Implikation an Beispiel

[Udo]

Hallo
ich bitte um Hilfe beim Verständnis der Implikation:
Laut Lehrbuch gilt:

----------------
A B A=>B
----------------
(1) W W W
(2) W F F
(3) F W W
(4) F F W
----------------

Die Implikation ist also immer wahr, außer in dem Fall,
wenn A wahr und B falsch ist (ex falso quodlibet).

Wenn ich das jetzt in folgendes konkretes Beispiel mit Zahlen
übersetze, ist mir das nicht mehr klar.

Sei die Aussage

A: k ist eine ungerade natürliche Zahl
B: k^2, also das Quadrat der Zahl k, ist ebenfalls ungerade

Wenn ich das in obige Wahrheitstafel übersetze,
steht da laut Implikationsschema:

(1): Wenn k ungerade ist, dann ist k^2 ungerade (Wahr)
(2): Wenn k ungerade ist, dann ist k^2 gerade (Falsch)
(3): Wenn k nicht ungerade (sondern gerade) ist, dann ist k^2 ungerade (???)
(4): Wenn k nicht ungerade (sondern gerade) ist, dann ist k^2 nicht ungerade (sondern gerade) (Wahr)

Was ist an diesem Beispiel nicht richtig?
Bzw. wieso ist im Fall (3) die Implikation dennoch richtig?

Ich hab in fünf verschiedenen Lehrbüchern nachgeschaut, finde die Implikation
aber meistens an eher ungeeigneten Beispielen erklärt, ähnlich wie
"Wenn es regnet, dann ist die Straße nass."

Könnte mir jemand helfen, wo der Denkfehler in obigem Beispiel liegt?

Danke und Grüße
Udo

[Rainer Rosenthal]

Post by Udo
Hallo
----------------
A B A=>B
----------------
(1) W W W
(2) W F F
(3) F W W
(4) F F W
----------------
Die Implikation ist also immer wahr, außer in dem Fall,
wenn A wahr und B falsch ist (ex falso quodlibet).

Hallo Udo,

hast Du nur das Buch zur Verfügung, oder aus welchem Grund beschäftigst
Du Dich gerade mit dem Thema? Rate ich richtig, wenn ich glaube, dass Du
Dich für einen Leistungskurs in der Oberstufe interessierst?

Wie auch immer, ich finde es gut, dass Du Deine Frage sauber formuliert
hast, so dass Hilfe möglich ist. (Manchmal genügt es bereits, seine
Frage zu formulieren, und dann ergibt sich die Antwort von selbst. Das
ist hier natürlich nicht der Fall.)

Vorab zu "ex falso quodlibet" = "aus Falschem folgt alles".
Damit bezeichnet man die Fälle (3) und (4).
Denn es gilt sowohl F => W als auch F => F. Wenn Du über Aussage X
weißt, dass F => X gilt (wahr ist), dann folgt X aus etwas Falschem.
Das hilft Dir aber nicht bei der Beurteilung, ob X wahr oder falsch ist.

Der von Dir genannte Fall (2) ist der spannende und wichtige.
Wenn Du weißt, dass W => X gilt, dass X also aus etwas Wahrem folgt,
Dann weißt Du dank der Wahrheitstafel oben, dass X wahr sein muss.
Denn von "W => W" und "W => F" ist nur der erste Fall möglich.

Post by Udo
Wenn ich das jetzt in folgendes konkretes Beispiel mit Zahlen
übersetze, ist mir das nicht mehr klar.
Sei die Aussage
A: k ist eine ungerade natürliche Zahl
B: k^2, also das Quadrat der Zahl k, ist ebenfalls ungerade

Bevor ich das Weitere beantworte, stelle ich eine ganz blöde Frage:

Ist A wahr?

So ganz blöde ist die Frage natürlich nicht, denn wenn Du sie zu
beantworten versuchst, kriegst Du Boden unter die Füße.

Dass die Frage nicht blöde ist, liegt daran, dass wir ja in der
Wahrheitstafel nur über solche Aussagen sprechen, die als wahr oder
falsch bezeichnet wedrden können. Und da ist es wieder, das doofe
Beispiel mit der nassen Straße :-)

Gruß,
Rainer Rosenthal

Post by Udo
Wenn ich das in obige Wahrheitstafel übersetze,
(1): Wenn k ungerade ist, dann ist k^2 ungerade (Wahr)
(2): Wenn k ungerade ist, dann ist k^2 gerade (Falsch)
(3): Wenn k nicht ungerade (sondern gerade) ist, dann ist k^2 ungerade (???)
(4): Wenn k nicht ungerade (sondern gerade) ist, dann ist k^2 nicht ungerade (sondern gerade) (Wahr)
Was ist an diesem Beispiel nicht richtig?
Bzw. wieso ist im Fall (3) die Implikation dennoch richtig?
Ich hab in fünf verschiedenen Lehrbüchern nachgeschaut, finde die Implikation
aber meistens an eher ungeeigneten Beispielen erklärt, ähnlich wie
"Wenn es regnet, dann ist die Straße nass."
Könnte mir jemand helfen, wo der Denkfehler in obigem Beispiel liegt?
Danke und Grüße
Udo

[Udo]

Post by Rainer Rosenthal
Hallo Udo,
hast Du nur das Buch zur Verfügung, oder aus welchem Grund beschäftigst
Du Dich gerade mit dem Thema? Rate ich richtig, wenn ich glaube, dass Du
Dich für einen Leistungskurs in der Oberstufe interessierst?

Hallo Rainer,
erstmal Danke, dass Du Dich meines Problems angenommen hast.
Und - Nein Rainer,
ich bin längst im Ruhestand, bin Chemiker, Biologe und Mediziner (Internist) und
hab jetzt Zeit, mich mit all dem zu beschäftigen, was ich früher nicht verstanden
habe (z.B. auch Schrödinger-Gleichung).
Ziel: Von einigem noch ein Verständnis entwickeln, bevor man das Zeitliche segnet :-))
Wirklich!

Post by Rainer Rosenthal
...
Der von Dir genannte Fall (2) ist der spannende und wichtige.
Wenn Du weißt, dass W => X gilt, dass X also aus etwas Wahrem folgt,
Dann weißt Du dank der Wahrheitstafel oben, dass X wahr sein muss.
Denn von "W => W" und "W => F" ist nur der erste Fall möglich.

Post by Udo
Wenn ich das jetzt in folgendes konkretes Beispiel mit Zahlen
übersetze, ist mir das nicht mehr klar.
Sei die Aussage
A: k ist eine ungerade natürliche Zahl
B: k^2, also das Quadrat der Zahl k, ist ebenfalls ungerade

Ist A wahr?
So ganz blöde ist die Frage natürlich nicht, denn wenn Du sie zu
beantworten versuchst, kriegst Du Boden unter die Füße.
Dass die Frage nicht blöde ist, liegt daran, dass wir ja in der
Wahrheitstafel nur über solche Aussagen sprechen, die als wahr oder
falsch bezeichnet wedrden können. Und da ist es wieder, das doofe
Beispiel mit der nassen Straße :-)

Ich hab mir fast schon gedacht, dass A möglicherweise keine richtige
Aussage ist, weil da das k als Variable auftaucht.

Aber was ist, wenn ich das k jetzt durch die konkrete Zahl 5 ersetze?
Dann lautet Aussage A: 5 ist eine ungerade natürliche Zahl.
Und diese Aussage ist wahr.

Dann würde das Schema lauten:

(1): Wenn 5 ungerade ist, dann ist 5^2 ungerade (Wahr)
(2): Wenn 5 ungerade ist, dann ist 5^2 gerade (Falsch)
(3): Wenn 5 nicht ungerade (sondern gerade) ist, dann ist 5^2
ungerade (???)
(4): Wenn 5 nicht ungerade (sondern gerade) ist, dann ist 5^2 nicht
ungerade (sondern gerade) (???)>

Post by Rainer Rosenthal
Gruß,
Rainer Rosenthal

Irgendwie steh ich mit (3) und (4) immer noch auf Kriegsfuß.

Nochmals Danke und Grüße
Udo

[Rainer Rosenthal]

Am 10.10.2020 um 17:54 schrieb Udo:
#
# ich bitte um Hilfe beim Verständnis der Implikation:
# Laut Lehrbuch gilt:
#
# ----------------
# A B A=>B
# ----------------
# (1) W W W
# (2) W F F
# (3) F W W
# (4) F F W
# ----------------
#
# Sei die Aussage
#
# A: k ist eine ungerade natürliche Zahl
# B: k^2, also das Quadrat der Zahl k, ist ebenfalls ungerade
#

Post by Udo
Ich hab mir fast schon gedacht, dass A möglicherweise keine richtige
Aussage ist, weil da das k als Variable auftaucht.
Aber was ist, wenn ich das k jetzt durch die konkrete Zahl 5 ersetze?
Dann lautet Aussage A: 5 ist eine ungerade natürliche Zahl.
Und diese Aussage ist wahr.

Ja, A = "5 ist eine ungerade natürliche Zahl" ist wahr.

Jetzt stelle ich die nächste unvermeidliche Frage (wer A sagt muss auch
B sagen):

Ist B wahr oder falsch?

Ich denke, die Frage wird Dir gefallen, denn damit kommst Du selbst
sicher ein Stück weiter und kannst mich gerne dann weiter befragen.

Herzlich grüßend,
Rainer

Post by Udo
(1): Wenn 5 ungerade ist, dann ist 5^2 ungerade (Wahr)
(2): Wenn 5 ungerade ist, dann ist 5^2 gerade (Falsch)
(3): Wenn 5 nicht ungerade (sondern gerade) ist, dann ist 5^2
ungerade (???)
(4): Wenn 5 nicht ungerade (sondern gerade) ist, dann ist 5^2 nicht
ungerade (sondern gerade) (???)>
Irgendwie steh ich mit (3) und (4) immer noch auf Kriegsfuß.

[Rainer Rosenthal]

Post by Rainer Rosenthal
#
# Sei die Aussage
#
# A: k ist eine ungerade natürliche Zahl
# B: k^2, also das Quadrat der Zahl k, ist ebenfalls ungerade
#

Post by Udo
Ich hab mir fast schon gedacht, dass A möglicherweise keine richtige
Aussage ist, weil da das k als Variable auftaucht.
Aber was ist, wenn ich das k jetzt durch die konkrete Zahl 5 ersetze?
Dann lautet Aussage A: 5 ist eine ungerade natürliche Zahl.
Und diese Aussage ist wahr.

Ja, A = "5 ist eine ungerade natürliche Zahl" ist wahr.
Jetzt stelle ich die nächste unvermeidliche Frage (wer A sagt muss auch
Ist B wahr oder falsch?
Ich denke, die Frage wird Dir gefallen, denn damit kommst Du selbst
sicher ein Stück weiter und kannst mich gerne dann weiter befragen.
Herzlich grüßend,
Rainer

Ist der Fall jetzt für Dich abgehakt?

Gruß,
Rainer Rosenthal

[Udo]

Post by Rainer Rosenthal
Ist der Fall jetzt für Dich abgehakt?

Hallo Rainer,
erstmal vielen Dank an Dich und all die anderen für die ausführlichen und sehr
hilfreichen Antworten. Wie Du Dir denken kannst, ist der Fall für mich bei weitem
noch nicht abgehakt :-))
Ich komme erst heute dazu, all die Antworten gründlich durchzuarbeiten, da
Corona in meinem persönlichen Umfeld zugeschlagen hat.
Sobald ich "durch" bin, melde ich mich wieder.
(Kann ein bisschen dauern, da ich nur über ein etwas langsam denkendes,
badisches 8-Bit-Gehirn verfüge).

Post by Rainer Rosenthal
Gruß,
Rainer Rosenthal

[Rainer Rosenthal]

Post by Udo
noch nicht abgehakt :-))
...
Corona in meinem persönlichen Umfeld zugeschlagen hat.

Herrje, jetzt ist Corona schon bei den Wahrheitstafeln angekommen.
Dann kann es ja nur noch besser werden.

Gruß und bleib gesund,
Rainer

[Udo]

Post by Rainer Rosenthal

Post by Udo
noch nicht abgehakt :-))
...
Corona in meinem persönlichen Umfeld zugeschlagen hat.

Herrje, jetzt ist Corona schon bei den Wahrheitstafeln angekommen.
Dann kann es ja nur noch besser werden.
Gruß und bleib gesund,
Rainer

Hallo Rainer,
nachdem ich mir die Erklärung von Carlos genauer angeschaut habe, ist mir,
glaube ich, ein Licht aufgegangen.
Trotzdem würde mich interessieren, wie Du die Fälle (3) und (4) mit der konkreten
Zahl 5 erklären würdest.
Ohne die mathematisch klare Erklärung von Carlos hätt ich das glaub ich nie verstanden.
Herzlichen Dank
(an alle)
Udo

[Rainer Rosenthal]

Post by Udo
Hallo Rainer,
nachdem ich mir die Erklärung von Carlos genauer angeschaut habe, ist mir,
glaube ich, ein Licht aufgegangen.
Trotzdem würde mich interessieren, wie Du die Fälle (3) und (4) mit der konkreten
Zahl 5 erklären würdest.
Ohne die mathematisch klare Erklärung von Carlos hätt ich das glaub ich nie verstanden.

Hui, gute Frage.
Bisher habe ich Dich denken lassen.
Jetzt muss ich also selbst? Schaun mer mal, ob ich das ohne bei Carlos
zu spickeln rauskriege.

Leider ist oben alles wegrasiert.

Die Tabelle:

----------------
A B A=>B
----------------
(1) W W W
(2) W F F
(3) F W W
(4) F F W
----------------

Die Aussagen (gleich mit k=5 eingesetzt):

A: 5 ist eine ungerade natürliche Zahl
B: 5^2 ist ebenfalls ungerade

Also gut, ich lege mal los: A ist wahr.
Und B ist ...

Mir fällt gerade ein, dass Du meinen pädagogisch wertvollen Weg nicht zu
Ende gehen wolltest. Das tut weh.

Meine letzte Frage war: Ist B wahr?

Ich drücke mich doch lieber und denke, dass Du vielleicht gerne
demonstrieren willst, wie hell es geworden ist, als Dir das Licht aufging.

Bitte setze unser kleines Gespräch fort, d.h. beantworte die Frage zu B
und sage mir/uns, "wie Du die Fälle (3) und (4) mit der konkreten
Zahl 5 erklären würdest"!

Dank und Gruß,
Rainer

[Me]

Post by Udo
A: 5 ist eine ungerade natürliche Zahl
B: 5^2 ist ebenfalls ungerade

Kleine Anmerkung: Das "ebenfalls" in B sollte da nicht stehen. Was soll denn die Aussage

5^2 ist ebenfalls ungerade.

bedeuten?

Tatsächlich verbirgt sich hier in B eine (versteckte) Bezugnahme auf A!

=> B: (Nicht nur 5 ist ungerade, sondern) 5^2 ist ebenfalls ungerade.

Langer Rede kurzer Sinn: Der OP wäre wohl mit

A(k): k ist eine ungerade (natürliche) Zahl

und

B(k): k^2 ist eine ungerade (natürliche) Zahl

besser gefahren.

[Udo]

Post by Rainer Rosenthal

Post by Udo
Hallo Rainer,
nachdem ich mir die Erklärung von Carlos genauer angeschaut habe, ist mir,
glaube ich, ein Licht aufgegangen.
Trotzdem würde mich interessieren, wie Du die Fälle (3) und (4) mit der konkreten
Zahl 5 erklären würdest.
Ohne die mathematisch klare Erklärung von Carlos hätt ich das glaub ich nie verstanden.

Hui, gute Frage.
Bisher habe ich Dich denken lassen.
Jetzt muss ich also selbst? Schaun mer mal, ob ich das ohne bei Carlos
zu spickeln rauskriege.
Leider ist oben alles wegrasiert.
--------------------------------
A B A => B
--------------------------------
(1) W W W
(2) W F F
(3) F W W
(4) F F W
---------------------------------
A: 5 ist eine ungerade natürliche Zahl
B: 5^2 ist ebenfalls ungerade

...

OK - ich will's versuchen.
Nochmals die beiden Aussagen mit der konkreten Zahl 5 (ohne k).

A: Die natürliche Zahl 5 ist eine ungerade Zahl (die Aussage ist WAHR)
B: Das Quadrat der natürlichen Zahl 5 ist ungerade (die Aussage ist WAHR)

Ich habe das "ebenfalls" in Aussage B weggelassen, damit es ganz streng wird.
Me hat das schon angemerkt.

Post by Rainer Rosenthal
Also gut, ich lege mal los: A ist wahr.
Und B ist ...

B ist WAHR

Post by Rainer Rosenthal
Mir fällt gerade ein, dass Du meinen pädagogisch wertvollen Weg nicht zu
Ende gehen wolltest. Das tut weh.
Meine letzte Frage war: Ist B wahr?
Ich drücke mich doch lieber und denke, dass Du vielleicht gerne
demonstrieren willst, wie hell es geworden ist, als Dir das Licht aufging.
Bitte setze unser kleines Gespräch fort, d.h. beantworte die Frage zu B
und sage mir/uns, "wie Du die Fälle (3) und (4) mit der konkreten
Zahl 5 erklären würdest"!

Mit den konkreten Angabe die Implikation in Worte übersetzt:

(1): Wenn 5 ungerade ist (A: Wahr), dann ist 5^2 ungerade (B: Wahr)
(2): Wenn 5 ungerade ist (A: Wahr), dann ist 5^2 gerade (B: Falsch)
(3): Wenn 5 nicht ungerade (sondern gerade) ist (A: Falsch), dann ist 5^2 ungerade (B: Wahr)
(4): Wenn 5 nicht ungerade (sondern gerade) ist (A: Falsch), dann ist 5^2 nicht ungerade (sondern gerade) (B: Falsch)

Jetzt kommt die Erklärung von Carlos, die ich einfach genial finde:
Selber hab ich bei diesem Beispiel keine vernünftige Lösung gefunden.

Fall (3)
Wenn 5 nicht ungerade (sondern gerade) ist, dann gibt es ein n aus N, so dass gilt:
5 = 2 * n = 4 +1
Das Quadrat
5 * 5 = 5 * (2 * n) = 5 * (4 + 1) = 20 + 5 = 20 + 4 + 1 = 2 * 12 + 1, ist damit ungerade
Damit ist die Gültigkeit der Implikation im Fall 3 bewiesen.

Fall (4)
Wenn 5 nicht ungerade ist, dann gibt es ein n aus N, so dass gilt:
5 = 2 * n
Das heißt aber, dass das Quadrat von 5, also 5 * 5 = (2*n)*(2*n) = 2*(2n^2), also gerade ist.
Damit ist die Gültigkeit der Implikation im Fall 4 bewiesen.

Aber wie gesagt: das ist von Carlos abgeschrieben.
Das jetzt mit Worten zu erklären im Stil von: "Wenn es regnet, dann ist die Straße nass",
das führt nur dazu, dass ich überhaupt nix mehr blicke.

Deshalb großen Dank an Carlos, der dafür gesorgt hat, dass in meinem neuronalen Netz
ein winziges Licht angezündet wurde.

Grüße Udo

Post by Rainer Rosenthal
Dank und Gruß,
Rainer

[Rainer Rosenthal]

Post by Udo

Post by Jens Kallup
--------------------------------
A B A => B
--------------------------------
(1) W W W
(2) W F F
(3) F W W
(4) F F W
---------------------------------
A: 5 ist eine ungerade natürliche Zahl
B: 5^2 ist ungerade

...
OK - ich will's versuchen.
Also gut, ich lege mal los: A ist wahr.
B ist WAHR
(1): Wenn 5 ungerade ist (A: Wahr), dann ist 5^2 ungerade (B: Wahr)
(2): Wenn 5 ungerade ist (A: Wahr), dann ist 5^2 gerade (B: Falsch)
(3): Wenn 5 nicht ungerade (sondern gerade) ist (A: Falsch), dann ist 5^2 ungerade (B: Wahr)
(4): Wenn 5 nicht ungerade (sondern gerade) ist (A: Falsch), dann ist 5^2 nicht ungerade (sondern gerade) (B: Falsch)
Jetzt kommt die Erklärung von Carlos, ...

Naja, die kann ich ja dort nachlesen :-)

Bei Deiner Aufzählung (1) bis (4) fehlt etwas ganz Wesentliches.
Von den drei Spalten der Tabelle verwendest Du nur die ersten beiden.

Du schreibst:
(1): Wenn 5 ungerade ist, dann ist 5^2 ungerade
(2): Wenn 5 ungerade ist, dann ist 5^2 gerade
(3): Wenn 5 nicht ungerade ist, dann ist 5^2 ungerade
(4): Wenn 5 nicht ungerade ist, dann ist 5^2 nicht ungerade

Das sind vier Aussagen, und Du sagst mir bitte, welche davon wahr sind.
Einfach so. Ohne weitere Begründung. Du kannst würfeln, raten, Carlos'
Erklärung studieren, was auch immer.
Zuerst sage nur erst, welche Du für wahr und welche Du für falsch hältst.
Ich will nicht nerven, sondern ich verspreche mir demnächst einen
AHA-Effekt, und den ersten hattest Du ja bereits. Wenn er jetzt hilft,
dann um so besser.

Gruß,
Rainer

[Udo]

Post by Rainer Rosenthal

Post by Udo

Post by Jens Kallup
--------------------------------
A B A => B
--------------------------------
(1) W W W
(2) W F F
(3) F W W
(4) F F W
---------------------------------
A: 5 ist eine ungerade natürliche Zahl
B: 5^2 ist ungerade

...
OK - ich will's versuchen.
Also gut, ich lege mal los: A ist wahr.
B ist WAHR
(1): Wenn 5 ungerade ist (A: Wahr), dann ist 5^2 ungerade (B: Wahr)
(2): Wenn 5 ungerade ist (A: Wahr), dann ist 5^2 gerade (B: Falsch)
(3): Wenn 5 nicht ungerade (sondern gerade) ist (A: Falsch), dann ist 5^2 ungerade (B: Wahr)
(4): Wenn 5 nicht ungerade (sondern gerade) ist (A: Falsch), dann ist 5^2 nicht ungerade (sondern gerade) (B: Falsch)
Jetzt kommt die Erklärung von Carlos, ...

Naja, die kann ich ja dort nachlesen :-)
Bei Deiner Aufzählung (1) bis (4) fehlt etwas ganz Wesentliches.
Von den drei Spalten der Tabelle verwendest Du nur die ersten beiden.
(1): Wenn 5 ungerade ist, dann ist 5^2 ungerade
(2): Wenn 5 ungerade ist, dann ist 5^2 gerade
(3): Wenn 5 nicht ungerade ist, dann ist 5^2 ungerade
(4): Wenn 5 nicht ungerade ist, dann ist 5^2 nicht ungerade
Das sind vier Aussagen, und Du sagst mir bitte, welche davon wahr sind.
Einfach so. Ohne weitere Begründung. Du kannst würfeln, raten, Carlos'
Erklärung studieren, was auch immer.

OK. Du bist wie ich noch spät abends unterwegs :-)
Danke für Deine Mühe und Hilfe.

Fall 1: A ist wahr, B ist wahr, A=>B ist wahr
Fall 2: A ist wahr, B ist falsch, A=>B ist falsch
Fall 3: A ist falsch, B ist wahr, A=>B ist wahr

Hier hat sich mein Gehirn zunächst geweigert, diese Implikation als wahr
anzuerkennen. Wenn 5 gerade ist, ist das Quadrat ebenfalls gerade.
In B steht aber, das Quadrat von 5 ist ungerade.
Die Folgerung: Wenn 5 gerade, dann Quadrat von 5 gerade, ist auf den ersten
Blick nicht einsichtig.

Fall 4: A ist falsch, B ist falsch, A=>B ist wahr.
Das ist wiederum einsichtig. Wenn 5 gerade ist, ist auch das Quadrat gerade.

Wenn ich das verbal formuliere, ist lediglich der Fall 3 unklar.
Erst die mathematische Argumentation von Carlos bringt Licht ins Dunkel.
Ohne diese bleibt ein dumpfes Gefühl in der Magengrube ...

Danke und Grüße
Udo
...

Post by Rainer Rosenthal
Ich will nicht nerven, sondern ich verspreche mir demnächst einen
AHA-Effekt, und den ersten hattest Du ja bereits. Wenn er jetzt hilft,
dann um so besser.
Gruß,
Rainer

[Udo]

Fall 3: A ist falsch, B ist wahr, A=>B ist wahr
Die Folgerung: Wenn 5 gerade, dann Quadrat von 5 gerade, ist auf den ersten
Blick nicht einsichtig.

Sorry, muss heißen:
Die Folgerung: Wenn 5 gerade, dann Quadrat von 5 ungerade, ist auf den ersten
Blick nicht einsichtig.

[Rainer Rosenthal]

Post by Udo

Post by Rainer Rosenthal

Post by Udo

Post by Jens Kallup
--------------------------------
A B A => B
--------------------------------
(1) W W W
(2) W F F
(3) F W W
(4) F F W
---------------------------------
A: 5 ist eine ungerade natürliche Zahl
B: 5^2 ist ungerade

...
OK - ich will's versuchen.
Also gut, ich lege mal los: A ist wahr.
B ist WAHR
(1): Wenn 5 ungerade ist (A: Wahr), dann ist 5^2 ungerade (B: Wahr)
(2): Wenn 5 ungerade ist (A: Wahr), dann ist 5^2 gerade (B: Falsch)
(3): Wenn 5 nicht ungerade (sondern gerade) ist (A: Falsch), dann ist 5^2 ungerade (B: Wahr)
(4): Wenn 5 nicht ungerade (sondern gerade) ist (A: Falsch), dann ist 5^2 nicht ungerade (sondern gerade) (B: Falsch)
Jetzt kommt die Erklärung von Carlos, ...

Naja, die kann ich ja dort nachlesen :-)
Bei Deiner Aufzählung (1) bis (4) fehlt etwas ganz Wesentliches.
Von den drei Spalten der Tabelle verwendest Du nur die ersten beiden.
(1): Wenn 5 ungerade ist, dann ist 5^2 ungerade
(2): Wenn 5 ungerade ist, dann ist 5^2 gerade
(3): Wenn 5 nicht ungerade ist, dann ist 5^2 ungerade
(4): Wenn 5 nicht ungerade ist, dann ist 5^2 nicht ungerade
Das sind vier Aussagen, und Du sagst mir bitte, welche davon wahr sind.
Einfach so. Ohne weitere Begründung. Du kannst würfeln, raten, Carlos'
Erklärung studieren, was auch immer.

OK. Du bist wie ich noch spät abends unterwegs :-)
Danke für Deine Mühe und Hilfe.
Fall 1: A ist wahr, B ist wahr, A=>B ist wahr
Fall 2: A ist wahr, B ist falsch, A=>B ist falsch
Fall 3: A ist falsch, B ist wahr, A=>B ist wahr
Hier hat sich mein Gehirn zunächst geweigert, diese Implikation als wahr
anzuerkennen. Wenn 5 gerade ist, ist das Quadrat ebenfalls gerade.
In B steht aber, das Quadrat von 5 ist ungerade.
Die Folgerung: Wenn 5 gerade, dann Quadrat von 5 gerade, ist auf den ersten
Blick nicht einsichtig.

Tippfehler: im Fall 3 ist "dann Quadrat von 5 ungerade".
Da kann man schon mal konfus werden :-)

Post by Udo
Fall 4: A ist falsch, B ist falsch, A=>B ist wahr.
Das ist wiederum einsichtig. Wenn 5 gerade ist, ist auch das Quadrat gerade.
Wenn ich das verbal formuliere, ist lediglich der Fall 3 unklar.
Erst die mathematische Argumentation von Carlos bringt Licht ins Dunkel.
Ohne diese bleibt ein dumpfes Gefühl in der Magengrube ...
Danke und Grüße
Udo
...

Post by Rainer Rosenthal
Ich will nicht nerven, sondern ich verspreche mir demnächst einen
AHA-Effekt, und den ersten hattest Du ja bereits. Wenn er jetzt hilft,
dann um so besser.
Gruß,
Rainer

Hallo Udo,

ich lasse das erst einmal so stehen und freue mich, dass Du Dich mit
eigenen Augen umschaust. Du bist auch auf meine Frage eingegangen und
hast den Wahrheitsgehalt der Aussagen (1) bis (4) unter die Lupe
genommen. Damit bist Du genau beim wirklichen Verständnis der
Wahrheitstafel angelangt.
Und auch mir geht es wie Dir, dass ich bei "5 gerade => 5*5 gerade" kein
Problem habe, denn ich weiß, dass das Quadrat einer geraden Zahl gerade
ist. Formal: wenn n gerade ist, dann ist n=2*m und das Quadrat ist
2*(2*m*m), d.h. wieder gerade.
Wie war das aber bei "5 gerade => 25 ungerade"?
Mein Impuls ist: klar stimmt das, denn 25 = 2*12 + 1. Da ist mir
eigentlich schnurz, ob 5 gerade oder ungerade ist. Allerdings gebe ich
zu, dass es in meiner Magengrube auch etwas grummelt, denn wenn ich mir
vorstelle, dass 5 gerade wäre, dann wäre ich ja sonstwo, vielleicht in
einem Parallel-Universum. Und dann wäre ich keinesfalls mehr so sicher,
dass dort 25 ungerade ist.

Hmm, aber vielleicht hat diese Überlegung - laut ausgesprochen bzw.
explizit hingeschrieben - bereits Baldrian-Wirkung:
Denn, was gehen mich Parallel-Universen an? Es geht um die 25 und den
Begriff von "gerade" in meinem Universum. Also ist 25 ungerade, basta.

O weh, jetzt habe ich natürlich Riesenblödsinn geschrieben: das stand ja
gar nicht zur Debatte, ob 25 ungerade ist. Es geht darum, dieser etwas
verrückten Aussage (3) den Wert "wahr" oder "falsch" zuzuordnen.

Post by Udo
Die Folgerung: Wenn 5 gerade, dann Quadrat von 5 ungerade,
ist auf den ersten Blick nicht einsichtig.

OK, da stimme ich Dir zu, und jetzt nehme ich beim Kollegen Carlos eine

Post by Udo
(3) Sei 5 gerade => Es gibt n aus N mit 5 = 2 * n => 2 * n = 4 + 1 =>
5*5 = 5*(2*n) = 5*(4+1) = 20+5 = 20+4+1 = 2 * 12 + 1

Ja, da geht einem doch das Herz auf: aus völligem Unsinn "5 gerade" wird
mit elegant gewählten korrekten Rechenschritten "25 ungerade"
hergeleitet. Somit ist mit Händen greifbar, dass die Folgerung wahr ist.

Jetzt frage ich mich natürlich, wie der Trick funktioniert hat.
Und siehe da, es wird zwar deutlich sichtbar an den Anfang "5 = 2*n"
gestellt, aber das wird dann schnell unter den Tisch gekehrt, und es
wird stattdessen mit "5 = 4+1" weiter gerechnet.
In Formeln gegossen steht da: Ist mir doch egal, wie man 5 noch
schreiben kann, ich rechne mit der 5 weiter, die ich kenne, also mit 5 =
4+1, und dann sieht man ("rechnet man aus"), dass das Quadrat ungerade ist.
Ich hoffe, ich habe Dich nun nicht zu sehr enttäuscht, dass dieser
formal vollkommen schlüssige Beweis in Worten lautet:
Wenn 5 gerade ist, dann ist 5 = 4+1 und folglich 5*5 ungerade.

Es wird allerdings geheimnisvoller ausgedrückt:
Wenn 5 gerade ist, dann ist 5 = 2*n, also 2*n = 4+1.

Herzliche Grüße,
Rainer

Rainer Rosenthal
***@web.de

Anmerkung: im Posting von Carlos steht dies als letzter Fall (3), aber
darüber geht es los mit "(4) Sei 5 gerade ...". Das ist ein kleiner
Vewschreiber, den ich oben korrigiert habe.

[Me]

Post by Rainer Rosenthal
Ja, da geht einem doch das Herz auf: aus völligem Unsinn "5 gerade"
wird mit elegant gewählten korrekten Rechenschritten "25 ungerade"
hergeleitet.

Ja, ein schönes Beispiel für "ex falso quodlibet".

[Me]

Post by Me

Post by Rainer Rosenthal
Ja, da geht einem doch das Herz auf: aus völligem Unsinn "5 gerade"
wird mit elegant gewählten korrekten Rechenschritten "25 ungerade"
hergeleitet.

Ja, ein schönes Beispiel für "ex falso quodlibet".

Denn ebensogut kann man ja auch folgendermaßen schließen:

5 ist gerade. Also gibt es ein k e Z mit 5 = 2*k. Daraus folgt 25 = 5*5 = (2*k)*(2*k) = 2*(k*2*k). D. h. es gibt ein k' e Z (nämlich k*2*k) mit 25 = 2*k'. 25 ist also gerade.

Also haben wir aus der Annahme "5 ist gerade" sowohl "25 ist ungerade" als auch "25 ist gerade" hergeleitet. Was, wie man zeigen kann, einen "Widerspruch" impliziert. Mit "ex contradictione quodlibet" können wir dann beliebige Aussagen herleiten. Kurz (unter Berücksichtigung der Bedeutung unserer Annahme): ex falso quodlibet.

[Ralf Goertz]

Am Thu, 15 Oct 2020 14:27:09 +0200

Post by Rainer Rosenthal

Post by Udo
Die Folgerung: Wenn 5 gerade, dann Quadrat von 5 ungerade,
ist auf den ersten Blick nicht einsichtig.

OK, da stimme ich Dir zu, und jetzt nehme ich beim Kollegen Carlos

Ich glaube, das Grummeln in der Magengegend kommt daher, dass hier ein
Beispiel benutzt wird, in dem die Aussage A *immer* richtig (bzw.
falsch) ist. Wir wissen einfach, dass 5 ungerade ist, es immer war (also
zumindest, seit sie nicht mehr dunkel ist) und es immer bleiben wird.
Deshalb fühlt es sich komisch an, dass etwas Falsches irgendwie zu etwas
Richtigem führen können soll. Das ist der Vorteil bei anderen
Formulierungen wie eben das berühmte:

A: Es regnet.
B: Die Straße ist nass.

Hier ist A eine Aussage, deren Wahrheitsgehalt nicht von vornherein
feststeht. Wir müssen also wirklich nachprüfen.

Ein weiteres Problem mit der ungeraden 5 und ihrem ebenso ungeraden
Quadrat ist, dass es eigentlich ja eine Äquivalenz darstellt, denn es
gilt ja: n gerade <=> n² gerade. Das ist im Fall der verregneten Straße
nicht der Fall. Die kann auch nass sein, ohne dass es vorher geschüttet
hätte.

Insofern wäre vielleicht ein anderes Beispiel besser:

A: n lässt den Rest 2 bei Division durch 4.
B: n ist eine Primzahl.

Das ist zwar, wir hier schon angemerkt wurde, keine Aussage, weil n
nicht spezifiziert ist. Aber nun können wir verschiedene n einsetzen,
die zu verschiedenen Zeilen in der Wahrheitstabelle führen. Für n=2 sind
wir in der ersten Zeile, für n=6 in der zweiten, für n=5 in der dritten
und n=9 in der vierten.

[Carlo XYZ]

Post by Ralf Goertz
Ich glaube, das Grummeln in der Magengegend kommt daher, dass hier ein
Beispiel benutzt wird, in dem die Aussage A *immer* richtig (bzw.
falsch) ist. Wir wissen einfach, dass 5 ungerade ist, es immer war (also
zumindest, seit sie nicht mehr dunkel ist) und es immer bleiben wird.

Der OP ist damit glücklich (und hat, obwohl er von Mathematik nicht
die geringste Ahnung hat, das Siegel "Qualitätsmathematik" vergeben),
und Rainer Rosenthal scheint sich damit wohl zu fühlen - also dachte
ich: lass sie! Es gibt zurzeit genug, über das man sich grämen kann.

Dann können wir ja directement zur Schrödinger-Gleichung übergehen ...

[Carlo XYZ]

Nachdem ich hier deine Beispiele angepriesen habe, muss
ich sie mir wenigstens nochmal etwas genauer angucken.

Post by Ralf Goertz
A: Es regnet.
B: Die Straße ist nass.
Hier ist A eine Aussage, deren Wahrheitsgehalt nicht von vornherein
feststeht. Wir müssen also wirklich nachprüfen.
Ein weiteres Problem mit der ungeraden 5 und ihrem ebenso ungeraden
Quadrat ist, dass es eigentlich ja eine Äquivalenz darstellt, denn es
gilt ja: n gerade <=> n² gerade. Das ist im Fall der verregneten Straße
nicht der Fall. Die kann auch nass sein, ohne dass es vorher geschüttet
hätte.

Und? Das ist doch genau richtig, weil die beiden Aussagevariablen
unabhängig voneinander je zwei Werte annehmen können (müssen).

Wir wollen "wenn es regnet, dann ist die Straße nass" formalisieren.
Was muss intuitiv ausgeschlossen werden?
Nur der Fall, dass es regnet und die Straße trocken ist!
[Diese drei Zeilen sind übrigens der Knackpunkt zum Verständnis.]

Also:

(1) Es regnet und die Straße ist nass:
nicht ausgeschlossen; die Implikation ist W.
(2) Es regnet und die Straße ist trocken:
ausgeschlossen; unsere Implikation ist F.
(3) Es regnet nicht und die Straße ist nass:
nicht ausgeschlossen; die Implikation ist W.
(4) Es regnet nicht und die Straße ist trocken:
nicht ausgeschlossen; die Implikation ist W.
Nein, das ist schlechter. Pro Tabelle darf es genau
zwei Aussagevariable geben, nicht mehr und nicht weniger.

Außerdem gilt A(n) => ((n=2) oder nicht-B(n)) und damit
sind A(n) und B(n) nicht unabhängig voneinander.

Post by Ralf Goertz
A: n lässt den Rest 2 bei Division durch 4.
B: n ist eine Primzahl.
Das ist zwar, wir hier schon angemerkt wurde, keine Aussage, weil n
nicht spezifiziert ist. Aber nun können wir verschiedene n einsetzen,
die zu verschiedenen Zeilen in der Wahrheitstabelle führen. Für n=2 sind
wir in der ersten Zeile, für n=6 in der zweiten, für n=5 in der dritten
und n=9 in der vierten.

[Ralf Goertz]

Am Thu, 15 Oct 2020 21:38:55 +0200

Post by Carlo XYZ
Nachdem ich hier deine Beispiele angepriesen habe, muss
ich sie mir wenigstens nochmal etwas genauer angucken.

Post by Ralf Goertz
A: Es regnet.
B: Die Straße ist nass.
Hier ist A eine Aussage, deren Wahrheitsgehalt nicht von vornherein
feststeht. Wir müssen also wirklich nachprüfen.
Ein weiteres Problem mit der ungeraden 5 und ihrem ebenso ungeraden
Quadrat ist, dass es eigentlich ja eine Äquivalenz darstellt, denn
es gilt ja: n gerade <=> n² gerade. Das ist im Fall der verregneten
Straße nicht der Fall. Die kann auch nass sein, ohne dass es vorher
geschüttet hätte.

Und? Das ist doch genau richtig, weil die beiden Aussagevariablen
unabhängig voneinander je zwei Werte annehmen können (müssen).

Ja, aber es ist ja gerade diese Unabhängigkeit der Aussagen, die im
ungerade-5-Beispiel wegen der so offensichtlichen Äquivalenz nicht
gegeben ist. Ich habe ja nur zu erklären versucht, wo das Grummeln
herkommt, ich habe nicht gesagt, dass das Beispiel falsch ist.

Post by Carlo XYZ
Wir wollen "wenn es regnet, dann ist die Straße nass" formalisieren.
Was muss intuitiv ausgeschlossen werden?
Nur der Fall, dass es regnet und die Straße trocken ist!
[Diese drei Zeilen sind übrigens der Knackpunkt zum Verständnis.]
nicht ausgeschlossen; die Implikation ist W.
ausgeschlossen; unsere Implikation ist F.
nicht ausgeschlossen; die Implikation ist W.
nicht ausgeschlossen; die Implikation ist W.

Ja eben. In dieser Variante entspricht die Wahrheit der Implikation
unserem Alltagserleben. Außer (2) sind alle Varianten möglich und schon
beobachtet worden. Dagegen hat noch nie jemand erlebt, dass 5 gerade
wäre.
[umsortiert]

Post by Carlo XYZ

Post by Ralf Goertz
A: n lässt den Rest 2 bei Division durch 4.
B: n ist eine Primzahl.

Nein, das ist schlechter. Pro Tabelle darf es genau
zwei Aussagevariable geben, nicht mehr und nicht weniger.

Das war der Versuch, auf einen Schlag, vier Paare von Aussagen zu
konstruieren, in denen alle Kombinationen von wahr und falsch vorkommen.
Natürlich ist 6 genauso wenig eine Primzahl wie 25 gerade ist. Aber
durch die Einkleidung mit dem n sieht es so aus, als müsse man B prüfen,
weil mit A nicht alles gesagt ist.

Post by Carlo XYZ
Außerdem gilt A(n) => ((n=2) oder nicht-B(n)) und damit
sind A(n) und B(n) nicht unabhängig voneinander.

Sie sind nicht unabhängig, klar, aber ich habe für jede der vier
Kombinationen mindestens ein n:

1: n=2
2: n=6,10,14…
3: n=3,5,7,11,13,…
4: n=alle anderen :-)

Mit A(n): „n ist gerade“ und B(n): „n² ist gerade“ geht das eben nicht.
Vielleicht wäre bei mir A: „n ≡ 3 mod 4“ noch besser gewesen, weil dann
auch 1) für unendlich viele n gegolten hätte und damit eine gewisse
Unabhängigkeit hergestellt wäre. Wie gesagt, mir ging es nicht um die
Logik sondern das Bauchgefühl.

[Udo]

Rainer Rosenthal schrieb am Donnerstag, 15. Oktober 2020 um 14:27:13 UTC+2:
[...}

Post by Rainer Rosenthal
Ja, da geht einem doch das Herz auf: aus völligem Unsinn "5 gerade" wird
mit elegant gewählten korrekten Rechenschritten "25 ungerade"
hergeleitet. Somit ist mit Händen greifbar, dass die Folgerung wahr ist.

Genau so erging es mir auch. Mir ist das Herz aufgegangen.

[...]

Post by Rainer Rosenthal
Herzliche Grüße,
Rainer

Lieber Rainer,
liebe andere, Antwort gebende Mitstreiter,

die ihr alle geduldig und sehr ausführlich auf meine Frage geantwortet habt.
Ein wirklich von Herzen kommendes Dankeschön an Euch.

Es kommt jetzt ein bisschen was "OT", aber bitte nicht schimpfen :-)

Ich habe in den vergangenen Jahren mehrere Anläufe gemacht, die Implikation
wirklich zu verstehen und bin jedesmal ziemlich enttäuscht ob meiner
beschränkten Auffassungsgabe wieder von dannen gezogen.

Jetzt hab ich dank Eurer Hilfe zum ersten Mal so was wie ein Verständnis
entwickelt, was mich ermutigt, mit den Grundlagen der Mathematik
weiterzumachen. Ich finde den Thread einfach Klasse!

Als Studenten (physikalische Chemie) vor rund vierzig Jahren mussten wir in
Mathe schon auch ziemlich gut sein, aber das war mehr Kampfrechnen, und ich
hatte damals an der Uni in Freiburg das Gefühl, dass die Studierenden der
natürliche Feind des Lehrkörpers waren.

Beispiel:
Der Prof (hieß Ackermann) ging während des Praktikums durch die
Reihen und hat Fragen zu den Grundlagen der Mathematik gestellt. Wer nicht
sofort korrekt geantwortet hat, wurde rausgeworfen.
Die Situation war gefürchtet.
Mich hat er gefragt: "Was ist der Logarithmus von 1?"
Und als ich vor Aufregung nicht binnen einer Sekunde antworten konnte, kam
sein vernichtendes Urteil: "Dann gehen Sie jetzt nach Hause und kommen
nächstes Semester wieder, wenn Sie es wissen."

Ich finde, dass das, was hier geduldig und in wohltuender Weise zugewandt,
erarbeitet wurde, für manche Anfänger im Mathestudium sehr hilfreich sein dürfte.
Und dass bei dem einen oder anderen ebenfalls ein gewisses Magengrummeln
aufgetreten ist, beruhigt mich sehr.
Hätte ich damals, vor vierzig Jahren, ein solches Forum wie hier zur Verfügung
gehabt - ich wäre wahrscheinlich nie Mediziner geworden :-))

Nochmals ein herzliches Dankeschön.

Grüße
Udo

[Carlo XYZ]

Post by Udo
Jetzt hab ich dank Eurer Hilfe zum ersten Mal so was wie ein Verständnis
entwickelt, was mich ermutigt, mit den Grundlagen der Mathematik
weiterzumachen.

Weitermachen würde ich dir nicht empfehlen, denn ich bin der Meinung,
dass du die Implikation immer noch nicht verstanden hast. Rechne und
verstehe wenigstens nochmal das alternative Beispiel von Ralf Goertz.

Post by Udo
Der Prof (hieß Ackermann) ging während des Praktikums durch die
Reihen und hat Fragen zu den Grundlagen der Mathematik gestellt. Wer nicht
sofort korrekt geantwortet hat, wurde rausgeworfen.
Die Situation war gefürchtet.
Mich hat er gefragt: "Was ist der Logarithmus von 1?"
Und als ich vor Aufregung nicht binnen einer Sekunde antworten konnte, kam
sein vernichtendes Urteil: "Dann gehen Sie jetzt nach Hause und kommen
nächstes Semester wieder, wenn Sie es wissen."

Hochnäsiges Volk, diese Mathematiker. Nicht gut, der Mann, als Pädagoge.
Abgesehen davon ist es, glaube ich, (schon damals) unerlaubt, jemanden
des Zuhörerraums zu verweisen, zumindest nicht aus solchen Gründen.

Post by Udo
Hätte ich damals, vor vierzig Jahren, ein solches Forum wie hier zur Verfügung
gehabt - ich wäre wahrscheinlich nie Mediziner geworden :-))

Da schau her. Ich hab immer gesagt, wenn ich mal 65 bin, studiere ich
Medizin aus Jux und Dollerei. Jetzt merke ich: geht wohl nicht mehr.

[Carlo XYZ]

Post by Udo
Und dass bei dem einen oder anderen ebenfalls ein gewisses Magengrummeln
aufgetreten ist, beruhigt mich sehr.

Hier noch ein PS: Lass dich nicht allzu sehr beruhigen.

Das Grummeln (zumindest das von Ralf G. erwähnte) kommt
daher, dass man in der Mathematik keine Sätze mit

"Sei 5 gerade; ..."

anfängt. Auch nicht mit

"Sei 5 ungerade; ...".

Ans Herz sei dir stattdessen gelegt:

<https://www.wilhelm-busch.de/zitat/frueher-da-ich-unerfahrner/>

[Rainer Rosenthal]

Post by Udo
Nochmals ein herzliches Dankeschön.

Aber gerne, hat mir Freude gemacht.
Das ist meine Erfahrung, dass Menschen sich an Zusammenhängen erfreuen
können, die sie durchschauen. Und dabei helfen zu können, freut mich mit.

Die Zusammenfassung der Wahrheitstafel ist:
Wahr bleibt wahr.

In dem Spruch ist alles drin:

1. Wahr kann nicht unwahr werden, d.h. aus so etwas wie "5 ist ungerade"
kommt man mit korrekten Schlussweisen nie zu einer falschen Aussage.

(1) sagt das in positiver Weise: aus "wahr" wird "wahr"
(2) sagt das in negativer Weise: aus "wahr" wird nie "unwahr"

2. Falsch interessiert nicht. Darauf ist kein Verlass.
(3) es könnte was Wahres folgen
(3) es könnte aber auch was Falsches folgen.

Gruß,
Rainer

[Juergen Ilse]

Hallo,

Post by Rainer Rosenthal
(1) sagt das in positiver Weise: aus "wahr" wird "wahr"
(2) sagt das in negativer Weise: aus "wahr" wird nie "unwahr"
2. Falsch interessiert nicht. Darauf ist kein Verlass.
(3) es könnte was Wahres folgen
(3) es könnte aber auch was Falsches folgen.

Wenn in einer Implikation der "vordere Teil" unwahr ist, laesst diese
Implikation ueber den "hinteren Teil" keine Aussage zu. Ich denke, so
koennte man es etwas "umgangssprachlicher" formulieren ...

Tschuess,
Juergen Ilse (***@usenet-verwaltung.de)

[Hans Crauel]

Udo Braxas schrieb

Post by Udo
Als Studenten (physikalische Chemie) vor rund vierzig Jahren mussten wir in
Mathe schon auch ziemlich gut sein, aber das war mehr Kampfrechnen, und ich
hatte damals an der Uni in Freiburg das Gefühl, dass die Studierenden der
natürliche Feind des Lehrkörpers waren.
Der Prof (hieß Ackermann) ging während des Praktikums durch die
Reihen und hat Fragen zu den Grundlagen der Mathematik gestellt. Wer nicht
sofort korrekt geantwortet hat, wurde rausgeworfen.
Die Situation war gefürchtet.
Mich hat er gefragt: "Was ist der Logarithmus von 1?"
Und als ich vor Aufregung nicht binnen einer Sekunde antworten konnte, kam
sein vernichtendes Urteil: "Dann gehen Sie jetzt nach Hause und kommen
nächstes Semester wieder, wenn Sie es wissen."

Das ist ein absolut unmögliches Verhalten, düpierend, überheblich,
demotivierend. Handelte es sich bei dem Hochschullehrer um
Theodor Ackermann?
<https://de.wikipedia.org/wiki/Theodor_Ackermann_(Chemiker)>

Nicht dass es solche Mathematiker nicht gäbe - das war allerdings
keiner.

Hans

[Udo]

Hans Crauel schrieb am Donnerstag, 15. Oktober 2020 um 22:51:04 UTC+2:
...

Post by Hans Crauel
demotivierend. Handelte es sich bei dem Hochschullehrer um
Theodor Ackermann?

Exakt er war es.

Aber man sollte ihm keinen Vorwurf machen. Damals gab es in der Fakultät für
Chemie in Freiburg eine "unhappy triad" bestehend aus den Professoren
-Müller (Anorganik)
-Vahrenkamp (Organik, damals jüngster Professor Deutschlands) und
-Ackermann (physikalische Chemie).

Allen gemeinsam war ihr Feindbild: der (vorzugsweise männliche) Student.
Die Devise lautete: Rausprüfen, was geht.
Dass die Fakultät/Universität das bei der Einstellung der Herren nicht bemerkt hat,
ist für mich auch heute noch nach vierzig Jahren einfach nur erstaunlich.

Und wenn wir schon dabei sind, noch eine kleine, wahre Geschichte:
Beim meinem Staatsexamen hatte besagter Prof. Müller einen Leitzordner und einen
Brieföffner dabei und vor sich auf dem Tisch liegen.
Die Eröffnung der Prüfung sah folgendermaßen aus: Er stach mit dem Brieföffner
irgendwo in den alle möglichen Prüfungsfragen enthaltenden Leitzordner, schlug
auf und stellte die entsprechende Frage.
Bei mir lautete sie:
"Was wissen Sie über metallischen Wasserstoff im Inneren des Jupiter?"
Überflüssig zu sagen, dass dies in seiner Anorganik-Vorlesung nie behandelt worden
war, allenfalls in irgenwelchen Seminaren der spezialisierten Diplomkandidaten.
Aber sei's drum. Ich hab meinen Frieden gemacht :-)
Grüße Udo

Post by Hans Crauel
Hans

[Juergen Ilse]

Hallo,

Post by Udo
Beim meinem Staatsexamen hatte besagter Prof. Müller einen Leitzordner und einen
Brieföffner dabei und vor sich auf dem Tisch liegen.
Die Eröffnung der Prüfung sah folgendermaßen aus: Er stach mit dem Brieföffner
irgendwo in den alle möglichen Prüfungsfragen enthaltenden Leitzordner, schlug
auf und stellte die entsprechende Frage.
"Was wissen Sie über metallischen Wasserstoff im Inneren des Jupiter?"
Überflüssig zu sagen, dass dies in seiner Anorganik-Vorlesung nie behandelt worden
war, allenfalls in irgenwelchen Seminaren der spezialisierten Diplomkandidaten.
Aber sei's drum. Ich hab meinen Frieden gemacht :-)

Ja, es gab (und gibt) schon fiese Professoren und fiese Pruefungsfragen ...
Bei meinem Vordiplom im Fach Algebra (die erste Pruefung des Vordiploms und
ich war dermassen nervoes, dass man es kaum beschrieben kann) lautete damals
dio erste Frage "Nennen sie mir etwas, was *kein* Vektor ist". Ich antwortete
"die Fesnterscheibe'". Die zweite Frage war dann die aufforderung "machen Sie
die doch mal zu einem Vektor". Die Antwort darauf war ("ich nehme die Fenster-
schibe und den Fensterrahmen, definiere auf beiden geeignete Verknuepfungen
und habe damit einen zu um Restklassenkoeper Z2 isom,orphen Zahlkoeper, dieser
ist dann auch isomorph zum eindimensionalen Vektorraum ueber Z2, und die
Fensterscheibe ist als Element dieses Vektorraums dann ein Vektor", zumindest
sinngemaess so aehnlich hatte ich geantwortet). Leider war dass (weil ich bei
diesen Fragen immer nervoeser geworden bin) so ziemlich die letzte Frage, die
ich in dieser Pruefung korrekt beantwortet hatte ...

Tschuess,
Juergen Ilse (***@usenet-verwaltung.de)

[Juergen Ilse]

Hallo,

Post by Udo
Jetzt hab ich dank Eurer Hilfe zum ersten Mal so was wie ein Verständnis
entwickelt, was mich ermutigt, mit den Grundlagen der Mathematik
weiterzumachen. Ich finde den Thread einfach Klasse!

Falls auch meine Beitraege dazu beigetragen haben sollten: gern geschehen.

Post by Udo
Ich finde, dass das, was hier geduldig und in wohltuender Weise zugewandt,
erarbeitet wurde, für manche Anfänger im Mathestudium sehr hilfreich sein dürfte.

Wichtig ist es bei der Mathematik, keine "aus dem Alltag bekannten Schluss-
folgerungen" ganz selbstverstaendlich in die abstrakte Vorstellung der
reinen Mathematik zu uebernehmen, denn nur allzu oft kann man auf diesem
Weg zu *falschen* Schluessen kommen. Herr Mueckenheim und seine komplett
krude Vorstellung von Zahlen liefern da fast taeglich Beispiele ...
;-)

Post by Udo
Und dass bei dem einen oder anderen ebenfalls ein gewisses Magengrummeln
aufgetreten ist, beruhigt mich sehr.
Hätte ich damals, vor vierzig Jahren, ein solches Forum wie hier zur Verfügung
gehabt - ich wäre wahrscheinlich nie Mediziner geworden :-))

:-)

Manchmal tut man in der Mathematik gut daran, alles (auch "anscheinend
offensichtliches") so lange in Zweifel zu ziehen, bis man *verstanden*
hat, warum es ggfs. in der Mathematik *nicht* offensichtlich ist ...

Ich hatte mein Mathematik-Studium vor dem Abschluss (aber bereits nach dem
Vordiplom, bei dem sehr viele "ausgesiebt" wurden) aufgrund eines lukrativen
Job-Angebots in der IT abgebrochen. Ich habe mich aber auch schon waehrend
der Schulzeit mit Bereichen der Mathematik befasst, die so nicht im Unter-
richt vorkamen, und ich hatte es in dn letzten beiden Schuljahren jeweils
beim "Bundesweettbewerb Mathematik" bis in die zweite runde geschafft.
Damals (1982 und 1983) jhaben soweit ich mich erinnere bundesweit nur ca.
1200 Schueler daran teilgenommen und nur ca. 300 schafften es in die zweite
Runde. Aus den sehr wenigen, die die dritte Runde (ein Kooloquium) erreichten,
wurde dann die deutsche Mannschaft fuer die "internationale Mathematik
Olympiade" rekrutiert, bei der in diesen Jahren die Bundesrepublik Deutsch-
lanf immer sehr gut abgeschnitten hatte, sofern mich in dem Punkt meine
Erinnerung nicht taeuscht ... 'Bei mir hat es in beiden Jahren nur zu einer
knappen) Teilnahmebereichtigung an der zweiten Runde gereicht, aber die
bei den Urkunden haengen noch in meinem Elternhaus 8in dem ich nicht mehr
wohne, dass ich aber noch regelmaessig besuche, weil 2 meiner Brueder dort
wohnen) eingerahmt an der Wand. Ich bion da noch immer stolz drauf ...

Tschuess,
Juergen Ilse (***@usenet-verwaltung.de)

[Udo]

Juergen Ilse schrieb am Freitag, 16. Oktober 2020 um 19:30:03 UTC+2:
...

Post by Juergen Ilse
Falls auch meine Beitraege dazu beigetragen haben sollten: gern geschehen.

Hallo Jürgen,
Ich habe Deine Beiträge mit Interesse gelesen und dadurch verstanden, dass man
aufpassen muss, wenn eine Aussage von vorneherein immer wahr ist, wie bei
"A: Die Zahl 5 ist ungerade". Und wenn noch eine Abhägigkeit hinzukommt, weil dann
"B: das Quadrat von 5 ebenfalls ungerade" ist, heißt es doppelt aufpassen.

Man kann das auch an folgendem, harmlos daher kommenden Beispiel durch-
deklinieren:

Wenn eine natürliche Zahl ungerade ist (A), dann ist ihr Nachfolger gerade (B)

Hier ist das Wort "Zahl" nichts anderes als ein Platzhalter, und damit ist das keine
Aussage in dem Sinne, dass man daraus eine Implikation ableiten kann.
Außerdem besteht auch hier eine innere Abhängigkeit, wie ich dank Deiner und der
Ausführungen der anderen, inzwischen bemerkt habe.

Danke für Deine Hilfe, und es tröstet mich ein wenig, dass auch Du, sagen wir mal
eine "gemischte universitäre Prüfungserfahrung" gemacht hast :-)
Freundliche Grüße
Udo

p.s.
Wenn man in diesem letzten Beispiel versucht, wie Carlos, mit einleuchtenden,
elementaren Rechenschritten voranzukommen, wird's richtig interessant.

Post by Juergen Ilse
Tschuess,
Juergen Ilse

[Me]

Wenn eine natürliche Zahl ungerade ist [...], dann ist ihr Nachfolger gerade [...]

Ein Satz, wie er durchaus in einem Mathebuch stehen könnte. Wenn man das aber formalisiert, kommt etwas raus wie:

An e IN: n ungerade -> n' gerade ,
oder
An(n e IN & n ungerade -> n' gerade) .

Hier gibt es also nicht einfach nur eine Implikation, sondern es wird eine sog. Allaussage gebildet.

Eine reine Implikation

P -> Q

kommt in der Mathematik ohnehin nur selten (explizit) vor. Meist haben wir es mit allquantifizierten Aussagen, die eine Implikation "enthalten", zu tun.

[Rainer Rosenthal]

Post by Udo
Man kann das auch an folgendem, harmlos daher kommenden Beispiel durch-
Wenn eine natürliche Zahl ungerade ist (A), dann ist ihr Nachfolger gerade (B)
Wenn man in diesem letzten Beispiel versucht, wie Carlos, mit einleuchtenden,
elementaren Rechenschritten voranzukommen, wird's richtig interessant.

Definitionen:
Eine Zahl g ist gerade, wenn es eine ganze Zahl h gibt mit g = 2*h.
Eine Zahl u ist ungerade, wenn es eine ganze Zahl v gibt mit u = 2*v+1.

Behauptung: Der Nachfolger einer ungeraden Zahl ist gerade.
Beweis: Sei u eine ungerade Zahl und v eine ganze Zahl mit u = 2*v+1.
Der Nachfolger von u ist u+1 = (2*v+1)+1 = 2*v+2 = 2*(v+1).
Setze h = v+1. Diese Zahl h ist eine ganze Zahl mit u+1 = 2*h.
Also ist u+1 gerade, d.h. der Nachfolger von u ist gerade.

q.e.d.

War das interessant oder langweilig?
Hast Du es in einer interessanteren Version?

Gruß,
RR

[Udo]

Post by Rainer Rosenthal
War das interessant oder langweilig?
Hast Du es in einer interessanteren Version?

Ich bin ebenso vorgegangen wie Du, gehe aber noch einen Schritt weiter,
analog zum konkreten Beispiel oben mit der Zahl 5 und ihrem Quadrat.

Um in dem neuen Beispiel mit der ungeraden Zahl und deren geraden Nachfolger
die "Implikationskette" zu formulieren, nehme ich statt allgemein
"ungerade Zahl" die konkrete ungerade Zahl 5 und schreibe:

Aussage A Aussage B A => B
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
(1) Wenn 5 ungerade (W), dann (5+1) gerade (W) (W)
(2) Wenn 5 ungerade (W), dann (5+1) ungerade (F) (F)
(3) Wenn 5 gerade (F), dann (5+1) gerade (W) (W)
(4) Wenn 5 gerade (F), dann (5+1) ungerade (F) (W)
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

(1) und (2) sind klar.
Zu beweisen sind noch Fall (3) und (4).

Ich beginne mit Fall (4):

Wenn 5 gerade ist, gibt es ein n e N, so dass gilt:
5 = 2*n
Der Nachfolger von 5 ist dann
5+1 = 2n+1 und das ist (unter der Annahme, dass 5 gerade ist) eine
ungerade Zahl, was rechts steht.


Weiter mit Fall (3):

Wenn 5 gerade ist, gibt es ein anderes n e N, so dass gilt:
5 = 2*n - 2
Der Nachfolger von 5 ist dann 5+1 = 2*n - 1
Rechts steht, dass das eine ungerade Zahl ist.

Es ist schon verdammt spät und ich hoffe, dass ich jetzt keinen Bockmist geschrieben
habe. Falls doch, bitte ich um die Höchststrafe ...
Grüße Udo

Post by Rainer Rosenthal
Gruß,
RR

[Udo]

Post by Udo
5 = 2*n - 2
Der Nachfolger von 5 ist dann 5+1 = 2*n - 1
Rechts steht, dass das eine ungerade Zahl ist.

Ist natürlich kein Beweis für Fall 3. War wohl doch schon zu spät.
Korrektur folgt demnächst.
Gruß Udo

[Juergen Ilse]

Hallo,

Post by Udo

Post by Rainer Rosenthal

Post by Udo
Hallo Rainer,
nachdem ich mir die Erklärung von Carlos genauer angeschaut habe, ist mir,
glaube ich, ein Licht aufgegangen.
Trotzdem würde mich interessieren, wie Du die Fälle (3) und (4) mit der konkreten
Zahl 5 erklären würdest.
Ohne die mathematisch klare Erklärung von Carlos hätt ich das glaub ich nie verstanden.

Hui, gute Frage.
Bisher habe ich Dich denken lassen.
Jetzt muss ich also selbst? Schaun mer mal, ob ich das ohne bei Carlos
zu spickeln rauskriege.
Leider ist oben alles wegrasiert.
--------------------------------
A B A => B
--------------------------------
(1) W W W
(2) W F F
(3) F W W
(4) F F W
---------------------------------
A: 5 ist eine ungerade natürliche Zahl
B: 5^2 ist ebenfalls ungerade

...
OK - ich will's versuchen.
Nochmals die beiden Aussagen mit der konkreten Zahl 5 (ohne k).
A: Die natürliche Zahl 5 ist eine ungerade Zahl (die Aussage ist WAHR)
B: Das Quadrat der natürlichen Zahl 5 ist ungerade (die Aussage ist WAHR)
Ich habe das "ebenfalls" in Aussage B weggelassen, damit es ganz streng wird.
Me hat das schon angemerkt.

Das Problem an diesem Beispiel ist, dass es Aussagen sind, von denen man
bereits *weiss* (auch wenn das nun nicht explizit erwaehnt wird), dass
nicht nur "A -> B" sondern auch "B -> A" gilt. Letzteres darf man aber
*nicht* voraussetzen. Nehmen wir mal ein voellig anderes Beispiel:

"Wenn es heute regnet, ist 5 eine ungerade Zahl" (*)

Das heisst, wenn es heute regnet, dann ist 5 eine ungerade 'Zahl. Wenn es heute
*nicht* regnet, ist 5 immer noch eine gerade Zahl. Nur wenn es heute nicht
regnet, dann kann ich aus der 'Tatsache, dass es heute nicht regnet aufgrund
Vorraussetzung (*) nicht schlussfolgern, dass 5 ine ungerade Zahl ist (auch
wenn 5 auch dann noch eine ungerade Zahl ist, wenn es heute nicht regnet).

Sehen wir uns nun noch mal den Fall an, dass es heute *nicht* regnet, dann
laesst (*) keine Aussage darueber zu, ob 5 ungerade oder gerade ist (zumin-
dest nicht als Schlussfolgerung von (*) ...).

Wenn es also heute *nicht* regnet, waere auch die Aussage:

"Wenn es heute regnet, dann ist 5 eine gerade Zahl" (**)

ebenso richtig, obwohl 5 *keine* gerade Zahl ist. Denn die Aussage (**)
besagt fuer den Fall, dass es heute *nicht* regnet nichts ueber die Zahl 5
aus (also insbesondere nicht, dass 5 gerade waere).

Manchmal ist es sinnvoll, sich bei solchen Fragen auch mal mit Faellen zu
beschaeftigen, wo die Aussagen "A" und "B" nicht wirklich etwas miteinander
zu tun haben ...

Tschuess,
Juergen Ilse (***@usenet-verwaltung.de)

[Juergen Ilse]

Hallo,

Post by Udo

Post by Rainer Rosenthal

Post by Udo
noch nicht abgehakt :-))
...
Corona in meinem persönlichen Umfeld zugeschlagen hat.

Herrje, jetzt ist Corona schon bei den Wahrheitstafeln angekommen.
Dann kann es ja nur noch besser werden.
Gruß und bleib gesund,
Rainer

Hallo Rainer,
nachdem ich mir die Erklärung von Carlos genauer angeschaut habe, ist mir,
glaube ich, ein Licht aufgegangen.
Trotzdem würde mich interessieren, wie Du die Fälle (3) und (4) mit der konkreten
Zahl 5 erklären würdest.
Ohne die mathematisch klare Erklärung von Carlos hätt ich das glaub ich nie verstanden.

Das "aus A folgt B" besagt in der Mathematik nur etwas ueber den Wahrheitswert
von B aus, wenn A den Wahrheitswert "wahr" hat. Ueber den Fall "A ist nicht
wahr" besagt die Aussage *nichts* ueber den Wahrheitswert von B aus. Der 3.
und 4. Fall in deiner Wahrheitstafel besagen eigentlich genau das: Ist die
Voraussetzung falsch, kann ich bei der Folgerung keine Aussage ueebr deren
Wahrheitswert machen.

Um auf dein Zahlenbeispiel zurueckzukommen:

5 ist ungerade -> 5*5 ist auch ungerade

Das besagt nun ausfuehrlich gesagt: Sollte 5 gerade sein, *dann* ist auch
5*5 ungerade. Sollte 5 *nicht* ungerade sein, weiss ich ueber 5*5 noch
nichts (solange ich nicht mehr als die obenstehende Folgerung weiss).

A -> B

heisst in der Matehmatik: also *Wenn* 8und nur dann *wenn*) A wahr ist,
*dann* kann ich aufgrund der obenstehenden Aussage auch etwas ueber den
Wahrheitswert von B aussagen. Im anderen Fall kann ich ueber den Wahrheits-
wert von B keine Aussage machen. Und weil ich dann ueber den Wahrheits-
wert von B keine Aussage machen kann, ergeben sich in der Wahrheitstafel
die Faeelle 3. und 4.: Ist A falsch, ist die Aussage "A -> B" *immer*
richtig, da die Aussage "A -> B" fuer den Fall A ist nicht wahr" keinerlei
Aussage ueber den Wahrheitswert von B ermoeglicht.

Tschuess,
Juergen Ilse (***@usenet-verwaltung.de)

[Carlos Naplos]

Post by Udo

Post by Rainer Rosenthal
Hallo Udo,
hast Du nur das Buch zur Verfügung, oder aus welchem Grund beschäftigst
Du Dich gerade mit dem Thema? Rate ich richtig, wenn ich glaube, dass Du
Dich für einen Leistungskurs in der Oberstufe interessierst?

Hallo Rainer,
erstmal Danke, dass Du Dich meines Problems angenommen hast.
Und - Nein Rainer,
ich bin längst im Ruhestand, bin Chemiker, Biologe und Mediziner (Internist) und
hab jetzt Zeit, mich mit all dem zu beschäftigen, was ich früher nicht verstanden
habe (z.B. auch Schrödinger-Gleichung).
Ziel: Von einigem noch ein Verständnis entwickeln, bevor man das Zeitliche segnet :-))
Wirklich!

Post by Rainer Rosenthal
...
Der von Dir genannte Fall (2) ist der spannende und wichtige.
Wenn Du weißt, dass W => X gilt, dass X also aus etwas Wahrem folgt,
Dann weißt Du dank der Wahrheitstafel oben, dass X wahr sein muss.
Denn von "W => W" und "W => F" ist nur der erste Fall möglich.

Post by Udo
Wenn ich das jetzt in folgendes konkretes Beispiel mit Zahlen
übersetze, ist mir das nicht mehr klar.
Sei die Aussage
A: k ist eine ungerade natürliche Zahl
B: k^2, also das Quadrat der Zahl k, ist ebenfalls ungerade

Ist A wahr?
So ganz blöde ist die Frage natürlich nicht, denn wenn Du sie zu
beantworten versuchst, kriegst Du Boden unter die Füße.
Dass die Frage nicht blöde ist, liegt daran, dass wir ja in der
Wahrheitstafel nur über solche Aussagen sprechen, die als wahr oder
falsch bezeichnet wedrden können. Und da ist es wieder, das doofe
Beispiel mit der nassen Straße :-)

Ich hab mir fast schon gedacht, dass A möglicherweise keine richtige
Aussage ist, weil da das k als Variable auftaucht.
Aber was ist, wenn ich das k jetzt durch die konkrete Zahl 5 ersetze?
Dann lautet Aussage A: 5 ist eine ungerade natürliche Zahl.
Und diese Aussage ist wahr.
(1): Wenn 5 ungerade ist, dann ist 5^2 ungerade (Wahr)
(2): Wenn 5 ungerade ist, dann ist 5^2 gerade (Falsch)
(3): Wenn 5 nicht ungerade (sondern gerade) ist, dann ist 5^2
ungerade (???)
(4): Wenn 5 nicht ungerade (sondern gerade) ist, dann ist 5^2 nicht
ungerade (sondern gerade) (???)>

Post by Rainer Rosenthal
Gruß,
Rainer Rosenthal

Irgendwie steh ich mit (3) und (4) immer noch auf Kriegsfuß.

(3) Sei 5 gerade => Es gibt n aus N mit 5 = 2 * n => 5 * 5 = (2 * n) *
(2 * n) = 2 * (2 * n * n) => 5 * 5 ist gerade
(4) Sei 5 gerade => Es gibt n aus N mit 5 = 2 * n => 2 * n = 4 + 1 => 5
* 5 = 5 * (2 * n) = 5 * (4 + 1) = 20 + 5 = 20 + 4 + 1 = 2 * 12 + 1

Gruß CN

[Udo]

Post by Carlos Naplos

(1): Wenn 5 ungerade ist, dann ist 5^2 ungerade (Wahr)
(2): Wenn 5 ungerade ist, dann ist 5^2 gerade (Falsch)
(3): Wenn 5 nicht ungerade (sondern gerade) ist, dann ist 5^2
ungerade (???)
(4): Wenn 5 nicht ungerade (sondern gerade) ist, dann ist 5^2 nicht
ungerade (sondern gerade) (???)>

(3) Sei 5 gerade => Es gibt n aus N mit 5 = 2 * n => 5 * 5 = (2 * n) *
(2 * n) = 2 * (2 * n * n) => 5 * 5 ist gerade

Dies entspricht dem Fall (4)

Post by Carlos Naplos
(4) Sei 5 gerade => Es gibt n aus N mit 5 = 2 * n => 2 * n = 4 + 1 => 5
* 5 = 5 * (2 * n) = 5 * (4 + 1) = 20 + 5 = 20 + 4 + 1 = 2 * 12 + 1

Dies entspricht dem Fall (3)

Post by Carlos Naplos
Gruß CN

Hallo Carlos,
Deine obige Erklärung hab ich verstanden, und die ist absolut überzeugend.
Toll!
Und herzlichen Dank dafür.

Grüße Udo

[Carlo XYZ]

Post by Udo
Irgendwie steh ich mit (3) und (4) immer noch auf Kriegsfuß.

Da mich die anderen Antworten nicht so doll zufriedenstellen
(und dich vielleicht auch nicht), versuch ich's mal anders.

Deine Tabelle mit den vier Zeilen (1)-(4) würde man eigentlich
nicht als Schema bezeichnen, sondern als "Definition" von =>
in der Aussagenlogik. Dazu müssen A und B zwei _Aussagevariablen_
sein, die _unabhängig voneinander_ jeden der beiden Wahrheitswerte
W und F annehmen können. (Also sind 4 Zeilen schon ganz plausibel,
weil jede Kombination vorkommen kann.)

Was nicht passt, ist dein Beispiel. Dein A ("k ist gerade") ist
gar keine Aussagevariable, sondern ein parametrisierter Ausdruck
A(k), der sich durch Einsetzen einer konkreten Zahl k, z.B. k=5,
als konkrete Aussage ("5 ist gerade") entpuppt. Also kannst du
die Tabelle weder für dein A, noch für die konkrete Aussage
A(5) nachprüfen, denn du brauchst eine Aussagevariable, die
beide Werte (W und F) im Prinzip annehmen kann. Du könntest
versuchen, A(k) für dein A einzusetzen, und das funktioniert
hier auch ganz gut, gibt aber nicht den Aufschluss, den du
dir erhoffst. Eigentlich müsste man es unendlich oft machen,
das wollen wir aber nicht und es ist hier auch sinnlos.

Genauso verhält es sich mit B ("k^2 ist gerade"). Das ist keine
Aussage und auch keine Aussagenvariable im Sinne der Tabelle.

Es gibt noch ein weit unangenehmeres Problem: deine A(k) und B(k)
_sind gar nicht unabhängig voneinander_! Wenn zum Beispiel k zu 5
festgelegt wird, wird A(k) zu W, aber auch B(k) wird zu W! (Es
_kann_ gar nicht anders sein, wie schon Martin ausgeführt hat.)
Genauso: legst du A(k) zu F fest, liegt auch schon B(k)=F fest.
Du prüfst quasi immer nur die erste oder letzte Zeile der Tabelle.

Fazit: Denk nochmal über dein Beispiel nach.

Na gut, ich hab mir eins ausgedacht. Ein Schrankwärter hat zwei
Signale P,Q, die nur "grün" (bzw. "grün=W") oder "rot" (kurz für
"nicht-grün" bzw. "grün=W") zeigen können. Er möchte die Implikation

(*) rot(P) => rot(Q) ("wenn P auf rot steht, dann auch Q")

sicher stellen. Welchen Fall oder welche Fälle muss er ausschließen?
Doch nur den Fall, dass

rot(P) und grün(Q),
oder ausgeschrieben: rot(P)=W und grün(Q)=W
oder noch anders geschrieben: rot(P)=W und rot(Q)=F
(weil rot(Q)=F und grün(Q)=W gleichbedeutend sind).

Alle anderen Fälle kann er zulassen (für die Implikation (*),
die er haben möchte, nichts anderes!). Nur in diesem einzigen
Fall sollte die Implikation "Falsch" sein, in allen anderen
(drei) Fällen gleich "Wahr".

Den Rest überlasse ich dir (inklusive dem nicht ganz trivialen
Auseinanderklambüsern, was hier für dein A bzw. dein B steht).

[PS Wie macht der Schrankwärter das eigentlich? Na, indem er immer,
wenn P von grün auf rot gestellt werden soll, erst Q auf rot stellt.)

[Carlo XYZ]

... oder "rot" (kurz für
"nicht-grün" bzw. "grün=W") zeigen können...

^^^^^^ "grün=F"

[Carlo XYZ]

(*)  rot(P) => rot(Q)   ("wenn P auf rot steht, dann auch Q")
sicher stellen.
[PS  Wie macht der Schrankwärter das eigentlich? Na, indem er immer,
wenn P von grün auf rot gestellt werden soll, erst Q auf rot stellt.

Und natürlich auch: Nur dann Q von rot auf grün stellen,
wenn P schon grün ist. ]

Ich möchte nicht wissen, wie viele Unfälle
es auf diese Weise schon gab ...

[Carlo XYZ]

....: deine A(k) und B(k)
_sind gar nicht unabhängig voneinander_! Wenn zum Beispiel k zu 5

Noch eine Fehlerkorrektur: ... Wenn zum Beispiel k zu 6 ...

festgelegt wird, wird A(k) zu W, aber auch B(k) wird zu W! (Es
_kann_ gar nicht anders sein, wie schon Martin ausgeführt hat.)
Genauso: legst du A(k) zu F fest, liegt auch schon B(k)=F fest.

[Martin Vaeth]

Post by Udo
A: k ist eine ungerade natürliche Zahl
B: k^2, also das Quadrat der Zahl k, ist ebenfalls ungerade

Wie Rainer schon hingewiesen hat, sind A und B keine Aussagen,
sondern sie werden nur dann welche, wenn Du für k eine feste
Zahl einsetzt (ich vermute, Du willst in diesem Zusammenhang
nur über natürliche Zahlen k sprechen).

Du hast es nicht explizit geschrieben, aber es geht
Dir natürlich um das Implikationschema A => B.
Beachte, dass es ein Implikations*schema* ist: Für jede
natürliche Zahl k bekommst Du eine Implikation.
(Normalerweise schreibt man in der Logik dafür lieber
A(k)=>B(k) um die Abhängigkeit von k klar zu machen.)

Post by Udo
Wenn ich das in obige Wahrheitstafel übersetze,

Nein. Wahrheitswerte sind kein Implikationsschema.

Setze etwa k=3 ein: Dann ist A richtig und B ebenfalls.
Für diesen speziellen Wert von k ist also die Implikation
A=>B nach der Wahrheitstabelle richtig.

Setzen wir nun k=2 ein: Dann sind A und B beide falsch.
Trotzdem ist (nach der Wahrheitstabelle) die Implikation
A=>B auch in diesem Fall richtig.

So könnte man nun für jedes k einzeln überprüfen, ob die
Implikation stimmt. Ob das gesamte Schema (für alle
natürlichen Zahlen k) gültig ist, kann man auf diese Weise
natürlich nicht überprüfen. Um die Korrektheit dieses
Schemas zu beweisen, ohne jeden Wert von k einzeln
einzusetzen, braucht man schon mehr als elementare Logik:
Den Allquantor und Axiome über *alle* natürliche Zahlen.

[Jens Kallup]

Hallo Udo,

Post by Udo
----------------
A B A=>B
----------------
(1) W W W
(2) W F F
(3) F W W
(4) F F W
----------------

um genauere Antworten zu geben, fehlt (oder ich habe es noch
nocht gelesen) die Art, wie die Wahrheitstafel "verknüpft"
ist.

Zum Beispiel: ODER (1), UND (2), NICHT (3), ...

a UND b
------------------------------------------------------------------
F F (1) Wenn aF UND bF sind, dann ist das Ergebnis W, also 1
W W (2) Wenn aW UND bW sind, dann ist das Ergebnis W, also 1

F W (3) wenn aF UND bW sind, dann ist das Ergebnis W, also 1
W F (4) wenn aW und bF sind, dann ist das Ergebnis F, also 0


Zur weiteren Erklärung:

(1)
___T1
+----- + -----+/ -----+
| |
| ___T2 |
+----- - -----+/ -----+

Taster 1 (T1) UND Taster (T2) sind *nicht* geschlossen.
Stromkreis ist *nicht* geschlossen, und *kein* Strom fließt.
Also W
T1 *nicht* UND T2 *nicht* - zwei doppelte verneinungen, also W.

(2)
+----- + -----+
| UND |
+----- - -----+

Stromkreis *ist* geschlossen, und auf grün gestellt (grün = W).
Strom *kann* fließen.
Also W.

(3) ___T1
+---- + ---/ -----+
| _T2_ +
+---- - ---/ \----+

T1 ist *nicht* UND T2 ist *geschlossen*, also T1 = F UND T2 = W
=> es dominiert W (1) gegenüber F (0), also W

Bei (4) bin ich mir jetzt nicht so sicher, ist vermutlich das
Gegenstück zu (3).
Weil, Strom suchst sich immer den wenigsten Widerstand.

Jens

[Martin Vaeth]

Post by Udo
----------------
A B A=>B
----------------
(1) W W W
(2) W F F
(3) F W W
(4) F F W
----------------
A: k ist eine ungerade natürliche Zahl
B: k^2, also das Quadrat der Zahl k, ist ebenfalls ungerade
Wenn ich das in obige Wahrheitstafel übersetze,

Vielleicht war meine Aussage aus dem anderen Posting
"Eine Wahrheitstafel ist kein Implikationsschema"
nicht zufriedenstellend für Dich. Du willst mit (1)-(4)
vermutlich folgende Frage beantworten:

Angenommen, Du weißt, dass das Implikationsschema A=>B für
alle natürlichen Zahlen k richtig ist - was kannst Du dann
mit der Wahrheitstafel daraus schließen?

Die Wahrheitstafel entspricht den Fällen

(1) k und k^2 sind beide ungerade (A=>B ist wahr)
(2) k ist ungerade und k^2 gerade (A=>B ist falsch)
(3) k ist gerade und k^2 ungerade (A=>B ist wahr)
(4) k und k^2 sind beide gerade (A=>B ist wahr)

Wenn Du also weißt, dass A=>B für jede natürliche Zahl k
wahr ist, weißt Du nur, dass für jede natürliche Zahl einer
der Fälle (1),(3),(4) auftritt. Insbesondere weißt Du also,
dass (2) nicht auftritt, d.h. es gibt keine ungerade natürliche
Zahl k mit geradem Quadrat k^2.

Du kannst übrigens *nicht* schließen, dass es zu jedem der Fälle
(1),(3),(4) auch ein k *gibt*, für das dieser Fall eintritt.
(Tatsächlich gibt es kein k, für das (3) eintritt).

Interessant ist hier nur: Wenn k gerade ist, sagt die Implikation A=>B
alleine absolut nichts darüber aus, ob k^2 gerade oder ungerade ist.
Man ist eben im Fall (4) oder (3), und kann aufgrund der Implikation
A=>B keinen der beiden Fälle ausschließen.

(Tatsächlich ist in diesem Beispiel sogar die Äquivalenz A<=>B richtig;
wenn man dies von vornherein gewusst hätte, hätte man zusätzlich den
Fall (3) ausschließen können; aber dazu steckt man dann eben mehr hinein
als nur die Kenntnis der Implikation A=>B).

[Stefan Ram]

Post by Udo
Die Implikation ist also immer wahr, außer in dem Fall,
wenn A wahr und B falsch ist

Eine Implikation A=>B ist falsch, wenn A, aber nicht B.
Also -(A=>B)=(A^-B), daher A=>B=-(A^-B). Und Deine
Wahrheitstafel ist gerade die von -(A^-B).

=> Implikation
- Negation
^ Konjunktion
= Äquivalenz

[Stephan Herrmann]

Post by Udo
Hallo
----------------
A B A=>B
----------------
(1) W W W
(2) W F F
(3) F W W
(4) F F W
----------------
Die Implikation ist also immer wahr, außer in dem Fall,
wenn A wahr und B falsch ist (ex falso quodlibet).

[...]

Die Implikation A=>B entspricht ¬A ˅ B, d.h.
A=>B ist wahr, wenn ¬A wahr ist oder B wahr ist,
also wenn A falsch oder B wahr ist.

Ist also A falsch, dann ist A=>B immer wahr und das völlig unabhängig
von B. Ist A falsch, gilt ebenfalls A=>¬B. Also aus einer falschen
Aussage, folgt irgend eine Aussage B, und ebenso folgt aus der
falschen Aussage gleichzeitig die Verneinung der Aussage B.

Vielfach können Beispiele einen dazu verleiten, den Wahrheitsgehalt von
B auf den Wahrheitsgehalt von A=>B direkt zu übertragen.


(N.B.: So gilt es in der klassischen Logik, es gibt aber wohl auch andere
Denkansätze und Logikkalküle, die einen Wahheitswert von A=>B ablehnen,
wenn A nicht als wahr bewiesen ist.)

[Me]

Post by Udo
Die Implikation ist also immer wahr, außer in dem Fall,
wenn A wahr und B falsch ist [...].

In der Tat.

Post by Udo
Wenn ich das jetzt in folgendes konkretes Beispiel mit Zahlen
übersetze, ist mir das nicht mehr klar.
Sei die Aussage
A: k ist eine ungerade natürliche Zahl
B: k^2, also das Quadrat der Zahl k, ist ebenfalls ungerade

In diesem Fall haben wir es, falls "k" eine Variable ist, nicht mehr mit Aussagen, sondern sog. Aussageformen zu tun.

In diesem Fall ist es daher auch besser zu schreiben:

A(k): k ist eine ungerade natürliche Zahl
B(k): k^2, das Quadrat der Zahl k, ist ungerade

Wir kürzen das noch etwas ab und gehen zudem davon aus, dass unser "universe of discourse" aus den natürlichen Zahlen besteht:

A(k): k ist ungerade
B(k): k^2 ist ungerade

Post by Udo
Wenn ich das in obige Wahrheitstafel übersetze, steht da laut
Implikationsschema: [...]

Das "Problem" ist hier, dass die Aussageformen A(k) und B(k) nicht mehr "unabhängig" voneinander betrachtet werden können. Genauer. Wenn man für "k" einen "nicht spezifischen Zahlnamen" (für eine natürliche Zahl) einsetzt, sagen wir z. B. "n", dann ist es hier so, dass B(n) immer wahr ist, wenn A(n) wahr ist. Mit anderen Worten, der Fall, dass A(n) wahr ist, und B(k) falsch ist, tritt nicht auf!

Wenn wir hier also nochmal Ihre Tabelle bemühen:

----------------------------
A(n) B(n) A(n)=>B(n)
----------------------------
(1) W W W
(2) W F F
(3) F W W
(4) F F W
----------------

Dann tritt der Fall (2) nie ein (egal welche natürliche Zahl von "n" bezeichnet wird).

FORMAL kann man das unter Verwendung der Implikation und eines Allquantors so ausdrücken:

Ax(A(x) -> B(x)) ,

bzw. in einem etwas allgemeineren Kontext (Analysis) z. B. auch so:

Ax e IN: A(x) -> B(x) .

Post by Udo
Ich hab in fünf verschiedenen Lehrbüchern nachgeschaut, finde die Implikation
aber meistens an eher ungeeigneten Beispielen erklärt, ähnlich wie
"Wenn es regnet, dann ist die Straße nass."

Ja, das ist im Hinblick auf Ihr Problem ungeeignet. Besser wäre da schon:

A(x, t): Es regnet am Ort x zum Zeitpunkt t
B(x, t): Der Boden am Ort x ist zum Zeitpunkt t nass.

(So was in der Art, ohne es jetzt mit der Präzision ALLZU genau zu nehmen.)

Setzen wir für "x" mal den Namen für eine bestimmten Ort ein, sagen wir "Potsdamer Platz, Berlin", dann vereinfacht sich unser Beispiel zu

A'(t): Es regnet 'am' Potsdamer Platz, Berlin, zum Zeitpunkt t
B'(t): Der Boden 'am' Potsdamer Platz, Berlin, ist zum Zeitpunkt t nass.

Nun treten in der Regel wohl folgende Fälle ein:

A'(T) ist zu einem bestimmten Zeitpunkt T wahr. Dann ist (üblicherweise) auch B'(T) wahr. Andererseits könnte durchaus B'(T) wahr sein, ohne dass A'(T) wahr ist (wenn z. B. zum Zeitpunkt T der Boden nass gereinigt wird/würde). Genausogut könnte es aber auch sein, dass A'(T) falsch ist und B'(T) falsch ist. Kurz: Lediglich den Fall, dass A'(T) wahr ist und B'(T) falsch ist, wollen wir (explizit) "ausschließen".

Diesen "Sachverhalt" könnte man dann z. B. so ausdrücken:

At e IR: A'(t) -> B'(t) .
"Immer wenn es am Potsdamer Platz in Berlin regnet,
ist dort der Boden nass."

Realistischer wäre natürlich so etwas wie:

At e [5.10.2020, 10.10.2020]: A'(t) -> B'(t) .

Hoffe, dass Ihnen das weiterhilft.

[Me]

Post by Me
Wir kürzen das noch etwas ab und gehen zudem davon aus, dass unser "universe
A(k): k ist ungerade
B(k): k^2 ist ungerade

Post by Udo
Wenn ich das in obige Wahrheitstafel übersetze, steht da laut
Implikationsschema: [...]

Das "Problem" ist hier, dass die Aussageformen A(k) und B(k) nicht mehr
"unabhängig" voneinander betrachtet werden können. Genauer: Wenn man für
"k" einen "nicht spezifischen Zahlnamen" (für eine natürliche Zahl) einsetzt,
sagen wir z. B. "n", dann ist es hier so, dass B(n) immer wahr ist, wenn A(n)
wahr ist. Mit anderen Worten, der Fall, dass A(n) wahr ist, und B(n) falsch
ist, tritt nicht auf!
----------------------------
A(n) B(n) A(n)=>B(n)
----------------------------
(1) W W W
(2) W F F
(3) F W W
(4) F F W
----------------
Dann tritt der Fall (2) nie ein (egal welche natürliche Zahl von "n" bezeichnet wird).

Anmerkung: Der Fall (4) tritt aber ebenfalls nie ein, denn wenn eine natürliche Zahl n gerade ist (also nicht ungerade), so ist auch n^2 gerade (und nicht ungerade).

Post by Me
Ax(A(x) -> B(x)) ,

Aufgrund des oben erwähnten Sachverhalts gilt also sogar

Ax(A(x) <-> B(x))

[Mit P <-> Q =df (P -> Q) & (Q -> P).]

Post by Me
bzw. in einem etwas allgemeineren Kontext (Analysis) [wo also nicht nur
Ax e IN: A(x) -> B(x)

bzw. (siehe oben):

Ax e IN: A(x) <-> B(x) .

Mit anderen Worten, wenn n eine natürliche Zahl ist, dann ist A(n) genau dann wahr, wenn B(n) wahr ist.

Direkt formuliert: Für jede natürliche Zahl n gilt, dass n genau dann ungerade ist, wenn n^2 ungerade ist.

[Ob man als Variable nun "x" oder "n" nimmt, ist hier nicht relevant. Allerdings nimmt man im Zusammenhang mit natürlichen Zahlen, gerne "n" oder "m", statt z. B. "x" bzw. "y".]

[Me]

Post by Me
Wir kürzen das noch etwas ab und gehen zudem davon aus, dass unser "universe
A(k): k ist ungerade
B(k): k^2 ist ungerade

Post by Udo
Wenn ich das in obige Wahrheitstafel übersetze, steht da laut
Implikationsschema: [...]

Das "Problem" ist hier, dass die Aussageformen A(k) und B(k) nicht mehr
"unabhängig" voneinander betrachtet werden können. Genauer: Wenn man für
"k" einen "nicht spezifischen Zahlnamen" (für eine natürliche Zahl) einsetzt,
sagen wir z. B. "n", dann ist es hier so, dass B(n) immer wahr ist, wenn A(n)
wahr ist. Mit anderen Worten, der Fall, dass A(n) wahr ist, und B(n) falsch
ist, tritt nicht auf!
----------------------------
A(n) B(n) A(n)=>B(n)
----------------------------
(1) W W W
(2) W F F
(3) F W W
(4) F F W
----------------
Dann tritt der Fall (2) nie ein (egal welche natürliche Zahl von "n" bezeichnet wird).

Anmerkung: Der Fall (3) tritt aber ebenfalls nie ein, denn wenn eine natürliche Zahl n gerade ist (also nicht ungerade), so ist auch n^2 gerade (und nicht ungerade).

Post by Me
Ax(A(x) -> B(x)) ,

Aufgrund des oben erwähnten Sachverhalts gilt also sogar

Ax(A(x) <-> B(x))

[Mit P <-> Q =df (P -> Q) & (Q -> P).]

Post by Me
bzw. in einem etwas allgemeineren Kontext (Analysis) [wo also nicht nur
Ax e IN: A(x) -> B(x)

bzw. (siehe oben):

Ax e IN: A(x) <-> B(x) .

Mit anderen Worten, wenn x eine natürliche Zahl ist, dann ist A(x) genau dann wahr, wenn B(x) wahr ist.

Direkt formuliert: Für jede natürliche Zahl x gilt, dass x genau dann ungerade ist, wenn x^2 ungerade ist.

[Andreas Leitgeb]

Post by Me
A(k): k ist eine ungerade natürliche Zahl
B(k): k^2, das Quadrat der Zahl k, ist ungerade

Mit der Zusatzforderung, dass k als natürlich *vorausgesetzt* sein soll
werden A(k) und B(k) erst äquivalent.

Würde man die natürlichkeit so einbringen:
A(k): k ist natürlich und ungerade
B(k): k^2 ist natürlich und ungerade

Dann würden diese Aussagen wunderbar für die Implikation Modell stehen:
hier ein paar Beispiel-Belegungen:
k | A(k) | B(k)
---------------------------
1 | W | W
sqrt(2) | F | F
sqrt(3) | F | W
- | W | F

Natürlich gibt es hier keinen Fall mit | W | F

[Me]

Post by Andreas Leitgeb

Post by Me
A(k): k ist eine ungerade natürliche Zahl
B(k): k^2, das Quadrat der Zahl k, ist ungerade

Das hast Du aber "schön" aus dem Zusammenhang gerissen.

Einen Satz weiter schreibe ich dann:

| Wir kürzen das noch etwas ab und gehen zudem davon aus, dass unser "universe
| of discourse" aus den natürlichen Zahlen besteht:
|
| A(k): k ist ungerade
| B(k): k^2 ist ungerade

Post by Andreas Leitgeb
Mit der Zusatzforderung, dass k als natürlich *vorausgesetzt* sein soll
werden A(k) und B(k) erst äquivalent.

[Uwe Weiss]

Post by Udo
Hallo
----------------
A B A=>B
----------------
(1) W W W
(2) W F F
(3) F W W
(4) F F W
----------------
Die Implikation ist also immer wahr, außer in dem Fall,
wenn A wahr und B falsch ist (ex falso quodlibet).

Wenn Weihnachten und Ostern auf einen Tag fallen, dann
- können Schweine fliegen
- ist 1 + 2 = 3
- fress' ich einen Besen
sind doch wahre Aussagen, oder?

Gruß

-Uwe-

[Stefan Ram]

Post by Uwe Weiss
Wenn Weihnachten und Ostern auf einen Tag fallen, dann
- können Schweine fliegen

Da ich heute nicht viel Zeit habe zitiere ich mal eine Web-Seite:

|Verständnisprobleme bei der materialen Implikation (so heißt
|die korrekt und nicht materielle) gibt es oft. Sie beruhen
|häufig auf der Vermengung/Verwechselung von materialer
|Implikation und logischem Schluss/Folgerung. Das sind aber
|unterschiedliche Dinge.
|
|Die materiale Implikation ist eine zweistellige logische
|Verknüpfung. Mit ihr wird per Definition jeder Kombination
|von Wahrheitswerten der Aussagen A und B ein Wahrheitswert
|der verknüpften Ausage zugewiesen. Das ist völlig analog zu
|den zweistelligen logischen Verknüpfungen oder . Auf dieser
|Sprachebene werden Aussagen und ihre Verknüpfungen formal
|dargestellt.
|
|Mit einem logischen Schluss hat unmittelbar keine dieser
|zweistelligen logischen Verknüpfungen etwas zu tun. Ein
|logischer Schluss ist eine Regel, die es einem gestattet, aus
|der Kenntnis der Wahrheit oder Herleitbarkeit bestimmter
|Aussagen (der Prämissen) auf die Wahrheit/Herleitbarkeit
|einer anderen Aussage (der Conclusio) zu schließen.
|Der logische Schluss findet auf einer anderen Sprachebene
|statt, einer Metaebene. Er ist eine Aussage über Aussagen. Um
|das zu unterscheiden, verwenden die Logiker auch
|unterschiedliche Symbole

[Juergen Ilse]

Hallo,

Post by Udo
Hallo
----------------
A B A=>B
----------------
(1) W W W
(2) W F F
(3) F W W
(4) F F W
----------------
Die Implikation ist also immer wahr, außer in dem Fall,
wenn A wahr und B falsch ist (ex falso quodlibet).

Korrekt. Die Idee ist: Wenn bereits die Voraussetzung falsch ist, ist es
gleichgueltig, ob das, was man daraus folgern moechte, nun falsch oder wahr
ist. Oder anders formuliert: aus etwas falschem kann man beliebiges (falsches
oder wahres) folgern. Also so etwas wie "wenn es heute Spaghetti regnet,
scheint in 3 Jahren in Kleinkleckersdorf die Sonne" waere eine wahre Aussage,
denn da es heute keine Spaghetti regnet, spielt es fuer den Wahrheitsgehalt
der gesamten Aussage keine Rolle mehr, ob es nun wirklich in 3 Jahren in
Kleinkleckersdorf regenen wird oder nicht.

Post by Udo
Wenn ich das jetzt in folgendes konkretes Beispiel mit Zahlen
übersetze, ist mir das nicht mehr klar.

Sieh dir das Beispiel weiter oben mit dem "Spaghetti-Regen" an. Ueber den
Fall "es regnet heute keine Spaghetti" sagt diese Gesamtaussage nichts aber
auch wirklich *gar* *nichts* aus. Und genaui das ist der Grund, warum die
Gesamtaussage (die eben nur etwas fuer den nicht moeglichen Fall "es regnet
heute Spaghetti" aussagt), voellig unabhaenghig davon ist, ob die "Folgerung"
nun wahr ist (bzw. sin wird) oder nicht.
Ich hoffe, daraus ist dir die Idee dahinter etwas klarer geworden.

a -> B

ist also letzten (mathematisch) gleichbedeutend mit "A oder nicht B".

Tschuess,
Juergen Ilse (***@usenet-verwaltung.de)

[Roalto]

Post by Juergen Ilse
Hallo,

Post by Udo
Hallo
----------------
A B A=>B
----------------
(1) W W W
(2) W F F
(3) F W W
(4) F F W
----------------
Die Implikation ist also immer wahr, außer in dem Fall,
wenn A wahr und B falsch ist (ex falso quodlibet).

Korrekt. Die Idee ist: Wenn bereits die Voraussetzung falsch ist, ist es
gleichgueltig, ob das, was man daraus folgern moechte, nun falsch oder wahr
ist. Oder anders formuliert: aus etwas falschem kann man beliebiges (falsches
oder wahres) folgern. Also so etwas wie "wenn es heute Spaghetti regnet,
scheint in 3 Jahren in Kleinkleckersdorf die Sonne" waere eine wahre Aussage,
denn da es heute keine Spaghetti regnet, spielt es fuer den Wahrheitsgehalt
der gesamten Aussage keine Rolle mehr, ob es nun wirklich in 3 Jahren in
Kleinkleckersdorf regenen wird oder nicht.

Post by Udo
Wenn ich das jetzt in folgendes konkretes Beispiel mit Zahlen
übersetze, ist mir das nicht mehr klar.

Sieh dir das Beispiel weiter oben mit dem "Spaghetti-Regen" an. Ueber den
Fall "es regnet heute keine Spaghetti" sagt diese Gesamtaussage nichts aber
auch wirklich *gar* *nichts* aus. Und genaui das ist der Grund, warum die
Gesamtaussage (die eben nur etwas fuer den nicht moeglichen Fall "es regnet
heute Spaghetti" aussagt), voellig unabhaenghig davon ist, ob die "Folgerung"
nun wahr ist (bzw. sin wird) oder nicht.
Ich hoffe, daraus ist dir die Idee dahinter etwas klarer geworden.
a -> B
ist also letzten (mathematisch) gleichbedeutend mit "A oder nicht B".

Implikation: nicht A oder B.

Viel Spass weiterhin
Roalto

Post by Juergen Ilse
Tschuess,

[Juergen Ilse]

Hallo,

Post by Roalto

Post by Juergen Ilse
Ich hoffe, daraus ist dir die Idee dahinter etwas klarer geworden.
a -> B
ist also letzten (mathematisch) gleichbedeutend mit "A oder nicht B".

Implikation: nicht A oder B.

Natuerlich. So etwas kommt dabei rausm, wenn man bei der Antwort gedanklich
mit etwas voellig anderem beschaeftigt ist ... Was sagst du zu dem Beispiel
mit dem "Spaghetti-Regen"?

Tschuess,
Juergen Ilse (***@usenet-verwaltung.de)