l' insieme delle parti P(M) , se M è infinito, è (imho) un concetto molto problematico

[r***@gmail.com]

Sia M un insieme e P(M) il suo insieme delle parti.

sappiamo che un insieme è ben definito quando esiste una procedura
che in un tempo finito mi dice se un certo elemento appartiene all'
insieme oppure no. Un algoritmo insomma.

Ma quando vado a costruire il P(M), se M è infinito francamente
trovo perlomeno problematico credere che ogni elemento di P(M) sia
ben definito : come sappiamo che *ogni* suo elemento disponga di
una procedura tale che bla bla (vedi sopra) ?

sappiamo ad es. (e lo sappiamo per certo) che R ha un botto di
elementi (la maggior parte) i quali non sono descrivibili da alcun
algoritmo. Cosiddetti (se ben ricordo) "reali inconoscibili".

Ovvio che ci sono : discende dal fatto che gli algoritmi finiti
hanno al piu potenza del numerabile. Facile da dimostrare, questo.

Allora come lo definisco l' insieme dei reali inconoscibili ?
Solo dicendo che appunto codesti numeri non hanno un algoritmo
che li descriva ?

Non mi pare basti, anche se non sono in grado di dimostrarvelo.
Lo vedo e basta. Ma posso dire questo :

Se prendete un reale qualsiasi allora l' AVETE PRESO, capite ?
dunque avete GIA l' algoritmo che lo descrive.

Gli inconoscibili non li "prendete" neanche. Ed è giusto allora
dire che li distinguete dagli altri solo perchè ... non potete
"prenderli" ?

Puzza lontano un miglio, ne converrete

Eppure ci vorrebbe una faccia tosta notevole per dire che quello
non è un sottoinsieme di R

E allora come la mettiamo ?

Allora dovremmo parlare di P(M) come i soli sottoinsiemi di M
*ben definiti*. E chi lo sa quanti sono ? E se tolti quelli R mi
diventa numerabile ? Che succederebbe ? Crollerebbe tutta la
costruzione cantoriana, ecco che succederebbe.

Ditemi

[socratis]

Post by r***@gmail.com
Allora dovremmo parlare di P(M) come i soli sottoinsiemi di M
*ben definiti*. E chi lo sa quanti sono ? E se tolti quelli R mi
diventa numerabile ? Che succederebbe ? Crollerebbe tutta la
costruzione cantoriana, ecco che succederebbe.

Il problema consiste nel fatto che se hai un " infinito "
dovresti avere il suo infinitesimo, ma questo lo può fare solo la T.n.p.
Tu non puoi farlo perchè pretendi di dividere il grande..per conoscere n.piccoli.
Ma cosa sarebbe il Grande, se non una sommatoria di n.piccoli ?
Se lo cerchi ho fatto un Teorema da cui puoi calcolare la somma dei vari
infinitesimi che esistono in 1000km. o in 100miliardi di km.
n.p = mezzo.inf *(inf+1)

Post by r***@gmail.com
Ditemi

Ti ho dato la ricetta : es. quale è la somma dei numeri n.p.1, da 0 a 10 ?
n.p.1 = 5*(10+1) = 55
Es: quale è la somma dei mm, in un metro ? Cioè; 1°+2°+3°+4°.....+1000°.
n.p.(°) = 500*1001 =500'500

Socratis

[Giovanni]

Post by r***@gmail.com
Sia M un insieme e P(M) il suo insieme delle parti.
sappiamo che un insieme è ben definito quando esiste una procedura
che in un tempo finito mi dice se un certo elemento appartiene all'
insieme oppure no. Un algoritmo insomma.
Ma quando vado a costruire il P(M), se M è infinito francamente
trovo perlomeno problematico credere che ogni elemento di P(M) sia
ben definito : come sappiamo che *ogni* suo elemento disponga di
una procedura tale che bla bla (vedi sopra) ?

L'esistenza dell'insieme delle parti dell'insieme S, dato S,
è data come ASSIOMA !
La stessa cosa accade per l'esistenza di un insieme INFINITO.
NON si puo' dimostrare che esiste un insieme infinito, perciò
lo si ammette PER ASSIOMA.

Non è però che puoi ammettere tutto quello che ti pare.
L'importante è che non si possa dedurre una contraddizione.

[Giorgio Pastore]

Il 30/10/18 10:57, Giovanni ha scritto:
....

Post by Giovanni
L'esistenza dell'insieme delle parti dell'insieme S, dato S,
è data come ASSIOMA !

Veramente esiste una definizione di insieme delle parti e la si puo'
applicare per capire da quali elementi e' costituito.

Stassa cosa per gli insiemi infiniti. C'e' la definizione e la si applica.

Definizioni e assiomi sono cose diverse.

[Giovanni]

Post by Giorgio Pastore
....

Post by Giovanni
L'esistenza dell'insieme delle parti dell'insieme S, dato S,
è data come ASSIOMA !

Veramente esiste una definizione di insieme delle parti e la si puo'
applicare per capire da quali elementi e' costituito.
Stassa cosa per gli insiemi infiniti. C'e' la definizione e la si applica.
Definizioni e assiomi sono cose diverse.

Appunto !

https://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_power_set

C'è una differenza sostanziale tra assiomi e definizioni
ed è quello che ho accennato nel mio post:
si aggiunge un assioma ad un sistema quando non è possibile
*dimostrare* qualcosa e perciò lo si assume.
Una definizione non potenzia un sistema, ma è solo una abbreviazione,
è solo una mera estensione del linguaggio.
L'aggiunta di un assioma rende più potente un sistema perchè gli
permette di dimostrare dei teoremi che senza non sarebbe possibile.
Una definizione invece lascia un sistema inalterato in quanto
capacità deduttiva.

[Giovanni]

Post by Giovanni

Post by Giorgio Pastore
....

Post by Giovanni
L'esistenza dell'insieme delle parti dell'insieme S, dato S,
è data come ASSIOMA !

Veramente esiste una definizione di insieme delle parti e la si puo'
applicare per capire da quali elementi e' costituito.
Stassa cosa per gli insiemi infiniti. C'e' la definizione e la si applica.
Definizioni e assiomi sono cose diverse.

Appunto !
https://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_power_set
C'è una differenza sostanziale tra assiomi e definizioni
si aggiunge un assioma ad un sistema quando non è possibile
*dimostrare* qualcosa e perciò lo si assume.
Una definizione non potenzia un sistema, ma è solo una abbreviazione,
è solo una mera estensione del linguaggio.
L'aggiunta di un assioma rende più potente un sistema perchè gli
permette di dimostrare dei teoremi che senza non sarebbe possibile.
Una definizione invece lascia un sistema inalterato in quanto
capacità deduttiva.

C'è anche un altro fatto fondamentale.
Nella Teoria degli insiemi ingenua, cioè quella prima della
Teoria assiomatica canonica di ZF, si dava per scontato che per ogni
proprieta' esisteva un insieme i cui elementi possedevano tale
proprieta'. Ma ciò ha portato, tra l'altro, al famoso Paradosso di Russell.
Ossia, più concretamente, se si assume tale possibilità si può
dedurre subito una contraddizione.
Una definizione, in effetti, descrive una certa entità matematica con
certe caratteristiche, tipo, appunto, l'insieme potenza.
Ma ciò NON BASTA, per quanto detto, ad asserirne anche l'esistenza.

Pensa al famoso Assioma di scelta.
E' facile *definirne* il senso:
data una qualunque collezione di insiemi si costruisce un insieme
*scegliendo* un elemento da ognuno degli insiemi della collezione.
Sembra facile, ma: è possibile fare sempre tale scelta ?
Se è possibile stabilire una *regola* per scegliere ogni volta non
c'è problema, ma, con un insieme infinito, senza una regola: in che modo
effettuare *infinite scelte* ?
Ecco allora l'assioma, che dice semplicemente, che la scelta la puoi
sempre fare.

[r***@gmail.com]

Post by Giovanni

Post by r***@gmail.com
Sia M un insieme e P(M) il suo insieme delle parti.
sappiamo che un insieme è ben definito quando esiste una procedura
che in un tempo finito mi dice se un certo elemento appartiene all'
insieme oppure no. Un algoritmo insomma.
Ma quando vado a costruire il P(M), se M è infinito francamente
trovo perlomeno problematico credere che ogni elemento di P(M) sia
ben definito : come sappiamo che *ogni* suo elemento disponga di
una procedura tale che bla bla (vedi sopra) ?

L'esistenza dell'insieme delle parti dell'insieme S, dato S,
è data come ASSIOMA !

e sta bene

Ma io ho argomentato "dimostrando" (senza il rigore necessario,
d' accordo) che se prendi R e fai il suo P(R) accadono cose
abbastanza problematiche.

Continuo dunque a dubitare che la costruzione sia fattibile. E'
affascinante, su questo non ci sono dubbi. Ma è anche molto molto
traballante.

Mi sa tanto che l' odioso Kronecher non c' aveva tutti i torti, ma
che noia sarebbe a mollare tutto ... :-)

[Giovanni]

Post by r***@gmail.com

Post by Giovanni

Post by r***@gmail.com
Sia M un insieme e P(M) il suo insieme delle parti.
sappiamo che un insieme è ben definito quando esiste una procedura
che in un tempo finito mi dice se un certo elemento appartiene all'
insieme oppure no. Un algoritmo insomma.
Ma quando vado a costruire il P(M), se M è infinito francamente
trovo perlomeno problematico credere che ogni elemento di P(M) sia
ben definito : come sappiamo che *ogni* suo elemento disponga di
una procedura tale che bla bla (vedi sopra) ?

L'esistenza dell'insieme delle parti dell'insieme S, dato S,
è data come ASSIOMA !

e sta bene
Ma io ho argomentato "dimostrando" (senza il rigore necessario,
d' accordo) che se prendi R e fai il suo P(R) accadono cose
abbastanza problematiche.
Continuo dunque a dubitare che la costruzione sia fattibile. E'
affascinante, su questo non ci sono dubbi. Ma è anche molto molto
traballante.
Mi sa tanto che l' odioso Kronecher non c' aveva tutti i torti, ma
che noia sarebbe a mollare tutto ... :-)

Hilbert disse:
“Nessuno ci scaccerà dal Paradiso che Cantor ci ha procurato.”

Gli antichi greci accettavano solo l'infinito potenziale.
Per es., pensavano ai numeri come qualcosa di cui si POTEVA sempre
pensare un altro maggiore, ma non ammettevano l'idea di TUTTI i numeri
in una volta (Infinito attuale).
C'è chi accetta l'infinito solo numerabile.

Si potrebbe pensare ai numeri reali non algoritmicamente raggiungibili
similmente al fatto che per ogni sistema formale ci sono proposizioni
non dimostrabili.
in un altro senso si possono pensare come numeri costitutivamente casuali.

[r***@gmail.com]

Post by Giovanni

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Sia M un insieme e P(M) il suo insieme delle parti.
sappiamo che un insieme è ben definito quando esiste una procedura
che in un tempo finito mi dice se un certo elemento appartiene all'
insieme oppure no. Un algoritmo insomma.
Ma quando vado a costruire il P(M), se M è infinito francamente
trovo perlomeno problematico credere che ogni elemento di P(M) sia
ben definito : come sappiamo che *ogni* suo elemento disponga di
una procedura tale che bla bla (vedi sopra) ?

L'esistenza dell'insieme delle parti dell'insieme S, dato S,
è data come ASSIOMA !

e sta bene
Ma io ho argomentato "dimostrando" (senza il rigore necessario,
d' accordo) che se prendi R e fai il suo P(R) accadono cose
abbastanza problematiche.
Continuo dunque a dubitare che la costruzione sia fattibile. E'
affascinante, su questo non ci sono dubbi. Ma è anche molto molto
traballante.
Mi sa tanto che l' odioso Kronecher non c' aveva tutti i torti, ma
che noia sarebbe a mollare tutto ... :-)

“Nessuno ci scaccerà dal Paradiso che Cantor ci ha procurato.”
Gli antichi greci accettavano solo l'infinito potenziale.
Per es., pensavano ai numeri come qualcosa di cui si POTEVA sempre
pensare un altro maggiore, ma non ammettevano l'idea di TUTTI i numeri
in una volta (Infinito attuale).
C'è chi accetta l'infinito solo numerabile.
Si potrebbe pensare ai numeri reali non algoritmicamente raggiungibili
similmente al fatto che per ogni sistema formale ci sono proposizioni
non dimostrabili.
in un altro senso si possono pensare come numeri costitutivamente casuali.

gia !

ma a voler essere pignoli devo correggerti :
non OGNI sistema formale ha proposizioni indimostrabili

Ad es. la logica enunciativa (a sua volta assiomatizzata) si
dimostra essere coerente E completa. Per dire.

A forza di leggere e rileggere sempre gli stessi libri ho
notato di capire ogni volta meglio il problema.

E piu lo capisco piu mi affascina