung) NICHT, denn es gilt:

Ax e Q+: Ea e IR: Eb e IR: 0 < a < b & Ay e IR: y e (a, b) -> 0 < y < x .

Man kann z. B. für jedes x e Q, x > 0, a = x/4 und b = x/2 setzen. Dann gilt:
0 < x/4 < x/2 < x und damit Ay e IR: y e (x/4, x/2) -> 0 < y < x.

Mit dem trivialen Umstand, dass

[0, 1] \ ({1/n : n e IN} u U{(1/(n+1, 1/n) : n e IN}) = {0} (*)

hat das nicht das geringste zu tun. HIER spielt insbesondere die Tatsache, dass es für jedes x e IR, x > 0 ein n e IN gibt, mit 1/n < x, eine Rolle.

Ach ja, hier noch eine kurze Erklärung zu (*):

Es gilt:

1. {1/n : n e IN} u U{(1/(n+1, 1/n) : n e IN} = U{(1/(n+1, 1/n] : n e IN} ,

2. U{(1/(n+1, 1/n] : n e IN} = (0, 1] ,

3. [0, 1] \ (0, 1] = {0} .

[Ganzhinterseher]

Post by Me
Es bleibt also dabei, dass wir die Differenzmenge
[0, 1] \ ({1/n : n e IN} u U{(1/(n+1, 1/n) : n e IN})
=
[0, 1] \ U{(1/(n+1), 1/n] : n e IN})
=
{0}.
betrachten.

Nein wir starten bei n = 2 und betrachten die Intervalle

{(1/n, 1/(n-1))

auf der rechten Seite der Punkte 1/n.

Aber da dies, wie ich sehe, zu Vorstellungsschwierigkeiten führen kann, betrachten wir lieber die Überdeckung aller rationalen Punkte mit Intervallen, die zu Clustern vereinigt sind.
Satz: Zwei irrationale Punkte sind immer durch ein Cluster getrennt.

Deswegen gibt es zwischen allen Termen jeder konvergenten Folge von Punkten des Komplements mit Grenzwert x im Komplement ein Cluster mit Endpunkt x. Alles andere würde den einfachen Satz verletzen.

Gruß, WM

[Me]

Post by Ganzhinterseher

Post by Me
Es bleibt also dabei, dass wir die Differenzmenge
[0, 1] \ ({1/n : n e IN} u U{(1/(n+1, 1/n) : n e IN})
=
[0, 1] \ U{(1/(n+1), 1/n] : n e IN})
=
{0}.
betrachten.

Nein wir starten bei n = 2 und betrachten die Intervalle
(1/n, 1/(n-1))
auf der rechten Seite der Punkte 1/n.

wie es scheint, sind Sie inzwischen nicht mehr in der Lage, EINFACHSTE mathematische Sachverhalte zu bereifen.

Post by Ganzhinterseher

Post by Me
Nun ist aber
{(1/n, 1/(n-1)) : n e IN\{1}} = {(1/(n+1), 1/n) : n e IN}

D. h. ob wir nun "mit 2 starten" also die Menge

{(1/n, 1/(n-1)) : n e IN\{1}}

betrachten, oder -wie üblich- "mit 1 starten", also die Menge

{(1/(n+1), 1/n) : n e IN}

betrachten, ist GEHUPFT WIE GESPRUNGEN.

=================================================

Wenn Sie aber durchgängig "bei n = 2 starten" und

Post by Ganzhinterseher
die Intervalle
(1/n, 1/(n-1))
auf der rechten Seite der Punkte 1/n

betrachten, dann fällt der Punkt 1/1 = 1 aus Ihrer GESAMTEN BETRACHTUNG heraus(sie starten ja bei n = 2). Das fände ich etwas unschön, daher betrachte ich lieber die Intervalle in

{(1/(n+1), 1/n) : n e IN}

zusammen mit den Punkten in

{1/n : n e IN} .

Man kann dann die Punkte 1/n und Intervalle jeweils (1/(n+1), 1/n) zusammenfassen zu den Intervallen

(1/(n+1), 1/n]

mit n = 1, 2, 3, ...

Falls man sich aber dazu entschließt, die Sache so zu betrachten, wie Sie sich das offenbar vorgestellt haben, kann man natürlich auch das folgende zeigen/beweisen:

[0, 1) \ ({1/n : n e IN\{1}} u U{(1/n, 1/(n-1)) : n e IN\{1}})
=
[0, 1) \ U{[1/n, 1/(n-1)) : n e IN\{1}})
=
{0} .

Unnötig kompliziert, aber nicht falsch.

[Ganzhinterseher]

Post by Me
=
[0, 1) \ U{[1/n, 1/(n-1)) : n e IN\{1}})
=
{0} .
Unnötig kompliziert, aber nicht falsch.

Das Ergebnis ist falsch. Denn wenn wir alle Intervalle [1/n, 1/(n-1)) subtrahieren und nur den rationalen Punkt 0 übrig haben, dann waren in der ursprünglichen Konfiguration zwei rationale Zahlen unmittelbar benachbart. Das widerspricht dem leicht beweisbaren Satz, dass zwischen zwei rationalen Zahlen stets eine irrationale Zahl liegt.

Gruß, WM

[h***@gmail.com]

Post by Ganzhinterseher

Post by Me
=
[0, 1) \ U{[1/n, 1/(n-1)) : n e IN\{1}})
=
{0} .
Unnötig kompliziert, aber nicht falsch.

Das Ergebnis ist falsch. Denn wenn wir alle Intervalle [1/n, 1/(n-1)) subtrahieren und nur den rationalen Punkt 0 übrig haben, dann waren in der ursprünglichen Konfiguration zwei rationale Zahlen unmittelbar benachbart. Das widerspricht dem leicht beweisbaren Satz, dass zwischen zwei rationalen Zahlen stets eine irrationale Zahl liegt.

Diesen Mist hast du auch in sci.math verzapft. Das ist auf Deutsch genauso unhaltbar wie auf Englisch.

[Me]

Post by h***@gmail.com

Post by Ganzhinterseher
wenn wir alle Intervalle [1/n, 1/(n-1)) subtrahieren und nur den rationalen
Punkt 0 übrig haben, dann waren in der ursprünglichen Konfiguration zwei
rationale Zahlen unmittelbar benachbart. Das <blubber>

Diesen Mist hast du auch in sci.math verzapft. Das ist auf Deutsch genauso
unhaltbar wie auf Englisch.

Wenn man behaupten würde, dass der Typ "eine Schraube locker hat", wäre das vermutlich noch geschmeichelt.

[Ganzhinterseher]

Post by h***@gmail.com

Post by Ganzhinterseher

Post by Me
=
[0, 1) \ U{[1/n, 1/(n-1)) : n e IN\{1}})
=
{0} .
Unnötig kompliziert, aber nicht falsch.

Das Ergebnis ist falsch. Denn wenn wir alle Intervalle [1/n, 1/(n-1)) subtrahieren und nur den rationalen Punkt 0 übrig haben, dann waren in der ursprünglichen Konfiguration zwei rationale Zahlen unmittelbar benachbart. Das widerspricht dem leicht beweisbaren Satz, dass zwischen zwei rationalen Zahlen stets eine irrationale Zahl liegt.

Diesen Mist hast du auch in sci.math verzapft.

Versuche es einfach zu verstehen. Wenn die Subtraktion rationaler Intervallenden nichts übrig lässt, dann war nichts da (wie Du auch behauptet hast). Das ist aber nicht möglich, denn die Folge (1/n) enthält nur rationale Zahlen. Und Null ist auch eine.

Gruß, WM

[h***@gmail.com]

Post by Ganzhinterseher

Post by h***@gmail.com

Post by Ganzhinterseher

Post by Me
=
[0, 1) \ U{[1/n, 1/(n-1)) : n e IN\{1}})
=
{0} .
Unnötig kompliziert, aber nicht falsch.

Das Ergebnis ist falsch. Denn wenn wir alle Intervalle [1/n, 1/(n-1)) subtrahieren und nur den rationalen Punkt 0 übrig haben, dann waren in der ursprünglichen Konfiguration zwei rationale Zahlen unmittelbar benachbart. Das widerspricht dem leicht beweisbaren Satz, dass zwischen zwei rationalen Zahlen stets eine irrationale Zahl liegt.

Diesen Mist hast du auch in sci.math verzapft.

Versuche es einfach zu verstehen. Wenn die Subtraktion rationaler Intervallenden nichts übrig lässt, dann war nichts da (wie Du auch behauptet hast). Das ist aber nicht möglich, denn die Folge (1/n) enthält nur rationale Zahlen. Und Null ist auch eine.

Mehr hinrissiger Unfug. Dass du Unendlichkeit nicht mehr raffst, ist schon zur Genuege klar. Musst du deine Unfaehigkeit aber jeden Tag so offentlich zur Schau stellen? Mittlerweile ist das eigentlich nur noch peinlich und erschreckend.

[Ganzhinterseher]

Post by h***@gmail.com

Post by Ganzhinterseher

Dies hast du auch in sci.math

sci.math ›
The space between the points 1/n and 0 on the real line?

Post by h***@gmail.com

Post by Ganzhinterseher
Versuche es einfach zu verstehen. Wenn die Subtraktion rationaler Intervallenden nichts übrig lässt, dann war nichts da (wie Du auch behauptet hast). Das ist aber nicht möglich, denn die Folge (1/n) enthält nur rationale Zahlen. Und Null ist auch eine.

Mehr hinrissiger Unfug.

Nein, ein klarer Beweis: Wenn für jede irrationale Zahl gilt, dass sie durch einen rationalen Endpunkt 1/n von der rationalen 0 abgeschirmt wird, dann besteht keine Möglichkeit, die 0 vor einer Berührung mit einem rationalen Endpunkt zu bewahren.

Gruß, WM

[h***@gmail.com]

Post by Ganzhinterseher

Post by h***@gmail.com

Post by Ganzhinterseher

Dies hast du auch in sci.math

sci.math ›
The space between the points 1/n and 0 on the real line?

Post by h***@gmail.com

Post by Ganzhinterseher
Versuche es einfach zu verstehen. Wenn die Subtraktion rationaler Intervallenden nichts übrig lässt, dann war nichts da (wie Du auch behauptet hast). Das ist aber nicht möglich, denn die Folge (1/n) enthält nur rationale Zahlen. Und Null ist auch eine.

Mehr hinrissiger Unfug.

Nein, ein klarer Beweis: Wenn für jede irrationale Zahl gilt, dass sie durch einen rationalen Endpunkt 1/n von der rationalen 0 abgeschirmt wird, dann besteht keine Möglichkeit, die 0 vor einer Berührung mit einem rationalen Endpunkt zu bewahren.

Hinrissiger Unsinn, auf der ganzen Linie! Herr Mueckenheim, setzen Sie nicht ein *einziges* mal hin, um zu denken, bevor Sie schleimen?? Erstens gilt der Satz natuerlich nur fuer *positive* Irrationalzahlen. Aber natuerlich gilt er auch fuer jede positive rationale Zahl, und speziell auch fuer die Reziproken 1/n: Fuer jede positive Zahl eps gibt es eine natuerliche Zahl m, so dass 0 < 1/m < eps gilt. Die Reihenfolge von Quantoren war fuer Sie schon immer ein Problem, aber im Alter wird das Problem von Tag zu Tag groesser. Es ist wirklich schon erschreckend, Ihrer Dekonstruktion live zuzusehen.

[Ganzhinterseher]

Post by h***@gmail.com

Post by Ganzhinterseher
Beweis: Wenn für jede irrationale Zahl gilt, dass sie durch einen rationalen Endpunkt 1/n von der rationalen 0 abgeschirmt wird, dann besteht keine Möglichkeit, die 0 vor einer Berührung mit einem rationalen Endpunkt zu bewahren.

Erstens gilt der Satz natuerlich nur fuer *positive* Irrationalzahlen.

Selbstverständlich. Nur von solchen sprechen wir hier.

< Aber natuerlich gilt er auch fuer jede positive rationale Zahl, und speziell auch fuer die Reziproken 1/n: Fuer jede positive Zahl eps gibt es eine natuerliche Zahl m, so dass 0 < 1/m < eps gilt.

Alle positiven Zahlen des Intervals (0, 1) werden durch die Intervalle (1/n, 1/(n-1)) entfernt. Also gibt es zu jeder Irrational eine Intervall, dessen rationaler Endpunkt positiv, aber kleiner ist.

Also kann keine positive Irrationalzahl so nahe am Nullpunkt liegen, dass nicht ein rationaler Endpunkt noch näher daran läge.

Gruß, WM

[Me]

Nein, ein klarer Beweis: [...]

Nein, leider nur hirnrissiger Unfug. Das fängt schon mit Ihrer absurd "blumigen" Sprache an ("abschrimen", "berühren", "davor bewahren", etc.), mündet dann aber auch in unhalt- und unbeweisbare Behauptungen.

[Me]

Post by h***@gmail.com

<Unsinn>

Diesen Mist hast du auch in sci.math verzapft. Das ist auf Deutsch genauso
unhaltbar wie auf Englisch.

Offensichtlich hat Herr Mückenheim Probleme damit, zu verstehen, dass

Ax e IR+: En e IN: 0 < 1/n < x
NICHT
En e IN: Ax e IR+: 0 < 1/n < x

impliziert. Siehe auch: https://en.wikipedia.org/wiki/Quantifier_shift

Tatsächlich gilt

Ax e IR+: En e IN: 0 < 1/n < x *)
und
~En e IN: Ax e IR+: 0 < 1/n < x .

Letzteres ist klar, da 1/n (für alle n e IN) ja auch e IR+ ist.
_________

*) Siehe: https://en.wikipedia.org/wiki/Archimedean_property#Ordered_fields

[Me]

Post by Ganzhinterseher

Post by Me
Falls man sich aber dazu entschließt, die Sache so zu betrachten, wie Sie
sich das offenbar vorgestellt haben, kann man natürlich auch das folgende
[0, 1) \ ({1/n : n e IN\{1}} u U{(1/n, 1/(n-1)) : n e IN\{1}})
=
[0, 1) \ U{[1/n, 1/(n-1)) : n e IN\{1}})
=
{0} .
Unnötig kompliziert, aber nicht falsch.

Das Ergebnis ist falsch.

Nein, das Ergebnis ist nicht falsch.

Hinweis: Sie sind einfach für jede Art von Mathematik zu blöde, da kann man nicht machen.

[Ganzhinterseher]

Post by Me

Post by Ganzhinterseher

Post by Me
Falls man sich aber dazu entschließt, die Sache so zu betrachten, wie Sie
sich das offenbar vorgestellt haben, kann man natürlich auch das folgende
[0, 1) \ ({1/n : n e IN\{1}} u U{(1/n, 1/(n-1)) : n e IN\{1}})
=
[0, 1) \ U{[1/n, 1/(n-1)) : n e IN\{1}})
=
{0} .
Unnötig kompliziert, aber nicht falsch.

Das Ergebnis ist falsch.

Nein, das Ergebnis ist nicht falsch.

Es führt zu einem mathematisch nicht haltbaren Ergebnis: Zwischen 0 und einem rationalen Punkt liegt nichts, wie man sieht wenn man den rationalen Punkt entfernt. Oder möchtest Du nun behaupten, dass die Folge (1/n) nicht nur rationale Zahlen enthält?

Gruß, WM

[Me]

Post by Me

Post by Ganzhinterseher

Post by Me
Falls man sich aber dazu entschließt, die Sache so zu betrachten, wie Sie
sich das offenbar vorgestellt haben, kann man natürlich auch das folgende
[0, 1) \ ({1/n : n e IN\{1}} u U{(1/n, 1/(n-1)) : n e IN\{1}})
=
[0, 1) \ U{[1/n, 1/(n-1)) : n e IN\{1}})
=
{0} .
Unnötig kompliziert, aber nicht falsch.

Das Ergebnis ist falsch.

Nein, das Ergebnis ist nicht falsch.

Es <blubber>

Was auch immer.

[Me]

Post by Me

Post by Ganzhinterseher

Post by Me
Falls man sich aber dazu entschließt, die Sache so zu betrachten, wie Sie
Sich das offenbar vorgestellt haben, kann man natürlich auch das folgende
[0, 1) \ ({1/n : n e IN\{1}} u U{(1/n, 1/(n-1)) : n e IN\{1}})
=
[0, 1) \ U{[1/n, 1/(n-1)) : n e IN\{1}})
=
{0} .
Unnötig kompliziert, aber nicht falsch.

Das Ergebnis ist falsch.

Nein, das Ergebnis ist nicht falsch.

Natürlich bedarf es, um die Behauptung zu belegen, eines Beweises.

Theorem: [0, 1) \ U{[1/n, 1/(n-1)) : n e IN\{1}}) = {0}

Beweis: Sei x e [0, 1) \ U{[1/n, 1/(n-1)) : n e IN\{1}}). Dann gilt x e [0, 1) und x !e U{[1/n, 1/(n-1)) : n e IN\{1}}). Es gilt also x = 0 oder 0 < x < 1. Wäre aber 0 < x < 1, dann wäre x e U{[1/n, 1/(n-1)) : n e IN\{1}}). Widerspruch. Also gilt x = 0.

[Hier noch der Beweis für die Behauptung "Wäre aber 0 < x < 1, dann wäre x e U{[1/n, 1/(n-1)) : n e IN\{1}})": Zu jedem x e IR, 0 < x < 1 gibt es ein n e IN\{1} mit 1/n < x. Daher gibt es ein n e IN\{1} mit x e U_(k=2..n) [1/k, 1/(k-1)). Also ist x e U{[1/n, 1/(n-1)) : n e IN\{1}}).]

Sei umgekehrt x e {0}, dann ist x = 0 und damit x e [0, 1). Es gilt aber NICHT, dass 0 e U{[1/n, 1/(n-1)) : n e IN\{1}}) ist. Also ist x e [0, 1) \ U{[1/n, 1/(n-1)) : n e IN\{1}}).

[Hier noch der Beweis für die Behauptung "Es gilt aber NICHT, dass 0 e U{[1/n, 1/(n-1)) : n e IN\{1}}) ist": Für kein n e IN\{1} ist 0 e U{[1/n, 1/(n-1)) : n e IN\{1}}). Also ist 0 kein Element in U{[1/n, 1/(n-1)) : n e IN\{1}}).]

Es gilt also [0, 1) \ U{[1/n, 1/(n-1)) : n e IN\{1}}) c {0} und {0} c [0, 1) \ U{[1/n, 1/(n-1)) : n e IN\{1}}). Also (wegen des Extensionalitätsaxioms) [0, 1) \ U{[1/n, 1/(n-1)) : n e IN\{1}}) = {0}. qed

Hinweis: Sie sind einfach für jede Art von Mathematik zu blöde, Herr Ganzhinterseher, da kann man nicht machen.

[Ganzhinterseher]

Post by Me
Hinweis: Sie sind einfach für jede Art von Mathematik zu blöde, Herr Ganzhinterseher, da kann man nicht machen.

Abführmittel gesucht?

[Ganzhinterseher]

Post by Me
Natürlich bedarf es, um die Behauptung zu belegen, eines Beweises.
Theorem: [0, 1) \ U{[1/n, 1/(n-1)) : n e IN\{1}}) = {0}

Gegenbeweis: Auch "im Unendlichen" wird 1/n nicht irrational.

Würden die Intervalle mit rationalen Endpunkten alle außer 0 darstellen oder ggf. entfernen, dann lägen zwei rationale Punkte unmittelbar zusammen. Wir sagen auch: sie berühren sich. Das ist unmöglich. Dieser beweis ist Mathematik. Er widerspricht Deinem "Beweis".

Gruß, WM

[Me]

Post by Ganzhinterseher

Post by Me
Theorem: [0, 1) \ U{[1/n, 1/(n-1)) : n e IN\{1}}) = {0}

Beweis: Sei x e [0, 1) \ U{[1/n, 1/(n-1)) : n e IN\{1}}). Dann gilt x e [0, 1) und x !e U{[1/n, 1/(n-1)) : n e IN\{1}}). Es gilt also x = 0 oder 0 < x < 1. Wäre aber 0 < x < 1, dann wäre x e U{[1/n, 1/(n-1)) : n e IN\{1}}). Widerspruch. Also gilt x = 0.

[Hier noch der Beweis für die Behauptung "Wäre aber 0 < x < 1, dann wäre x e U{[1/n, 1/(n-1)) : n e IN\{1}})": Zu jedem x e IR, 0 < x < 1 gibt es ein n e IN\{1} mit 1/n < x. Daher gibt es ein n e IN\{1} mit x e U_(k=2..n) [1/k, 1/(k-1)). Also ist x e U{[1/n, 1/(n-1)) : n e IN\{1}}).]

Sei umgekehrt x e {0}, dann ist x = 0 und damit x e [0, 1). Es gilt aber NICHT, dass 0 e U{[1/n, 1/(n-1)) : n e IN\{1}}) ist. Also ist x e [0, 1) \ U{[1/n, 1/(n-1)) : n e IN\{1}}).

[Hier noch der Beweis für die Behauptung "Es gilt aber NICHT, dass 0 e U{[1/n, 1/(n-1)) : n e IN\{1}}) ist":
Für kein n e IN\{1} ist 0 e U{[1/n, 1/(n-1)) : n e IN\{1}}). Also ist 0 kein Element in U{[1/n, 1/(n-1)) : n e IN\{1}}).]

Es gilt also [0, 1) \ U{[1/n, 1/(n-1)) : n e IN\{1}}) c {0} und {0} c [0, 1) \ U{[1/n, 1/(n-1)) : n e IN\{1}}). Also (wegen des Extensionalitätsaxioms) [0, 1) \ U{[1/n, 1/(n-1)) : n e IN\{1}}) = {0}. qed

Post by Ganzhinterseher
Gegenbeweis: Auch "im Unendlichen" wird 1/n nicht irrational.

Na dann.

[Me]

Post by Me
Falls man sich aber dazu entschließt, die Sache so zu betrachten, wie Sie
Sich das offenbar vorgestellt haben, kann man natürlich auch das folgende
[0, 1) \ ({1/n : n e IN\{1}} u U{(1/n, 1/(n-1)) : n e IN\{1}})
=
[0, 1) \ U{[1/n, 1/(n-1)) : n e IN\{1}})
=
{0} .
Unnötig kompliziert, aber nicht falsch.

Viel einfacher wäre es, im ersten Schritt den folgenden Satz ins Auge zu fassen:

U{[1/(n+1),1/n] : n e IN} = (0,1].

Beweis: Sei x e U{[1/(n+1),1/n] : n e IN}. Dann gibt es ein n e IN, so dass x e [1/(n+1),1/n] ist. Also gibt es ein n e IN, so dass 1/(n+1) <= x <= 1/n gilt. Da für alle n e IN sowohl 0 < 1/(n+1) als auch 1/n <= 1 gilt, folgt 0 < x <= 1. Also gilt x e (0, 1]. Sei nun umgekehrt x e (0,1]. D. h. 0 < x <= 1. Dann gibt es ein n e IN, so dass 1/n < x gilt. Also gibt es ein n e IN, so dass x e U_(k=1..n) [1/(k+1), 1/k] ist. Also gilt x e U_(n e N) [1/(n+1),1/n] bzw. U{[1/(n+1),1/n] : n e IN}. qed

Daraus folgt sofort:

[0, 1] \ U{[1/(n+1),1/n] : n e IN} = {0} .

[h***@gmail.com]

Post by Ganzhinterseher
Die Folge (1/n) werde durch Punkte auf der reellen Achse dargestellt. Die Punkte sind durch die offenen Intervalle (1/n, 1/(n-1)) getrennt. Der Grenzwert 0 der Folge berührt das Intervall (0, 1], d.h., es liegt nichts zwischen 0 und dem Intervall.
Jeder Punkt 1/n und das ihn berührende Intervall (1/n, 1/(n-1)) werde entfernt. Bleibt ein die 0 berührendes Intervall übrig?
Wenn nichts bleibt, dann hat die 0 vorher einen der entfernten Punkte berührt. Das ist aber mathematisch ausgeschlossen.

Das ist so missverstaendlich und verschroben ausgedrueckt, es ist noch nicht einmal flasch. Man geht davon aus, dass der gute Herr Professor so sehr dement ist, dass er diese Schwurbeleien mittlerweile als Mathematik betrachtet.

[Mostowski Collapse]

On Tuesday, September 22, 2020 at 5:39:34 PM UTC+2, Ganzhinterseher wrote:
Dunkle Realzahlen?

Post by Ganzhinterseher
Die Folge (1/n) werde durch Punkte auf der reellen Achse dargestellt. Die Punkte sind durch die offenen Intervalle (1/n, 1/(n-1)) getrennt. Der Grenzwert 0 der Folge berührt das Intervall (0, 1], d.h., es liegt nichts zwischen 0 und dem Intervall.
Jeder Punkt 1/n und das ihn berührende Intervall (1/n, 1/(n-1)) werde entfernt. Bleibt ein die 0 berührendes Intervall übrig?
Wenn nichts bleibt, dann hat die 0 vorher einen der entfernten Punkte berührt. Das ist aber mathematisch ausgeschlossen.
Gruß, WM

[Ulrich Diez]

Post by Ganzhinterseher
Die Folge (1/n) werde durch Punkte auf der reellen Achse
dargestellt.

[ Ich halte es für notwendig, zwischen Zahlen und Darstellungen
von Zahlen innerhalb eines für die Darstellung gegebenen "Rahmens"
zu unterscheiden:

Eine reelle Zahl ist ein abstrakter Gegenstand der Erkenntnis.

Bei der Darstellung einer reellen Zahl durch einen Punkt auf
der reellen Achse ist der "Rahmen" für die Darstellung gegeben
durch die "reelle Achse", die ihrerseits als eine anschaubare
Sache gedacht werden kann.

(Ob ein Punkt auf dieser Achse ebenfalls als anschaubare Sache
gedacht werden kann, ist fraglich, denn zu "Anschaubarkeit"
gehört eine gewisse "Ausdehnung", sodass sich die Frage stellen
könnte, inwiefern so ein Punkt überhaupt eine "Ausdehnung" hat,
und welche Ausdehnung er haben müsste, um "anschaubar" zu
sein.) ]

Bei den besagten "Punkten auf der reellen Achse" handelt es sich
also um "Darstellungen im Rahmen vom etwas als 'anschaubar'
Denkbaren" von solchen Zahlen, die Elemente der Zahlenfolge (1/n)
sind.

Notwendige Bedingung für die Existenz eines "Punktes auf der
reellen Achse" als Darstellung einer Zahl ist die Existenz
der als Punkt auf der reellen Achse dargestellten Zahl.

Post by Ganzhinterseher
Die Punkte sind durch die offenen Intervalle
(1/n, 1/(n-1)) getrennt.

Anbetrachts des Umstandes, dass an "n gegen unendlich" gedacht
wird, ist es vielleicht Erbsenzählerei, aber wie ist es mit
den Intervallgrenzen in den Fällen n=0 bzw n=1?

Ein Intervall ist meines Wissens eine zusammenhängende Teilmenge
einer geordneten Menge. Bei den Grenzen des Intervalls handelt es
sich um Elemente der besagten geordneten Menge, die aber nicht
unbedingt auch Elemente der besagten zusammenhängenden Teilmenge
sein müssen.

Kurz gesagt steht hier also, dass _Darstellungen_ von Zahlen
(Punkte) getrennt sind durch zusammenhängende Teilmengen
der Menge R (Intervalle).
Also, dass _Darstellungen_ von Zahlen getrennt sind durch
_Mengen_ an Zahlen.
Da steht nicht, dass _Darstellungen_ von Zahlen getrennt sind
durch _Darstellungen_ anderer Zahlen, etwa Darstellungen von
Zahlen, die in einem Intervall von R liegen bzw Elemente einer
zusammenhängenden Teilmenge von R sind.

Post by Ganzhinterseher
Jeder Punkt 1/n und das ihn berührende Intervall (1/n, 1/(n-1))
werde entfernt. Bleibt ein die 0 berührendes Intervall übrig?

Anstatt in zeitlich verlaufenden Vorgängen wie dem "Entfernen"
zu denken, könnte man vielleicht auch fragen, ob in der
Darstellung Punkte mit bestimmten Eigenschaften existieren.

Post by Ganzhinterseher
Wenn nichts bleibt, dann hat die 0 vorher einen der entfernten
Punkte berührt. Das ist aber mathematisch ausgeschlossen.

Salopp und unpräzise und in der Anschauung einer im Raum
liegenden reellen Achse bleibend ausgedrückt:

Dass der die 0 darstellende Punkt vorher einen der jetzt
entfernten Punkte "berührt" hat, könnte allenfalls dann
in Betracht kommen, wenn es da in Richtung hin zum die 0
darstellenden Punkt einen "letzten Punkt" gegeben hätte,
der ein Element der Folge (1/n) darstellt.
In Richtung hin zum die 0 darstellenden Punkt gab es vor
dem Entfernen aber unendlich viele Punkte, die Elemente
der Folge (1/n) darstellen und somit keinen "letzten" solchen
Punkt. Da es keinen "letzten" solchen Punkt gab, kann es
auch nicht in Betracht kommen, dass ein "letzter" solcher
Punkt existierte, der den die Null darstellenden Punkt
irgendwie berührt hat.

Ulrich

[Ganzhinterseher]

Post by Ulrich Diez

Post by Ganzhinterseher
Die Folge (1/n) werde durch Punkte auf der reellen Achse
dargestellt.

[ Ich halte es für notwendig, zwischen Zahlen und Darstellungen
von Zahlen innerhalb eines für die Darstellung gegebenen "Rahmens"
Eine reelle Zahl ist ein abstrakter Gegenstand der Erkenntnis.
Bei der Darstellung einer reellen Zahl durch einen Punkt auf
der reellen Achse ist der "Rahmen" für die Darstellung gegeben
durch die "reelle Achse", die ihrerseits als eine anschaubare
Sache gedacht werden kann.

Das kann man so sehen, aber es macht die Aussagen unhandlich. Man kann auch zwischen Zahlen und ihren anderen Darstellungen unterscheiden. Ich habe zur Vereinfachung das Cantorsche Axiom verwendet, wonach Punkte und reelle Zahlen ordnungsisomorph sind.

Post by Ulrich Diez
(Ob ein Punkt auf dieser Achse ebenfalls als anschaubare Sache
gedacht werden kann, ist fraglich, denn zu "Anschaubarkeit"
gehört eine gewisse "Ausdehnung", sodass sich die Frage stellen
könnte, inwiefern so ein Punkt überhaupt eine "Ausdehnung" hat,
und welche Ausdehnung er haben müsste, um "anschaubar" zu
sein.) ]

Der Abstand des Punktes vom Nullpunkt zum Beispiel ist Gegenstand der Anschauung.

Post by Ulrich Diez
Bei den besagten "Punkten auf der reellen Achse" handelt es sich
also um "Darstellungen im Rahmen vom etwas als 'anschaubar'
Denkbaren" von solchen Zahlen, die Elemente der Zahlenfolge (1/n)
sind.
Notwendige Bedingung für die Existenz eines "Punktes auf der
reellen Achse" als Darstellung einer Zahl ist die Existenz
der als Punkt auf der reellen Achse dargestellten Zahl.

Post by Ganzhinterseher
Die Punkte sind durch die offenen Intervalle
(1/n, 1/(n-1)) getrennt.

Anbetrachts des Umstandes, dass an "n gegen unendlich" gedacht
wird, ist es vielleicht Erbsenzählerei, aber wie ist es mit
den Intervallgrenzen in den Fällen n=0 bzw n=1?

Wir beginnen einfach bei n = 2.

Post by Ulrich Diez
Ein Intervall ist meines Wissens eine zusammenhängende Teilmenge
einer geordneten Menge. Bei den Grenzen des Intervalls handelt es
sich um Elemente der besagten geordneten Menge, die aber nicht
unbedingt auch Elemente der besagten zusammenhängenden Teilmenge
sein müssen.
Kurz gesagt steht hier also, dass _Darstellungen_ von Zahlen
(Punkte) getrennt sind durch zusammenhängende Teilmengen
der Menge R (Intervalle).
Also, dass _Darstellungen_ von Zahlen getrennt sind durch
_Mengen_ an Zahlen.
Da steht nicht, dass _Darstellungen_ von Zahlen getrennt sind
durch _Darstellungen_ anderer Zahlen, etwa Darstellungen von
Zahlen, die in einem Intervall von R liegen bzw Elemente einer
zusammenhängenden Teilmenge von R sind.

Post by Ganzhinterseher
Jeder Punkt 1/n und das ihn berührende Intervall (1/n, 1/(n-1))
werde entfernt. Bleibt ein die 0 berührendes Intervall übrig?

Anstatt in zeitlich verlaufenden Vorgängen wie dem "Entfernen"
zu denken, könnte man vielleicht auch fragen, ob in der
Darstellung Punkte mit bestimmten Eigenschaften existieren.

Post by Ganzhinterseher
Wenn nichts bleibt, dann hat die 0 vorher einen der entfernten
Punkte berührt. Das ist aber mathematisch ausgeschlossen.

Salopp und unpräzise und in der Anschauung einer im Raum
Dass der die 0 darstellende Punkt vorher einen der jetzt
entfernten Punkte "berührt" hat, könnte allenfalls dann
in Betracht kommen, wenn es da in Richtung hin zum die 0
darstellenden Punkt einen "letzten Punkt" gegeben hätte,
der ein Element der Folge (1/n) darstellt.
In Richtung hin zum die 0 darstellenden Punkt gab es vor
dem Entfernen aber unendlich viele Punkte, die Elemente
der Folge (1/n) darstellen und somit keinen "letzten" solchen
Punkt. Da es keinen "letzten" solchen Punkt gab, kann es
auch nicht in Betracht kommen, dass ein "letzter" solcher
Punkt existierte, der den die Null darstellenden Punkt
irgendwie berührt hat.

Wir können aber eine Aussage für alle definierbaren Punkte 1/n machen:

Für jeden definierbaren Punkt 1/n gilt, dass zwischen ihm und 0 unendlich viele Punkte liegen, Stammbrüche und andere.

Daraus folgt: Es existiert kein definierbarer Punkt 1/n, zwischen dem und 0 weniger Punkte liegen. (Dies gilt für alle definierbaren Punkte und hat nichts mit ihrer Anzahl zu tun.)

Daraus folgt, das zwischen 0 und allen definierbaren Punkten unendlich viele Punkte liegen. Das sind die nicht definierbaren, dunklen.

Gruß, WM

[Juergen Ilse]

Hallo,

Post by Ganzhinterseher
Für jeden definierbaren Punkt 1/n gilt, dass zwischen ihm und 0 unendlich viele Punkte liegen, Stammbrüche und andere.

Das gilt fuer je 2 beliebige verschiedene reelee Zahlen.
Seiten A und B zwei *verschiedene* reelle Zahlen. Dann gilt entweder A<B
oder B<A. Ohne Beschraenkung der Allgemeinheit koennen wir unsere Betrach-
tung auf den Fall A<B beschraaenken. Wenn A<B ist, ist (B-A)/2 eine relle
Zahl mit A<(B-A)/2<B. Es gibt also fuer je 2 verschiedene reelle Zahlen
immer noch mindesstens eine, die "dazwischen liegt". Es kann also keine
benachbarten reellen Zahlen geben. Mit der gleichen Argumentation kann man
auch zeigen, dass es keine benachbarten rationalen Zahlen geben kann.
Es ist also voelliger Humbug, damit argumentieren zu wollen, ob zwischen
zwei reellen Zahlen noch aandere Zahlen liegen oder nicht, denn entweder
sind beide Zahlen gleich, oder es liegen immer noch Zahlen dazwischen.
Das gilt voellig unabhaengig von irgend einer "Definierbarkeit" (wenn man
diese Eigenschaft denn ueberhaupt sinnvoll defnieren koennte.

Post by Ganzhinterseher
Daraus folgt: Es existiert kein definierbarer Punkt 1/n, zwischen dem und 0 weniger Punkte liegen. (Dies gilt für alle definierbaren Punkte und hat nichts mit ihrer Anzahl zu tun.)

Das gilt fuer alle von 0 verschiedenen Punkte, siehe oben.

Post by Ganzhinterseher
Daraus folgt, das zwischen 0 und allen definierbaren Punkten unendlich viele Punkte liegen. Das sind die nicht definierbaren, dunklen.

Nein, das sind einfach irgend welche Punkte. Zwischen je zwei *verschiedenen*
Punkten gibt es immer noch unendlich viele weitere. Mit "dunkel" hat das alles
ueberhaupt nichts zu tun.

Tschuess,
Juergen Ilse (***@usenet-verwaltung.de)

[Ganzhinterseher]

Post by Jens Kallup
Hallo,

Post by Ganzhinterseher
Für jeden definierbaren Punkt 1/n gilt, dass zwischen ihm und 0 unendlich viele Punkte liegen, Stammbrüche und andere.

Das gilt fuer je 2 beliebige verschiedene reelle Zahlen.

Richtig.

Post by Jens Kallup
entweder
sind beide Zahlen gleich, oder es liegen immer noch Zahlen dazwischen.

Richtig.

Post by Jens Kallup
Das gilt voellig unabhaengig von irgend einer "Definierbarkeit"

Nein, das gilt nur für definierbare Zahlen. Zwischen zweien liegt immer eine dritte, die auch definierbar ist und so weiter ad infinitum. Trotzdem gehören alle diese Punkte zu einer endlichen Menge, auf die noch unendlich viele dunkle Punkte folgen.

Post by Jens Kallup

Post by Ganzhinterseher
Daraus folgt: Es existiert kein definierbarer Punkt 1/n, zwischen dem und 0 weniger Punkte liegen. (Dies gilt für alle definierbaren Punkte und hat nichts mit ihrer Anzahl zu tun.)

Das gilt fuer alle von 0 verschiedenen Punkte, siehe oben.

Dann definiere doch mal einen, dessen Abstand vom Nullpunkt kleiner als jedes eps ist. Oder definiere einen Punkt 1/n, für dessen Nenner Cantors ω - n = ω nicht gilt. Das kannst Du nicht.

Für das gesamte Intervall (0, 1] gilt allerdings, dass der Abstand zum Nullpunkt 0 ist. Da das für keinen definierbaren Punkt gilt, müssen wohl andere diese Lücke schließen, was wegen ω - n = ω unendlich viele dunkle Punkte von Stammbrüchen erfordert.

Gruß, WM

[Ulrich Diez]

Post by Ganzhinterseher
Für das gesamte Intervall (0, 1] gilt allerdings, dass der Abstand zum Nullpunkt 0 ist. Da das für keinen definierbaren Punkt gilt, müssen wohl andere diese Lücke schließen, was wegen ω - n = ω unendlich viele dunkle Punkte von Stammbrüchen erfordert.

Ein Intervall ist eine zusammenhängende Teilmenge einer geordneten Menge
und somit eine Menge.
Null ist eine reelle Zahl.

Welche Regeln gelten für das Berechnen von Abständen zwischen zwei
Elementen wenn es sich beim einen Element um eine (als Intervall
bezeichnete) Menge an reellen Zahlen und beim anderen Element
um eine reelle Zahl handelt?

Für jedes Element E des Intervalls (0, 1] bzw für jede im Intervall (0, 1]
liegende reelle Zahl E gilt: abs(E-0) > 0.

Mit E= 1/n ist abs(E-0) = abs(1/n - 0), und wenn "n gegen
unendlich geht", geht abs(E-0) = abs(1/n-0) _gegen_ 0.

Mit anderen Worten: Die Null, gegen die abs(1/n-0) geht, ist
ein Grenzwert, der nie erreicht wird. 0 ist für n gegen unendlich
zwar Grenzwert der Folge f(n)=abs(1/n-0), ist aber kein
Glied der Folge f(n)=abs(1/n-0).

Die Annahme, dass "die Lücke geschlossen werde", deucht mich
falsch.

[Ulrich Diez]

Anders gefragt: Warum muss es außer den "definierbaren Punkten"
noch andere Punkte geben, um erklären zu können, dass zwischen
den Punkten, die die Elemente des Intervalls (0,1] darstellen, und dem
Punkt, der die Zahl 0 darstellt, keine weiteren Punkte liegen?
Warum reicht der Umstand, dass dass Intervall (0,1] alle Zahlen, die
größer als Null und kleiner oder gleich Eins sind, enthält, als
Erklärung nicht aus?
Man kann aus dem Intervall keine Zahl herausgreifen, für die
gilt, dass zwischen dem sie darstellenden Punkt und dem die
Null darstellenden Punkt keine weiteren Punkte liegen.
Warum muss man deshalb von der Existenz von anderen als den
definierbaren Punkten ausgehen?
Warum reicht der Umstand, dass es unendlich viele Zahlen und
somit unendlich viele Punkte sind, als Erklärung nicht aus?

[Ganzhinterseher]

Post by Ulrich Diez
Man kann aus dem Intervall keine Zahl herausgreifen, für die
gilt, dass zwischen dem sie darstellenden Punkt und dem die
Null darstellenden Punkt keine weiteren Punkte liegen.
Warum muss man deshalb von der Existenz von anderen als den
definierbaren Punkten ausgehen?

Weil das Intervall (0, 1] aus Punkten besteht und zwischen ihm und 0 nichts existieren kann.

Post by Ulrich Diez
Warum reicht der Umstand, dass es unendlich viele Zahlen und
somit unendlich viele Punkte sind, als Erklärung nicht aus?

Warum reichen die definierbaren Zahlen nicht an ω heran? Es gilt schließlich für alle

ω - n = ω. (*)

Was liegt zwischen allen definierbaren Zahlen und ω? Unzulässige Frage, murren die Mengenlehrer. Ich behaupte: Es sind undefinierbare Zahlen. Weshalb hätte ω sonst einen unendlichen Abstand von jeder definierbaren Zahl?

Beweisen kann man aber mithilfe der stetigen Zahlengerade, dass zwischen 0 und (0, 1] keine Lücke existiert und kein weiterer Punkt liegt. (Grundsätzlich kann kein Punkt einem anderen zunächst liegen.)

Andererseits folgt aus (*) leicht, dass zwischen jedem definierbaren 1/n und 0 unendlich viele Stammbrüche liegen. Also gibt es keinen definierbaren Stammbruch, der ohne diesen "Abstand" existiert. Also gibt es diesen "Abstand" zwischen 0 und allen definierbaren Stammbrüchen.

Er besteht aus dunklen, also undefinierbaren Punkten. Damit lässt sich leicht erklären, weshalb 0 ohne Lücke an (0, 1] (oder (0, irgendwas Positives]) liegt. Der Rand von (0, 1] besteht zwar aus Punkten, aber aus undefinierbaren. Ihre Positionen sind unbekannt oder inexistent wie die Position eines Elektrons. Damit ist das Verbot für Punkte, einander zu berühren, aufgehoben, denn es lässt sich kein Nachweis über Berührung führen.

Gruß, WM

[Ganzhinterseher]

Post by Ulrich Diez
Für jedes Element E des Intervalls (0, 1] bzw für jede im Intervall (0, 1]
liegende reelle Zahl E gilt: abs(E-0) > 0.

Das gilt für jede definierbare Zahl. Es sind aber nicht alle Zahlen des Intervalls definierbar, denn für die Vereinigung aller Intervalle gilt

U_(n ∈ ℕ) [1/n, 1] = (0, 1].

Dieses Intervall enthält also mehr als die Vereinigung aller definierbaren Intervalle

U_(n ∈ ℕ_def) [1/n, 1] =/= (0, 1]

Der Abstand zwischen 0 und dem Intervall (0, 1] ist 0, denn es liegt kein Punkt dazwischen.

Post by Ulrich Diez
Mit E= 1/n ist abs(E-0) = abs(1/n - 0), und wenn "n gegen
unendlich geht", geht abs(E-0) = abs(1/n-0) _gegen_ 0.

Das ist Analysis.

Die definierbaren Zahlen n gehen aber nicht gegen Unendlich, denn für jede gilt:

ω - n = ω .

Somit liegen auch zwischen 0 und jedem definierbaren Stammbruch 1/n unendlich viele Stammbrüche (und weitere Punkte). Deswegen lässt die Vereinigung der definierbaren Intervalle immer eine Lücke zwischen sich und 0

∀n ∈ ℕ: U_(k =< n) [1/k, 1] =/= (0, 1]

Post by Ulrich Diez
Die Annahme, dass "die Lücke geschlossen werde", deucht mich
falsch.

Dann müsste sie bestehen und die Zahlengerade unstetig sein.

Außerdem besteht zwischen 0 und (0, 1] sicher keine Lücke.

Gruß, WM

[Ulrich Diez]

Post by Ganzhinterseher
Somit liegen auch zwischen 0 und jedem definierbaren Stammbruch 1/n unendlich viele Stammbrüche (und weitere Punkte). Deswegen lässt die Vereinigung der definierbaren Intervalle immer eine Lücke zwischen sich und 0

So wie ich es sehe, stimmt dieses "deswegen" nicht.
Eine Lücke gibt es deswegen nicht, weil es unendlich viele Stammbrüche sind.

Post by Ganzhinterseher

Post by Ulrich Diez
Die Annahme, dass "die Lücke geschlossen werde", deucht mich
falsch.

Dann müsste sie bestehen und die Zahlengerade unstetig sein.

Ich korrigiere mich:

Die Annahme, dass die Lücke durch eine bestimmte Zahl geschlossen werde, deucht mich
falsch. Die Lücke wird geschlossen durch den Umstand, dass (0,1] unendlich viele und
_alle_ Zahlen > 0 und <=1 enthält.

Post by Ganzhinterseher
Außerdem besteht zwischen 0 und (0, 1] sicher keine Lücke.

Wenn die Null durch einen Punkt auf der reellen Achse dargestellt wird und alle
Zahlen, die in (0,1] liegen, also alle Zahlen, die größer als 0 und kleiner als 1 oder
gleich 1 sind, durch Punkte auf der reellen Achse dargestellt werden, dann gibt es
auf der reellen Achse zwischen dem Punkt, der die 0 darstellt und den Punkten,
die die Zahlen aus (0,1] darstellen, selbstverständlich keine weiteren Punkte.

Wenn es zwischen 0 und (0,1] eine "Lücke" gäbe, dann gäbe es in der Darstellung auf
der reellen Achse Punkte, die weder die 0 noch eine Zahl aus (0,1] darstellen und
zwischen dem Punkt liegen, der die 0 darstellt und demjenigen Punkt, der die
kleinste Zahl aus (0,1] darstellt. (Zu dieser kleinsten Zahl schreibe ich gleich noch
etwas.)

Die Annahme der Existenz eines solchen Punktes lässt den Schluss auf die
Existenz eines Elements zu, welches im Kalkül nicht enthalten ist, was einen
"Widerspruch" darstellt:

Gäbe es so einen Punkt, dann würde er einerseits die Eigenschaft haben, eine
Zahl darzustellen, die nicht im Intervall (0,1] liegt, die also nicht größer 0 und
kleiner gleich 1 ist.
Andererseits würde er, da er neben dem die 0 darstellenden Punkt liegen
würde, eine Zahl darstellen, die größer als 0 und kleiner gleich 1 ist.
Er hätte also die Eigenschaft, eine Zahl darzustellen, die einerseits
größer als 0 und kleiner gleich 1 ist, und die andererseits aber nicht
größer als 0 und nicht kleiner gleich 1 ist.

Im Kalkül gelten die Eigenschaften "größer als 0 und kleiner gleich 1"
und "nicht größer als 0 und nicht kleiner gleich 1" als einander ausschließend,
sodass ein Gegenstand mit dieser Zusammenstellung an Eigenschaften
im Kalkül nicht existiert.

Meine eben getätigten Ausführungen gehen spaßeshalber davon aus,
dass das Intervall (0,1] eine kleinste Zahl hat. Das ist aber nicht der Fall.
Der Umstand, dass das nicht der Fall ist, ist der Grund dafür, warum
man 0 und (0,1] zu einer zusammenhängenden Teilmenge von R, zum
Intervall [0,1] vereinigen kann und die Darstellung der Zahlen dieses
Intervalles als Punkte auf der reellen Achse genau einen Achsenabschnitt
und nicht mehrere Achsenabschnitte ergibt.

[Ganzhinterseher]

Post by Ulrich Diez

Post by Ganzhinterseher
Somit liegen auch zwischen 0 und jedem definierbaren Stammbruch 1/n unendlich viele Stammbrüche (und weitere Punkte). Deswegen lässt die Vereinigung der definierbaren Intervalle immer eine Lücke zwischen sich und 0

So wie ich es sehe, stimmt dieses "deswegen" nicht.
Eine Lücke gibt es deswegen nicht, weil es unendlich viele Stammbrüche sind.

Aber nur endlich viele sind definierbar. Cantor sah die Lücke schon: Her sagte dass ω - ν immer gleich ω ist" [p. 395] und "Dagegen ist hier ω - ν stets gleich ω, und man kann also nicht sagen, daß die wachsenden endlichen Zahlen ν ihrem Ziel ω beliebig nahe kommen; vielmehr bleibt jede noch so große Zahl ν von ω ebensoweit entfernt wie die kleinste endliche Zahl." [p. 406]. E. Zermelo: "Georg Cantor – Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen Inhalts", Springer, Berlin (1932),

Post by Ulrich Diez
Die Lücke wird geschlossen durch den Umstand, dass (0,1] unendlich viele und
_alle_ Zahlen > 0 und <=1 enthält.

Dass unendlich viele Zahlen dort sind, ist keine Frage. Es geht um Definierbarkeit. Man kann keinen Stammbruch definieren, der weniger als aleph_0 Stammbrüche undefiniert lässt.

Post by Ulrich Diez
dann gibt es
auf der reellen Achse zwischen dem Punkt, der die 0 darstellt und den Punkten,
die die Zahlen aus (0,1] darstellen, selbstverständlich keine weiteren Punkte.

Richtig.

Post by Ulrich Diez
Wenn es zwischen 0 und (0,1] eine "Lücke" gäbe, dann gäbe es in der Darstellung auf
der reellen Achse Punkte, die weder die 0 noch eine Zahl aus (0,1] darstellen und
zwischen dem Punkt liegen, der die 0 darstellt und demjenigen Punkt, der die
kleinste Zahl aus (0,1] darstellt. (Zu dieser kleinsten Zahl schreibe ich gleich noch
etwas.)

Nicht nötig. Sie kann nicht als definierbare Zahl existieren.

Post by Ulrich Diez
Meine eben getätigten Ausführungen gehen spaßeshalber davon aus,
dass das Intervall (0,1] eine kleinste Zahl hat. Das ist aber nicht der Fall.

Richtig, jedenfalls keine definierbare. Andererseits ist da aber auch nicht nichts.

Gruß, WM

[Ulrich Diez]

Post by Ganzhinterseher
Aber nur endlich viele sind definierbar.

Kommt vielleicht auf das Verständnis für "definierbar" an.

Man muss an das Definieren ja nicht unbedingt über die Extension herangehen.
(Mit Extension meine ich salopp gesagt das Aufzählen jedes einzelnen Elements
der Menge an Erkenntnisgegenständen, die man unter dem zu definierenden
Begriff subsumieren möchte.)

Man kann es ja auch über die Intension machen, d.h., über die Benennung
der Zusammenstellung an Eigenschaften/Merkmalen, die ein Element der
Menge an Erkenntnisgegenständen, die man unter dem zu definierenden
Begriff subsumieren möchte, aufweisen muss. So in Richtung "All diejenigen
Elemente, für die gilt :..." Auch wenn vielleicht die Zeit nicht reicht, alle
Elemente zu betrachten, kann man möglicherweise, d.h. sofern die Definition
präzise genug ist, bei jedem Element, das man betrachtet, prüfen, ob es die
genannten Zusammenstellung an Eigenschaften/Merkmalen aufweist.

Post by Ganzhinterseher
Cantor sah die Lücke schon: Her sagte dass ω - ν immer gleich ω ist" [p. 395] und "Dagegen ist hier ω - ν stets gleich ω, und man kann also nicht sagen, daß die wachsenden endlichen Zahlen ν ihrem Ziel ω beliebig nahe kommen; vielmehr bleibt jede noch so große Zahl ν von ω ebensoweit entfernt wie die kleinste endliche Zahl." [p. 406]. E. Zermelo: "Georg Cantor – Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen Inhalts", Springer, Berlin (1932),

Ich verstehe die Phrase "wachsende endliche Zahlen" nicht:

- Der Wert einer Größe mag sich im Lauf der Zeit ändern. Aber eine
Zahl ist eine Zahl. Was soll an einer Zahl wachsen/sich ändern?

- Von welchen anderen Zahlen können "endliche Zahlen"
durch das Wörtchen "endlich" abgegrenzt werden?

- Wie soll eine Zahl irgendeiner Sache "nahekommen"?
"nahekommen" ist ein zeitlich verlaufender Vorgang.
Eine Zahl ist etwas Statisches an dem sich nichts ändert
(, was sich aber auf verschiedene Weisen darstellen lässt...).

Aber vielleicht muss ich diese Phrase nicht verstehen, denn sie gehört
zu etwas, von dem gesagt wird, dass man es nicht sagen kann. ;-)

Post by Ganzhinterseher
Nicht nötig. Sie kann nicht als definierbare Zahl existieren.

Post by Ulrich Diez
Meine eben getätigten Ausführungen gehen spaßeshalber davon aus,
dass das Intervall (0,1] eine kleinste Zahl hat. Das ist aber nicht der Fall.

Richtig, jedenfalls keine definierbare. Andererseits ist da aber auch nicht nichts.

Wieso sollte "zwischen" 0 und dem Intervall (0,1] nicht nichts, also etwas sein?
Wäre da etwas dazwischen, dann könnte man 0 und das Intervall (0,1] aus R
nicht zu [0,1] aus R, also einer _zusammenhängenden_ Teilmenge von R,
vereinigen. Aber das kann man.

Dass das Intervall (0,1] aus R keine kleinste Zahl hat bedeutet nicht, dass in
diesem Intervall nichts ist, sondern das Gegenteil: In diesem Intervall gibt es
unendlich viele Zahlen, und weil es unendlich viele sind, sehe ich auch keine
Schwierigkeit bei der Vorstellung, dass zu jeder Zahl in diesem Intervall
andere Zahlen existieren, die ebenfalls im Intervall liegen und kleiner sind.

Wenn man mit dem Umstand konfrontiert ist, dass keine kleinste Zahl da
ist, gibt es zwei Möglichkeiten für den Umkehrschluss:

Möglichkeit 1: Es ist überhaupt nichts da. (In Bezug auf (0,1] ist das nicht der Fall.)
Möglichkeit 2: Es sind unendlich viel da. (In Bezug auf (0,1] ist das der Fall.)

Ulrich

[Ganzhinterseher]

Post by Ulrich Diez

Post by Ganzhinterseher
Aber nur endlich viele sind definierbar.

Kommt vielleicht auf das Verständnis für "definierbar" an.

Die gröbste Abschätzung ist diese: Am Ende aller Zeiten gibt es eine größte Zahl L, die im Universum jemals individuell definiert worden ist. Größere Zahlen sind nicht definierbar, weil Annahmeschluss ist.

Post by Ulrich Diez
Man kann es ja auch über die Intension machen, d.h., über die Benennung
der Zusammenstellung an Eigenschaften/Merkmalen, die ein Element der
Menge an Erkenntnisgegenständen, die man unter dem zu definierenden
Begriff subsumieren möchte, aufweisen muss. So in Richtung "All diejenigen
Elemente, für die gilt :..." Auch wenn vielleicht die Zeit nicht reicht, alle
Elemente zu betrachten, kann man möglicherweise, d.h. sofern die Definition
präzise genug ist, bei jedem Element, das man betrachtet, prüfen, ob es die
genannten Zusammenstellung an Eigenschaften/Merkmalen aufweist.

Das wäre keine individuelle Definition.

Post by Ulrich Diez

Post by Ganzhinterseher
Cantor sah die Lücke schon: Her sagte dass ω - ν immer gleich ω ist" [p. 395] und "Dagegen ist hier ω - ν stets gleich ω, und man kann also nicht sagen, daß die wachsenden endlichen Zahlen ν ihrem Ziel ω beliebig nahe kommen; vielmehr bleibt jede noch so große Zahl ν von ω ebensoweit entfernt wie die kleinste endliche Zahl." [p. 406]. E. Zermelo: "Georg Cantor – Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen Inhalts", Springer, Berlin (1932),

- Der Wert einer Größe mag sich im Lauf der Zeit ändern. Aber eine
Zahl ist eine Zahl. Was soll an einer Zahl wachsen/sich ändern?

Die Anzahl der bekannten Primzahlen zum Beispiel ändert sich.

"Dem entgegen möchte ich hervorheben, daß mein 'uneigentlich Unendliches' gar kein Grenzbegriff ist; es ist nämlich nach meiner Erklärung eine veränderliche endliche Zahl, sei sie über alle Grenzen wachsend oder über alle Grenzen abnehmend." [Cantor an Wundt (1883)] Auch Gauß spricht von wachsen. Newton erst recht. Die Ablehnung des Wachsens kam erst später.

Post by Ulrich Diez
- Von welchen anderen Zahlen können "endliche Zahlen"
durch das Wörtchen "endlich" abgegrenzt werden?
- Wie soll eine Zahl irgendeiner Sache "nahekommen"?

Nun, die Folge 0,9; 0,99; 0,999; ..., abgekürzt 0,999... geschrieben, kommt der 1 nahe. Je weiter man liest, um so näher.

Post by Ulrich Diez
"nahekommen" ist ein zeitlich verlaufender Vorgang.

Rechnen auch. Approximieren auch.

Post by Ulrich Diez

Post by Ganzhinterseher
Richtig, jedenfalls keine definierbare. Andererseits ist da aber auch nicht nichts.

Wieso sollte "zwischen" 0 und dem Intervall (0,1] nicht nichts, also etwas sein?

"Nicht nichts" soll hier die Existenz von Punkten ohne Zahlen ausschließen. Es sind weder Punkte mit Zahlen noch Punkte ohne Zahlen zwischen 0 und (0, 1].

Post by Ulrich Diez
Dass das Intervall (0,1] aus R keine kleinste Zahl hat bedeutet nicht, dass in
diesem Intervall nichts ist, sondern das Gegenteil: In diesem Intervall gibt es
unendlich viele Zahlen, und weil es unendlich viele sind, sehe ich auch keine
Schwierigkeit bei der Vorstellung, dass zu jeder Zahl in diesem Intervall
andere Zahlen existieren, die ebenfalls im Intervall liegen und kleiner sind.

Man kann sie aber nicht individuell erfassen. Man kann sie zwar pauschal erfassen und sagen: Die Vereinigung über alle Intervalle [1/n, 1] ist (0, 1], aber jede individuell erfasste Zahl 1/n führt zu weniger.

Post by Ulrich Diez
Wenn man mit dem Umstand konfrontiert ist, dass keine kleinste Zahl da
Möglichkeit 1: Es ist überhaupt nichts da. (In Bezug auf (0,1] ist das nicht der Fall.)
Möglichkeit 2: Es sind unendlich viel da. (In Bezug auf (0,1] ist das der Fall.)

Nur kann man unendlich viele dieser Zahlen eben nicht individuell bezeichnen.

Gruß, WM

[Juergen Ilse]

Hallo,

Post by Ganzhinterseher

Post by Ulrich Diez
- Der Wert einer Größe mag sich im Lauf der Zeit ändern. Aber eine
Zahl ist eine Zahl. Was soll an einer Zahl wachsen/sich ändern?

Die Anzahl der bekannten Primzahlen zum Beispiel ändert sich.

"Die Anzahl der bekannten Primzahlen" ist aber keine Definition einer Zahl
sondern eher "die Beschreibung eines bestimmten Kenntnisstands", die sich
durch Zahlen ausdruecken laesst.

Post by Ganzhinterseher
"Dem entgegen möchte ich hervorheben, daß mein 'uneigentlich Unendliches' gar kein Grenzbegriff ist; es ist nämlich nach meiner Erklärung eine veränderliche endliche Zahl,

Es gibt keine "veraenderlichen Zahlen", sondern bestenfalls "veraenderliche
Sachverhalte, die sich durch Zahlen beschreiben lassen". Zahlen als solche
sind immer "fest" und nicht "veraendelrich". "Variablen" koennen "veraender-
lich" sein (koennen mit verschiedenen Werten "belegt" sein). IHR gesamtes
"Konzept von Zahlen" ist widerspruechlich und unmathematisch (ebenso IHRE
krude Vorstellung von Mengen, denn auch Mengen sind immer "fest", sprich
solange es sich um die *selbe* Menge handelt, ist sie auch *immer* gleich,
etwas wie "veraenderliche Mengen" gibt es genausowenig wie "veraenderliche
Zahlen").

Tschuess,
Juergen Ilse (***@usenet-verwaltung.de)

[Me]

Post by Juergen Ilse

Post by Ganzhinterseher

Post by Ulrich Diez
- Der Wert einer Größe mag sich im Lauf der Zeit ändern. Aber eine
Zahl ist eine Zahl. Was soll an einer Zahl wachsen/sich ändern?
Die Anzahl der bekannten Primzahlen zum Beispiel ändert sich.

"Die Anzahl der bekannten Primzahlen" ist aber keine Definition einer Zahl
sondern eher "die Beschreibung eines bestimmten Kenntnisstands", die sich
durch Zahlen ausdruecken laesst.

Die auch noch einen Zeitbezug hat, und auch sonst noch einen Kontext benötigt (WEM bekannt?).

Post by Juergen Ilse

Post by Ganzhinterseher
"Dem entgegen möchte ich hervorheben, daß mein 'uneigentlich Unendliches'
gar kein Grenzbegriff ist; es ist nämlich nach meiner Erklärung eine
veränderliche endliche Zahl,

Es gibt keine "veraenderlichen Zahlen", sondern bestenfalls "veraenderliche
Sachverhalte, die sich durch Zahlen beschreiben lassen". Zahlen als solche
sind immer "fest" und nicht "veraendelrich". "Variablen" koennen "veraender-
lich" sein (koennen mit verschiedenen Werten "belegt" sein).

Hier versteht Mückenheim einfach nicht, wovon Cantor spricht und weiß auch nicht, wie man das im Kontext der heutigen Mathematik formulieren/ausdrücken würde.

Den tiefgreifenden Wandel, der seit damals in Bezug auf Sprache/Ausdrucksweise (aber auch bei der Auffassung in Bezug auf grundlegende logisch-mathematsche Begriffe) stattgefunden hat, hat Mückenheim offenbar nicht mitbekommen. [Man kann hier getrost von einer REVOLUTION in der Mathematik sprechen, die mit den Namen Frege, Peano, Russell & Whitehead, Hilbert usw. verbunden ist.]

Bei Mückenheim muss ich oft an den Ritter von der traurigen Gestalt denken:

"er verstrickte sich in seinem Lesen so, daß er die Nächte
damit zubrachte, weiter und weiter, und die Tage, sich tiefer und
tiefer hineinzulesen; und so kam es vom wenigen Schlafen und
vielen Lesen, daß sein Gehirn ausgetrocknet wurde, wodurch er
den Verstand verlor." (Miguel de Cervantes, Don Quijote)

[Ganzhinterseher]

Post by Jens Kallup
Hallo,

Post by Ganzhinterseher

Post by Ulrich Diez
- Der Wert einer Größe mag sich im Lauf der Zeit ändern. Aber eine
Zahl ist eine Zahl. Was soll an einer Zahl wachsen/sich ändern?

Die Anzahl der bekannten Primzahlen zum Beispiel ändert sich.

"Die Anzahl der bekannten Primzahlen" ist aber keine Definition einer Zahl
sondern eher "die Beschreibung eines bestimmten Kenntnisstands", die sich
durch Zahlen ausdruecken laesst.

Dafür wurden die Zahlen erfunden. Er zählt die Häupter seiner Lieben ...

Post by Jens Kallup

Post by Ganzhinterseher
"Dem entgegen möchte ich hervorheben, daß mein 'uneigentlich Unendliches' gar kein Grenzbegriff ist; es ist nämlich nach meiner Erklärung eine veränderliche endliche Zahl,

Es gibt keine "veraenderlichen Zahlen"

Das musst Du dem Autor dieser Zeilen vorwerfen, Georg Cantor.

Gruß, WM

[Me]

Post by Ganzhinterseher

Post by Juergen Ilse
Es gibt keine "veraenderlichen Zahlen"

Das musst Du dem Autor dieser Zeilen vorwerfen, Georg Cantor.

Nein, das muss man nicht.

Man muss sich nur klar machen, dass in der Mathematik seit Cantors Zeiten ein tiefgreifenden Wandel in Bezug auf Sprache/Ausdrucksweise sowie in Bezug auf das Verständnis _grundlegender logisch-mathematsche Begriffe_ stattgefunden hat. (Man kann hier getrost von einer REVOLUTION in der Mathematik sprechen.) Eine Entwicklung, die mit den Namen Frege, Peano, Russell & Whitehead, Hilbert usw. verbunden ist.

Aber offensichtlich raffen Sie selbst d a s nicht.

[Ulrich Diez]

Post by Ganzhinterseher

Post by Ulrich Diez

Post by Ganzhinterseher
Aber nur endlich viele sind definierbar.

Kommt vielleicht auf das Verständnis für "definierbar" an.

Die gröbste Abschätzung ist diese: Am Ende aller Zeiten gibt es eine größte Zahl L, die im Universum jemals individuell definiert worden ist. Größere Zahlen sind nicht definierbar, weil Annahmeschluss ist.

Post by Ulrich Diez
Man kann es ja auch über die Intension machen, d.h., über die Benennung
der Zusammenstellung an Eigenschaften/Merkmalen, die ein Element der
Menge an Erkenntnisgegenständen, die man unter dem zu definierenden
Begriff subsumieren möchte, aufweisen muss. So in Richtung "All diejenigen
Elemente, für die gilt :..." Auch wenn vielleicht die Zeit nicht reicht, alle
Elemente zu betrachten, kann man möglicherweise, d.h. sofern die Definition
präzise genug ist, bei jedem Element, das man betrachtet, prüfen, ob es die
genannten Zusammenstellung an Eigenschaften/Merkmalen aufweist.

Das wäre keine individuelle Definition.

Muss sie denn "individuell" sein?

Post by Ganzhinterseher

Post by Ulrich Diez

Post by Ganzhinterseher
Cantor sah die Lücke schon: Her sagte dass ω - ν immer gleich ω ist" [p. 395] und "Dagegen ist hier ω - ν stets gleich ω, und man kann also nicht sagen, daß die wachsenden endlichen Zahlen ν ihrem Ziel ω beliebig nahe kommen; vielmehr bleibt jede noch so große Zahl ν von ω ebensoweit entfernt wie die kleinste endliche Zahl." [p. 406]. E. Zermelo: "Georg Cantor – Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen Inhalts", Springer, Berlin (1932),

- Der Wert einer Größe mag sich im Lauf der Zeit ändern. Aber eine
Zahl ist eine Zahl. Was soll an einer Zahl wachsen/sich ändern?

Die Anzahl der bekannten Primzahlen zum Beispiel ändert sich.

Bei der "Anzahl der zu einem bestimmten Zeitpunkt bekannten Primzahlen"
handelt es sich um eine Größe, deren _Wert_ durch eine Kardinalzahl
angegeben wird, die sich _nicht_ ändert.

Bei "Anzahl der bekannten Primzahlen" hängt vom Zeitpunkt, zu dem
diese Größe betrachtet wird, ab, welche Zahl man verwenden muss,
um den Größenwert korrekt anzugeben. Aber die verwendeten Zahlen
ändern sich nicht.

Post by Ganzhinterseher

Post by Ulrich Diez
- Wie soll eine Zahl irgendeiner Sache "nahekommen"?

Nun, die Folge 0,9; 0,99; 0,999; ..., abgekürzt 0,999... geschrieben, kommt der 1 nahe. Je weiter man liest, um so näher.

Da kommt aber nicht eine einzelne Zahl der 1 nahe, sondern es werden
Folgenglieder angegeben von denen keines sich ändert.
Über die Zusammenstellung der Folgenglieder kann also die 1
angenähert werden, aber nicht über eine einzelne Zahl/über
ein einzelnes Folgenglied.

Post by Ganzhinterseher
Nur kann man unendlich viele dieser Zahlen eben nicht individuell bezeichnen.

Bei "Definierbar" geht es Dir also um eine Art "zeitlich verlaufenden "Prozess",
bei dem jedes Element mindestens einmal in einer Weise vorliegt, in der es
von allen anderen Elementen unterschieden werden kann?

Wenn ich richtig verstehe, dann geht das, was Du verlangst, in Richtung
"aufzählbar" bzw "abzählbar endlich", wobei man bei endlichen Mengen
das Wörtchen "abzählbar" wohl auch weglassen kann.

Meines Wissens ist R nicht abzählbar sondern überabzählbar und neben
seinem "zweiten Beweis mit dem Diagonalargument" hat Georg Cantor
bereits im Jahr 1874 einen "ersten Beweis" dafür veröffentlicht, der ohne
Festlegung auf ein bestimmtes Stellenwertsystem auskommt.

Wenn man sowohl die Abzählbarkeit der Elemente einer Menge als auch die
Endlichkeit der betreffenden Menge bezogen auf jedes einzelne Element
dieser Menge zu notwendigen Bedingung für dessen Definierbarkeit erklärt,
schafft man sich Voraussetzungen, unter denen es gelinde gesagt
schwer ist, alle Elemente von R als "definierbar" anzusehen.

Aber wieso sollte man diese Vorausetzungen schaffen?
Bzw: Wieso sollte man diese beiden Aspekte zu notwenigen Bedingungen
für "Definierbarkeit" erklären?

Ulrich

[h***@gmail.com]

Post by Ulrich Diez

Post by Ganzhinterseher

Post by Ulrich Diez

Post by Ganzhinterseher
Aber nur endlich viele sind definierbar.

Kommt vielleicht auf das Verständnis für "definierbar" an.

Die gröbste Abschätzung ist diese: Am Ende aller Zeiten gibt es eine größte Zahl L, die im Universum jemals individuell definiert worden ist. Größere Zahlen sind nicht definierbar, weil Annahmeschluss ist.

Post by Ulrich Diez
Man kann es ja auch über die Intension machen, d.h., über die Benennung
der Zusammenstellung an Eigenschaften/Merkmalen, die ein Element der
Menge an Erkenntnisgegenständen, die man unter dem zu definierenden
Begriff subsumieren möchte, aufweisen muss. So in Richtung "All diejenigen
Elemente, für die gilt :..." Auch wenn vielleicht die Zeit nicht reicht, alle
Elemente zu betrachten, kann man möglicherweise, d.h. sofern die Definition
präzise genug ist, bei jedem Element, das man betrachtet, prüfen, ob es die
genannten Zusammenstellung an Eigenschaften/Merkmalen aufweist.

Das wäre keine individuelle Definition.

Muss sie denn "individuell" sein?

Natürlich, denn sonst bricht ja sein ganzes Hirngespinst in sich zusammen.

[Ganzhinterseher]

Post by Ulrich Diez

Post by Ganzhinterseher
Das wäre keine individuelle Definition.

Muss sie denn "individuell" sein?

Wenn man mit den natürlichen Zahlen Ziffern indizieren will, um eine unendliche Ziffernfolge zur Repräsentation einer reellen Zahlen darzustellen, dann muss man jede Ziffer und ihren Index individuell kennen.

Post by Ulrich Diez
Bei der "Anzahl der zu einem bestimmten Zeitpunkt bekannten Primzahlen"
handelt es sich um eine Größe, deren _Wert_ durch eine Kardinalzahl
angegeben wird, die sich _nicht_ ändert.

Bei der Anzahl der Primzahlen (ohne bestimmten Zeitpunkt) handelt es sich um eine Funktion, die Kardinalzahlen annimmt.

Post by Ulrich Diez
Bei "Anzahl der bekannten Primzahlen" hängt vom Zeitpunkt, zu dem
diese Größe betrachtet wird, ab, welche Zahl man verwenden muss,
um den Größenwert korrekt anzugeben. Aber die verwendeten Zahlen
ändern sich nicht.

Es ist eben von der Intention des Autors abhängig, ob er die Funktion oder ihre Werte als Zahl bezeichnet. Cantor tat ersteres, wobei er "daß die wachsenden endlichen Zahlen ν ihrem Ziel ω beliebig nahe kommen" eigentlich im Singular hätte ausdrücken müssen.

Post by Ulrich Diez

Post by Ganzhinterseher

Post by Ulrich Diez
- Wie soll eine Zahl irgendeiner Sache "nahekommen"?

Nun, die Folge 0,9; 0,99; 0,999; ..., abgekürzt 0,999... geschrieben, kommt der 1 nahe. Je weiter man liest, um so näher.

Da kommt aber nicht eine einzelne Zahl der 1 nahe, sondern es werden
Folgenglieder angegeben von denen keines sich ändert.

0,999... wird aber oft als Zahl bezeichnet, obwohl es eine Folge ist.

Post by Ulrich Diez

Post by Ganzhinterseher
Nur kann man unendlich viele dieser Zahlen eben nicht individuell bezeichnen.

Bei "Definierbar" geht es Dir also um eine Art "zeitlich verlaufenden "Prozess",
bei dem jedes Element mindestens einmal in einer Weise vorliegt, in der es
von allen anderen Elementen unterschieden werden kann?

Ja, grob gesprochen ist das so. Der Prozess kann allerdings auch rückwärts verlaufen und ist vom System abhängig, in dem er stattfindet.

Post by Ulrich Diez
Wenn ich richtig verstehe, dann geht das, was Du verlangst, in Richtung
"aufzählbar" bzw "abzählbar endlich", wobei man bei endlichen Mengen
das Wörtchen "abzählbar" wohl auch weglassen kann.

Es ist das, was man unter potentiell unendlich versteht.

Post by Ulrich Diez
Meines Wissens ist R nicht abzählbar sondern überabzählbar und neben
seinem "zweiten Beweis mit dem Diagonalargument" hat Georg Cantor
bereits im Jahr 1874 einen "ersten Beweis" dafür veröffentlicht, der ohne
Festlegung auf ein bestimmtes Stellenwertsystem auskommt.

Das ist alles Humbug, denn undefinierbare Zahlen kann man weder zum Abzählen noch zum Nummerieren einer bezüglich der Nummerierung vollständigen Liste verwenden.

Post by Ulrich Diez
Wenn man sowohl die Abzählbarkeit der Elemente einer Menge als auch die
Endlichkeit der betreffenden Menge bezogen auf jedes einzelne Element
dieser Menge zu notwendigen Bedingung für dessen Definierbarkeit erklärt,
schafft man sich Voraussetzungen, unter denen es gelinde gesagt
schwer ist, alle Elemente von R als "definierbar" anzusehen.

Selbst wenn Cantors Theorie richtig wäre, könnten nur abzählbar viele reelle Zahlen definiert und somit mathematisch zugänglich sein. Das hat er selbst in einem Brief an Hilbert bestätigt: "Wäre Königs Satz, daß alle 'endlich definirbaren' reellen Zahlen einen Inbegriff von der Mächtigkeit ℵo ausmachen, richtig, so hieße dies, das ganze Zahlencontinuum sei abzählbar, was doch sicherlich falsch ist."

Post by Ulrich Diez
Aber wieso sollte man diese Vorausetzungen schaffen?

Ganz einfach, weil undefinierbare Objekte in der Mathematik nichts zu suchen haben.

Gruß, WM

[Juergen Ilse]

Hallo,

Post by Ganzhinterseher

Post by Ulrich Diez

Post by Ganzhinterseher
Somit liegen auch zwischen 0 und jedem definierbaren Stammbruch 1/n unendlich viele Stammbrüche (und weitere Punkte). Deswegen lässt die Vereinigung der definierbaren Intervalle immer eine Lücke zwischen sich und 0

So wie ich es sehe, stimmt dieses "deswegen" nicht.
Eine Lücke gibt es deswegen nicht, weil es unendlich viele Stammbrüche sind.

Aber nur endlich viele sind definierbar.

IHRE "definierbar/undefinierbar" Phantastereien sind komplett fuer die Tonne
und nur von IHNEN erdacht, weil sie zu beschraenkt sind, die Konsequenzen von
"Unendlichkeit" in der Mathematik auch nur ansatzweise zu begreifen. Nein
"dunkle Zahlen" sind keine Folgerung aus "Unendlichkeit" sondern hoechstens
ein Zeichen IHRER "unendlichen Unfaehigkeit zu jeglicher Art von Mathematik".

Tschuess,
Juergen Ilse (***@usenet-verwaltung.de)

[Ganzhinterseher]

Post by Juergen Ilse
Nein
"dunkle Zahlen" sind keine Folgerung aus "Unendlichkeit"

Doch, der Beweis ist ganz einfach: Ohne die Zahlen namentlich aufrufen zu müssen findet man für die Pauschalvereinigung:

U_(n ∈ ℕ) [1/n, 1] = (0, 1] .

Sobald man aber die Zahlen namentlich aufruft, kommt man nicht über wenige hinaus:

∀n ∈ ℕ: U_(k =< n) [1/k, 1] =/= (0, 1]

also

U_(n ∈ ℕ_def) [1/n, 1] =/= (0, 1]

Wenn Du das nicht verstehst, dann fehlt Dir etwas Logik, fürchte ich.

Post by Juergen Ilse
weil sie zu beschraenkt sind, die Konsequenzen von

"Unendlichkeit" in der Mathematik auch nur ansatzweise zu begreifen.

Du solltest Deinen blinden Glauben an eine matheologische Narretei nicht mit mathematischem Verständnis verwechseln.

Gruß, WM

[Me]

Ohne die Zahlen namentlich aufrufen zu müssen, <blubber>
Sobald man aber die Zahlen namentlich aufruft, <blöck>

Ja, ja, rufen Sie nur, Mückenheim.

U_(n ∈ ℕ) [1/n, 1] = (0, 1] . (*)
∀n ∈ ℕ: U_(k =< n) [1/k, 1] =/= (0, 1] ,

denn trivialerweise gilt natürlich:

∀n ∈ ℕ: [1/n, 1] =/= (0, 1] . (**)

Dass sich (*) und (**) auf 2 gänzlich verschiedene Sachverhalte beziehen, geht wohl nicht in Ihre Birne rein, was?

Es hat sich zwar schon des Öfteren gezeigt, dass Sie zu blöde sind, um einfachste Analogien zu verstehen, aber ich möchte das Folgende dennoch anmerken:

SUM_(n=1..oo) 1/2^n = 1 , (#)

aber wegen SUM_(k=1..n) 1/2^k = 1 - 1/2^n für alle n e IN:

∀n ∈ ℕ: SUM_(k=1..n) 1/2^k =/= 1 ,

denn trivialerweise gilt natürlich:

∀n ∈ ℕ: 1 - 1/2^n =/= 1 . ('')

Kapieren Sie wenigstens, dass sich (#) und (##) auf 2 gänzlich verschiedene Sachverhalte beziehen?

[Me]

Ohne die Zahlen namentlich aufrufen zu müssen, <blubber>
Sobald man aber die Zahlen namentlich aufruft, <blök>

Ja, ja, rufen Sie nur, Mückenheim.

U_(n ∈ ℕ) [1/n, 1] = (0, 1] . (*)
∀n ∈ ℕ: U_(k =< n) [1/k, 1] =/= (0, 1] ,

denn trivialerweise gilt natürlich:

∀n ∈ ℕ: [1/n, 1] =/= (0, 1] . (**)

Dass sich (*) und (**) auf 2 gänzlich verschiedene Sachverhalte beziehen, geht wohl nicht in Ihre Birne rein, was?

Es hat sich zwar schon des Öfteren gezeigt, dass Sie zu blöde sind, um einfachste Analogien zu verstehen, aber ich möchte das Folgende dennoch anmerken:

SUM_(n=1..oo) 1/2^n = 1 , (#)

aber wegen SUM_(k=1..n) 1/2^k = 1 - 1/2^n für alle n e IN:

∀n ∈ ℕ: SUM_(k=1..n) 1/2^k =/= 1 ,

denn trivialerweise gilt natürlich:

∀n ∈ ℕ: 1 - 1/2^n =/= 1 . (##)

Kapieren Sie wenigstens, dass sich (#) und (##) auf 2 gänzlich verschiedene Sachverhalte beziehen?

[Ganzhinterseher]

Post by Me

U_(n ∈ ℕ) [1/n, 1] = (0, 1] . (*)
∀n ∈ ℕ: U_(k =< n) [1/k, 1] =/= (0, 1] ,

Diese Aussage gilt für alle definierbaren natürlichen Zahlen. Über die aleph_0 undefinierbaren kannst Du nichts aussagen.

Post by Me
∀n ∈ ℕ: [1/n, 1] =/= (0, 1] . (**)

Diese Aussage gilt für alle definierbaren natürlichen Zahlen. Über die aleph_0 undefinierbaren kannst Du nichts aussagen.

Post by Me
Dass sich (*) und (**) auf 2 gänzlich verschiedene Sachverhalte beziehen,

liegt daran, dass jedes n in (**) noch aleph_0 Nachfolger besitzt, während in (*) über alle vereinigt wird.

Post by Me
SUM_(n=1..oo) 1/2^n = 1 , (#)

Ja, das ist der sogenannte Limes, der von keinem Glied der Partialsummenfolge erreicht wird.

Post by Me
∀n ∈ ℕ: SUM_(k=1..n) 1/2^k =/= 1 ,
∀n ∈ ℕ: 1 - 1/2^n =/= 1 . (##)
dass sich (#) und (##) auf 2 gänzlich verschiedene Sachverhalte beziehen?

Selbstverständlich: (#) gibt den Grenzwert an, der von keinem der aleph_0 endlichen Folgenglieder erreicht wird, und erst recht nicht von den definierbaren.

Das hat aber wenig mit dem oben behandelten Sachverhalt zu tun. Mengengrenzwerte unterscheiden sich nämlich grundlegend von denen der Analysis.

Am einfachsten ist das an den Anfangsabschnitten erkennbar: Alle definierbaren Anfangsabschnitte sind endlich

{1} = {1}
{1} U {1, 2} = {1, 2}
{1} U {1, 2} U {1, 2, 3} = {1, 2, 3}
{1} U {1, 2} U {1, 2, 3} U {1, 2, 3, 4} = {1, 2, 3, 4,}
{1} U {1, 2} U {1, 2, 3} U {1, 2, 3, 4} U {1, 2, 3, 4, 5} = {1, 2, 3, 4, 5}
...

und darauf folgen noch aleph_0 dunkle Anfangsabschnitte. Das erhellt daraus, dass die Vereinigung der definierbaren Anfangsabschnitte in jedem Term der Folge endlich ist und nicht |N mit seinen aleph_0 Elementen ergeben kann.

Ich erinnere mich, dass Du einst behauptet hast, die Vereinigung all dieser Versager wäre ein Erfolg. Das ist natürlich Unsinn. Die definierbaren Anfangsabschnitte sind bereits Vereinigungen, und alle sind trotzdem endlich. Durch eine weitere Vereinigung kann da nichts hinzukommen. Ohne dunkle Zahlen keine aktuale Unendlichkeit.

Gruß, WM

[h***@gmail.com]

Post by Ganzhinterseher

Post by Jens Kallup
Hallo,

Post by Ganzhinterseher
Für jeden definierbaren Punkt 1/n gilt, dass zwischen ihm und 0 unendlich viele Punkte liegen, Stammbrüche und andere.

Das gilt fuer je 2 beliebige verschiedene reelle Zahlen.

Richtig.

Post by Jens Kallup
entweder
sind beide Zahlen gleich, oder es liegen immer noch Zahlen dazwischen.

Richtig.

Post by Jens Kallup
Das gilt voellig unabhaengig von irgend einer "Definierbarkeit"

Nein, das gilt nur für definierbare Zahlen.

Weil Stammbrüche offensichtlich keine reellen Zahlen sind. Mückenheim, du bist so total durchgeknallt, deine Blödheit wird langsam kriminell.

[Andreas Leitgeb]

Post by Ganzhinterseher
Für jeden definierbaren Punkt 1/n gilt, dass zwischen ihm und 0 unendlich
viele Punkte liegen, Stammbrüche und andere.

Echte Mathematiker sträuben sich dagegen, in ihre Aussagen unnötige
Einschränkungen einzubauen.

Darauf, für n nur Vielfache von 42 heranzuziehen hast du ja auch selber
verzichtet, obwohl die Aussage ja auch eingeschränkt auf Vielfache von
42 gelten würde.

Jedenfalls ist auch die Einschränkung auf "Definierbarkeit" nicht nur
hahnebüchen, sondern zum Glück auch gar nicht notwendig.

Dass zwischen 0 und 1/n unendlich viele reelle Zahlen liegen, gilt
unabhängig von ihrer oder "n"s Farbe oder anderen WM-Murkseigenschaften.

Post by Ganzhinterseher
Daraus folgt, das zwischen 0 und allen definierbaren Punkten unendlich
viele Punkte liegen. Das sind die nicht definierbaren, dunklen.

Zum Abschluss die obligatorische Quantorenvertauschung...

Weil zwischen 0 und jedem 1/n noch Zahlen liegen, ... schwuppdiwupp
liegen plötzlich Zahlen zwischen 0 und allen...

Vermutlich vertauschst du die Quantoren gar nicht bewusst, sondern es
passiert einfach so, garadeso wie ein Farbenblinder rot und grün nicht
einfach nur verwechselt, sondern sie einfach gar nicht erst unterscheiden
kann.

[Alfred Flaßhaar]

Post by Andreas Leitgeb

Post by Ganzhinterseher
Für jeden definierbaren Punkt 1/n gilt, dass zwischen ihm und 0 unendlich
viele Punkte liegen, Stammbrüche und andere.

(...)

Post by Andreas Leitgeb
Jedenfalls ist auch die Einschränkung auf "Definierbarkeit" nicht nur
hahnebüchen, sondern _zum Glück_ auch gar nicht notwendig.

Nicht "zum Glück", sondern logischerweise...
(...)

Post by Andreas Leitgeb
Vermutlich vertauschst du die Quantoren gar nicht bewusst, sondern es
passiert einfach so, garadeso wie ein Farbenblinder rot und grün nicht
einfach nur verwechselt, sondern sie einfach gar nicht erst unterscheiden
kann.

Quantoren sind eben Bosonen ;-) .

[Ganzhinterseher]

Post by Alfred Flaßhaar

Post by Andreas Leitgeb
Vermutlich vertauschst du die Quantoren gar nicht bewusst, sondern es
passiert einfach so, garadeso wie ein Farbenblinder rot und grün nicht
einfach nur verwechselt, sondern sie einfach gar nicht erst unterscheiden
kann.

Quantoren sind eben Bosonen ;-) .

Kannst Du das auch nicht verstehen? Wenn für jedes definierbare Intervall gilt, dass es unendlich viele Punkte zwischen 0 und seiner Grenze frei lässt, dann gilt das für alle definierbaren Intervalle. Und dann ist dieser Bereich von keinem Intervall überdeckt. In Zeichen:

∀n ∈ ℕ_def: [1/n, 1] =/= (0, 1]
U_(n ∈ ℕ_def) [1/n, 1] =/= (0, 1]

Gruß, WM

[Ganzhinterseher]

Post by Andreas Leitgeb
Zum Abschluss die obligatorische Quantorenvertauschung...

die hier absolut berechntigt ist.

Post by Andreas Leitgeb
Weil zwischen 0 und jedem 1/n noch Zahlen liegen, ... schwuppdiwupp
liegen plötzlich Zahlen zwischen 0 und allen...
Vermutlich vertauschst du die Quantoren gar nicht bewusst,

Doch, das geschieht hier ganz bewusst und berechtigt:

Wenn zwischen 0 und jedem definierbaren Intervall [1/n, 1] unendlich viele dunkle Zahlen liegen, dann gibt es kein Intervall, das näher an 0 heranreicht. Kannst Du das noch geistig bewältigen?

Post by Andreas Leitgeb
sondern es
passiert einfach so, garadeso wie ein Farbenblinder rot und grün nicht
einfach nur verwechselt, sondern sie einfach gar nicht erst unterscheiden
kann.

Du beschreibst hier treffend Deine Situation. Du kannst gar nicht verstehen, dass es Situationen gibt, in denen die Quantoren vertauscht werden dürfen, sondern schreist immer gleich los. Versuche einfach mal in Ruhe darüber nachzudenken: Wenn zwischen 0 und jedem definierbaren Intervall [1/n, 1] unendlich viele dunkle Zahlen liegen, dann gibt es kein Intervall, das näher an 0 heranreicht. Dann ist dieser Bereich oder diese Punktmenge von definierbaren Zahlen frei.

Gruß, WM

[Andreas Leitgeb]

Post by Ganzhinterseher

Post by Andreas Leitgeb
Vermutlich vertauschst du die Quantoren gar nicht bewusst,

Aha, wohl weil dein Motto "pfeif auf Logik" ist?

Post by Ganzhinterseher
Wenn zwischen 0 und jedem definierbaren Intervall [1/n, 1] unendlich
viele dunkle Zahlen liegen, dann gibt es kein Intervall, das näher
an 0 heranreicht. Kannst Du das noch geistig bewältigen?

Ich sehe hier ein falsches Ergebnis, das sich nur mit einem falschen
Schluss herstellen lässt. Was wäre da einfacher als falscher Schluss,
als eine Quantorenvertauschung...

Post by Ganzhinterseher
Du kannst gar nicht verstehen, dass es Situationen gibt, in denen
die Quantoren vertauscht werden dürfen,

Selbstverständlich gibt es Situationen, in denen man Quantoren umordnen
kann, z.B:
An Em sodass m < 2 und n > -1
Die Auswahl von m (nämlich 1) ist unabhängig von n, also kann man auch
Em An sodass m < 2 und n > -1
schreiben.

In den Fällen run um unsere Intervall aber kann das m nur auf Basis von
n gefunden werden, und damit ist die operatoren-umkehr nicht möglich:
Die Aussage mit den verdrehten Quantoren ist dann einfach nicht mehr wahr.

Post by Ganzhinterseher
Wenn zwischen 0 und jedem definierbaren ...

Lass es doch bitte Mathematik sein, wenn ich schon über etwas nachdenken
soll.

Post by Ganzhinterseher
..., dann gibt es kein Intervall, das näher an 0 heranreicht.

Auf diesen Fehlschluss kommt man eben mit einer unzulässigen Q.-vertauschung.

[Carlo XYZ]

Post by Andreas Leitgeb

Post by Ganzhinterseher
Du kannst gar nicht verstehen, dass es Situationen gibt, in denen
die Quantoren vertauscht werden dürfen,

Selbstverständlich gibt es Situationen, in denen man Quantoren umordnen
An Em sodass m < 2 und n > -1
Die Auswahl von m (nämlich 1) ist unabhängig von n, also kann man auch
Em An sodass m < 2 und n > -1
schreiben.

Willst du maximale Verwirrung stiften?
Diese "Umordnung" ist in keiner Richtung allgemeingültig.

Hat man

[1] An Em sodass m < 2 und n > -1

darf

[2] Em An sodass m < 2 und n > -1

nicht gefolgert werden. (Du schriebst, warum nicht.)

Andersherum darf aus [2] nur dann [1] allgemein gefolgert
werden, wenn das Universum mindestens ein Element enthält.
(Und das ist hier nur sehr implizit; vermutlich außerhalb
WM's Radar.)

Das Einzige, was allgemein geht, ist:
Hat man nicht-leere Universen, folgt aus (ExAy F) logisch (AyEx F).

[Ganzhinterseher]

Post by Carlo XYZ
Willst du maximale Verwirrung stiften?
Diese "Umordnung" ist in keiner Richtung allgemeingültig.

Das ist für das Thema gleichgültig. Wenn Du schon mitliest, dann versuche ein Gegenbeispiel zu "Es liegen also zwischen 0 und jedem definierbaren 1/n aleph_0 dunkle Stammbrüche." finden. Oder erkläre bitte, ob Du es überhaupt für möglich hältst.

Gruß, WM

[Carlo XYZ]

Post by Ganzhinterseher

Post by Carlo XYZ
Willst du maximale Verwirrung stiften?
Diese "Umordnung" ist in keiner Richtung allgemeingültig.

Das ist für das Thema gleichgültig.

Das glaube ich kaum, so oft, wie du hier Quantorenvertauschung
falsch anwendest.

Post by Ganzhinterseher
Wenn Du schon mitliest, dann versuche ein Gegenbeispiel zu "Es liegen also zwischen 0 und jedem definierbaren 1/n aleph_0 dunkle Stammbrüche." finden.

Vergiss es! Es gibt nichts Langweiligeres, als jemandem die
Begriffe, die er nicht im Hirn hat, aus der Nase zu ziehen.

[Ganzhinterseher]

Post by Carlo XYZ

Post by Ganzhinterseher
Wenn Du schon mitliest, dann versuche ein Gegenbeispiel zu "Es liegen also zwischen 0 und jedem definierbaren 1/n aleph_0 dunkle Stammbrüche." finden.

Vergiss es! Es gibt nichts Langweiligeres, als jemandem die
Begriffe, die er nicht im Hirn hat, aus der Nase zu ziehen.

Trotzdem möchte ich es versuchen: Zwischen 0 und 1/n liegen immer ℵo Punkte von Stammbrüchen (und dazwischen natürlich noch viele andere Punkte). Von diesen Stammbrüchen bleiben ℵo immer dunkel, sind also in keinem Falle definierbar. Wenn sie aber nicht existieren würden, dann wäre die reelle Zahlenachse unstetig. Damit ist die Existenz dunkler Zahlen bewiesen.

War das zu schwer?

Übrigens ist die Idee nicht gar so neu. Schon Cantor hat sie gehabt. Und Skolem hat 1934 in seiner Arbeit "Über die Nicht-charakterisierbarkeit der Zahlenreihe mittels endlich oder abzählbar unendlich vieler Aussagen mit ausschließlich Zahlenvariablen" sogar von Modellen mit auf- und absteigenden unendlichen Folgen gesprochen. Aber in Zermelos Augen war er ja auch ein Fehlgeleiteter, den man heute als Crank bezeichnen würde.

Gruß, WM

[Roalto]

Post by Ganzhinterseher

Post by Carlo XYZ

Post by Ganzhinterseher
Wenn Du schon mitliest, dann versuche ein Gegenbeispiel zu "Es liegen also zwischen 0 und jedem definierbaren 1/n aleph_0 dunkle Stammbrüche." finden.

Vergiss es! Es gibt nichts Langweiligeres, als jemandem die
Begriffe, die er nicht im Hirn hat, aus der Nase zu ziehen.

Trotzdem möchte ich es versuchen: Zwischen 0 und 1/n liegen immer ℵo Punkte von Stammbrüchen (und dazwischen natürlich noch viele andere Punkte). Von diesen Stammbrüchen bleiben ℵo immer dunkel, sind also in keinem Falle definierbar. Wenn sie aber nicht existieren würden, dann wäre die reelle Zahlenachse unstetig. Damit ist die Existenz dunkler Zahlen bewiesen.
War das zu schwer?
Übrigens ist die Idee nicht gar so neu. Schon Cantor hat sie gehabt. Und Skolem hat 1934 in seiner Arbeit "Über die Nicht-charakterisierbarkeit der Zahlenreihe mittels endlich oder abzählbar unendlich vieler Aussagen mit ausschließlich Zahlenvariablen" sogar von Modellen mit auf- und absteigenden unendlichen Folgen gesprochen. Aber in Zermelos Augen war er ja auch ein Fehlgeleiteter, den man heute als Crank bezeichnen würde.
Gruß, WM

Oh, Erleuchteter, was hat Skolems Paper mit deinem blöden Gesülze zu tun? Hast das Paper nicht zu Ende gelesen?
Ein Crank bist du.

Viel Spass weiterhin
Roalto

[Carlo XYZ]

Post by Carlo XYZ
Vergiss es! Es gibt nichts Langweiligeres, als jemandem die
Begriffe, die er nicht im Hirn hat, aus der Nase zu ziehen.

Trotzdem möchte ich es versuchen: ...

[uswusf., ungenaues blabla gesnippt]

Die Rede war von deinem Hirn bzw. dessen schriftlichen
Abdruck in dieser NG.
In der Mathematik definiert man zuerst und fragt dann.

[Ganzhinterseher]

Post by Carlo XYZ
In der Mathematik definiert man zuerst und fragt dann.

Für die Mitleser zur Beurteilung, ob hier Unverständliches steht:

Auf der Zahlengerade zwischen 0 und 1/n liegen immer ℵo Punkte von Stammbrüchen (und dazwischen natürlich noch viele andere Punkte). Von diesen Stammbrüchen bleiben ℵo immer dunkel, sind also in keinem Falle definierbar. Wenn sie aber nicht existieren würden, dann wäre die reelle Zahlenachse unstetig. Damit ist die Existenz dunkler Zahlen bewiesen.

Gruß, WM

[Roalto]

Post by Ganzhinterseher

Post by Carlo XYZ
In der Mathematik definiert man zuerst und fragt dann.

Auf der Zahlengerade zwischen 0 und 1/n liegen immer ℵo Punkte von Stammbrüchen (und dazwischen natürlich noch viele andere Punkte). Von diesen Stammbrüchen bleiben ℵo immer dunkel, sind also in keinem Falle definierbar. Wenn sie aber nicht existieren würden, dann wäre die reelle Zahlenachse unstetig. Damit ist die Existenz dunkler Zahlen bewiesen.
Gruß, WM

Oh, Erleuchteter, was ist mit dem Skolems Paper? Wie beweist es dein blödes Gesülze?
Welche ernstzunehmenden Mathematiker sind deiner Meinung?

Viel Spass weiterhin
Roalto

[Juergen Ilse]

Hallo,

Post by Ganzhinterseher

Post by Carlo XYZ
In der Mathematik definiert man zuerst und fragt dann.

Auf der Zahlengerade zwischen 0 und 1/n liegen immer ℵo Punkte von Stammbrüchen (und dazwischen natürlich noch viele andere Punkte). Von diesen Stammbrüchen bleiben ℵo immer dunkel, sind also in keinem Falle definierbar. Wenn sie aber nicht existieren würden, dann wäre die reelle Zahlenachse unstetig. Damit ist die Existenz dunkler Zahlen bewiesen.

Durch diesen inetllektuellen Sondermuell ist lediglich IHRE absolute
Unfaehigekit zu Mathematiok bewiesen. Ueber "rechnen" im Sinne von
"von anderen erdachte Algoorithmen anwenden, womoeglich ohne sie auch
nur im Ansatz zu verstehen" gehen IHRE mathematischen Fahigkeiten
anscheinend nicht hinaus.

Tschuess,
Juergen Ilse (***@usenet-verwaltung.de)

[Andreas Leitgeb]

Post by Carlo XYZ
Hat man nicht-leere Universen, folgt aus (ExAy F) logisch (AyEx F).

Meine Absicht war es, diese Fälle zu charakterisieren, in denen
ein "(AyEx F)" erst aus dem "(ExAy F)" gefolgert wurde.

Ich gebe aber zu, die Fallstricke um leere Mengen dabei übersehen
zu haben.

[Ganzhinterseher]

Post by Andreas Leitgeb

Post by Ganzhinterseher
Wenn zwischen 0 und jedem definierbaren Intervall [1/n, 1] unendlich
viele dunkle Zahlen liegen, dann gibt es kein Intervall, das näher
an 0 heranreicht. Kannst Du das noch geistig bewältigen?

Ich sehe hier ein falsches Ergebnis, das sich nur mit einem falschen
Schluss herstellen lässt.

Du siehst ein Ergebnis, das die Existenz undefinierbarer natürlicher Zahlen beweist. Sie sind dunkel und daher bisher kaum aufgefallen.

Post by Andreas Leitgeb

Post by Ganzhinterseher
Du kannst gar nicht verstehen, dass es Situationen gibt, in denen
die Quantoren vertauscht werden dürfen,

Selbstverständlich gibt es Situationen, in denen man Quantoren umordnen
kann,

...

Post by Andreas Leitgeb
Die Aussage mit den verdrehten Quantoren ist dann einfach nicht mehr wahr.

Die Aussage lautet: Unabhängig von n liegen zwischen 0 und 1/n aleph_0 nicht definierbare Stammbrüche, die wir bei Richtung <--- als Vorgänger von 0 bezeichnen können. Es liegen also zwischen 0 und jedem definierbaren 1/n aleph_0 dunkle Stammbrüche. Diese Aussage ist offensichtlich richtig. Wenn sie jemand bezweifelt, dann braucht es keine tiefgründigen oder vordergründigen "Beweise", sondern ein Gegenbeispiel.

Post by Andreas Leitgeb

Post by Ganzhinterseher
Wenn zwischen 0 und jedem definierbaren ...

Lass es doch bitte Mathematik sein, wenn ich schon über etwas nachdenken
soll.

Post by Ganzhinterseher
..., dann gibt es kein Intervall, das näher an 0 heranreicht.

Auf diesen Fehlschluss kommt man eben mit einer unzulässigen Q.-vertauschung.

Dann denke über ein Gegenbeispiel nach. Nach Deiner Auffassung von Mathematik müsste es solche ja zuhauf geben.

Gruß, WM