Nagu pealkirjas küsiti:
Kas on mingeid kirjalikke allikaid (alates 19. sajandist), mis väidavad sõnaselgelt, et mis tahes funktsioon, mis vastab vaheväärtuse omadusele, on pidev?
(Ma ei usu, et oleks mõtet otsida varasemaid allikaid, kuna järjepidevuse mõiste muudeti rangeks alles 19. sajandil. See küsimus sai alguse minu antud vastusest aadressil Math.Stackexchange. See, mis järgneb, laenab sellest vastusest suuresti.)
Kui ma olen intervall ja f: I → ℝ, siis ütleme, et f-il on vaheväärtuse omadus siis ja ainult siis, kui alati ≠ b on I punktid, kui c on f (a) ja f (b) vahel, siis on ad a vahel ja b, kus f (d) = c.
Bolzano avaldas 1817. aastal oma kirjutise Rein analytischer Beweis des Lehrsatzes, dass zwischen je zwey Werthen, die ein entgegengesetzes Resultat gewähren, wenigstens eine reelle Wurzel der Gleichung liege ( Puhtalt analüütiline tõestus selle kohta, et mis tahes kahe vastupidise märgi tulemusi andva väärtuse vahel on võrrandi vähemalt üks tegelik juur). Seal tõestab ta, et pidevad funktsioonid rahuldavad vaheväärtuse omadust. Nagu ta dokumendis märgib, arvati, et see väide vastab tõele ja selle õigustamiseks esitati mitu "geomeetrilist" argumenti.
Teisest küljest teame nüüd, et vaheväärtuse omadus on järjepidevusest palju nõrgem. Kena uuring, mis sisaldab üksikasjalikke näiteid funktsioonidest, mis on katkendlikud ja omavad siiski vaheväärtuse omadust, on
I. Halperin, katkematud funktsioonid atribuudiga Darboux , Can. Matemaatika. Bull., 2 (2) , (mai 1959), 111–118.
Halperini paberist leiame lõbusa tsitaadi
Kuni Darboux'i tööni 1875. aastal uskusid mõned matemaatikud, et omadus [vaheväärtus] viitab tegelikult f (x) järjepidevusele.
Seda väidet korratakse veel paljudes kohtades. Näiteks siin võib lugeda
19. sajandil uskusid mõned matemaatikud, et omadus [vaheväärtus] on samaväärne järjepidevusega.
See on väga sarnane sellega, mida leiame A. Brucknerilt, Reaalsete funktsioonide eristamine , AMS, 1994. 5. lehel loeme
Mõned 19. sajandi matemaatikud arvasid, et see vara on järjepidevuse omadusega samaväärne.
Ajalooliselt on seda vaheväärtuse atribuuti pakutud kui tõeliselt hinnatud funktsioonide järjepidevuse määratlust [vajalik viide].
Ma ei suutnud leida otsest allikat see usk. Seda, et see tõesti nii oli, kinnitavad ehk järgmised kaks tsitaati Gaston Darbouxi Mémoire sur les fonctions katkeb Annilt. Sci. Scuola Norm. Sup., 4 , (1875), 161–248. Esiteks, lk 58–59 loeme:
Au risque d'être trop long, j'ai tenu avant tout, sans y réussir peutêtre, à être rigoureux. Bien des points, qu'on respecterait à bon droit comme évidents ou que l'on accorderait dans les applications de la science aux fonctions usuelles, doivent être soumis à une critique rigoureuse dans l'exposé des propositions sugulased aux fonctions les plus générales. Par exemple, on verra qu'il existe des fonctions jätkub qui ne sont ni croissantes ni décroissantes dans aucun intervalle, qu'il ya des fonctions katkestab qui ne peuvent varier d'une valeur à une autre sans passer par toutes les valeurs intermédiaires.
Darbouxi paber tõestab, et tuletisinstrumentidel on omadus vaheväärtus ja et on katkendlikke tuletisi, seega kõigepealt kontrollides, kas need kaks mõistet ei ole samaväärsed. (Sel põhjusel nimetatakse vaheväärtuse omadust mõnikord omaduseks Darboux või isegi öeldakse, et selle omadusega funktsioon on Darboux pidev .)
Tõestus selle kohta, et tuletistel on omadus vaheväärtus, algab lk 109, kust me loeme:
En partant de la remarque précédente, nous allons montrer qu ' il existe des fonctions katkestab qui jouissent d'une propriété que l'on tekintettel quelquefois comme le caractère distinctif des fonctions jätkub, celle de ne pouvoir varier d'une valeur à une autre sans passer par toutes les valeurs intermediaires.
Vikipeedia mainib järgmist:
Enne järjepidevuse ametliku määratluse andmist anti vaheväärtuse omadus osana pidev funktsioon. Pooldajate seas on Louis Arbogast, kes eeldas, et funktsioonidel pole hüppeid, rahuldab vaheväärtuse omadust ja omab juurdekasvu, mille suurused vastasid muutuja juurdekasvu suurustele.
Artiklis viidatakse see sait, kuigi mul pole õnnestunud seda Arbogasti kirjutistest (või lingitud saidilt) kontrollida. Tõepoolest, Arbogasti näib olevat funktsiooni mõiste, mis on oluliselt piiravam kui meie tänapäevane järjepidevuse mõiste ja seetõttu kehtib seal ka vaheväärtuste teoreem. Ma ei näe, et ta tegeleks otse vaheväärtuse omadusega või viitab sellele, et see viitab järjepidevusele. (Arvestades tema arusaama funktsioonist, pole ma isegi kindel, kas see oleks olnud mõttekas.)
Lõpuks lubage mul küsida:
Kui tegelikult pole nii, et kirjanduses on sõnaselgelt öeldud usk nende kahe mõiste samaväärsusse, siis kust on pärit valeväide? (Kas see on Halperini paberil?)