L'effetto della gravità su di me cambierebbe se dovessi scavare una buca molto profonda e rimanerci in piedi? In tal caso, come cambierebbe? Ho maggiori probabilità di essere tirato verso il basso o tirato verso i bordi del buco? Se non ci fossero cambiamenti, perché no?
Le altre risposte forniscono un'approssimazione del primo ordine, assumendo densità uniforme (sebbene quella di Adam Zalcman alluda a deviazioni dalla linearità). (Riepilogo: tutta la massa più lontana dal centro si annulla e la gravità diminuisce linearmente con la profondità da 1 g in superficie a zero al centro.)
Ma in realtà, il nucleo della Terra è sostanzialmente più denso degli strati esterni (mantello e crosta) e la gravità in realtà aumenta un po 'mentre scendi, raggiungendo un massimo al confine tra il nucleo esterno e il mantello inferiore. All'interno del nucleo, scende rapidamente a zero quando ti avvicini al centro, dove l'intera massa del pianeta esercita un'attrazione gravitazionale da tutte le direzioni.
L'articolo di Wikipedia sulla "gravità della Terra" entra nei dettagli, compreso questo grafico:
"PREM" nella figura si riferisce al modello terrestre di riferimento preliminare.
Si possono vedere versioni più grandi del grafico qui
E ci sono anche altri effetti più piccoli. La rotazione della Terra si traduce in una minore gravità effettiva vicino all'equatore, il rigonfiamento equatoriale che risulta da tale rotazione ha anche un piccolo effetto e le concentrazioni di massa hanno effetti locali.
Supponendo una distribuzione della massa sfericamente simmetrica all'interno della Terra, è possibile calcolare il campo gravitazionale all'interno del pianeta utilizzando la legge di Gauss per la gravità. Una conseguenza della legge è che mentre si calcola il campo gravitazionale a una distanza r < R (con R il raggio della Terra), si può ignorare tutta la massa al di fuori del raggio r dal centro
\ begin {equation} \ oint_ {S_r} g_r \ cdot dA = -G \ int_ {B_r} \ rho dV \ end {equation}
dove g r è il campo gravitazionale alla distanza r dal centro della Terra, ρ è la densità della Terra, S r è la sfera del raggio r centrata sul centro di massa della Terra e B r è il volume racchiuso da S r . Supponendo che ρ dipenda solo dalla distanza r dal centro della Terra, possiamo semplificarlo come segue
\ begin {equation} \ oint_ {S_r} g_r \ cdot dA = -4 \ pi G \ int_0 ^ r \ rho (s) ~ s ^ 2ds \ end {equation}
\ begin {equation} g_r = - \ frac {G} {r ^ 2} \ int_0 ^ r \ rho (s) ~ s ^ 2ds \ end {equation}
Impostando M r per indicare la porzione della massa terrestre racchiusa all'interno di S r sub>, possiamo riscrivere l'ultima formula come
\ begin {equation} g_r = - \ frac {GM_r} {r ^ 2} \ end {equation}
Ora, lasciando ρ r denota la densità media della porzione di Terra racchiusa all'interno di S r , abbiamo
\ begin {equation} g_r = - \ frac {4 \ pi G \ rho_r r} {3} \ end {equation}
La conclusione è che la gravità all'interno della Terra dipende approssimativamente linearmente dalla distanza dal centro del pianeta e le variazioni di densità spiegano deviazioni dalla linearità.
Un modo interessante per visualizzarlo è pensare a un ascensore lungo oltre 12.700 km da Hamilton, Nuova Zelanda a Cordoba, Spagna. Durante il viaggio (che a una velocità media di 200 km / h richiederebbe quasi tre giorni) i passeggeri avvertirebbero una diminuzione del peso graduale e approssimativamente lineare ea metà del viaggio sperimenterebbero l'assenza di gravità seguita da un aumento graduale del peso man mano che si avvicinano alla superficie l'altra parte. Inoltre, intorno alla metà del viaggio, il pavimento e il soffitto si scambiavano.
L'accelerazione dovuta alla gravità alla profondità d sotto la superficie terrestre è data da:
$ g (d) = G M_e \ dfrac {R_e - d} {R_e ^ 3} $
Dove,
G = Costante gravitazionale universaleMe = Massa della terraRe = Raggio della terrad = profondità sotto la superficie terrestre
Questo è un problema davvero interessante che ha avuto una prima soluzione dagli antichi greci (l'ho sentito raccontare da Carlo Rovelli). Infatti, quando scavi un buco nella Terra, la gravità inizia a diventare proporzionale alla distanza e, se scavi nel modo in cui aprirai un buco dall'altra parte della Terra, una massa oscillerà nel pozzo che hai creato.