Wir müssen nur wissen, wo eine Kraft wirkt, wenn wir ein Drehmoment berechnen. Bei Kontaktkräften ist klar, dass die Kraft am Kontaktpunkt wirkt. Bei einer Kraft wie der Schwerkraft, die in einiger Entfernung wirkt, ist dies jedoch weniger klar.
In Wirklichkeit besteht ein starres Objekt aus vielen Partikeln, und auf jedes von ihnen gibt es eine kleine Gravitationskraft und ein geringes Drehmoment. Wenn wir uns nur um die Beschleunigung kümmern, brauchen wir nur die Summe all dieser Kräfte, nämlich $ \ vec {F} _ {tot} = \ sum_i m_i \ vec {g} = M \ vec {g} $. Aber was ist mit den Drehmomenten?
Wir möchten so tun, als ob diese gesamte Gravitationskraft an einem einzelnen Punkt wirkt, um das Drehmoment zu berechnen. Gibt es einen Punkt $ \ vec {x} _ {cg} $, so dass $ \ vec {x} _ {cg} \ times \ vec {F} _ {tot} $ das gleiche Gesamtdrehmoment ergibt wie das Summieren aller kleinen Drehmomente?
Wenn wir alle Drehmomente zusammenfassen, finden wir $ \ vec {\ tau} _ {tot} = \ sum_i \ vec {x} _i \ times (m_i \ vec {g}) = \ left (\ frac { 1} {M} \ sum_i m_i \ vec {x} _i \ right) \ times (M \ vec {g}) $. Dies sagt uns, wir sollen $ \ vec {x} _ {cg} = \ frac {1} {M} \ sum_i m_i \ vec {x} _i $ den Schwerpunkt nennen, und wenn wir so tun, als ob die gesamte Schwerkraft wirkt An diesem Punkt erhalten wir immer die richtige Antwort für das Gravitationsdrehmoment. Schließlich stellen wir fest, dass es zufällig dieselbe Form hat wie die Definition des Massenschwerpunkts!
Allerdings! Wenn Sie die Berechnung selbst durchführen, stellen Sie möglicherweise fest, dass diese Ableitung nicht funktioniert, wenn $ \ vec {g} $ von Partikel zu Partikel variiert. In diesem Fall ist der Schwerpunkt nicht genau definiert. Möglicherweise gibt es kein $ \ vec {x} _ {cg} $, das das tut, was wir wollen, und selbst wenn es vorhanden ist, ist es nicht eindeutig, außer in einigen besonderen Fällen.