$$ \ mathbf D = \ varepsilon \ mathbf E $$ Non capisco la differenza tra $ \ mathbf D $ e $ \ mathbf E $. Quando ho un condensatore a piastre, un mezzo diverso all'interno cambierà $ \ mathbf D $, giusto? $ \ Mathbf E $ dipende solo dalle cariche, giusto?
Come ha detto @Marek sopra, il campo elettrico $ E $ è il campo fondamentale, ed è in un certo senso il più fisico. Tuttavia, le equazioni di Maxwell hanno un significato geometrico più ordinato se si inseriscono i campi "ausiliari" $ D $ (e $ H $ per $ B $). Di solito dico ai miei studenti la seguente versione dell'elettromagnetismo:
Ci sono 4 campi nell'elettromagnetismo. Li chiamiamo $ E $, $ D $, $ B $ e $ H $. Tutti questi campi sono indipendenti e ugualmente importanti. Inoltre, incorporano effettivamente concetti geometrici che si manifestano nelle equazioni integrali: $$ \ oint_S D \ cdot dS = Q (S) $$ $$ \ oint_S B \ cdot dS = 0 $$ $$ \ oint _ {\ partial S} E \ cdot dl + \ partial_t \ int_S B \ cdot dS = 0 $$ $$ \ oint _ {\ partial S} H \ cdot dl - \ parziale_t \ int_S D \ cdot dS = \ int_S j \ cdot dS $$
Nota che:
Queste equazioni formano le equazioni di Maxwell. Non determinano in modo univoco una situazione fisica. In particolare, devono essere aumentate con relazioni costitutive che descrivono le proprietà (macroscopiche) del materiale. Ad esempio, potremmo avere mezzi lineari, isotropi, omogenei (LIH), nel qual caso avremmo $ D = \ epsilon E $ e $ B = \ mu H $. Ma in generale, potremmo avere $ \ epsilon $ e $ \ mu $ come tensori, che variano in funzione del tempo e dello spazio, o anche dipendere dai campi $ E $, $ B $, ecc.! Queste relazioni costitutive potrebbero essere arbitrariamente complicate, e in effetti gran parte del nuovo campo dell'ingegneria metamateriale riguarda la creazione di microstrutture che produrrebbero relazioni costitutive interessanti e utili su scala macroscopica. Più comunemente, uno scenario in cui la linearità si interrompe è nei ferromagneti / ferroelettrici.
Di solito c'è un'altra relazione costitutiva, che collega corrente e campo elettrico. Nei media LIH questa è chiamata legge di Ohm: $ J = \ sigma E $.
C'è un'altra equazione, che è semplicemente sempre vera, che è la conservazione della carica; nella notazione sopra, $ \ partial_t Q (S) - \ int_S j \ cdot dS = 0 $.
Modifica : alcune osservazioni aggiuntive:
In una forma relativisticamente covariante, possiamo unire $ E $ e $ B $ insieme per ottenere la forma 2 $ F $, e $ D $ e $ H $ per ottenere il suo doppio Hodge $ \ star F $. Quest'ultimo in generale dipende dalla metrica che scegliamo. Per i materiali lineari è possibile nascondere gli effetti della polarizzazione / magnetizzazione del materiale come metrica di fondo. Per inciso, in questa forma, l'energia è data da $ F \ cuneo \ stella F $, quindi è chiaro che energia / quantità di moto dovrebbero essere coppie "opposte", cioè il vettore di Poyntin è $ N = E \ volte H $.
Nelle simulazioni numeriche, è doppiamente importante obbedire alle equazioni di Maxwell: non farlo porta a cose altamente non fisiche come la propagazione superluminale delle onde o l'incapacità di conservare energia o quantità di moto. È stato scoperto che la chiave è essere esatti rispetto alle forme integrali delle equazioni e mettere tutto l'errore di discretizzazione nel non soddisfare le proprietà costitutive del materiale.
$ \ mathbf E $ è il campo fondamentale nelle equazioni di Maxwell, quindi dipende da tutte le cariche. Ma i materiali hanno molte cariche interne che di solito non ti interessano. Puoi sbarazzartene introducendo la polarizzazione $ \ mathbf P $ (che è la risposta del materiale al $ \ mathbf Campo E $ ). Quindi puoi sottrarre l'effetto delle cariche interne e otterrai equazioni solo per cariche gratuite. Queste equazioni avranno lo stesso aspetto delle equazioni di Maxwell originali ma con $ \ mathbf E $ sostituite da $ \ mathbf D $ span> e addebiti solo con addebiti gratuiti. Argomenti simili valgono per correnti e campi magnetici.
Con questo in mente, vedi che devi prendere $ \ mathbf D $ nel tuo esempio perché $ \ mathbf E $ è sensibile anche alle cariche polarizzate all'interno del mezzo (di cui non sai nulla). Quindi il campo $ \ mathbf E $ all'interno sarà $ \ varepsilon $ volte quello del conduttore nel vuoto .
Il campo elettrico $ \ mathbf E $ è quello fondamentale. In linea di principio, non è necessario il campo di spostamento elettrico $ \ mathbf D $, tutto può essere espresso solo in termini di campo $ \ mathbf E $.
Questo funziona bene per il vuoto. Tuttavia, per descrivere i campi elettromagnetici nella materia , è conveniente introdurre un altro campo $ \ mathbf D $. Le equazioni originali di Maxwell sono ancora valide, ma nella materia, devi fare i conti con cariche e correnti aggiuntive che sono indotte dal campo elettrico e che inducono anche campi elettrici aggiuntivi. (Più precisamente, di solito si fa l'approssimazione che il campo elettrico induca minuscoli dipoli, che sono descritti dalla polarizzazione elettrica $ \ mathbf P $.) Un po 'di calcolo mostra che puoi comodamente nasconderli costi aggiuntivi introducendo il campo di spostamento elettrico $ \ mathbf D $, che quindi soddisfa l'equazione
$$ \ nabla · \ mathbf D = \ rho_ \ text {free}. $$
Il punto è che questa equazione coinvolge solo la densità di carica "esterna" ("gratuita") $ \ rho_ \ text {free} $. Le cariche che si accumulano all'interno del blocco di materia sono già state prese in considerazione dall'introduzione del campo $ \ mathbf D $.
Per capire quale campo è "reale", scrivi un'equazione di movimento di carica. La forza in esso è determinata con il campo reale lì. In un mezzo è ancora E : $ m \ vec {a} = q \ vec {E} $. In caso di campo magnetico, è $ \ vec {B} $ che determina la forza: $ m \ vec {a} = q \ vec {v} \ times \ vec {B} / c $.
$ D $ è il campo di spostamento elettrico o comunemente la densità di flusso e $ E $ è l'intensità del campo. C'è una differenza fondamentale tra loro che sarà compresa in una certa misura man mano che si passa attraverso la seguente risposta. Considera un punto di carica di $ Q $ coulomb. Ciò significa che il numero di linee di flusso emesse dalla carica è $ Q $ coulomb. .
Poniamo che l'ipotetica sfera mostrata in figura abbia un raggio $ r $. Allora $ D $ è dato da \ begin {equation} D = \ frac {Q} {4 \ pi r ^ 2}. \ End {equation} Cioè $ D $ è il numero di linee di flusso che passano per area. Quindi, per avere una comprensione intuitiva, interpreta $ Q $ come un numero (numero di linee di flusso) e $ D $ come una densità numerica (numero di linee di flusso per area). Ora, che dire di $ E? $ $ E $, che è l'intensità del campo elettrico, è in realtà una forza ($ E $ è definita come forza per coulomb) per linea di flusso, cioè la forza trasportata da ciascuna linea di flusso. Quindi, la relazione $ D = \ varepsilon E $ collega la densità numerica delle linee di flusso, D, con una forza per termine della linea di flusso, $ E $. Ora, la permettività $ \ varepsilon $ è definita come la capacità di far passare linee di flusso elettrico attraverso di essa. Questo è un modo di dire qualitativo. Quantitativamente, può essere visto come il rapporto $ \ frac {D} {E} $, cioè $ \ varepsilon $ è il numero di linee di flusso elettrico (l'unità è coulomb, come accennato in precedenza) che passano attraverso l'unità di area per unità di forza / flux (che è l'intensità del campo unitario). Cioè, diciamo $ \ varepsilon = 5 $ (questo valore di $ \ varepsilon $ è ipotetico e considerato solo per motivi di spiegazione) significa che ci sono 5 linee di flusso in un'area unitaria considerata normale a un campo elettrico con ciascuna linea di flusso portando $ 1 N $ forza.