Oppikirjatietojen mukaan maapallon massa on noin 6 × 10 ^ {24} \, \ mathrm {kg} $. Kuinka tämä luku määritetään, kun maapalloa ei voida painottaa vain tavallisilla asteikoilla?
Mukaan Newtonin painovoimalaki , joka perustuu houkuttelevaan voimaan (painovoima), jota kaksi massaa kohdistaa toisiinsa:
$ $ F = \ frac {GmM} {r ^ 2} $$
Missä:
Newtonin toisesta liikelakista :
$$ F = ma $$
Missä:
Yhdistetään molemmat yhtälöt :
$$ F = \ frac {GmM} {r ^ 2} = ma $$
$$ \ frac {GM} {r ^ 2} = a $$ ( $ m $ on peruutettu.)
Nyt ratkaise $ M $ , maapallon massa.
$$ M = \ frac { ar ^ 2} {G} $$
Missä $ a = 9,8 \ \ mathrm {m} \ \ mathrm {s} ^ {- 2} $ , $ r = 6,4 \ kertaa 10 ^ 6 \ \ mathrm {m} $ ja $ G = 6,67 \ kertaa 10 ^ {- 11} \ \ mathrm {m} ^ 3 \ \ mathrm {kg} ^ {- 1} \ \ mathrm {s} ^ {- 2} $ .
$$ M = 9,8 \ kertaa (6,4 \ kertaa 10 ^ 6) ^ 2 / (6,67 kertaa 10 ^ {- 11}) \ \ mathrm {kg} $$
Siksi
Huomaa: Päivitin tämän vastauksen kuvaamaan historiallisia tekniikoita.
Historialliset tekniikat
Newton kehitti hänen gravitaatioteoriansa selittää ensisijaisesti aurinkokunnan muodostavien kappaleiden liikkeet. Hän tajusi myös, että vaikka painovoima saa Maan kiertämään aurinkoa ja Kuu kiertää maata, se on vastuussa myös puista putoavista omenoista. Kaikki houkuttelee kaikkea muuta, painovoimaisesti. Se ehdotti, että teoriassa voitaisiin mitata gravitaatiovoima pienten palloparien välillä. Newton itse tajusi tämän, mutta hänen mielestään se ei ollut kovin käytännöllistä. Ei varmasti kahta pientä palloa (Newton 1846):
Mistä yhden jalan halkaisijaltaan oleva pallo, jolla on samanlainen luonne maahan, houkuttelisi pienen rungon, joka on sijoitettu pinnan lähelle voimalla 20000000 kertaa vähemmän kuin maa tekisi, jos se sijoitettaisiin sen pinnan lähelle; mutta niin pieni voima ei voinut tuottaa mitään järkevää vaikutusta. Jos kaksi tällaista palloa olisi kaukana, mutta yhden tuuman tarkkuudella, ne eivät edes vastustuksen tyhjissä tiloissa tulleet yhteen keskinäisen vetovoiman voimalla alle kuukauden kuluttua; ja vähemmän palloja tulee yhteen vielä hitaammin, nimittäin niiden halkaisijoiden suhteessa.
Ehkä vuori?
Ei, kokonaiset vuoret eivät riitä tuottamaan järkeviä vaikutuksia. Kolmen mailin korkea ja kuusi leveä puolipallonmuotoinen vuori ei vetovoimallaan vetää heiluria kaksi minuuttia todellisesta kohtisuorasta: ja nämä voimat on tarkoitus saavuttaa vain planeettojen suurissa kappaleissa koettu, ...
Newtonin ajatus tällaisten pienten mittausten epäkäytännöllisyydestä osoittaisi olevan väärä. Newton ei tiennyt, että tieteellinen vallankumous, jonka hän itse auttoi kuljettamaan, tekisi nopeasti mahdollisuuden niin pieniin mittauksiin.
Maan punnitseminen vuorilla
Ensimmäisen yrityksen "punnita maa" teki Ranskan geodeettisen tehtävän aikana Peruun Pierre Bouguer, Charles Marie de La Condamine ja Louis Godin. Heidän ensisijaisena tehtävänään oli määrittää Maan muoto. Oliko maapallolla ekvatoriaalinen pullistuma, kuten Newton ennusti? (Ranskalaiset olivat lähettäneet toisen joukkueen Lapiin suorittamaan saman päämäärän.) Bouguer käytti matkaa mahdollisuutena testata Newtonin ehdotusta siitä, että vuori ohjaisi luistinpään tutkitusta normaalista. Hän valitsi aihepiiriksi Chimborazon. Valitettavasti mittaukset tulivat täysin väärin. Plumb bob oli taipunut, mutta väärään suuntaan. Bouguer mitasi pienen taipuman pois vuorelta (Beeson, verkkosivu).
Seuraava yritys oli Schiehallion-kokeilu. Mason-Dixon-linjaa kartoittaessaan Charles Mason ja Jeremiah Dixon havaitsivat, että toisinaan heidän kalibrointejaan ei vain voitu sopia keskenään. Syynä oli se, että heidän luumupillinsa poikkesivat toisinaan tutkitusta normaalista. Tämä löytö johti Nevil Maskelynen suorittamaan Schiehallion-kokeeseen. Toisin kuin Bouguer, Maskelyne sai positiivisen tuloksen, 11,6 kaarisekunnin taipuman ja oikeaan suuntaan. Havaitut taipumat saivat Maskelynen päättelemään, että maapallon keskimääräinen tiheys on 4 713 kertaa suurempi kuin veden (von Zittel 1914).
On käynyt ilmi, että Newtonin ajatus vuoren käytöstä on periaatteessa virheellinen. Toiset yrittivät toistaa nämä kokeet käyttämällä muita vuoria. Monet mittaivat negatiivisen taipuman, samoin kuin Bouguer. Tähän on hyvä syy. Samasta syystä, että näemme vain pienen osan jäävuoresta (suurin osa on veden alla), näemme vain pienen osan vuoresta. Suurin osa vuoresta on maan sisällä. Valtavan eristetyn vuoren pitäisi saada luumut poikkeamaan vuoresta.
Maan punnitseminen pienillä massoilla
Joten jos vuorten käyttö on epäilyttävää, mitä se sanoo pienten massojen käytön epäilyttävyydestä, joka vie kuukausia lähestyä toisiaan, vaikka ne erotettaisiin vain tuumilla? hyvä idea. Nämä pienet massat ovat hallittavissa ja niiden massat voidaan mitata suurella tarkkuudella. Ei tarvitse odottaa, kunnes ne törmäävät. Mittaa vain niiden voimaa, joita he kohdistavat toisiinsa.
Tämä idea oli perusta Cavendish-kokeilulle (Cavendish 1798). Cavendish käytti kahta pientä ja kahta isoa lyijypalloa. Kaksi pientä palloa ripustettiin vaakasuoran puisen varren vastakkaisista päistä. Puinen varsi puolestaan ripustettiin langalla. Kaksi suurta palloa asennettiin erilliseen laitteeseen, jota hän pystyi kääntämään tuodakseen suuren pallon hyvin lähelle pientä palloa. Tämä tiivis erottelu aiheutti painovoiman pienen ja suuren pallon välillä, mikä puolestaan aiheutti puuvartta pitävän langan kiertymisen. Vaijerin vääntö vastapainoksi tätä painovoimaa. Lopulta järjestelmä asettui tasapainotilaan. Hän mitasi vääntö tarkkailemalla käsivarren kulmapoikkeamaa sen kiertämättömästä tilasta. Hän kalibroi tämän vääntömomentin erilaisten mittausten avulla. Lopuksi punnitsemalla nuo lyijypallot Cavendish pystyi laskemaan maan keskimääräisen tiheyden.
Huomaa, että Cavendish ei mitannut universaalia painovoimaa G. Cavendishin paperissa ei mainita painovoiman vakiota. Ajatus siitä, että Cavendish mittaa G: tä, on vähän historiallista revisionismia. Newtonin yleisen painovoiman lain, $ F = \ frac {GMm} {r ^ 2} $, modernia merkintää ei yksinkertaisesti ollut olemassa Cavendishin aikana. Vasta 75 vuotta Cavendishin kokeiden jälkeen Newtonin yleisen gravitaation laki muotoiltiin uudelleen painovoiman vakiona G. Newtonin ja Cavendishin aikojen tutkijat kirjoittivat suhteellisuussuhteilla sen sijaan, että käyttäisivät suhteellisuusvakiota.
Cavendishin kokeilun tarkoitus oli "punnita" maapalloa, ja juuri niin hän teki.
Moderni tekniikka
Jos maapallo oli pallomainen, jos ei ollut muita häiritseviä vaikutuksia, kuten gravitaatiokiihtyvyys kuuhun ja aurinkoon, ja jos Newtonin gravitaatioteoria oli oikea, maapallon ympäri kiertävän pienen satelliitin jakso annetaan Keplerin kolmannessa laissa: $ \ vasen (\ frac T {2 \ pi} \ oikea) ^ 2 = \ frac {a ^ 3} {GM_E} $. Tässä $ T $ on satelliitin jakso, $ a $ on satelliitin puoli-akseli (kiertoradan säde), $ G $ on yleinen painovoiman vakio ja $ M_E $ on maapallon massa.
Tästä on helppo ratkaista tuotteelle $ G M_E $, jos jakso $ T $ ja kiertoradan säde $ a $ tunnetaan: $ G M_E = \ left (\ frac {2 \ pi} T \ right) ^ 2 a ^ 3 $. Maan massan laskemiseksi tarvitsee vain jakaa $ G $: lla. Siellä on kuitenkin saalis. Jos tuote on $ G, M_E $ tunnetaan suurella tarkkuudella (ja se onkin), jakaminen $ G $: lla menettää paljon tarkkuutta, koska gravitaatiovakio $ G $ tunnetaan vain neljän desimaalin tarkkuudella. Tämä $ G $: n tuntemattomuus vaatii luonnostaan tarkkaa maapallon massan mittausta.
Lisäsin paljon varoituksia tähän laskutoimitukseen:
Nämä häiriöt on otettava huomioon, mutta perusajatus on edelleen: Maapalloa voidaan "punnita" tarkkailemalla tarkasti satelliittia pitkään. Tarvitaan erityisesti tähän tarkoitukseen sopiva satelliitti. Tässä se on:
Tämä on LAGEOS-1, joka lanseerattiin vuonna 1976. Samanlainen kaksoset, LAGEOS-2, otettiin käyttöön vuonna 1992. Nämä ovat erittäin yksinkertaiset satelliitit. Heillä ei ole antureita, efektejä, viestintälaitteita eikä elektroniikkaa. Ne ovat täysin passiivisia satelliitteja. Ne ovat vain kiinteitä messinkipalloja, joiden halkaisija on 60 cm ja jotka on peitetty heijastimilla.
Sen sijaan, että satelliitti tekisi mittauksia, ihmiset maassa tähtäävät lasereihin satelliitteihin. Se, että satelliitit on peitetty heijastimilla, tarkoittaa, että osa satelliittiin osuvasta laservalosta heijastuu takaisin lähteeseen. Ajastuksen heijastuminen heijastuneen valon vastaanottoon antaa tarkan etäisyyden satelliittiin. Lähetetyn signaalin ja paluusignaalin välisen taajuusmuutoksen tarkka mittaaminen antaa tarkan mittauksen nopeudesta, jolla etäisyys muuttuu.
Keräämällä nämä mittaukset ajan mittaan tutkijat voivat hyvin tarkasti määrittää nämä satelliitit kiertävät, ja siitä lähtien he voivat "punnita maapallon". Tuotteen $ G M_E $ nykyinen arvio on $ G M_E = 398600.4418 \ pm 0,0009 \ \ text {km} ^ 3 / \ text {s} ^ 2 $. (NIMA 2000). Pieni virhe tarkoittaa, että tämä on tarkka 8,6 desimaalin tarkkuudella. Melkein kaikki virheet Maan massassa johtuvat $ G $: n epävarmuudesta.
Viitteet
M. Beeson, "Bouguer ei punnitse maata" (verkkosivu)
I. Newton (kääntäjä A. Motte), Principia, Maailman järjestelmä (1846)
Maan massa voidaan määrittää ns. Cavendish-kokeella. Henry Cavendish käytti laitetta gravitaatiovakion G määrittämiseen, joka esiintyy painovoiman täydellisessä yhtälössä:
$$ F = {Gm_1m_2 \ yli R ^ 2} $$
missä $ m_1 $ ja $ m_2 $ ovat kahden objektin massoja, $ R $ esineiden painopisteiden välinen etäisyys ja $ G $ painovoiman vakio (noin 6 674 dollaria \ kertaa 10 ^ {- 11} \ mathrm {N ~ m ^ 2 ~ kg ^ {- 2}} $).
Koska maan halkaisija ja gravitaatiovakio ovat tiedossa, painovoiman määrittäminen tunnetun massaan esineeseen antaa meille kyseisen voiman (eli maan) massaa.
Cavendish on saattanut käyttää suorempaa lähestymistapaa, mutta Neville Maskelyn teki sen aiemmin Schiehallion-kokeessa - julkaistiin vuonna 1778. Paljon valaistumisen tarinaa, joka sisältää Cookin retkikunnalta jäljelle jääneitä rahaa kauttakulun tarkkailemiseksi. Venuksen; Vapaamuurari & Dixon; ja jopa Benjamin Franklin oli mukana varhaisessa suunnittelussa.
Schiehallion on symmetrinen ja suhteellisen eristetty vuori Skotlannissa. Mittaamalla muoto (ja keksimällä prosessiviivat!) On mahdollista laskea tilavuus. Kivinäytteestä voit laskea vuoren massan. Heilurin taipumista tarkastelemalla voit laskea maapallon massan ja Schiehallionin massan suhteen.
Modernin digitaalisen maastomallin ja geologisten mallien avulla Maskelynin heilurimittaukset antavat tuloksen, joka on sopusoinnussa nykyisen G: n (tai M: n - ne ovat saman kolikon kaksi puolta) hyväksytty arvo.
Vieraana olen noussut vuorelle noin 18 kuukautta sitten. Jos sää on kirkas, saat upeat näkymät, koska lähellä ei ole vuoria (mikä myös häiritsisi mittauksia).
Helpoin tapa on käyttää satelliitin gravimetriä ja ratkaista kuuluisa käänteisen neliön lain yhtälö, jonka Newton keksi vuosisatoja sitten.
Toinen tapa, joka saattaa olla hyödyllinen harjoitus (minulla oli sen tekeminen kiinteän maan geofysiikan luokassa) tarkoittaa, että oletetaan 4-kerroksinen maa (kuori, vaippa, uloin ydin, sisempi ydin). Käytä seismisiä tietoja saadaksesi paitsi kunkin kerroksen syvyyden (S / P-heijastusten kautta) myös kunkin kerroksen tiheydet seismisten nopeuksien kautta. Voit olettaa homogeeniset tiheydet kullekin "kuorelle" ja löytää massa käyttämällä maan kehää (ja siten halkaisijaa).
Voit ratkaista sen myös käyttämällä planeettaliikkeen kepler / newton-lakeja, jos tiedät kahden kehon (maan ja kuu / maa ja aurinko) välisen etäisyyden.
IE, on olemassa monella tapaa, jolla Newtonin painolaki antaa meille erittäin hyvän arvion maapallon massasta.