Mal was anderes (mathematische Logik, basic)

[Me]

Vielleicht interessiert es ja jemanden.

Eben habe ich im Wikipedia-Artikel zum Thema "Quantor" das folgende gelesen:

"Es erscheint nahe liegend, den Existenzquantor als Verkettung von Disjunktionen („oder“) und den Allquantor als Verkettung von Konjunktionen („und“) aufzufassen. Gehen wir davon aus, dass x als Wert eine natürliche Zahl annehmen kann, so ist man versucht zu schreiben:

ExA(x) <-> A(0) v A(1) v A(2) v ...
AxA(x) <-> A(0) & A(1) & A(2) & ...

Der entscheidende Unterschied ist aber, dass die Variable des Quantors bei unendlich großem Individuenbereich potentiell unendlich viele Werte annehmen kann, während eine Konjunktion oder Disjunktion niemals unendlich lang werden kann. Daher muss man sich bei obigem Beispiel auch am Ende der Konjunktion bzw. Disjunktion mit Punkten (für „usw.“) behelfen."

Kommentar: Die Erklärung "Der entscheidende Unterschied ist aber, dass die Variable des Quantors bei unendlich großem Individuenbereich potentiell unendlich viele Werte annehmen kann" halte ich für Mist. Wohl besser: "Dass die Variable x bei unendlich großem Individuenbereich über unendlich viele Werte läuft, ..." (Die "Erklärung" ist aber dennoch Mist... siehe weiter unten.)

"während eine Konjunktion oder Disjunktion niemals unendlich lang werden kann" - Nun ja, zumindest im Rahmen der FOPL sind nur endlich lange Ausdrücke/Formeln zugelassen.

"Daher muss man sich bei obigem Beispiel auch am Ende der Konjunktion bzw. Disjunktion mit Punkten (für „usw.“) behelfen." - <hüstel> ... nun ja, es ist halt schwer, UNENDLICH LANGE Zeichenreihen _explizit_ hinzuschreiben! (Daran scheitert ja auch Herr Mückenheim regelmäßig.)

Man kann sich aber eine "infinitäre" Sprache vorstellen, die unendliche lange Ausdrücke/Aussagen zulässt.

Dann würde obiger "Einwand" nicht mehr greifen!

Zumindest könnte man sich dann "vorstellen", dass so etwas wie

Ax e IN: A(x) <-> A(0) & A(1) & A(2) & ...

(wobei hier das "..." tatsächlich ein "und so weiter" ausdrücken soll) gilt!

DENNOCH kann man einen Universalquantor NICHT (in diesem Sinne) als eine "unendliche Konjunktion" auffassen/interpretieren.

Denn wenn unser Individuenbereich z. B. die reellen Zahlen umfasst, kann es sehr wohl sein, dass zwar einerseits

A(x_1) & A(x_2) & A(x_3) & ...

gilt, jedoch

AxA(x)

NICHT gilt. In diesem Fall hätten wir also definitiv NICHT

AxA(x) <-> A(x_1) & A(x_2) & A(x_3) & ...

(trotz einer "infinitären Sprache).

Sei z. B. L eine abzählbar unendliche Folge von reellen Zahlen und seien x_1, x_2, x_3, ... die Glieder/Terme dieser Folge. Dann sei A(x) die Aussage "x ist ein Term der Folge L". Es gilt dann

A(x_1) & A(x_2) & A(x_3) & ...

aber, wie wir seit Cantor wissen, gilt nicht

AxA(x) ,

da NICHT ALLE reellen Zahlen Glieder/Terme der Liste L sein können (aufgrund der Überabzählbarkeit der reellen Zahlen).

Dieser Umstand erscheint mir der "wesentliche" Grund für die (prinzipielle) "Ungültigkeit" von

"AxA(x) <-> A(x_1) & A(x_2) & A(x_3) & ..."

zu sein. (Der Wikipedia-Artikel erwähnt in diesem Zusammenhang ja noch nicht einmal, dass das dort Gesagte zwar im Kontext von FOPL gilt/richtig ist, aber nicht "prinzipiell".)

[Mostowski Collapse]

Wir wissen, aus Omega-Inkonsistenz, dass dies hier in PA:

exists x P(x)

und dies hier:

P(1) v P(2) v P(3) v ...

nicht das gleiche sind. Die erste Formel quantifiziert
über Werte aus dem Wertebereich der Modelle. Die zweite
Formel vereinigt Wert gebildet aus Numeralen.

https://de.wikipedia.org/wiki/%CE%A9-konsistente_Theorie

Post by Me
Vielleicht interessiert es ja jemanden.
ExA(x) <-> A(0) v A(1) v A(2) v ...
AxA(x) <-> A(0) & A(1) & A(2) & ...
Der entscheidende Unterschied ist aber, dass die Variable des Quantors bei unendlich großem Individuenbereich potentiell unendlich viele Werte annehmen kann, während eine Konjunktion oder Disjunktion niemals unendlich lang werden kann. Daher muss man sich bei obigem Beispiel auch am Ende der Konjunktion bzw. Disjunktion mit Punkten (für „usw.“) behelfen."
Kommentar: Die Erklärung "Der entscheidende Unterschied ist aber, dass die Variable des Quantors bei unendlich großem Individuenbereich potentiell unendlich viele Werte annehmen kann" halte ich für Mist. Wohl besser: "Dass die Variable x bei unendlich großem Individuenbereich über unendlich viele Werte läuft, ..." (Die "Erklärung" ist aber dennoch Mist... siehe weiter unten.)
"während eine Konjunktion oder Disjunktion niemals unendlich lang werden kann" - Nun ja, zumindest im Rahmen der FOPL sind nur endlich lange Ausdrücke/Formeln zugelassen.
"Daher muss man sich bei obigem Beispiel auch am Ende der Konjunktion bzw. Disjunktion mit Punkten (für „usw.“) behelfen." - <hüstel> ... nun ja, es ist halt schwer, UNENDLICH LANGE Zeichenreihen _explizit_ hinzuschreiben! (Daran scheitert ja auch Herr Mückenheim regelmäßig.)
Man kann sich aber eine "infinitäre" Sprache vorstellen, die unendliche lange Ausdrücke/Aussagen zulässt.
Dann würde obiger "Einwand" nicht mehr greifen!
Zumindest könnte man sich dann "vorstellen", dass so etwas wie
Ax e IN: A(x) <-> A(0) & A(1) & A(2) & ...
(wobei hier das "..." tatsächlich ein "und so weiter" ausdrücken soll) gilt!
DENNOCH kann man einen Universalquantor NICHT (in diesem Sinne) als eine "unendliche Konjunktion" auffassen/interpretieren.
Denn wenn unser Individuenbereich z. B. die reellen Zahlen umfasst, kann es sehr wohl sein, dass zwar einerseits
A(x_1) & A(x_2) & A(x_3) & ...
gilt, jedoch
AxA(x)
NICHT gilt. In diesem Fall hätten wir also definitiv NICHT
AxA(x) <-> A(x_1) & A(x_2) & A(x_3) & ...
(trotz einer "infinitären Sprache).
Sei z. B. L eine abzählbar unendliche Folge von reellen Zahlen und seien x_1, x_2, x_3, ... die Glieder/Terme dieser Folge. Dann sei A(x) die Aussage "x ist ein Term der Folge L". Es gilt dann
A(x_1) & A(x_2) & A(x_3) & ...
aber, wie wir seit Cantor wissen, gilt nicht
AxA(x) ,
da NICHT ALLE reellen Zahlen Glieder/Terme der Liste L sein können (aufgrund der Überabzählbarkeit der reellen Zahlen).
Dieser Umstand erscheint mir der "wesentliche" Grund für die (prinzipielle) "Ungültigkeit" von
"AxA(x) <-> A(x_1) & A(x_2) & A(x_3) & ..."
zu sein. (Der Wikipedia-Artikel erwähnt in diesem Zusammenhang ja noch nicht einmal, dass das dort Gesagte zwar im Kontext von FOPL gilt/richtig ist, aber nicht "prinzipiell".)

[Me]

Post by Mostowski Collapse
exists x P(x)
P(1) v P(2) v P(3) v ...
nicht das gleiche sind.

Das hat in diesem Fall wohl weniger mit der Omega-Inkonsistenz zu tun, als mit dem Umstand dass, "P(1) v P(2) v P(3) v ..." im Rahmen der FOPL keine wff ist.

[Mostowski Collapse]

Man kann den Sachverhalt FOL-ifizieren.

A theory K is said to be ω-consistent if, for
every formula B(x) of K, if ﹁B(n) is a theorem
in K for every natural number n, then it is
not the case that (∃x)B(x) is a theorem in K.
https://math.stackexchange.com/q/821777/4414

Post by Me

Post by Mostowski Collapse
exists x P(x)
P(1) v P(2) v P(3) v ...
nicht das gleiche sind.

Das hat in diesem Fall wohl weniger mit der Omega-Inkonsistenz zu tun, als mit dem Umstand dass, "P(1) v P(2) v P(3) v ..." im Rahmen der FOPL keine wff ist.

[Mostowski Collapse]

The definition can be also made with A(n) :<=> ~B(n).

Definition 1.1. We say formal number theory (FNT) is
ω-consistent if whenever A(x) is a statement and

|- A(n) for all n ∈ N

it is not the case that

|- ∃x ~A(x).

https://services.math.duke.edu/~wka/math187/godel.pdf

Post by Mostowski Collapse
Man kann den Sachverhalt FOL-ifizieren.
A theory K is said to be ω-consistent if, for
every formula B(x) of K, if ﹁B(n) is a theorem
in K for every natural number n, then it is
not the case that (∃x)B(x) is a theorem in K.
https://math.stackexchange.com/q/821777/4414

Post by Me

Post by Mostowski Collapse
exists x P(x)
P(1) v P(2) v P(3) v ...
nicht das gleiche sind.

Das hat in diesem Fall wohl weniger mit der Omega-Inkonsistenz zu tun, als mit dem Umstand dass, "P(1) v P(2) v P(3) v ..." im Rahmen der FOPL keine wff ist.

[WM]

Post by Me
Vielleicht interessiert es ja jemanden.

Es gibt keine kleinste natürliche Zahl, für die
|ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo falsch wäre.

In der Tat, weil es nämlich KEINE natürliche Zahl gibt, für die |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo falsch ist.

Wenn man alle Zahlen von der Menge aller Zahlen entfernt, dann bleibt nichts übrig. Folglich sind alle Zahlen, "die es gibt" und für die ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo nicht falsch ist, nicht alle Zahlen die man von ℕ abziehen kann.

Gruß, WM

[h***@gmail.com]

Post by WM

Post by Me
Vielleicht interessiert es ja jemanden.

Es gibt keine kleinste natürliche Zahl, für die
|ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo falsch wäre.

In der Tat, weil es nämlich KEINE natürliche Zahl gibt, für die |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo falsch ist.

Wenn man alle Zahlen von der Menge aller Zahlen entfernt, dann bleibt nichts übrig. Folglich sind alle Zahlen, "die es gibt" und für die ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo nicht falsch ist, nicht alle Zahlen die man von ℕ abziehen kann.

Quantorenlegasthenie, ick hoer dir trapsen.

Herr Professor, Sie sind und bleiben zu daemlich, auch die einfachsten mathematischen Sachverhalte zu durchblicken.

[Me]

Post by h***@gmail.com
Quantorenlegasthenie, ick hoer dir trapsen.

In diesem Fall ist es wohl eher wieder der sog. Mückensch(l)uss

* An e IN: Phi[{1, 2, 3, ..., n}] ==> Phi[IN] .

(Allerdings kann das durchaus auch seiner Quantorenlegasthenie geschuldet sein. Nur handelt es sich in diesem Fall nicht um einen einfachen Quantorshift-Fehler.)

Wenn Mückenheim also z. B.

An e IN : |IN \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo

als gegeben annimmt, dann folgt für ihm daraus zwingend

|IN \ IN| = ℵo ,

und mithin

IN \ IN =/= {} .

Das ergibt dann für ihn zusammen mit

IN \ IN = {}

einen Widerspruch. :-)

Post by h***@gmail.com
Herr Professor, Sie sind und bleiben zu daemlich, auch die einfachsten
mathematischen Sachverhalte zu durchblicken.

[Me]

Post by Me

Post by h***@gmail.com
Quantorenlegasthenie, ick hoer dir trapsen.

In diesem Fall ist es wohl eher wieder der sog. Mückensch(l)uss
* An e IN: Phi[{1, 2, 3, ..., n}] ==> Phi[IN] .
(Allerdings kann das durchaus auch seiner Quantorenlegasthenie geschuldet
sein. Nur handelt es sich in diesem Fall nicht um einen einfachen Quantor-
shift-Fehler.)

Formal ist ja alles GLASKLAR: Von

An e IN : |IN \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo

Kann man nun mal nicht auf

|IN \ U{{1, 2, 3, ..., n} : n e IN}| = ℵo

schließen. Wie also kommt Mückenheim auf diese Schnapsidee?

Die Ursache scheint wirklich wieder einmal im "unsachgemäßen" (ja UNMATHEMATISCHEN) Gebrauch des Begriffs "alle" zu liegen.*) Mückenheims "Denken" vollzieht sich dabei offensichtlich nicht auf der Ebene "mathematischer Strukturen" und/oder "mathematischer Zusammenhänge", sondern auf der Ebene rein "syntaktischer" Sprachstrukturen.

Dabei betrachtet er offenbar (syntaktische) Varianten bestimmter "Aussagen", einfach als mathematisch äquivalent.

Mengenlehre:

An e IN : |IN \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo

Mücken-Sprech-Denk:

Alle Zahlen n: |IN \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo

Mücken-Sprech-Denk-Variante:

|IN \ Alle Zahlen n: {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo

Da aber für Mückenheim offenbar

IN \ Alle Zahlen n: {1, 2, 3, ..., n}

gleich

IN \ {1} \ {1,2} \ {1,2,3} \...

bzw. gleich

IN \ U{{1, 2, 3, ..., n} : n e IN}

ist, folgt (für ihn) also schließlich

|IN \ U{{1, 2, 3, ..., n} : n e IN}| = ℵo .

Ich denke, so, oder so ähnlich kommt er auf sein "Resultat".
_________________________

*) Erst unlängst hat auch Ralf wieder auf die schlampige Verwendung von "alle" durch Mückenheim hingewiesen:

WM> Alle Primzahlen oder alle natürlichen Zahlen sind unendliche
WM> Mengen, ebenso wie alle Brüche in allen Einheitsintervallen.
WM> Und nur von solchen unendlichen Mengen ist hier die Rede!

Ralf> Es gibt auch keine Mengen namens "alle Primzahlen" oder "alle
Ralf> natürlichen Zahlen".

[Me]

Post by Me

Post by h***@gmail.com
Quantorenlegasthenie, ick hoer dir trapsen.

In diesem Fall ist es wohl eher wieder der sog. Mückensch(l)uss
* An e IN: Phi[{1, 2, 3, ..., n}] ==> Phi[IN] .
(Allerdings kann das durchaus auch seiner Quantorenlegasthenie geschuldet
sein. Nur handelt es sich in diesem Fall nicht um einen einfachen Quantor-
shift-Fehler.)

Formal ist ja alles GLASKLAR: Von

An e IN : |IN \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo

Kann man nun mal nicht auf

|IN \ U{{1, 2, 3, ..., n} : n e IN}| = ℵo

schließen. Wie also kommt Mückenheim auf diese Schnapsidee?

Die Ursache scheint wirklich wieder einmal im "unsachgemäßen" (ja UNMATHEMATISCHEN) Gebrauch des Begriffs "alle" zu liegen.*) Mückenheims "Denken" vollzieht sich dabei offensichtlich nicht auf der Ebene "mathematischer Strukturen" und/oder "mathematischer Zusammenhänge", sondern auf der Ebene rein "syntaktischer" Sprachstrukturen.

Dabei betrachtet er offenbar (syntaktische) Varianten bestimmter "Aussagen", einfach als mathematisch äquivalent.

Mengenlehre:

An e IN: |IN \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo

Mücken-Sprech-Denk:

Für alle Zahlen n: |IN \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo

Mücken-Sprech-Denk-Variante:

|Für alle Zahlen n: IN \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo

Da aber für Mückenheim offenbar

Für alle Zahlen n: IN \ {1, 2, 3, ..., n}

gleich

IN \ {1} \ {1,2} \ {1,2,3} \...

bzw. gleich

IN \ U{{1, 2, 3, ..., n} : n e IN}

ist, folgt (für ihn) also schließlich

|IN \ U{{1, 2, 3, ..., n} : n e IN}| = ℵo .

Ich denke, so, oder so ähnlich kommt er auf sein "Resultat".

Dass dabei aus einem All-Quantor von einem Moment auf den anderen ein "Mengenoperator" geworden ist, ist Mückenheim dabei offenbar entweder nicht bewusst, oder er sieht darin kein Problem.

Allerdings darf das bei jemandem, der keinen Unterschied zwischen "alle(n) natürlichen Zahlen" und (der) "Menge der natürlichen Zahlen" sieht, nicht verwundern.

_________________________

*) Erst unlängst hat auch Ralf wieder auf die schlampige Verwendung von "alle" durch Mückenheim hingewiesen:

WM> Alle Primzahlen oder alle natürlichen Zahlen sind unendliche
WM> Mengen, ebenso wie alle Brüche in allen Einheitsintervallen.
WM> Und nur von solchen unendlichen Mengen ist hier die Rede!

Ralf> Es gibt auch keine Mengen namens "alle Primzahlen" oder "alle
Ralf> natürlichen Zahlen".

[Me]

Post by WM

Es gibt keine kleinste natürliche Zahl, für die
|IN \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo falsch wäre.

In der Tat, weil es nämlich KEINE natürliche Zahl n gibt, für die
|IN \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo falsch ist.

Was genau verstehen Sie nicht an der Aussage

Es gibt keine natürliche Zahl n, für die
|IN \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo falsch ist.

bzw. an der Aussage:

Es gibt keine natürliche Zahl n, für die
|IN \ {1, 2, 3, ..., n}| =/= ℵo gilt.

bzw. an der Aussage:

Es gibt keine natürliche Zahl n, für die
|{n+1, n+2, n+3, ...}| =/= ℵo gilt.

Vielleicht verstehen Sie wenigstens:

Für jede natürliche Zahl n gilt:
|{n+1, n+2, n+3, ...}| = ℵo.

Das kann doch nicht so schwer sein, Mückenheim!

Übrigens gilt (für ein bel. n e IN)

|{n+1, n+2, n+3, ...}| = ℵo

genau dann, es eine Bijektion zwischen {n+1, n+2, n+3, ...} und IN gibt. So eine Bijektion ist (für jedes n e IN) leicht anzugeben:

f_n: IN --> {n+1, n+2, n+3, ...}
mit
f_n(x) = n+x (für alle x e IN)

ist eine Bijektion von IN = {1, 2, 3, ...} auf {n+1, n+2, n+3, ...}.

Da es also KEINE natürliche Zahl n gibt, für die |IN \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo falsch ist, gibt es auch KEINE KLEINSTE natürliche Zahl n, für die |IN \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo falsch ist. :-)

Außer vielleicht in der Mückenmatik.

Post by WM
Wenn man alle Zahlen von der Menge aller Zahlen entfernt,

Vermutlich meinen Sie: Wenn man die DIFFERENZMENGE IN\IN betrachtet ...

In der Tat ist ja A\B so definiert:

A\B = {x e A : x !e B} .

Post by WM
dann bleibt nichts übrig.

Genauer: IN \ IN = {} .

Post by WM
Folglich sind alle Zahlen [...] für die IN \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo nicht
falsch ist ...

Sie labern wieder Unsinn daher, Mückenheim. Sie sind öffenbar zu blöde, den Unterschied zwischen "alle Zahlen, für die" und "die Menge aller Zahlen, für die" zu verstehen.

Hinweis: Die Menge aller natürlichen Zahlen n, für die IN \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo gilt, ist gleich IN.

Formal:

{n e IN : |IN \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo} = IN .

Das ist so, weil

An e IN : |IN \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo

gilt.

============================================

Nochmal, Herr Mückenheim, der sog. Mückensch(l)uss

An e IN: Phi({1, 2, 3, ..., n}) ==> Phi(IN)

ist keine gültige/korrekte Schlussweise.

Daher kann man auch nicht von

An e IN : |IN \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo
auf
|IN \ IN| = ℵo

schließen.

[WM]

Post by Me
Daher kann man auch nicht von
An e IN : |IN \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo
auf
|IN \ IN| = ℵo
schließen.

Welcher Umstand verhindert das denn? |N enthält nicht mehr als alle natürlichen Zahlen: |N = {1, 2, 3, ... }. Warum kann man nicht alle natürlichen Zahlen benennen undstatt

|IN \ IN| = 0

einfach die Pünktchen in

|IN \ {1, 2, 3, ... }| = 0

durch die Zahlenbezeichnungen ersetzen?

Gruß, WM

[Me]

Post by WM

Post by Me
Daher kann man auch nicht von
An e IN : |IN \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo
auf
|IN \ IN| = ℵo
schließen.

Welcher Umstand verhindert das denn?

Haben Sie den Abschnitt vor "Daher" nicht gelesen? Da hatte ich das erklärt. Natürlich kann ein Argument unverständlich werden, wenn man die Hälfte wegschneidet. Daher noch einmal die Aussage als Ganzes:

=============================================

Nochmal, Herr Mückenheim, der sog. Mückensch(l)uss

An e IN: Phi({1, 2, 3, ..., n}) ==> Phi(IN)

ist keine gültige/korrekte Schlussweise.

Daher kann man auch nicht [unter Verwendung des Mückenschlusses] von

An e IN : |IN \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo
auf
|IN \ IN| = ℵo

schließen.

=============================================

Haben Sie es jetzt verstanden?

Im Übrigen ist das auch ganz gut so, da wir im Kontext der Mengenlehre leicht beweisen können, dass

|IN \ IN| =/= ℵo

gilt, da nämlich

|IN \ IN| = |{}| = 0

ist und

ℵo =/= 0

gilt.

Post by WM
IN enthält nicht mehr als alle natürlichen Zahlen

In der Tat. Vor allem, wo doch im Rahmen der Mengenlehre das Prädikat /natürliche Zahl/ so definiert ist:

natürliche_Zahl(x) <-> x e IN ,

d. h. irgendein "Ding/Objekt" x ist genau dann eine natürliche Zahl, wenn x ein Element in IN ist.

Post by WM
IN = {1, 2, 3, ... }. Warum kann man nicht alle natürlichen Zahlen benennen

Naja, Sie können ja schon einmal damit anfangen. Ich gebe Ihnen dazu die ersten drei Namen vor: Eins, Zwei, Drei. Bitte führen Sie das nun in Eigenregie weiter.

Post by WM
und statt |IN \ IN| = 0

Wieso soll man nicht das schreiben, was man MEINT? Macht man das so in der Mückenmatik?

Post by WM
einfach die Pünktchen in
|IN \ {1, 2, 3, ... }| = 0
durch die Zahlenbezeichnungen ersetzen?

Wenn man das versuchen wollte, würde man früher oder später an Grenzen stoßen. Sei es, dass das Blatt Papier auf dem man das explizit "durchführen" will, nicht groß genug ist, oder der Block (auf dem man gerade schreibt) nicht genügend Seiten dafür besitzt, oder der Speicherplatz des eigenen Arbeits-PCs dazu nicht ausreicht, etc. etc. Tatsächlich ist diese Unterfangen grundsätzlich zum Scheitern verurteilt, da endlich vielen Zahlbezeichnungen nicht ausreichen, um ALLE (natürlichen) Zahlen zu bezeichnen.

Seien nämlich Z_1, ..., Z_n (wo n eine beliebige natürliche Zahl ist) beliebige Zahlbezeichnungen, welche die natürlichen Zahlen [Z_1], ..., [Z_n] bezeichnen. Dann wird die Zahl [Z_1] + [Z_2] + ... + [Z_n] + 1 ganz gewiss nicht durch eines der Zeichen Z_i (i e {1, ..., n}) bezeichnet. qed

[WM]

Post by Me

Post by WM

Post by Me
Daher kann man auch nicht von
An e IN : |IN \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo
auf
|IN \ IN| = ℵo
schließen.

Welcher Umstand verhindert das denn?

Haben Sie den Abschnitt vor "Daher" nicht gelesen? Da hatte ich das erklärt.
Nochmal,
An e IN: Phi({1, 2, 3, ..., n}) ==> Phi(IN)
ist keine gültige/korrekte Schlussweise.

Natürlich ist die Hutschachtel nur ein Ding. Aber es geht um die Elemente der Menge. Ein Induktionsbeweis für eine Eigenschaft natürlicher Zahlen beweist, dass alle natürlichen Zahlen diese Eigenschaft besitzen und keine Ausnahme existiert.

Deswegen folgt aus An e IN : |IN \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo, dass man alle natürlichen Zahlen von |N subtrahieren kann, ohne die leere Menge zu erhalten.

Falls die "Hutschachtel" {...} diesbezüglich Probleme macht, sollte man sie entsorgen.

Post by Me
Daher kann man auch nicht von
An e IN : |IN \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo
auf
|IN \ IN| = ℵo
schließen.

Warum? Hat hier wieder die Hutschachtel ihren Auftritt?

Post by Me
=============================================
Haben Sie es jetzt verstanden?

Die Behauptung ist klar. Dir Begründung fehlt mir. Dir wohl auch?

Post by Me
Im Übrigen ist das auch ganz gut so, da wir im Kontext der Mengenlehre leicht beweisen können, dass
|IN \ IN| =/= ℵo

Eben hier fehlt die Begründung! Alle natürlichen Zahlen kann man entfernen, ohne die Mächtigkeit zu beeinträchtigen. Die Hutschachtel aber nicht. Sie muss also wichtige Teile der Menge enthalten.

Hinweis: Dies ist ein Beweis für die Existenz undefinierbarer Zahlen.

Post by Me

Post by WM
IN = {1, 2, 3, ... }. Warum kann man nicht alle natürlichen Zahlen benennen

Naja, Sie können ja schon einmal damit anfangen. Ich gebe Ihnen dazu die ersten drei Namen vor: Eins, Zwei, Drei. Bitte führen Sie das nun in Eigenregie weiter.

Das wäre ungerecht. Ich bin es ja nicht, der diese tollkühne Behauptung aufgestellt hat, alle ließen sich benennen.

Post by Me

Post by WM
und statt |IN \ IN| = 0

Wieso soll man nicht das schreiben, was man MEINT?

Meint man mit |N denn nicht alle natürlichen Zahlen zwischen zwei Mengenklammern?

Post by Me

Post by WM
einfach die Pünktchen in
|IN \ {1, 2, 3, ... }| = 0
durch die Zahlenbezeichnungen ersetzen?

Wenn man das versuchen wollte, würde man früher oder später an Grenzen stoßen. Sei es, dass das Blatt Papier auf dem man das explizit "durchführen" will, nicht groß genug ist, oder der Block (auf dem man gerade schreibt) nicht genügend Seiten dafür besitzt, oder der Speicherplatz des eigenen Arbeits-PCs dazu nicht ausreicht, etc. etc.

Das alles sind vorgeschobene Gründe. Tatsächlich liegt hier ein ganz prinzipielles Problem vor.

Post by Me
Tatsächlich ist diese Unterfangen grundsätzlich zum Scheitern verurteilt, da endlich vielen Zahlbezeichnungen nicht ausreichen, um ALLE (natürlichen) Zahlen zu bezeichnen.

Man kann also nicht alle natürlichen Zahlen bezeichnen? Schön, dass Du das endlich zugibst.

Post by Me
Seien nämlich Z_1, ..., Z_n (wo n eine beliebige natürliche Zahl ist) beliebige Zahlbezeichnungen, welche die natürlichen Zahlen [Z_1], ..., [Z_n] bezeichnen. Dann wird die Zahl [Z_1] + [Z_2] + ... + [Z_n] + 1 ganz gewiss nicht durch eines der Zeichen Z_i (i e {1, ..., n}) bezeichnet. qed

Das brauchst Du mir nicht zu beweisen. Ich habe das bereits an den Anfangsabschnitten demonstriert. Endliche Anfangsabschnitte reichen nicht aus, um mehr als endlich viele Zahlen zu bezeichnen.

Gruß, WM

[Mostowski Collapse]

Inferenz Regeln können nicht demonstriert werden.
Eine Demonstration, d.h. eine Instanz einer Inferenz
Regel, kann nur eine Inferenz Regel invalidieren

aber nicht verifizieren. Ob Inferenz Regeln valid
sind, d.h. "sound", braucht andere Überlegungen.
Überlegungen die auf das "für alle" hinaus laufen.

Aber mit "für alle" sind Sie WM ja auf Kriegsfuss.

z.B. Modes Ponens lässt sich validieren:

A A -> B
---------------- (MP)
B

Weil man eine Wahrheitstabelle machen kann, die
über alle Boolschen Werte läuft:

A B A /\ (A -> B) -> B
0 0 1
0 1 1
1 0 1
1 1 1

https://web.stanford.edu/class/cs103/tools/truth-table-tool/

Post by WM

Post by Me

Post by WM

Post by Me
Daher kann man auch nicht von
An e IN : |IN \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo
auf
|IN \ IN| = ℵo
schließen.

Welcher Umstand verhindert das denn?

Haben Sie den Abschnitt vor "Daher" nicht gelesen? Da hatte ich das erklärt.
Nochmal,
An e IN: Phi({1, 2, 3, ..., n}) ==> Phi(IN)
ist keine gültige/korrekte Schlussweise.

Natürlich ist die Hutschachtel nur ein Ding. Aber es geht um die Elemente der Menge. Ein Induktionsbeweis für eine Eigenschaft natürlicher Zahlen beweist, dass alle natürlichen Zahlen diese Eigenschaft besitzen und keine Ausnahme existiert.
Deswegen folgt aus An e IN : |IN \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo, dass man alle natürlichen Zahlen von |N subtrahieren kann, ohne die leere Menge zu erhalten.
Falls die "Hutschachtel" {...} diesbezüglich Probleme macht, sollte man sie entsorgen.

Post by Me
Daher kann man auch nicht von
An e IN : |IN \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo
auf
|IN \ IN| = ℵo
schließen.

Warum? Hat hier wieder die Hutschachtel ihren Auftritt?

Post by Me
=============================================
Haben Sie es jetzt verstanden?

Die Behauptung ist klar. Dir Begründung fehlt mir. Dir wohl auch?

Post by Me
Im Übrigen ist das auch ganz gut so, da wir im Kontext der Mengenlehre leicht beweisen können, dass
|IN \ IN| =/= ℵo

Eben hier fehlt die Begründung! Alle natürlichen Zahlen kann man entfernen, ohne die Mächtigkeit zu beeinträchtigen. Die Hutschachtel aber nicht. Sie muss also wichtige Teile der Menge enthalten.
Hinweis: Dies ist ein Beweis für die Existenz undefinierbarer Zahlen.

Post by Me

Post by WM
IN = {1, 2, 3, ... }. Warum kann man nicht alle natürlichen Zahlen benennen

Naja, Sie können ja schon einmal damit anfangen. Ich gebe Ihnen dazu die ersten drei Namen vor: Eins, Zwei, Drei. Bitte führen Sie das nun in Eigenregie weiter.

Das wäre ungerecht. Ich bin es ja nicht, der diese tollkühne Behauptung aufgestellt hat, alle ließen sich benennen.

Post by Me

Post by WM
und statt |IN \ IN| = 0

Wieso soll man nicht das schreiben, was man MEINT?

Meint man mit |N denn nicht alle natürlichen Zahlen zwischen zwei Mengenklammern?

Post by Me

Post by WM
einfach die Pünktchen in
|IN \ {1, 2, 3, ... }| = 0
durch die Zahlenbezeichnungen ersetzen?

Wenn man das versuchen wollte, würde man früher oder später an Grenzen stoßen. Sei es, dass das Blatt Papier auf dem man das explizit "durchführen" will, nicht groß genug ist, oder der Block (auf dem man gerade schreibt) nicht genügend Seiten dafür besitzt, oder der Speicherplatz des eigenen Arbeits-PCs dazu nicht ausreicht, etc. etc.

Das alles sind vorgeschobene Gründe. Tatsächlich liegt hier ein ganz prinzipielles Problem vor.

Post by Me
Tatsächlich ist diese Unterfangen grundsätzlich zum Scheitern verurteilt, da endlich vielen Zahlbezeichnungen nicht ausreichen, um ALLE (natürlichen) Zahlen zu bezeichnen.

Man kann also nicht alle natürlichen Zahlen bezeichnen? Schön, dass Du das endlich zugibst.

Post by Me
Seien nämlich Z_1, ..., Z_n (wo n eine beliebige natürliche Zahl ist) beliebige Zahlbezeichnungen, welche die natürlichen Zahlen [Z_1], ..., [Z_n] bezeichnen. Dann wird die Zahl [Z_1] + [Z_2] + ... + [Z_n] + 1 ganz gewiss nicht durch eines der Zeichen Z_i (i e {1, ..., n}) bezeichnet. qed

Das brauchst Du mir nicht zu beweisen. Ich habe das bereits an den Anfangsabschnitten demonstriert. Endliche Anfangsabschnitte reichen nicht aus, um mehr als endlich viele Zahlen zu bezeichnen.
Gruß, WM

[Mostowski Collapse]

Mückenschuss lässt sich leicht invalidieren.
Das hier ist keine Inferenzregel:

forall n P({1,..,n})
------------------------ (Mückenschuss)
P(N)

Man mehme P(x) <=> (N \ x) =/= {} als
Demonstration, und schon hat man die Inferenzregel

invalidiert. LoL

Post by Mostowski Collapse
Inferenz Regeln können nicht demonstriert werden.
Eine Demonstration, d.h. eine Instanz einer Inferenz
Regel, kann nur eine Inferenz Regel invalidieren
aber nicht verifizieren. Ob Inferenz Regeln valid
sind, d.h. "sound", braucht andere Überlegungen.
Überlegungen die auf das "für alle" hinaus laufen.
Aber mit "für alle" sind Sie WM ja auf Kriegsfuss.
A A -> B
---------------- (MP)
B
Weil man eine Wahrheitstabelle machen kann, die
A B A /\ (A -> B) -> B
0 0 1
0 1 1
1 0 1
1 1 1
https://web.stanford.edu/class/cs103/tools/truth-table-tool/

Post by WM

Post by Me

Post by WM

Post by Me
Daher kann man auch nicht von
An e IN : |IN \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo
auf
|IN \ IN| = ℵo
schließen.

Welcher Umstand verhindert das denn?

Haben Sie den Abschnitt vor "Daher" nicht gelesen? Da hatte ich das erklärt.
Nochmal,
An e IN: Phi({1, 2, 3, ..., n}) ==> Phi(IN)
ist keine gültige/korrekte Schlussweise.

Natürlich ist die Hutschachtel nur ein Ding. Aber es geht um die Elemente der Menge. Ein Induktionsbeweis für eine Eigenschaft natürlicher Zahlen beweist, dass alle natürlichen Zahlen diese Eigenschaft besitzen und keine Ausnahme existiert.
Deswegen folgt aus An e IN : |IN \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo, dass man alle natürlichen Zahlen von |N subtrahieren kann, ohne die leere Menge zu erhalten.
Falls die "Hutschachtel" {...} diesbezüglich Probleme macht, sollte man sie entsorgen.

Post by Me
Daher kann man auch nicht von
An e IN : |IN \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo
auf
|IN \ IN| = ℵo
schließen.

Warum? Hat hier wieder die Hutschachtel ihren Auftritt?

Post by Me
=============================================
Haben Sie es jetzt verstanden?

Die Behauptung ist klar. Dir Begründung fehlt mir. Dir wohl auch?

Post by Me
Im Übrigen ist das auch ganz gut so, da wir im Kontext der Mengenlehre leicht beweisen können, dass
|IN \ IN| =/= ℵo

Eben hier fehlt die Begründung! Alle natürlichen Zahlen kann man entfernen, ohne die Mächtigkeit zu beeinträchtigen. Die Hutschachtel aber nicht. Sie muss also wichtige Teile der Menge enthalten.
Hinweis: Dies ist ein Beweis für die Existenz undefinierbarer Zahlen.

Post by Me

Post by WM
IN = {1, 2, 3, ... }. Warum kann man nicht alle natürlichen Zahlen benennen

Naja, Sie können ja schon einmal damit anfangen. Ich gebe Ihnen dazu die ersten drei Namen vor: Eins, Zwei, Drei. Bitte führen Sie das nun in Eigenregie weiter.

Das wäre ungerecht. Ich bin es ja nicht, der diese tollkühne Behauptung aufgestellt hat, alle ließen sich benennen.

Post by Me

Post by WM
und statt |IN \ IN| = 0

Wieso soll man nicht das schreiben, was man MEINT?

Meint man mit |N denn nicht alle natürlichen Zahlen zwischen zwei Mengenklammern?

Post by Me

Post by WM
einfach die Pünktchen in
|IN \ {1, 2, 3, ... }| = 0
durch die Zahlenbezeichnungen ersetzen?

Wenn man das versuchen wollte, würde man früher oder später an Grenzen stoßen. Sei es, dass das Blatt Papier auf dem man das explizit "durchführen" will, nicht groß genug ist, oder der Block (auf dem man gerade schreibt) nicht genügend Seiten dafür besitzt, oder der Speicherplatz des eigenen Arbeits-PCs dazu nicht ausreicht, etc. etc.

Das alles sind vorgeschobene Gründe. Tatsächlich liegt hier ein ganz prinzipielles Problem vor.

Post by Me
Tatsächlich ist diese Unterfangen grundsätzlich zum Scheitern verurteilt, da endlich vielen Zahlbezeichnungen nicht ausreichen, um ALLE (natürlichen) Zahlen zu bezeichnen.

Man kann also nicht alle natürlichen Zahlen bezeichnen? Schön, dass Du das endlich zugibst.

Post by Me
Seien nämlich Z_1, ..., Z_n (wo n eine beliebige natürliche Zahl ist) beliebige Zahlbezeichnungen, welche die natürlichen Zahlen [Z_1], ..., [Z_n] bezeichnen. Dann wird die Zahl [Z_1] + [Z_2] + ... + [Z_n] + 1 ganz gewiss nicht durch eines der Zeichen Z_i (i e {1, ..., n}) bezeichnet. qed

Das brauchst Du mir nicht zu beweisen. Ich habe das bereits an den Anfangsabschnitten demonstriert. Endliche Anfangsabschnitte reichen nicht aus, um mehr als endlich viele Zahlen zu bezeichnen.
Gruß, WM

[Me]

Post by Mostowski Collapse
Mückenschuss lässt sich leicht invalidieren.
forall n P({1,..,n})
------------------------ (Mückenschuss)
P(N)
Man mehme P(x) <=> (N \ x) =/= {} als
Demonstration, und schon hat man die Inferenzregel
invalidiert.

In der Tat. Weitere P(x) die sich anbieten:

card(x) e N
bzw.
endl(x)

etc.

[Me]

Post by Mostowski Collapse
Mückenschuss lässt sich leicht invalidieren.
forall n e N: P({1,..,n}) <<korrigiert [Me]
---------------------------- (Mückenschuss)
P(N)
Man mehme P(x) <=> (N \ x) =/= {} als Demonstration,
und schon hat man die Inferenzregel invalidiert.

Ein besonders schönes (weil elementares) Gegenbeispiel bietet wohl

P(x) <=> IN =/= x

Trivialerweise gilt

An e IN: IN =/= {1,..,n} ,

denn für alle n e IN gilt einerseits n+1 e IN, aber andererseits n+1 !e {1,..,n}; also gilt für alle n: IN =/= {1,..,n}.

Aber selbst Mückenheim wird wohl verstehen, dass

IN =/= IN

NICHT gilt. Der Mückenschluss ist also keine korrekte/gültig Schlussweise im Kontext der Mengenlehre.

[Me]

Post by Mostowski Collapse
Mückenschuss lässt sich leicht invalidieren.
forall n e N: P({1,..,n}) << korrigiert [Me]
----------------------------- (Mückenschuss)
P(N)
Man nehme P(x) <=> (N \ x) =/= {} als Demonstration,
und schon hat man die Inferenzregel invalidiert.

Ein besonders schönes (weil elementares) Gegenbeispiel bietet wohl

P(x) <=> IN =/= x .

Trivialerweise gilt

An e IN: IN =/= {1,..,n} ,

denn für alle n e IN gilt einerseits n+1 e IN, aber andererseits n+1 !e {1,..,n}; also gilt für alle n e IN: IN =/= {1,..,n}.

Aber selbst Mückenheim wird wohl verstehen, dass

IN =/= IN

NICHT gilt. Der Mückensch(l)uss ist also keine korrekte/gültig Schlussweise im Kontext der Mengenlehre.

[Me]

Post by Me

Post by Mostowski Collapse
Mückenschuss lässt sich leicht invalidieren.
forall n e N: P({1,..,n}) << korrigiert [Me]
----------------------------- (Mückenschuss)
P(N)
Man nehme P(x) <=> (N \ x) =/= {} als Demonstration,
und schon hat man die Inferenzregel invalidiert.

Ein besonders schönes (weil elementares) Gegenbeispiel bietet wohl
P(x) <=> IN =/= x .

Ein weiteres schönes, aber nicht ganz so elementares Beispiel:

Wir definieren für beliebige M c IN das Prädikat:

ExistsMax(M) :<-> Ex e M: Ay e M\{x}: y < x .
"M besitzt ein maximales/größtes Element."

Dann gilt wohl zweifellos:

An e IN: ExistsMax({1,..,n}) ,

denn für jedes n e IN besitzt {1,..,n} ein maximales Element (nämlich n selbst).

Andererseits gilt klarerweise

ExistsMax(IN)

NICHT, denn IN besitzt kein maximales/größtes Element (da es keine größte natürliche Zahl gibt; mit n e IN ist auch n+1 e IN).

Damit ist der Mückensch(l)uss ein weiteres Mal "invalidiert".

[WM]

Post by Me
Trivialerweise gilt
An e IN: IN =/= {1,..,n} ,
denn für alle n e IN gilt einerseits n+1 e IN, aber andererseits n+1 !e {1,..,n}; also gilt für alle n e IN: IN =/= {1,..,n}.

Also ist in |N mehr als alle endlichen Anfangsabschnitte. Was ist das?

Post by Me
Aber selbst Mückenheim wird wohl verstehen, dass
IN =/= IN
NICHT gilt.

Also gibt es in |N mehr als alle definierbaren Zahlen , oder es gibt |N als fertige Menge überhaupt nicht.

Gruß, WM

[Juergen Ilse]

Hallo,

Post by WM

Post by Me
Trivialerweise gilt
An e IN: IN =/= {1,..,n} ,
denn für alle n e IN gilt einerseits n+1 e IN, aber andererseits n+1 !e {1,..,n}; also gilt für alle n e IN: IN =/= {1,..,n}.

Also ist in |N mehr als alle endlichen Anfangsabschnitte. Was ist das?

Post by Me
Aber selbst Mückenheim wird wohl verstehen, dass
IN =/= IN
NICHT gilt.

Also gibt es in |N mehr als alle definierbaren Zahlen , oder es gibt |N als fertige Menge überhaupt nicht.

Wieder ein Beweis dafuer, dass sie voellig unfaehig zu jeglicher Art von
Mathematik sind. Allein in der Formulierung dieses Satzes steckt wieder ein
versteckter "Quatorenshift". |N enthaelt mehr als *jeder* *einzelne* endliche
Anfangsabschnitt (und das voellig unabhaengig davon, welchen endlichen
Anfangsabschnitt man sich fuer den Vergleich mit den natuerlichen Zahlen
herausgenommen hat). Oder etwas formaler:

fuer alle endlichen Anfangsabschnitte A(n): A(n) ist *echte* Teilmenge von |N

Trotzdem gilt:

fuer alle natuerlichen Zahlen n: es gibt einen endlichen Anfangsabschnitt A
mit n element A

(im Zweifelsfall nimmt man einfach A(n)={ k element |N: k <= n }).
Entgegen IHREM verdrehten Denken stejem beide Aussagen *nicht* im Widerspruch,
und wenn beide Aussagen *nicht* im Widerspruch stehen, ist ihr dusseliges Ge-
brabbel von "definierbaren" Zahlen und aehnliches einfach nur sinnlos (im
wahrsten Sinne des Wortes: man kann beim besten Willen keinen Sinn darin
erkennen, egal, wie sehr man sich auch bemueht). Aber um noch etwas zu
IHREN verdrehten Formulierungen und IHRER ungenauen Nutzung des Wortes "alle"
zu sagen: Wenn SIE mit "alle natuerlichen Zahlen aus endlichen Anfanhsab-
schnitten" alle Elemente der Vereinigung aller endlicher Anfangsabschnitte"
meinen, dann ist es tatsachlich so, dass dies die komplette Menge der natuer-
lichen Zahlen ergegibt, und es *keinen* endlichen Anfangsabschnitt gibt, der
diese alle enthaelt. Das liegt daran, dass es keinen maximalen (keinen um-
fassendsten oder groessten) Anfangsabschnitt gibt, genausowenig wie es eine
"groesste natuerliche Zahl" gibt. Wenn man einen bliebigen Anfangsabschnitt
betrachtet (einen bestimmten, oder wie man es in der mathematik bezeichnen
wuerde: einen Fanfangsabschnitt *beliebig* *aber* *fest*, sprich nachdem ich
einen ausgewaehlt habe, verwende ich *genau* *den* und famge nicht mitten in
Betrachtung an, ihn durch einen anderen zu ersetzen), dann finde ich *immer*
eine natuerliche Zahl, die *nicht* darin enthalten ist. Unf guer jede natuer-
liche Zahl *beliebig* *aber* *fest* (sprich: ich suche mir eine aus, irgend
eine, aber nachdem ich sie ausgewaehlt habe. aendere ich daran nicht mehr,
ich ersetze sie nicht mehr durch eine andere) finde ich einen endlichen
Anfangsabschnitt, der diese natuerliche Zahl enthaelt. Und nein, darin, dass
*beide* Aussagen gelten, liegt kein Widerspruch, noch nicht einmal im Ansatz,
auch wenn SIE zuunfaehig sind, das zu begreifen.

Tschuess,
Juergen Ilse (***@usenet-verwaltung.de)

[Ganzhinterseher]

Post by Juergen Ilse
|N enthaelt mehr als *jeder* *einzelne* endliche
Anfangsabschnitt (und das voellig unabhaengig davon, welchen endlichen
Anfangsabschnitt man sich fuer den Vergleich mit den natuerlichen Zahlen
herausgenommen hat).

Es ist auch unabhängig davon, ob man alle diese definierbaren Zahlen zu einer Menge |N_def zusammenfasst. Für welche definierbare Zahl n sollte dies wohl scheitern?

Post by Juergen Ilse
fuer alle natuerlichen Zahlen n: es gibt einen endlichen Anfangsabschnitt A
mit n element A

Das ist eben ein Widerspruch. Denn wir können alle definierbaren Zahlen zusammenfassen und zeigen, dass die Menge |N aleph_0 mehr Zahlen enthält.

Post by Juergen Ilse
(im Zweifelsfall nimmt man einfach A(n)={ k element |N: k <= n })

und findet, dass aleph_0 Zahlen darauf wie auf jede definierbare Zahl folgen. Das ändert sich auch dann nicht, wenn alle so definierbaren n zur Menge |N_def zusammengefasst werden.

Post by Juergen Ilse
Entgegen IHREM verdrehten Denken stejem beide Aussagen *nicht* im Widerspruch,

Doch, selbstverständlich stehen sie im Widerspruch zueinander. Aufgrund Deiner kognitiven Dissonanz kannst Du das aber nicht erkennen. Dazu braucht man ein gesundes Gehirn.

Gruß, WM

[Me]

[...] Dazu braucht man ein gesundes Gehirn.

Sie werden hier noch zum Komiker, Mückenheim!

[Me]

On Friday, August 7, 2020 at 5:20:48 PM UTC+2, Juergen Ilse wrote:

Was mich interessieren würde:

Was genau soll es "bringen", mit einem Menschen über "Mathematik" zu "diskutieren", der einen schweren Dachschaden hat in Bezug auf mathematische "Themen"/"Sachverhalte"/"Fragestellungen"?

Einige Leute auf sci.math haben bis heue nicht begriffen, dass sie mit einem Geisteskranken (sic!) "diskutieren".

[WM]

Post by Me
Einige Leute auf sci.math haben bis heue nicht begriffen, dass sie

die Gedanken eines Geisteskranken vertreten.

Gruß, WM

[Roalto]

Post by WM

Post by Me
Einige Leute auf sci.math haben bis heue nicht begriffen, dass sie

die Gedanken eines Geisteskranken vertreten.
Gruß, WM

Das stimmt. Einige Idioten auf sci.math vertreten wirklich ihre Gedanken;
die Gedanken eines Geisteskranken.

Viel Spass weiterhin
Roalto

[h***@gmail.com]

Post by WM

Post by Me
Trivialerweise gilt
An e IN: IN =/= {1,..,n} ,
denn für alle n e IN gilt einerseits n+1 e IN, aber andererseits n+1 !e {1,..,n}; also gilt für alle n e IN: IN =/= {1,..,n}.

Also ist in |N mehr als alle endlichen Anfangsabschnitte. Was ist das?

Post by Me
Aber selbst Mückenheim wird wohl verstehen, dass
IN =/= IN
NICHT gilt.

Also gibt es in |N mehr als alle definierbaren Zahlen , oder es gibt |N als fertige Menge überhaupt nicht.
Gruß, WM

"Grad dure 's Maul zua."

[Me]

Post by h***@gmail.com
"Grad dure 's Maul zua."

Dein Wort in Gottes Ohr!

"Grad dure s' Maul zua, etzet kommet se mit sora Frog d'r her! I muaß zerscht pfeiffa, dass der weiterkommt'"

:-)

[Me]

Also ist in IN mehr als alle endlichen Anfangsabschnitte. Was ist das?

Also ist in einem Kellerloch mehr als alle schönen Tage. Was ist das?

[Juergen Ilse]

Hallo,

Post by Me

Also ist in IN mehr als alle endlichen Anfangsabschnitte. Was ist das?

Hatte ich nicht bereits geschrieben, dass |N mehr als jeder einzelne endliche
Anfangsabschnitt, aber eben *nicht* mehr als die Vereinigung aller endlichen
Anfangsabschnitte enthaelt? Ja, das ist so, und das kann eben nur so sein,
weil es unendlich viele verschiedene endliche Anfangsabschnitte sind.

Post by Me
Also ist in einem Kellerloch mehr als alle schönen Tage. Was ist das?

Was bei IHNEN im "Kellerloch" IHRES verwirrten Verstandes ist, kann ich
beim besten Willen nicht beurteilen ...

Tschuess,
Juergen Ilse (***@usenet-verwaltung.de)

[WM]

Post by Juergen Ilse
Hallo,

Also ist in IN mehr als alle endlichen Anfangsabschnitte. Was ist das?

Hatte ich nicht bereits geschrieben, dass |N mehr als jeder einzelne endliche
Anfangsabschnitt, aber eben *nicht* mehr als die Vereinigung aller endlichen
Anfangsabschnitte enthaelt?

Das ist falsch, denn alle endlichen Anfangsabschnitte sind endlich und enthalten alle Vereinigungen endlicher AA, die möglich sind, |N ist aber nicht endlich.

Post by Juergen Ilse
Ja, das ist so, und das kann eben nur so sein,
weil es unendlich viele verschiedene endliche Anfangsabschnitte sind.

Falsch. Die endlichen Anfangsabschnitte zählen sich selbst ab. Jeder, der endlich ist, gehört zu der endlichen Menge. Ohne einen aktual unendlichen gibt es keine aktual unendlichen Menge.

{1} U {1, 2} = {1, 2}
{1} U {1, 2} U {1, 2, 3} = {1, 2, 3}
{1} U {1, 2} U {1, 2, 3} U {1, 2, 3, 4} = {1, 2, 3, 4,}
{1} U {1, 2} U {1, 2, 3} U {1, 2, 3, 4} U {1, 2, 3, 4, 5} = {1, 2, 3, 4, 5}
...

Mehr AA als hier vereinigt sind, kann man nicht vereinigen.

Gruß, WM

[Me]

Post by Juergen Ilse

Post by Me
Also ist in einem Kellerloch mehr als alle schönen Tage. Was ist das?

Was bei IHNEN im "Kellerloch" IHRES verwirrten Verstandes ist, kann ich
beim besten Willen nicht beurteilen ...

So was würde ich einen "Griff ins Klo" nennen. :-)

[h***@gmail.com]

Post by Me

Post by Mostowski Collapse
Mückenschuss lässt sich leicht invalidieren.
forall n e N: P({1,..,n}) << korrigiert [Me]
----------------------------- (Mückenschuss)
P(N)
Man nehme P(x) <=> (N \ x) =/= {} als Demonstration,
und schon hat man die Inferenzregel invalidiert.

Ein besonders schönes (weil elementares) Gegenbeispiel bietet wohl
P(x) <=> IN =/= x .
Trivialerweise gilt
An e IN: IN =/= {1,..,n} ,
denn für alle n e IN gilt einerseits n+1 e IN, aber andererseits n+1 !e {1,..,n}; also gilt für alle n e IN: IN =/= {1,..,n}.
Aber selbst Mückenheim wird wohl verstehen, dass
IN =/= IN
NICHT gilt. Der Mückensch(l)uss ist also keine korrekte/gültig Schlussweise im Kontext der Mengenlehre.

Ich denke, WM wird das froehlich als ein weiteres Beispiel der Inkonsistenz der Mengenlehre auffassen. Lernresistent war er schon seit ueber zehn Jahren.

[Juergen Ilse]

Hallo,

Post by WM
Ein Induktionsbeweis für eine Eigenschaft natürlicher Zahlen beweist, dass alle natürlichen Zahlen diese Eigenschaft besitzen und keine Ausnahme existiert.

Dann begruenden SIE doch mal, *warum* das so ist und '*warum* denn der
Induktionsbeweis funktioniert. Eine Begruendung dafuer ist nur moeglich,
wenn man die Peano-Axiome akzeptiert und akzeptiert, dass die Menge der
natuerlichen Zahlen eine "induktive Menge" ist (und dass sie keine
induktive Teilmenge mit 1 bzw. 0 als kleinestem Element enthaelt).

Post by WM
Deswegen folgt aus An e IN : |IN \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo, dass man alle natürlichen Zahlen von |N subtrahieren kann, ohne die leere Menge zu erhalten.

Nein. Das, was dfaraus folgt, ist, dass fuer *jede* natuerliche Zahl n gilt,
dass die Menge aller natuerlichen Zahlen Zahlen groesser n die Maechtigkeit
aleph0 hat. Das heisst *keineswegs*, dann |N \ |N etwas anderes als die leere
Menge ergeben wuerde. Da *JEDE* natuerliche 'Zahl endlich ist (auch wenn es
unendlich viele natuerliche Zahlen gibt), folgt aus:

fuer alle n element |N gilt: |N \ {1, 2, 3, ..., n } eine eine
unendliche Menge (Maechtigkeit aleph0)

nur, dass fuer *jede* (endliche!!!) natuerliche Zahl n, die Menge der
natuerlichen Zahlen groesser n ebenfalls unendlich ist (und die Maechtigkeit
wiederum aleph0 ist). Wie man daruas nun auf "|N \ |N ist die leere Menge"
kommen will, kann kein auch nur halbwegs mathematisch gebildeter Mensch auch
nur im Ansatz verstehen.

Post by WM
Falls die "Hutschachtel" {...} diesbezüglich Probleme macht, sollte man sie entsorgen.

Man sollte Personen mit IHREM durchgaengigen *UNVERSTAENDNIS* der Mathematik
aus dem Lehrbetrieb an deutschen Hochschulen entfernen.

Post by WM

Post by Me
Daher kann man auch nicht von
An e IN : |IN \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo
auf
|IN \ IN| = ℵo
schließen.

Warum? Hat hier wieder die Hutschachtel ihren Auftritt?

Nein, weil dieser Schluss *FALSCH* waere (siehe oeben).

Post by WM
Eben hier fehlt die Begründung! Alle natürlichen Zahlen kann man entfernen,

Falsch! Fuer *jede* natuerliche Zahl n (beliebig aber fest) gilt, dass man
die Menge aller Zahlen kleiner oder glaich n aus der Mneg der natuerlichen
Zahlen weglassen kann und die Restmenge immer noc hunendlich ist.

Es gibt aber keine natuerliche Zahl n, fuer die unendlich viele natuerliche
Zahlen *kleiner* als n waeren. Egal, wie gross eine natuerliche Zahl auch
sein mag, sie ist dennoch immer noch endlich, und es gibt nur endlich viele
kleinere, aber unendlich viele groessere natuerliche Zahlen als diese eine
betrachtete natuerliche Zahl. Ja, das mag schwer vorstellbar sein, aber es
ist eine eindeutige und zwangslaeufige Folgerung aus den Peano-Axiomen.

Post by WM
Hinweis: Dies ist ein Beweis für die Existenz undefinierbarer Zahlen.

Nein, das ist hanebuechener Unfug.

Tschuess,
Juergen Ilse (***@usenet-verwaltung.de)

[WM]

Post by Juergen Ilse
Hallo,

Post by WM
Ein Induktionsbeweis für eine Eigenschaft natürlicher Zahlen beweist, dass alle natürlichen Zahlen diese Eigenschaft besitzen und keine Ausnahme existiert.

Dann begruenden SIE doch mal, *warum* das so ist und '*warum* denn der
Induktionsbeweis funktioniert. Eine Begruendung dafuer ist nur moeglich,
wenn man die Peano-Axiome akzeptiert

Das ist Unsinn. Die vollständige Induktion ist viel älter als die nachgemachten (und darüber hinaus noch verfehlten) Peano Axiom.

Die Begründung liegt im Verfahren: 1 gilt und wenn n gilt, dann auch n+1. Das wendet man auf 1 an und erhält 2, dann wendet man es auf 2 an und erhält 3, und so weiter.

Post by Juergen Ilse

Post by WM
Deswegen folgt aus An e IN : |IN \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo, dass man alle natürlichen Zahlen von |N subtrahieren kann, ohne die leere Menge zu erhalten.

Nein. Das, was dfaraus folgt, ist, dass fuer *jede* natuerliche Zahl n gilt,

und für alle ihre Vorgänger. Mehr enthält |N aber nicht.

Post by Juergen Ilse

Post by WM
Eben hier fehlt die Begründung! Alle natürlichen Zahlen kann man entfernen,

Falsch! Fuer *jede* natuerliche Zahl n (beliebig aber fest)

Nicht fest, sondern beliebig.

Post by Juergen Ilse
gilt, dass man
die Menge aller Zahlen kleiner oder glaich n aus der Mneg der natuerlichen
Zahlen weglassen kann und die Restmenge immer noc hunendlich ist.

Das gilt dann auch für die Nummerierung der Cantor-Liste oder die Nummerierung der rationalen Zahlen. Der nicht nummerierte Rest ist immer unendlich.

Gruß, WM

[Mostowski Collapse]

Wieder Problem mit jede und alle? Man-O-Man.

Wieso unterrichtet eigentlich WM?
Wieso ist/war der eigentlich Lehrer?

Post by WM

Post by Juergen Ilse
Hallo,

Post by WM
Ein Induktionsbeweis für eine Eigenschaft natürlicher Zahlen beweist, dass alle natürlichen Zahlen diese Eigenschaft besitzen und keine Ausnahme existiert.

Dann begruenden SIE doch mal, *warum* das so ist und '*warum* denn der
Induktionsbeweis funktioniert. Eine Begruendung dafuer ist nur moeglich,
wenn man die Peano-Axiome akzeptiert

Das ist Unsinn. Die vollständige Induktion ist viel älter als die nachgemachten (und darüber hinaus noch verfehlten) Peano Axiom.
Die Begründung liegt im Verfahren: 1 gilt und wenn n gilt, dann auch n+1. Das wendet man auf 1 an und erhält 2, dann wendet man es auf 2 an und erhält 3, und so weiter.

Post by Juergen Ilse

Post by WM
Deswegen folgt aus An e IN : |IN \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo, dass man alle natürlichen Zahlen von |N subtrahieren kann, ohne die leere Menge zu erhalten.

Nein. Das, was dfaraus folgt, ist, dass fuer *jede* natuerliche Zahl n gilt,

und für alle ihre Vorgänger. Mehr enthält |N aber nicht.

Post by Juergen Ilse

Post by WM
Eben hier fehlt die Begründung! Alle natürlichen Zahlen kann man entfernen,

Falsch! Fuer *jede* natuerliche Zahl n (beliebig aber fest)

Nicht fest, sondern beliebig.

Post by Juergen Ilse
gilt, dass man
die Menge aller Zahlen kleiner oder glaich n aus der Mneg der natuerlichen
Zahlen weglassen kann und die Restmenge immer noc hunendlich ist.

Das gilt dann auch für die Nummerierung der Cantor-Liste oder die Nummerierung der rationalen Zahlen. Der nicht nummerierte Rest ist immer unendlich.
Gruß, WM

[Me]

Post by WM
Das

Kein Mensch weiß worauf sich dieses "Das" beziehen soll. Sie reden einfach nur wirres Zeug daher, Mückenheim.

Jürgens Aussage war, dass folgendes gilt:

An e IN: |IN \ {m e IN : m <= n}| = ℵo
bzw.
An e IN: |{m e IN : m > n}| = ℵo .

Wie man von dieser Aussage auf den folgenden Unsinn kommen kann, kann wohl nur ein Psychiater erklären.

Post by WM
gilt dann auch für die Nummerierung der Cantor-Liste

Was soll das sein, die "Cantor-Liste"? Wie ist "die Cantor-Liste" in der Mückenmatik definiert?

Post by WM
oder die Nummerierung der rationalen Zahlen. Der nicht nummerierte Rest ist
immer unendlich.

Ja, ja, in der Mückenmatik ist vermutlich 0 auch gleich 1.

In der Mathematik jedoch gibt es (in diesem Zusammenhang) keinen "nicht nummerierten Rest", da man in der Mathematik wirklich /ALLE XXX/ meint, wenn man "ALLE XXX" sagt, und nicht nur -wie in der Mückenmatik- /ALLE XXX, BIS AUF.../.

[Mostowski Collapse]

Man müsste mal logisch untersuchen wie WM beweisst dass
die Rationalzahlen nicht abzählbar unendlich viele sind.

Vielleicht wäre sogar eine Psychologische, oder
vielmehr eine Psychosislogische Untersuchung angebracht.

"According to Hegel, the spirit takes shape through
history and attains self-consciousness through the
self-reflexivity of mankind. Disillusionment with
respect to the scope of knowledge to be gained
through speculative idealism and romantic metaphysics
lead to a clear orientation of philosophy toward
the research subjects of the successful empirical
sciences. It was against this backdrop that Husserl
founded phenomenology in 1901 claiming it to be
a fundamental science."

https://academic.oup.com/schizophreniabulletin/article/34/6/1200/1936306

https://plato.stanford.edu/entries/phenomenology/

LoL

Post by Me

Post by WM
Das

Kein Mensch weiß worauf sich dieses "Das" beziehen soll. Sie reden einfach nur wirres Zeug daher, Mückenheim.
An e IN: |IN \ {m e IN : m <= n}| = ℵo
bzw.
An e IN: |{m e IN : m > n}| = ℵo .
Wie man von dieser Aussage auf den folgenden Unsinn kommen kann, kann wohl nur ein Psychiater erklären.

Post by WM
gilt dann auch für die Nummerierung der Cantor-Liste

Was soll das sein, die "Cantor-Liste"? Wie ist "die Cantor-Liste" in der Mückenmatik definiert?

Post by WM
oder die Nummerierung der rationalen Zahlen. Der nicht nummerierte Rest ist
immer unendlich.

Ja, ja, in der Mückenmatik ist vermutlich 0 auch gleich 1.
In der Mathematik jedoch gibt es (in diesem Zusammenhang) keinen "nicht nummerierten Rest", da man in der Mathematik wirklich /ALLE XXX/ meint, wenn man "ALLE XXX" sagt, und nicht nur -wie in der Mückenmatik- /ALLE XXX, BIS AUF.../.

[WM]

Post by Me
In der Mathematik jedoch gibt es (in diesem Zusammenhang) keinen "nicht nummerierten Rest", da man in der Mathematik wirklich /ALLE XXX/ meint, wenn man "ALLE XXX" sagt,

Cantors (wie jede andere) Nummerierung sagt aber nicht "alle", sondern "die erste, zweite, dritte usw." Da bleibt immer ein unendlicher Rest.

Gruß, WM

[Me]

Cantors (wie jede andere) Nummerierung sagt aber nicht "alle" <bla>

Doch, das "sagt" sie und auch "jede andere" "Nummerierung" ("Abzählung").

Machen Sie sich einmal mit dem Begriff der "surjektiven Funktion" vertraut, Mückenheim.

Siehe: https://de.wikipedia.org/wiki/Surjektive_Funktion

Einen entsprechenden Abschnitt finden Sie sogar in Ihrem Lehrbuch.

Hinweis: Die Cantorsche Paarungsfunktion ist BIJEKTV und mithin auch SURJEKTIV.

Siehe: https://de.wikipedia.org/wiki/Cantorsche_Paarungsfunktion

Geht's NOCH blöder, Herr Mückenheim?

[Juergen Ilse]

Hallo,

Post by WM

Post by Juergen Ilse

Post by WM
Ein Induktionsbeweis für eine Eigenschaft natürlicher Zahlen beweist, dass alle natürlichen Zahlen diese Eigenschaft besitzen und keine Ausnahme existiert.

Dann begruenden SIE doch mal, *warum* das so ist und '*warum* denn der
Induktionsbeweis funktioniert. Eine Begruendung dafuer ist nur moeglich,
wenn man die Peano-Axiome akzeptiert

Das ist Unsinn. Die vollständige Induktion ist viel älter als die nachgemachten (und darüber hinaus noch verfehlten) Peano Axiom.

Einen wirklichen Beweis, dass man damit etwas fuer *alle* natuerlichen
Zahlen bewiesena hat, erhaelt man nur,wenn man entweder die Peano-Axiome
hat, oder die Information, dass die Menge der natuerlichen Zahlen eine
minimale induktive Menge ist. Letzteres ohne die Peano Axiome zu beweisen
sollte schwierig sein ...

Post by WM
Die Begründung liegt im Verfahren: 1 gilt und wenn n gilt, dann auch n+1. Das wendet man auf 1 an und erhält 2, dann wendet man es auf 2 an und erhält 3, und so weiter.

Wo ist der Beweis, dass man damit einen Beweis fuer alle natuerlichen Zahlen
gefuehrt hat, wenn man weder die Peano-Axiome noch die Information, dass die
natuerlichen Zahlen ine minimale induktive Menge ist, zur Verfuegung hat?
îUnd ja, in der Mathematik muesste man das *beweisen*, auch wenn in der
"Mueckemathik" die Behauptung "das ist offensichtlich" genuegt.

Post by WM

Post by Juergen Ilse

Post by WM
Deswegen folgt aus An e IN : |IN \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo, dass man alle natürlichen Zahlen von |N subtrahieren kann, ohne die leere Menge zu erhalten.

Nein. Das, was daraus folgt, ist, dass fuer *jede* natuerliche Zahl n gilt,

und für alle ihre Vorgänger. Mehr enthält |N aber nicht.

SIE beweisen hier wieder einmal IHR komplettes Unverstaendnis jeglicher
Art von Mathematik.

Post by WM

Post by Juergen Ilse

Post by WM
Eben hier fehlt die Begründung! Alle natürlichen Zahlen kann man entfernen,

Falsch! Fuer *jede* natuerliche Zahl n (beliebig aber fest)

Nicht fest, sondern beliebig.

Noch ein BEweis, dass sie fuer jegliche Art von Mathematik viel zu
unfaehig sind.

Post by WM

Post by Juergen Ilse
gilt, dass man
die Menge aller Zahlen kleiner oder glaich n aus der Mneg der natuerlichen
Zahlen weglassen kann und die Restmenge immer noc hunendlich ist.

Das gilt dann auch für die Nummerierung der Cantor-Liste oder die Nummerierung der rationalen Zahlen. Der nicht nummerierte Rest ist immer unendlich.

SIE beweisen mit *JEDEM* ihrer Saetze, dass SIE fuer Mathematik zu
daemlich sind.

Tschuess,
Juergen Ilse (***@usenet-verwaltung.de)

[Me]

Post by Juergen Ilse
oder die Information, dass die Menge der natuerlichen Zahlen eine
minimale induktive Menge ist. Letzteres ohne die Peano Axiome zu
beweisen sollte schwierig sein ...

Nein, das ist sogar TRIVIAL, no joke. Das "Induktionsaxiom" fällt einem im Kontext der Mengenlehre wie nebenher in den Schoß. Dazu betrachtet man eine Schnittmenge von (gewissen) Nachfolgermengen. Man kann dann zeigen, dass diese Schnittmenge eine minimale Nachfolgermenge ist. Der Umstand, dass es nur eine solche Menge geben kann, erlaubt es dann, IN (bzw.) omega als _die_ minimale Nachfolgermenge zu definieren.

Daraus folgt dann unmittelbar das "Induktionsaxiom" als Theorem:

Minimalität bedeutet hier ja nichts anderes, als dass IN c M gilt, wenn M eine induktive Menge ist. Setzen wir also voraus, dass M c IN gilt und M eine induktive Menge ist, folgt sofort, dass M = IN gilt.

[WM]

Post by Juergen Ilse

Post by WM

Post by Juergen Ilse

Post by WM
Ein Induktionsbeweis für eine Eigenschaft natürlicher Zahlen beweist, dass alle natürlichen Zahlen diese Eigenschaft besitzen und keine Ausnahme existiert.

Dann begruenden SIE doch mal, *warum* das so ist und '*warum* denn der
Induktionsbeweis funktioniert. Eine Begruendung dafuer ist nur moeglich,
wenn man die Peano-Axiome akzeptiert

Das ist Unsinn. Die vollständige Induktion ist viel älter als die nachgemachten (und darüber hinaus noch verfehlten) Peano Axiom.

Einen wirklichen Beweis, dass man damit etwas fuer *alle* natuerlichen
Zahlen bewiesena hat, erhaelt man

Post by WM
1 gilt und wenn n gilt, dann auch n+1. Das wendet man auf 1 an und erhält 2, dann wendet man es auf 2 an und erhält 3, und so weiter.

Wo ist der Beweis, dass man damit einen Beweis fuer alle natuerlichen Zahlen
gefuehrt hat

Der einfachste Beweis ergibt sich dadurch, dass keine Zahl angebbar ist, für die der Schluss nicht gilt.

Post by Juergen Ilse
Und ja, in der Mathematik muesste man das *beweisen*,

falls man nicht ausreichend denkne kann, mag diese Notwendigkeit bestehen.

Post by Juergen Ilse

Post by WM

Post by Juergen Ilse
Nein. Das, was daraus folgt, ist, dass fuer *jede* natuerliche Zahl n gilt,

und für alle ihre Vorgänger. Mehr enthält |N aber nicht.

SIE beweisen hier wieder einmal IHR komplettes Unverstaendnis jeglicher
Art von Mathematik.

Das kommt Dir nur so vor, weil Du meinst, dass |N mehr als alle natürlichen Zahlen umfasst.

Gruß, WM

[Me]

Du meinst, dass IN mehr als alle natürlichen Zahlen umfasst.

DER war gut!

[WM]

Post by Juergen Ilse
Fuer *jede* natuerliche Zahl n (beliebig aber fest) gilt, dass man
die Menge aller Zahlen kleiner oder glaich n aus der Mneg der natuerlichen
Zahlen weglassen kann und die Restmenge immer noc hunendlich ist.

Also ist die Menge |N_def die jede "beliebig aber feste" natürlichen Zahl enthält, nicht die Menge |N, die man von der Menge |N mit dem Ergebnis leere Menge subtrahieren kann.

Gruß, WM

[Me]

Post by Me
Nochmal,
An e IN: Phi({1, 2, 3, ..., n}) ==> Phi(IN)
ist keine gültige/korrekte Schlussweise.

[...] es geht um die Elemente der Menge [N]. Ein Induktionsbeweis für eine
Eigenschaft natürlicher Zahlen beweist, dass alle natürlichen Zahlen diese
Eigenschaft besitzen und keine Ausnahme existiert.

So weit so gut. (Sie haben gerade eine Trivialität formuliert.)

Deswegen

Ab hier wird es dann schon wieder falsch/unsinnig. (Hinweis: Sie verwenden "Deswegen" regelmäßig als reine "Konjunktion", ohne dass zwischen den so "verbundenen" Textteilen eine logisch-mathematische Beziehung oder gar ein "Begründungsverhältnis" vorliegen würde.)

folgt aus An e IN : |IN \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo, dass man alle natürlichen
Zahlen von IN subtrahieren kann, ohne die leere Menge zu erhalten.

Man kann JEDE EINZELNE von ihnen von IN "subtrahieren" oder jeweils ENDLICH VIELE, z. B. jeweils die ersten n natürlichen Zahlen (wo n eine natürliche Zahl ist), ohne die leere Menge zu erhalten; letzteres ist genau die Aussage:

An e IN : |IN \ {1, 2, 3, ..., n}| =/= {} .

Man kann aber (natürlich) nicht "ALLE ZUSAMMEN" von IN "subtrahieren", ohne die leere Menge zu erhalten. Wie blöd muss man sein, um diesen UNTERSCHIED nicht verstehen zu können?

Ihre diesbezüglichen kruden "Denkprozesse" habe ich doch schon analysiert - hier also noch einmal:

Formal ist ja alles GLASKLAR: Von

An e IN : |IN \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo

Kann man nun mal nicht auf

|IN \ U{{1, 2, 3, ..., n} : n e IN}| = ℵo

schließen. Wie also kommt Mückenheim auf diese Schnapsidee?

Die Ursache scheint wirklich wieder einmal im "unsachgemäßen" (ja UNMATHEMATISCHEN) Gebrauch des Begriffs "alle" zu liegen.*) Mückenheims "Denken" vollzieht sich dabei offensichtlich nicht auf der Ebene "mathematischer Strukturen" und/oder "mathematischer Zusammenhänge", sondern auf der Ebene rein "syntaktischer" Sprachstrukturen.

Dabei betrachtet er offenbar (syntaktische) Varianten bestimmter "Aussagen", einfach als mathematisch äquivalent.

Mengenlehre:

An e IN: |IN \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo

Mücken-Sprech-Denk:

Für alle Zahlen n: |IN \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo

Mücken-Sprech-Denk-Variante:

|Für alle Zahlen n: IN \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo

Da aber für Mückenheim offenbar

Für alle Zahlen n: IN \ {1, 2, 3, ..., n}

gleich

IN \ {1} \ {1,2} \ {1,2,3} \...

bzw. gleich

IN \ U{{1, 2, 3, ..., n} : n e IN}

ist, folgt (für ihn) also schließlich

|IN \ U{{1, 2, 3, ..., n} : n e IN}| = ℵo .

Ich denke, so, oder so ähnlich kommt er auf sein "Resultat".

Dass dabei aus einem All-Quantor von einem Moment auf den anderen ein "Mengenoperator" geworden ist, ist Mückenheim dabei offenbar entweder nicht bewusst, oder er sieht darin kein Problem.

Allerdings darf das bei jemandem, der keinen Unterschied zwischen "alle(n) natürlichen Zahlen" und (der) "Menge der natürlichen Zahlen" sieht, nicht verwundern.
_________________________

*) Erst unlängst hat auch Ralf wieder auf die schlampige Verwendung von "alle" durch Mückenheim hingewiesen:

WM> Alle Primzahlen oder alle natürlichen Zahlen sind unendliche
WM> Mengen, ebenso wie alle Brüche in allen Einheitsintervallen.
WM> Und nur von solchen unendlichen Mengen ist hier die Rede!

Ralf> Es gibt auch keine Mengen namens "alle Primzahlen" oder "alle
Ralf> natürlichen Zahlen".

[Mostowski Collapse]

In ZFC der Umstand dass weder Logik noch Axiome
so einen Schluss zulassen.

Wieso unterrichtet eigentlich WM?
Wieso ist/war der eigentlich Lehrer?

Post by WM

Post by Me
Daher kann man auch nicht von
An e IN : |IN \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo
auf
|IN \ IN| = ℵo
schließen.

Welcher Umstand verhindert das denn? |N enthält nicht mehr als alle natürlichen Zahlen: |N = {1, 2, 3, ... }. Warum kann man nicht alle natürlichen Zahlen benennen undstatt
|IN \ IN| = 0
einfach die Pünktchen in
|IN \ {1, 2, 3, ... }| = 0
durch die Zahlenbezeichnungen ersetzen?
Gruß, WM

[WM]

Post by Mostowski Collapse

|N enthält nicht mehr als alle natürlichen Zahlen: |N = {1, 2, 3, ... }. Warum kann man nicht alle natürlichen Zahlen benennen und statt
|IN \ IN| = 0
einfach die Pünktchen in
|IN \ {1, 2, 3, ... }| = 0
durch die Zahlenbezeichnungen ersetzen?

In ZFC der Umstand dass weder Logik noch Axiome
so einen Schluss zulassen.

Hier ist gar kein Schluss gefragt, sondern lediglich die Angabe aller Elemente, die in |N enthalten und angeblich angebbar sind.

Übrigens hat das nichts mit Logik zu tun. Ein Induktionsbeweis für eine Eigenschaft natürlicher Zahlen beweist, dass alle natürlichen Zahlen diese Eigenschaft besitzen und keine Ausnahme existiert. Falls die "Hutschachtel" {...} diesbezüglich Probleme macht, sollte man sie entsorgen.

Gruß, WM

[Me]

Post by WM
Hier ist gar kein Schluss gefragt,

Doch, doch, Mückenheim.

Post by WM
sondern lediglich die Angabe aller Elemente, die in IN enthalten und
angeblich angebbar sind.

Wer behauptet denn so einen Schwachsinn (außer Ihnen)? Also, dass "alle natürlichen Zahlen" "angebbar" wären.

Was soll den "angebbar" genau bedeuten in diesem Zusammenhang? Ist hier mit "alle" alle zusammen (als Kollektiv) gemeint, oder geht es lediglich darum, dass jede einzelne von ihnen (für sich) "angebbar" ist? (Die Notwendigkeit hier eine klare Unterscheidung zu treffen, haben Sie ja bislang noch immer nicht verstanden.)

Mir scheint aber, dass niemand außer Ihnen behauptet, dass _jede_ natürliche Zahl _explizit_ "angebbar" (was immer auch angebbar behaupten mag) ist.

Wenn wir in der Mathematik beweisen, dass jede natürliche Zahl eine Dezimaldarstellung BESITZT, heißt das NICHT, dass ich man _jede_ natürliche Zahl EXPLIZIT "angeben", also z. B. HINSCHREIBEN kann. (Mit zunehmender Größe der Zahlen wird das immer schwieriger, bis es -so will es scheinen- gar nicht mehr möglich ist; jedenfalls für uns auf dieser Erde.)

Post by WM
Übrigens hat das nichts mit Logik zu tun.

In der Tat. Ihr Gelaber hat aber auch nichts mit Mathematik zu tun.

Post by WM
Ein Induktionsbeweis für eine Eigenschaft natürlicher Zahlen beweist, dass
alle natürlichen Zahlen diese Eigenschaft besitzen [also] keine Ausnahme
existiert.

In der Tat.

Post by WM
Falls die "Hutschachtel" diesbezüglich Probleme macht, sollte man sie
entsorgen.

Wie eben gesagt: Ihr Gelaber hat aber nichts mit Mathematik zu tun.

Mückenheim, Sie sind einfach für jede Art von Mathematik zu blöde, das zeigt sich immer wieder!

Gelegentlich gewinnt, man den Eindruck, dass Sie gerne ein "Ultrafinitist" wären, es Ihnen aber an der nötigen Intelligenz dazu gebricht. Bedauerlicherweise reicht es bei Ihnen noch nicht einmal für einen konsequenten/konsistenten Konstruktivismus.

Siehe dazu: https://math.vanderbilt.edu/schectex/papers/difficult.html

[WM]

Post by Me

Post by WM
Hier ist gar kein Schluss gefragt,
sondern lediglich die Angabe aller Elemente, die in IN enthalten und
angeblich angebbar sind.

Wer behauptet denn so einen Schwachsinn (außer Ihnen)? Also, dass "alle natürlichen Zahlen" "angebbar" wären.

Die Matheologie im allgemeinen.

Post by Me
Was soll den "angebbar" genau bedeuten in diesem Zusammenhang?

Für alle angebbaren natürlichen Zahlen gilt offensichtlich

|ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo.

Bisher hat jedenfalls niemand eine natürliche Zahl angegeben, für die das nicht gilt.

Ist hier mit "alle" alle zusammen (als Kollektiv) gemeint, oder geht es lediglich darum, dass jede einzelne von ihnen (für sich) "angebbar" ist?

Wir untersuchen jede einzelne und fassen die untersuchten zusammen.

Post by Me
Mir scheint aber, dass niemand außer Ihnen behauptet, dass _jede_ natürliche Zahl _explizit_ "angebbar" (was immer auch angebbar behaupten mag) ist.

Das habe ich schon anders gehört. Aber natürlich bin ich völlig Deiner Meinung. Nur ein verschwindender Bruchteil der in ℕ enthaltenen Zahlen ist angebbar.

Post by Me
Wenn wir in der Mathematik beweisen, dass jede natürliche Zahl eine Dezimaldarstellung BESITZT, heißt das NICHT, dass ich man _jede_ natürliche Zahl EXPLIZIT "angeben", also z. B. HINSCHREIBEN kann.

Wo sollte dieser Besitz denn sonst stattfinden? Beim lieben Gott?

Post by Me
(Mit zunehmender Größe der Zahlen wird das immer schwieriger, bis es -so will es scheinen- gar nicht mehr möglich ist; jedenfalls für uns auf dieser Erde.)

Damit hat es gar nichts zu tun. Beliebig verfügbare Ressourcen würden die Sachlage unverändert lassen.

Gruß, WM

[Mostowski Collapse]

Ja, die unendlichen Dezimaldarstellung kommen vom
lieben Gott. Noch nicht gewusst. Nur beim lieben
Gott kann unendliche verortet werden.

Darum hat Mengenlehre auch den Spitznamen Theorie
des Göttlichen. D.h. die Mengenlehre ist nicht
an und für sich eine Theorie, sonder

auf jeden Fall Gottgewollt.

Post by WM

Post by Me

Post by WM
Hier ist gar kein Schluss gefragt,
sondern lediglich die Angabe aller Elemente, die in IN enthalten und
angeblich angebbar sind.

Wer behauptet denn so einen Schwachsinn (außer Ihnen)? Also, dass "alle natürlichen Zahlen" "angebbar" wären.

Die Matheologie im allgemeinen.

Post by Me
Was soll den "angebbar" genau bedeuten in diesem Zusammenhang?

Für alle angebbaren natürlichen Zahlen gilt offensichtlich
|ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo.
Bisher hat jedenfalls niemand eine natürliche Zahl angegeben, für die das nicht gilt.
Ist hier mit "alle" alle zusammen (als Kollektiv) gemeint, oder geht es lediglich darum, dass jede einzelne von ihnen (für sich) "angebbar" ist?
Wir untersuchen jede einzelne und fassen die untersuchten zusammen.

Post by Me
Mir scheint aber, dass niemand außer Ihnen behauptet, dass _jede_ natürliche Zahl _explizit_ "angebbar" (was immer auch angebbar behaupten mag) ist.

Das habe ich schon anders gehört. Aber natürlich bin ich völlig Deiner Meinung. Nur ein verschwindender Bruchteil der in ℕ enthaltenen Zahlen ist angebbar.

Post by Me
Wenn wir in der Mathematik beweisen, dass jede natürliche Zahl eine Dezimaldarstellung BESITZT, heißt das NICHT, dass ich man _jede_ natürliche Zahl EXPLIZIT "angeben", also z. B. HINSCHREIBEN kann.

Wo sollte dieser Besitz denn sonst stattfinden? Beim lieben Gott?

Post by Me
(Mit zunehmender Größe der Zahlen wird das immer schwieriger, bis es -so will es scheinen- gar nicht mehr möglich ist; jedenfalls für uns auf dieser Erde.)

Damit hat es gar nichts zu tun. Beliebig verfügbare Ressourcen würden die Sachlage unverändert lassen.
Gruß, WM

[Mostowski Collapse]

Die Mengenlehre kann nur als Göttliche Wahrheit
verstanden werden. Die Unerreichbarkeit des
Gottesstandpunktes für den Menschen ist dadurch

aber nicht gefärdet. Die Erkenntnisfähigkeit des
Menschen ist begrenzt, was das Wesen Gottes angeht.
Beim Umgang mit der Mengenlehre benutzt der

Mensch trotz allem seine eigenen Fähigkeiten.
Die gleichen Fähigkeiten die auch Gott hervor-
gebracht haben. Fanatismus kann jedoch zu einer

möglichen Selbstüberschätzung des Lehramts führen.

Post by Mostowski Collapse
Ja, die unendlichen Dezimaldarstellung kommen vom
lieben Gott. Noch nicht gewusst. Nur beim lieben
Gott kann unendliche verortet werden.
Darum hat Mengenlehre auch den Spitznamen Theorie
des Göttlichen. D.h. die Mengenlehre ist nicht
an und für sich eine Theorie, sonder
auf jeden Fall Gottgewollt.

Post by WM

Post by Me

Post by WM
Hier ist gar kein Schluss gefragt,
sondern lediglich die Angabe aller Elemente, die in IN enthalten und
angeblich angebbar sind.

Wer behauptet denn so einen Schwachsinn (außer Ihnen)? Also, dass "alle natürlichen Zahlen" "angebbar" wären.

Die Matheologie im allgemeinen.

Post by Me
Was soll den "angebbar" genau bedeuten in diesem Zusammenhang?

Für alle angebbaren natürlichen Zahlen gilt offensichtlich
|ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo.
Bisher hat jedenfalls niemand eine natürliche Zahl angegeben, für die das nicht gilt.
Ist hier mit "alle" alle zusammen (als Kollektiv) gemeint, oder geht es lediglich darum, dass jede einzelne von ihnen (für sich) "angebbar" ist?
Wir untersuchen jede einzelne und fassen die untersuchten zusammen.

Post by Me
Mir scheint aber, dass niemand außer Ihnen behauptet, dass _jede_ natürliche Zahl _explizit_ "angebbar" (was immer auch angebbar behaupten mag) ist.

Das habe ich schon anders gehört. Aber natürlich bin ich völlig Deiner Meinung. Nur ein verschwindender Bruchteil der in ℕ enthaltenen Zahlen ist angebbar.

Post by Me
Wenn wir in der Mathematik beweisen, dass jede natürliche Zahl eine Dezimaldarstellung BESITZT, heißt das NICHT, dass ich man _jede_ natürliche Zahl EXPLIZIT "angeben", also z. B. HINSCHREIBEN kann.

Wo sollte dieser Besitz denn sonst stattfinden? Beim lieben Gott?

Post by Me
(Mit zunehmender Größe der Zahlen wird das immer schwieriger, bis es -so will es scheinen- gar nicht mehr möglich ist; jedenfalls für uns auf dieser Erde.)

Damit hat es gar nichts zu tun. Beliebig verfügbare Ressourcen würden die Sachlage unverändert lassen.
Gruß, WM

[Me]

Post by WM

Post by Me

Post by WM
Hier ist gar kein Schluss gefragt, sondern lediglich die Angabe aller
Elemente, die in IN enthalten und angeblich angebbar sind.

Wer behauptet denn so einen Schwachsinn (außer Ihnen)? Also, dass "alle
natürlichen Zahlen" "angebbar" wären.

Die Matheologie im allgemeinen.

Wer genau, können Sie das bitte etwas genauer angeben?

Ihr dummes Geschwalle erinnert sehr an die Äußerungen dieses hirntoten Typen, der derzeit den POTUS mimt:

Trump: "You know, there are those that say you can test too much, you do know that."

Swan: "Who says that?"

Trump: "Oh, just read the manuals. Read the books."

Swan: "Manuals? What manuals?"

Trump: "Read the books. Read the books."

Swan: "What books?"

Post by WM

Post by Me
Was soll den "angebbar" genau bedeuten in diesem Zusammenhang?

Für alle angebbaren natürlichen Zahlen gilt offensichtlich

Ich habe nicht danach gefragt, was "für alle angebbaren natürlichen Zahlen gilt", sondern nach der Bedeutung des Begriffs "angebbar" in diesem Zusammenhang.

Sind sie wirklich zu blöde, den Unterschied zu begreifen?

Post by WM

Post by Me
Ist hier mit "alle" alle zusammen (als Kollektiv) gemeint, oder geht es
lediglich darum, dass jede einzelne von ihnen (für sich) "angebbar" ist?

Wir untersuchen jede einzelne und fassen die untersuchten zusammen.

Huh?! Sie "untersuchen jede einzelne"? Wie machen Sie das denn? Vor allem wie viele Untersuchungen schaffen Sie denn so pro Tag? Und wie wollen Sie es anstellen, ALLE zu untersuchen? Das erscheint mir als eine wahrhaft herkulische Aufgabe!

Post by WM

Post by Me
Mir scheint aber, dass niemand außer Ihnen behauptet, dass _jede_
natürliche Zahl _explizit_ "angebbar" (was immer auch "angebbar"
bedeuten mag) ist.

Das habe ich schon anders gehört.

Me: Von wem haben Sie das "anders" gehört?

Post by WM

Post by Me
Wenn wir in der Mathematik beweisen, dass jede natürliche Zahl eine
Dezimaldarstellung BESITZT, heißt das NICHT, dass man _jede_ natür-
liche Zahl EXPLIZIT "angeben", also z. B. [als "Dezimalzahl"] HIN-
SCHREIBEN kann.

Wo sollte dieser Besitz denn sonst stattfinden? Beim lieben Gott?

Wenn Sie das glauben wollen, warum nicht?

Manche Mathematiker würden hier wohl eher auf ein "drittes Reich" (nicht DAS Dritte Reich) verweisen, so z. B. Frege:

"Gottlob Frege said that abstract objects, such as numbers, were members of a third realm, different from the external world or from internal consciousness."

Siehe: https://en.wikipedia.org/wiki/Abstract_and_concrete#In_philosophy

Gödel war derartigen Gedanken bekanntlich auch nicht abgeneigt.

Wenn wir schon dabei sind, können SIE vielleicht sagen, wo genau die Zahlen 1, 2, 3, usw. anwesen? Oder z. B. die Gerade durch den Punkt (0,0) und (1,1). Das würde mich wirklich interessieren. Bestimmt können Sie hierzu etwas erhellendes sagen.

Post by WM

Post by Me
Mit zunehmender Größe der Zahlen wird das immer schwieriger, bis es -so
will es scheinen- gar nicht mehr möglich ist; jedenfalls für uns auf dieser
Erde.

Damit hat es gar nichts zu tun.

Doch, doch, das hat auch ewtas damit zu tun. :-)

ALLE XXX explizit "anzugeben" würde offenbar auch dann schon scheitern, wenn es z. B. nur 10^80 XXX gäbe, nicht aber (wie bei den natürlichen Zahlen) unendlich viele.

In diese Zusammenhang kann man auch wieder fragen, was es bedeuten soll, wenn wir sagen, dass die Menge {n e IN : n <= 10^80} 10^80 Elemente enthält. Wo genau "sind" denn diese Elemente?

Post by WM
Beliebig verfügbare Ressourcen würden die Sachlage unverändert lassen.

Meinen Sie? Da könnte man Ihnen m. E. widersprechen. Jedoch halte ich Diskussionen mit Ihnen für sinnlos. Man kann nur für andere auf die zahlreichen falschen und/oder unsinnigen Aussagen hinweisen, die Sie fortwährend abseichen.

Auch hier gibt es wieder eine Parallele zu Herrn Trump:

"Tsunami of untruths’: Trump has made 20,000 false or misleading claims"

https://www.theguardian.com/us-news/2020/jul/13/donald-trump-20000-false-or-misleading-claims

[WM]

Post by Me

Post by WM
Für alle angebbaren natürlichen Zahlen gilt offensichtlich

Ich habe nicht danach gefragt, was "für alle angebbaren natürlichen Zahlen gilt", sondern nach der Bedeutung des Begriffs "angebbar" in diesem Zusammenhang.

Ich habe Dir das schon oft genug erklärt.

Post by Me

Post by WM

Post by Me
Ist hier mit "alle" alle zusammen (als Kollektiv) gemeint, oder geht es
lediglich darum, dass jede einzelne von ihnen (für sich) "angebbar" ist?

Wir untersuchen jede einzelne und fassen die untersuchten zusammen.

Huh?! Sie "untersuchen jede einzelne"? Wie machen Sie das denn? Vor allem wie viele Untersuchungen schaffen Sie denn so pro Tag? Und wie wollen Sie es anstellen, ALLE zu untersuchen? Das erscheint mir als eine wahrhaft herkulische Aufgabe!

Groß, aber nicht aktual unendlich. Im Übrigens genügt eine Untersuchung der Zahl n auch für alle Zahlen kleiner n.

Post by Me

Post by WM

Post by Me
Mir scheint aber, dass niemand außer Ihnen behauptet, dass _jede_
natürliche Zahl _explizit_ "angebbar" (was immer auch "angebbar"
bedeuten mag) ist.

Das habe ich schon anders gehört.

Me: Von wem haben Sie das "anders" gehört?

Von vielen, die dunkle Zahlen leugnen, Fritsche, Ilse u.v.a.

Post by Me
ALLE XXX explizit "anzugeben" würde offenbar auch dann schon scheitern, wenn es z. B. nur 10^80 XXX gäbe, nicht aber (wie bei den natürlichen Zahlen) unendlich viele.
In diese Zusammenhang kann man auch wieder fragen, was es bedeuten soll, wenn wir sagen, dass die Menge {n e IN : n <= 10^80} 10^80 Elemente enthält. Wo genau "sind" denn diese Elemente?

Post by WM
Beliebig verfügbare Ressourcen würden die Sachlage unverändert lassen.

Meinen Sie? Da könnte man Ihnen m. E. widersprechen.

Aber nicht mit Recht. Auf jede Zahl folgen nämlich laut Mengenlehre aktual unendlich viele, so dass |ℕ \ ℕ| = 0. Für jede angebbare Zahl n indessen gilt
|ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo. Bisher hat jedenfalls noch niemand eine größere Zahl angeben können.

Gruß, WM

[Me]

Post by Me
Ich habe nicht danach gefragt, was "für alle angebbaren natürlichen Zahlen
gilt", sondern nach der Bedeutung des Begriffs "angebbar" in diesem Zu-
sammenhang.

Ich habe das schon oft genug erklärt.

Ach? Also wieder nichts?

Post by Me
WM: Wir untersuchen jede einzelne und <bla>
Huh?! Sie "untersuchen jede einzelne"? Wie machen Sie das denn? Vor allem
wie viele Untersuchungen schaffen Sie denn so pro Tag? Und wie wollen Sie
es anstellen, ALLE zu untersuchen? Das erscheint mir als eine wahrhaft
herkulische Aufgabe!

Groß, aber nicht aktual unendlich.

Solange Sie nicht "aktual" unendlich viele natürliche Zahlen "untersucht haben", haben Sie aber nicht ALLE natürlichen Zahlen untersucht. Denn -vielleicht ist das sogar Ihnen klar- auf JEDE natürliche Zahl folgt eine WEITERE. Sie kommen also mit Ihren Untersuchungen NIE an ein Ende.

Post by Me

Post by WM

Post by Me
Mir scheint aber, dass niemand außer Ihnen behauptet, dass _jede_
natürliche Zahl _explizit_ "angebbar" (was immer auch "angebbar"
bedeuten mag) ist.

Das habe ich schon anders gehört.

Me: Von wem haben Sie das "anders" gehört?

Von vielen, die dunkle Zahlen leugnen

Sorry, da haben Sie dann offenbar etwas falsch verstanden (oder Sie lügen wieder einmal). Ist auch egal, da Sie schon wieder Schwachsinn daherlabern: JETZT geht es wieder um "dunkle Zahlen" - schon klar.

Post by Me
ALLE XXX explizit "anzugeben" würde offenbar auch dann schon scheitern,
wenn es z. B. nur 10^80 XXX gäbe, nicht aber (wie bei den natürlichen
Zahlen) unendlich viele.

(Wie nicht andres zu erwarten:) Nichts.

Post by Me
In diese Zusammenhang kann man auch wieder fragen, was es bedeuten soll,
wenn wir sagen, dass die Menge {n e IN : n <= 10^80} 10^80 Elemente
enthält. Wo genau "sind" denn diese Elemente?

(Wie nicht andres zu erwarten:) Nichts.

Auf jede Zahl folgen [...] laut Mengenlehre [...] unendlich viele, so dass
|ℕ \ ℕ| = 0.

Äh, nein. Das "so dass" ist wieder einmal eine "Luftnummer", Mückenheim.

In der Mengenlehre gilt trivialerweise für JEDE Menge M: M\M = {} und damit |M \ M| = 0; insbesondere gilt also auch |ℕ \ ℕ| = 0. Mit dem Umstand, dass "auf jede Zahl laut Mengenlehre [...] unendlich viele [Zahlen] folgen", hat das nichts zu tun.

Für jede angebbare Zahl n indessen gilt |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo.

Ich hatte Sie schon einmal danach gefragt, was eine "angebbare" Zahl sein soll (im Unterschied zu einer nicht angebbaren Zahl).

In der Mengenlehre gilt jedenfalls:

Für jede natürliche Zahl n gilt: |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo .

Wenn nun die Menge der "angebbaren" Zahlen eine TEILMENGE der Menge der natürlichen Zahlen ist, dann gilt TRIVIALERWEISE natürlich auch:

Für jede angebbare Zahl n gilt: |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo .

Da der Begriff "angebbar" aber in der Mengenlehre ohne Bedeutung ist, geben wir uns mit der Aussage

Für jede natürliche Zahl n gilt: |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo

zufrieden.

Bisher hat [...] noch niemand eine größere Zahl angeben können.

Eine "größere Zahl"? Huh?! Größer als wer oder was?! *stohn*

Hinweis: Für jede natürliche Zahl n ist n+1 > n.

Man wird das aber, wie schon gesagt, nicht für jede Zahl explizit "angeben" können. Sie verstehen, ich kann explizit ausdrücken/hinschreiben/sagen

1+1 ist größer als 1,

(1+1)+1 ist größer als 1+1,

((1+1)+1)+1 ist größer als (1+1)=1

usw.

Aber ganz gleich wie ich es auch anstelle, ich werde es wohl nicht einmal für die erste 10^80 natürliche Zahlen schaffen, das auf diese Weise EXPLIZIT "anzugeben".

Was stimmt eigentlich nicht mit Ihnen Mückenheim, hat Ihnen wirklich NIE jemand erkärt, dass die Mathematik über das _explizite_ Hinschreiben von Termen, Formeln und "speziellen" Aussagen (wie z. B. "1+1 = 2" etc.) hinausgeht?

[Jens Kallup]

Post by Me
1+1 ist größer als 1,
(1+1)+1 ist größer als 1+1,
((1+1)+1)+1 ist größer als (1+1)=1

ehm, Me,

tschuldige, wenn ich hier so reinplatze;
aber waren hier nicht von Mengen die Rede?

dann würde doch

(1 + 1) doch (1 und 1) bedeuten, was dann
wiederum 1 ergäbe?

oder ist hier in Algebra umhergestochert?

Jens

[Me]

Post by Jens Kallup

Post by Me
1+1 ist größer als 1,
(1+1)+1 ist größer als 1+1,
((1+1)+1)+1 ist größer als (1+1)+1

ehm, Me,
tschuldige, wenn ich hier so reinplatze;
aber war hier nicht von Mengen die Rede?

Nein. Wenn Du die relevanten Teile nicht weggeschnitten hättest, hättest Du das wohl auch selbst erkennen können. :-)

Also hier nochmal der ganze Abschnitt:

=======================================================

WM> Bisher hat [...] noch niemand eine größere Zahl angeben können.

Eine "größere Zahl"? Huh?! Größer als wer oder was?! *stöhn*

Hinweis: Für jede natürliche Zahl n ist n+1 > n.
[In Worten: Für jede natürliche Zahl n gilt, dass n+1 größer ist als n.]

Man wird das aber, wie schon gesagt, nicht für jede Zahl explizit "angeben" können. Sie verstehen, ich kann explizit ausdrücken/hinschreiben/sagen

1+1 ist größer als 1,

(1+1)+1 ist größer als 1+1,

((1+1)+1)+1 ist größer als (1+1)+1

usw.

Aber ganz gleich wie ich es auch anstelle, ich werde es wohl nicht einmal für die erste 10^80 natürliche Zahlen schaffen, das auf diese Weise EXPLIZIT "anzugeben".

=======================================================

[Jens Kallup]

Aber ganz gleich wie ich es auch anstelle, ich werde es wohl nicht einmal für die erste 10^80 natürliche Zahlen schaffen, das auf diese Weise EXPLIZIT "anzugeben".

ah, ok, verstehe.
Ich bin immer noch bei der Schulalgebra.
Bring das immer durcheinander:

1 und 1 oder 1 plus 1, sowie binärsystem

genauso wie der kleine Kinderstreich;

1 und 1 = 3 ist,

also:
00 = 0
01 = 1
10 = 2
11 = 3
...

[Me]

binärsystem [...]
00 = 0
01 = 1
10 = 2
11 = 3
...

Ja, Ich denke manchmal, dass es besser wäre, für das Binärsystem nicht die altbekannten arabischen Ziffern "0" und "1" zu verwenden, sondern eigene/neue Ziffern wie z. B. "|" und "O". Dann wäre das sofort klar:

O = 0
| = 1
|O = 2
|| = 3
...

Es gilt also:

| + | + | = ||

:-P

[Jens Kallup]

da bringst Du eine Idee mit, der nachkommen wollte.
War grad auf dem Dachboden und hatte mal in den Alten
Bücherbestand geschaut.

Dort wird tatsächlich noch mit O und L das Binärsystem
betrachtet.
Also, hat man sich schon früher Gedanken gemacht.
Finde die alten Mathe/Computerpioniere irgendwie Klasse.

Jens

[WM]

Post by Me

Post by Me
Ich habe nicht danach gefragt, was "für alle angebbaren natürlichen Zahlen
gilt", sondern nach der Bedeutung des Begriffs "angebbar" in diesem Zu-
sammenhang.

Ich habe das schon oft genug erklärt.

Ach? Also wieder nichts?

Post by Me
WM: Wir untersuchen jede einzelne und <bla>
Huh?! Sie "untersuchen jede einzelne"? Wie machen Sie das denn? Vor allem
wie viele Untersuchungen schaffen Sie denn so pro Tag? Und wie wollen Sie
es anstellen, ALLE zu untersuchen? Das erscheint mir als eine wahrhaft
herkulische Aufgabe!

Groß, aber nicht aktual unendlich.

Solange Sie nicht "aktual" unendlich viele natürliche Zahlen "untersucht haben", haben Sie aber nicht ALLE natürlichen Zahlen untersucht. Denn -vielleicht ist das sogar Ihnen klar- auf JEDE natürliche Zahl folgt eine WEITERE. Sie kommen also mit Ihren Untersuchungen NIE an ein Ende.

Post by Me

Post by WM

Post by Me
Mir scheint aber, dass niemand außer Ihnen behauptet, dass _jede_
natürliche Zahl _explizit_ "angebbar" (was immer auch "angebbar"
bedeuten mag) ist.

Das habe ich schon anders gehört.

Me: Von wem haben Sie das "anders" gehört?

Von vielen, die dunkle Zahlen leugnen

Sorry, da haben Sie dann offenbar etwas falsch verstanden

Durchaus nicht. Es gibt nur zwei Alternativen, nämlich 1. alle natürlichen Zahlen sind definierbar und 2. nicht alle natürlichen Zahlen sind definierbar. Die zweite impliziert dunkle Zahlen.

Post by Me

Post by Me
In diese Zusammenhang kann man auch wieder fragen, was es bedeuten soll,
wenn wir sagen, dass die Menge {n e IN : n <= 10^80} 10^80 Elemente
enthält. Wo genau "sind" denn diese Elemente?

Wenn wir die natürliche Zahl n kennen, dann kennen wir (wenigstens in der idealen oder idealisierenden Mathematik) alle natürlichen Zahlen < n. Die Elemente sind also in der idealisierenden Mathematik

Post by Me

Auf jede Zahl folgen [...] laut Mengenlehre [...] unendlich viele, so dass
|ℕ \ ℕ| = 0.

In der Mengenlehre gilt trivialerweise für JEDE Menge M: M\M = {} und damit |M \ M| = 0; insbesondere gilt also auch |ℕ \ ℕ| = 0. Mit dem Umstand, dass "auf jede Zahl laut Mengenlehre [...] unendlich viele [Zahlen] folgen", hat das nichts zu tun.

Für jede angebbare Zahl n indessen gilt |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo.

Ich hatte Sie schon einmal danach gefragt, was eine "angebbare" Zahl sein soll (im Unterschied zu einer nicht angebbaren Zahl).

Ich hatte das schon mehrfach erwähnt. Eine Zahl ist angebbar, wenn ich sie angeben und Du weißt, welche ich meine.

Post by Me
Für jede natürliche Zahl n gilt: |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo .
Für jede angebbare Zahl n gilt: |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo .
Da der Begriff "angebbar" aber in der Mengenlehre ohne Bedeutung ist

Das hat historische Gründe: Früher hätte niemand geglaubt, dass die Mathematik einmal mit undefinierbaren Zahlen verseucht werden würde. Da hat man Angebbarkeit implizit mit jeder Zahl verbunden. Durch die Mengenlehre wurde die Mathematik mit nicht angebbaren Zahlen verseucht. Um diesen Makel aber nicht sofort zutage treten zu lassen und insbesondere Neulinge erst nach einer gründlichen Gehirnwäsche mit den Tatsachen zu konfrontieren, wird der Unterschied verschwiegen, genau so wie der Unterschied zwischen vollendeter Unendlichkeit, horribile dictu, und mathematischer Unendlichkeit.

Post by Me
, geben wir uns mit der Aussage
Für jede natürliche Zahl n gilt: |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo
zufrieden.

Bisher hat [...] noch niemand eine größere Zahl angeben können.

Eine "größere Zahl"? Huh?! Größer als wer oder was?!

Größer als n als alle Zahlen, die ℵo stehen lassen. Solche Zahlen müsste es geben, wenn |ℕ \ {1, 2, 3, ...}| = 0 möglich wäre.

Post by Me
Hinweis: Für jede natürliche Zahl n ist n+1 > n.
Man wird das aber, wie schon gesagt, nicht für jede Zahl explizit "angeben" können. Sie verstehen, ich kann explizit ausdrücken/hinschreiben/sagen
1+1 ist größer als 1,
(1+1)+1 ist größer als 1+1,
((1+1)+1)+1 ist größer als (1+1)=1
usw.
Aber ganz gleich wie ich es auch anstelle, ich werde es wohl nicht einmal für die erste 10^80 natürliche Zahlen schaffen, das auf diese Weise EXPLIZIT "anzugeben".

Also gibt es Zahlen, die niemals jemand angeben wird und kann. Sollte man sie nicht auf ewig undefiniert nennen? Bar jeder Definition? Undefinierbar?

Gruß, WM

[Me]

Post by Me
Eine "größere Zahl"? Huh?! Größer als wer oder was?!

Größer als [...] alle Zahlen, die ℵo stehen lassen.

Da ALLE natürlichen Zahlen "ℵo stehen lassen", also da für ALLE natürlichen Zahl n

|ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo

gilt, gibt es KEINE natürlicher Zahl, die "größer als alle Zahlen, die ℵo stehen lassen" ist (da keine natürliche Zahl größer als alle natürlichen Zahlen ist).

Solche Zahlen müsste es geben, wenn |ℕ \ {1, 2, 3, ...}| = 0 [gilt].

Nein, so eine natürliche Zahl muss es nicht geben. (Nicht zuletzt deshalb, weil es keine solche Zahl g i b t .)

Hinweis: Es gibt keine solche natürliche Zahl _und_ es gilt

|ℕ \ {1, 2, 3, ...}| = 0 .

Vielleicht sind Sie wirklich einfach zu blöde, um zu verstehen, dass für JEDE Menge M ***TRIVIALERWEISE*** |M \ M| = 0 gilt. Das hat weder mit endlich, noch unendlich zu tun, sondern gilt (im Kontext der Mengenlehre) aus "rein logischen" Gründen. (Aristoteles: "es ist unmöglich, dass dasselbe demselben in derselben Beziehung zugleich zukomme und nicht zukomme.")

Offenbar haben Sie immer noch nicht begriffen, dass der "Mückenschluss" keine gültige Schlussweise, sondern UNSINN ist.

Sie haben offensichtlich nie gelernt, wie Quantoren im Kontext der Mathematik verwendet werden und welche "Schlüsse" in diesem Zusammenhang zulässig sind und welche nicht.

[WM]

Post by Me
Da ALLE natürlichen Zahlen "ℵo stehen lassen", also da für ALLE natürlichen Zahl n
|ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo
gilt, gibt es KEINE natürlicher Zahl, die "größer als alle Zahlen, die ℵo stehen lassen" ist

Wenn es nur die natürlichen Zahlen gäbe, die Du kennst, und wenn alle diese von ℕ subtrahiert werden, dann kann nichts übrig bleiben. Da aber stets ℵo übrig bleiben, kann man nicht alle kennen und abziehen.

Gruß, WM

[Me]

Post by WM

Post by Me
Da ALLE natürlichen Zahlen "ℵo stehen lassen", also da für ALLE natürlichen Zahl n
|ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo
gilt, gibt es KEINE natürlicher Zahl, die "größer als alle Zahlen, die ℵo
stehen lassen" ist

Wenn es nur die natürlichen Zahlen gäbe, die Du kennst, und wenn alle diese
von ℕ subtrahiert werden, dann kann nichts übrig bleiben. Da aber stets ℵo
übrig bleiben, kann man nicht alle kennen und abziehen.

Ist das als Witz gedacht? Hat sogar funktioniert: ich musste ein klein wenig lachen.

[Michael Klemm]

Post by WM

Post by Me
Daher kann man auch nicht von
An e IN : |IN \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo
auf
|IN \ IN| = ℵo
schließen.

Welcher Umstand verhindert das denn? |N enthält nicht mehr als alle natürlichen Zahlen: |N = {1, 2, 3, ... }. Warum kann man nicht alle natürlichen Zahlen benennen undstatt
|IN \ IN| = 0
einfach die Pünktchen in
|IN \ {1, 2, 3, ... }| = 0
durch die Zahlenbezeichnungen ersetzen?
Gruß, WM

Der Nachfolger einer natürlichen Zahl existiert per Axiomatik. Dagegen wird es für genügend große Zahlen n immer schwieriger sämtliche Vorfahren explizit anzugeben. Per Axiomatik ist nämlich z.B. 3 kein Nachfolger sondern ein Nachfahre der 1.

Gruß
Michael

[WM]

Post by Michael Klemm

Post by WM

Post by Me
Daher kann man auch nicht von
An e IN : |IN \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo
auf
|IN \ IN| = ℵo
schließen.

Welcher Umstand verhindert das denn? |N enthält nicht mehr als alle natürlichen Zahlen: |N = {1, 2, 3, ... }. Warum kann man nicht alle natürlichen Zahlen benennen undstatt
|IN \ IN| = 0
einfach die Pünktchen in
|IN \ {1, 2, 3, ... }| = 0
durch die Zahlenbezeichnungen ersetzen?

Der Nachfolger einer natürlichen Zahl existiert per Axiomatik. Dagegen wird es für genügend große Zahlen n immer schwieriger sämtliche Vorfahren explizit anzugeben.

Das ist allenfalls ein Problem der verfügbaren Ressourcen. Dagegen ist und bleibt es unmöglich, sämtliche Nachfahren explizit anzugeben. Das wird nämlich nicht durch mangelnde Ressourcen verhindert, sondern ist prinzipiell ausgeschlossen.

Gruß, WM

[Michael Klemm]

Post by WM

Post by Michael Klemm

Post by WM

Post by Me
Daher kann man auch nicht von
An e IN : |IN \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo
auf
|IN \ IN| = ℵo
schließen.

Welcher Umstand verhindert das denn? |N enthält nicht mehr als alle natürlichen Zahlen: |N = {1, 2, 3, ... }. Warum kann man nicht alle natürlichen Zahlen benennen undstatt
|IN \ IN| = 0
einfach die Pünktchen in
|IN \ {1, 2, 3, ... }| = 0
durch die Zahlenbezeichnungen ersetzen?

Der Nachfolger einer natürlichen Zahl existiert per Axiomatik. Dagegen wird es für genügend große Zahlen n immer schwieriger sämtliche Vorfahren explizit anzugeben.

Das ist allenfalls ein Problem der verfügbaren Ressourcen. Dagegen ist und bleibt es unmöglich, sämtliche Nachfahren explizit anzugeben. Das wird nämlich nicht durch mangelnde Ressourcen verhindert, sondern ist prinzipiell ausgeschlossen.
Gruß, WM

Ja, die sämtlichen Nachfahren kann man immer nur zwischen a und b angeben. Aber b hat einen Nachfolger b', sodass man auch die sämtlichen Nachfahren zwischen a und b' angeben kann.

Gruß
Michael

[WM]

Post by Michael Klemm

Post by WM

Post by Michael Klemm
Der Nachfolger einer natürlichen Zahl existiert per Axiomatik. Dagegen wird es für genügend große Zahlen n immer schwieriger sämtliche Vorfahren explizit anzugeben.

Das ist allenfalls ein Problem der verfügbaren Ressourcen. Dagegen ist und bleibt es unmöglich, sämtliche Nachfahren explizit anzugeben. Das wird nämlich nicht durch mangelnde Ressourcen verhindert, sondern ist prinzipiell ausgeschlossen.

Ja, die sämtlichen Nachfahren kann man immer nur zwischen a und b angeben. Aber b hat einen Nachfolger b', sodass man auch die sämtlichen Nachfahren zwischen a und b' angeben kann.

wodurch sich aber nichts Wesentliches ändert, denn oo - 1 = oo.

Gruß, WM

[Michael Klemm]

Post by WM

Post by Michael Klemm

Post by WM

Post by Michael Klemm
Der Nachfolger einer natürlichen Zahl existiert per Axiomatik. Dagegen wird es für genügend große Zahlen n immer schwieriger sämtliche Vorfahren explizit anzugeben.

Das ist allenfalls ein Problem der verfügbaren Ressourcen. Dagegen ist und bleibt es unmöglich, sämtliche Nachfahren explizit anzugeben. Das wird nämlich nicht durch mangelnde Ressourcen verhindert, sondern ist prinzipiell ausgeschlossen.

Ja, die sämtlichen Nachfahren kann man immer nur zwischen a und b angeben. Aber b hat einen Nachfolger b', sodass man auch die sämtlichen Nachfahren zwischen a und b' angeben kann.

wodurch sich aber nichts Wesentliches ändert, denn oo - 1 = oo.
Gruß, WM

Von einer Gleichung oo - 1 = oo ist an dieser Stelle nicht die Rede. Da müsstest Du erklären, was an dieser Gleichung Deiner Meinung nach richtig sein soll.

Gruß
Michael

[WM]

Post by Michael Klemm

Post by WM

Post by Michael Klemm

Post by WM

Post by Michael Klemm
Der Nachfolger einer natürlichen Zahl existiert per Axiomatik. Dagegen wird es für genügend große Zahlen n immer schwieriger sämtliche Vorfahren explizit anzugeben.

Das ist allenfalls ein Problem der verfügbaren Ressourcen. Dagegen ist und bleibt es unmöglich, sämtliche Nachfahren explizit anzugeben. Das wird nämlich nicht durch mangelnde Ressourcen verhindert, sondern ist prinzipiell ausgeschlossen.

Ja, die sämtlichen Nachfahren kann man immer nur zwischen a und b angeben. Aber b hat einen Nachfolger b', sodass man auch die sämtlichen Nachfahren zwischen a und b' angeben kann.

wodurch sich aber nichts Wesentliches ändert, denn oo - 1 = oo.

Von einer Gleichung oo - 1 = oo ist an dieser Stelle nicht die Rede. Da müsstest Du erklären, was an dieser Gleichung Deiner Meinung nach richtig sein soll.

Sorry, ich dachte nicht, dass die Analogie so schwer verständlich ist. Also in Klartext: Es gibt genau so viele Nachfahren von b' wie von b. Deshalb ändert sich die Menge der nicht angegebenen Nachfahren von a durch Angabe von b' nicht.

Gruß, WM

[Juergen Ilse]

Hallo,

Post by WM
Sorry, ich dachte nicht, dass die Analogie so schwer verständlich ist. Also in Klartext: Es gibt genau so viele Nachfahren von b' wie von b. Deshalb ändert sich die Menge der nicht angegebenen Nachfahren von a durch Angabe von b' nicht.

Doch, selbstverstaendlich aendert sich die Menge mit jeder Aenderung der
unteren Schranke, nur die Maechtigkeit der Menge aller natuerlichen Zahlen
groesser der "unteren Schranke" aendert sich nicht (die ist immer aleph0).

Tschuess,
Juergen Ilse (***@usenet-verwaltung.de)

[Me]

Post by Juergen Ilse

Post by WM
Deshalb ändert sich die Menge der nicht angegebenen Nachfahren von a durch
Angabe von b' nicht.

Doch, selbstverstaendlich aendert sich die Menge mit jeder Aenderung der
unteren Schranke

Würde man meinem. Mückenheim ist offenbar auch zu blöde, um zu verstehen, dass zwei Mengen M und M' nicht gleich sein können, wenn es ein b' gibt, das in der einen, aber nicht der anderen Menge enthalten ist.

[WM]

Post by Juergen Ilse
Hallo,

Post by WM
Sorry, ich dachte nicht, dass die Analogie so schwer verständlich ist. Also in Klartext: Es gibt genau so viele Nachfahren von b' wie von b. Deshalb ändert sich die Menge der nicht angegebenen Nachfahren von a durch Angabe von b' nicht.

Doch, selbstverstaendlich aendert sich die Menge mit jeder Aenderung der
unteren Schranke, nur die Maechtigkeit der Menge aller natuerlichen Zahlen
groesser der "unteren Schranke" aendert sich nicht (die ist immer aleph0).

Genau das wollte ich ausdrücken.

Gruß, WM

[Mostowski Collapse]

Ist das die eintige Erkenntnis aus Augsburg Crank
insititut. Das ist ein bischen mager.

Post by WM

Post by Juergen Ilse
Doch, selbstverstaendlich aendert sich die Menge mit jeder Aenderung der
unteren Schranke, nur die Maechtigkeit der Menge aller natuerlichen Zahlen
groesser der "unteren Schranke" aendert sich nicht (die ist immer aleph0).

Genau das wollte ich ausdrücken.
Gruß, WM

[Mostowski Collapse]

The only theorem produced by the Augsburg
Crank institute so far:

|{n+1,n+2,...}| = ℵ0

But I wouldn't be so sure about that. WM
cannot write {n+1,n+2,...}, that would
be an actual infinite set. So what does he

mean, when he says every natural number
is followed by infinitely many natural
numbers? Must be another theorem then,

one that wouldn't profit from the invention
of set theory in its formulation.

Post by Mostowski Collapse
Ist das die eintige Erkenntnis aus Augsburg Crank
insititut. Das ist ein bischen mager.

Post by WM

Post by Juergen Ilse
Doch, selbstverstaendlich aendert sich die Menge mit jeder Aenderung der
unteren Schranke, nur die Maechtigkeit der Menge aller natuerlichen Zahlen
groesser der "unteren Schranke" aendert sich nicht (die ist immer aleph0).

Genau das wollte ich ausdrücken.
Gruß, WM

[Mostowski Collapse]

But you made your decision WM by yourself.
set theory is the forbidden pudding for you.

Post by Mostowski Collapse
The only theorem produced by the Augsburg
|{n+1,n+2,...}| = ℵ0
But I wouldn't be so sure about that. WM
cannot write {n+1,n+2,...}, that would
be an actual infinite set. So what does he
mean, when he says every natural number
is followed by infinitely many natural
numbers? Must be another theorem then,
one that wouldn't profit from the invention
of set theory in its formulation.

Post by Mostowski Collapse
Ist das die eintige Erkenntnis aus Augsburg Crank
insititut. Das ist ein bischen mager.

Post by WM

Post by Juergen Ilse
Doch, selbstverstaendlich aendert sich die Menge mit jeder Aenderung der
unteren Schranke, nur die Maechtigkeit der Menge aller natuerlichen Zahlen
groesser der "unteren Schranke" aendert sich nicht (die ist immer aleph0).

Genau das wollte ich ausdrücken.
Gruß, WM

[Me]

Post by WM
die Menge der nicht angegebenen Nachfahren von a

Ja, die würde mich auch interessieren, können Sie die vielleicht mal etwas genauer "spezifizieren"? Ist sie leer oder nicht leer? Falls sie nicht leer ist, besitzt sie (als nichtleere Teilmenge von IN) ein keinstes Element. Dieses kleinste Element wollen wir (dann) "WM" nennen. Nun ist WM aber ein "nicht angebbarer Nachfahre von a" (da es ja in der besagten Menge als Element enthalten ist). Wie ist das möglich, wo ich doch explizit über WM sprechen kann? Ja, ich kann sogar den ABSTAND zwischen WM und a bestimmen und angeben: WM - a. Also was geht da vor sich?

Sicher, wenn WM groß genug ist, kann ich niemals EXPLIZIT eine Liste

1
2
3
4
5

usw. hinschreiben, deren letztes Zahlzeichen (am Ende der Liste) WM bezeichnet.

Ein WM in der Größenordnung von 10^80 würde dazu sicher genügen! (Aber auch schon ein WM = 10^20 dürfte schwierig werden. :-)

Ist deshalb WM "nicht angebbar"? Ich hatte Sie schon mehrfach nach einer DEFINITION des Mückenheim-Begriffs "angebbar" gefragt. Kommt da irgendwann nochmal etwas?

[h***@gmail.com]

Post by Me

Post by WM
die Menge der nicht angegebenen Nachfahren von a

Ja, die würde mich auch interessieren, können Sie die vielleicht mal etwas genauer "spezifizieren"? Ist sie leer oder nicht leer? Falls sie nicht leer ist, besitzt sie (als nichtleere Teilmenge von IN) ein keinstes Element. Dieses kleinste Element wollen wir (dann) "WM" nennen. Nun ist WM aber ein "nicht angebbarer Nachfahre von a" (da es ja in der besagten Menge als Element enthalten ist). Wie ist das möglich, wo ich doch explizit über WM sprechen kann? Ja, ich kann sogar den ABSTAND zwischen WM und a bestimmen und angeben: WM - a. Also was geht da vor sich?
Sicher, wenn WM groß genug ist, kann ich niemals EXPLIZIT eine Liste
1
2
3
4
5
usw. hinschreiben, deren letztes Zahlzeichen (am Ende der Liste) WM bezeichnet.
Ein WM in der Größenordnung von 10^80 würde dazu sicher genügen! (Aber auch schon ein WM = 10^20 dürfte schwierig werden. :-)
Ist deshalb WM "nicht angebbar"? Ich hatte Sie schon mehrfach nach einer DEFINITION des Mückenheim-Begriffs "angebbar" gefragt. Kommt da irgendwann nochmal etwas?

Dass WM = 0 ist, sollte sich doch mittlerweile herumgesprochen haben.

[Jens Kallup]

Ein WM in der Größenordnung von 10^80 würde dazu sicher genügen! (Aber auch schon ein WM = 10^20 dürfte schwierig werden.:-)

irgendwo hab ich mal was auf geschnappt, das man, wenn man mit
10^80 und höher, irgendwie minimieren/kürzen kann.

muss ich mal nachschauen ...

[h***@gmail.com]

Post by Jens Kallup

Ein WM in der Größenordnung von 10^80 würde dazu sicher genügen! (Aber auch schon ein WM = 10^20 dürfte schwierig werden.:-)

irgendwo hab ich mal was auf geschnappt, das man, wenn man mit
10^80 und höher, irgendwie minimieren/kürzen kann.
muss ich mal nachschauen ...

Das hab allerdings nicht ich geschrieben...

[Jens Kallup]

Post by h***@gmail.com
Das hab allerdings nicht ich geschrieben...

huch, sorry.
ThunderBird E-Mail ist ein wenig anders als das alte
Outlook-Express.
In OE wurde die NewsListe mit einklappbaren Threads
gewerkelt.
In TB wird da an einen Strang Alles angezeigt.
Bisschen schwierig zu zitieren.

Jens

[Michael Klemm]

Post by WM

Post by Michael Klemm

Post by WM

Post by Michael Klemm

Post by WM

Post by Michael Klemm
Der Nachfolger einer natürlichen Zahl existiert per Axiomatik. Dagegen wird es für genügend große Zahlen n immer schwieriger sämtliche Vorfahren explizit anzugeben.

Das ist allenfalls ein Problem der verfügbaren Ressourcen. Dagegen ist und bleibt es unmöglich, sämtliche Nachfahren explizit anzugeben. Das wird nämlich nicht durch mangelnde Ressourcen verhindert, sondern ist prinzipiell ausgeschlossen.

Ja, die sämtlichen Nachfahren kann man immer nur zwischen a und b angeben. Aber b hat einen Nachfolger b', sodass man auch die sämtlichen Nachfahren zwischen a und b' angeben kann.

wodurch sich aber nichts Wesentliches ändert, denn oo - 1 = oo.

Von einer Gleichung oo - 1 = oo ist an dieser Stelle nicht die Rede. Da müsstest Du erklären, was an dieser Gleichung Deiner Meinung nach richtig sein soll.

Sorry, ich dachte nicht, dass die Analogie so schwer verständlich ist. Also in Klartext: Es gibt genau so viele Nachfahren von b' wie von b. Deshalb ändert sich die Menge der nicht angegebenen Nachfahren von a durch Angabe von b' nicht.
Gruß, WM

Nachfahren sind Glieder a_k aus Ketten (a_i)_1<=i<=n mit a_1 <...< a_n und n,k >= 2. Da ist völlig unklar, was Du überhaupt zählst.

Gruß
Michael

[Mostowski Collapse]

Die Frage ist wirklich gut. Betrachtet man Boolean Algebras,
so kann man finden dass diese nicht alle aus den Wahrheitswerten
"True" und "False" bestehen. Es kann auch noch mehr Wahrheitswerte

geben, und Sie können trotzdem die Tautologien von Aussagenlogik
validieren. Nun gibt es die Erweiterung von Aussagenlogik bei der
man auch einen Aussagelogischen Quantor hinzufügt, auch

bekannt als QSAT. Ist denn das hier dann richtig?

exists p A(p) <=> A(0) v A(1)

Post by Me
Vielleicht interessiert es ja jemanden.
ExA(x) <-> A(0) v A(1) v A(2) v ...
AxA(x) <-> A(0) & A(1) & A(2) & ...
Der entscheidende Unterschied ist aber, dass die Variable des Quantors bei unendlich großem Individuenbereich potentiell unendlich viele Werte annehmen kann, während eine Konjunktion oder Disjunktion niemals unendlich lang werden kann. Daher muss man sich bei obigem Beispiel auch am Ende der Konjunktion bzw. Disjunktion mit Punkten (für „usw.“) behelfen."
Kommentar: Die Erklärung "Der entscheidende Unterschied ist aber, dass die Variable des Quantors bei unendlich großem Individuenbereich potentiell unendlich viele Werte annehmen kann" halte ich für Mist. Wohl besser: "Dass die Variable x bei unendlich großem Individuenbereich über unendlich viele Werte läuft, ..." (Die "Erklärung" ist aber dennoch Mist... siehe weiter unten.)
"während eine Konjunktion oder Disjunktion niemals unendlich lang werden kann" - Nun ja, zumindest im Rahmen der FOPL sind nur endlich lange Ausdrücke/Formeln zugelassen.
"Daher muss man sich bei obigem Beispiel auch am Ende der Konjunktion bzw. Disjunktion mit Punkten (für „usw.“) behelfen." - <hüstel> ... nun ja, es ist halt schwer, UNENDLICH LANGE Zeichenreihen _explizit_ hinzuschreiben! (Daran scheitert ja auch Herr Mückenheim regelmäßig.)
Man kann sich aber eine "infinitäre" Sprache vorstellen, die unendliche lange Ausdrücke/Aussagen zulässt.
Dann würde obiger "Einwand" nicht mehr greifen!
Zumindest könnte man sich dann "vorstellen", dass so etwas wie
Ax e IN: A(x) <-> A(0) & A(1) & A(2) & ...
(wobei hier das "..." tatsächlich ein "und so weiter" ausdrücken soll) gilt!
DENNOCH kann man einen Universalquantor NICHT (in diesem Sinne) als eine "unendliche Konjunktion" auffassen/interpretieren.
Denn wenn unser Individuenbereich z. B. die reellen Zahlen umfasst, kann es sehr wohl sein, dass zwar einerseits
A(x_1) & A(x_2) & A(x_3) & ...
gilt, jedoch
AxA(x)
NICHT gilt. In diesem Fall hätten wir also definitiv NICHT
AxA(x) <-> A(x_1) & A(x_2) & A(x_3) & ...
(trotz einer "infinitären Sprache).
Sei z. B. L eine abzählbar unendliche Folge von reellen Zahlen und seien x_1, x_2, x_3, ... die Glieder/Terme dieser Folge. Dann sei A(x) die Aussage "x ist ein Term der Folge L". Es gilt dann
A(x_1) & A(x_2) & A(x_3) & ...
aber, wie wir seit Cantor wissen, gilt nicht
AxA(x) ,
da NICHT ALLE reellen Zahlen Glieder/Terme der Liste L sein können (aufgrund der Überabzählbarkeit der reellen Zahlen).
Dieser Umstand erscheint mir der "wesentliche" Grund für die (prinzipielle) "Ungültigkeit" von
"AxA(x) <-> A(x_1) & A(x_2) & A(x_3) & ..."
zu sein. (Der Wikipedia-Artikel erwähnt in diesem Zusammenhang ja noch nicht einmal, dass das dort Gesagte zwar im Kontext von FOPL gilt/richtig ist, aber nicht "prinzipiell".)

[Me]

Post by Mostowski Collapse
Die Frage ist wirklich gut.

Nur, das ich eigentlich keine _Frage_ gestellt habe. :-P

Aber vielleicht meinst Du ja nur, dass das Thema interessant ist. (Ja, ich habe den Thread in sci.logic gesehen.)

Post by Mostowski Collapse
Betrachtet man Boolean Algebras, so [...]

[Mostowski Collapse]

Dieser Umstand erscheint mir ...

Das ist fraglos eine Frage. LoL

Post by Mostowski Collapse
Die Frage ist wirklich gut.

Nur, das ich eigentlich keine _Frage_ gestellt habe. :-P
Aber vielleicht meinst Du ja nur, dass das Thema interessant ist. (Ja, ich habe den Thread in sci.logic gesehen.)

Post by Mostowski Collapse
Betrachtet man Boolean Algebras, so [...]

[Mostowski Collapse]

Du beantwortest Deine Frage indem Du "..."
als abzählbar auffasst. Und mit einer über-
abzählbaren Domäne argumentierst.

Aber interessanterweise gilt ja die
Identität auch nicht in einer abzählbaren
Domäne wenn man Numerale verwendet.

In bin jetzt noch weiter runter gegangen,
und habe mir eine Domäne angeschaut, die
scheinbar nur zwei Elemente 0 und 1 hat.

Hint:
Probier mal Voevodsky’s “no junk” conjecture
Eventuell ist das auch ein Aspekt von dem Problem.

Post by Mostowski Collapse

Dieser Umstand erscheint mir ...

Das ist fraglos eine Frage. LoL

Post by Mostowski Collapse
Die Frage ist wirklich gut.

Nur, das ich eigentlich keine _Frage_ gestellt habe. :-P
Aber vielleicht meinst Du ja nur, dass das Thema interessant ist. (Ja, ich habe den Thread in sci.logic gesehen.)

Post by Mostowski Collapse
Betrachtet man Boolean Algebras, so [...]

[Me]

Post by Mostowski Collapse
Du beantwortest Deine Frage

Welche Frage? <=== DAS ist eine Frage. <=== Das aber nicht.

Vielleicht habe ich in meinem Beitrag eine Frage beantwortet, die man in diesem Zusammenhang stellen kann.

Wie würde diese Frage Deiner Meinung nach lauten (können)? <=== Wieder eine Frage. <=== Wieder keine Frage.

Post by Mostowski Collapse
[Du fasst ...] als abzählbar auf[...]. Und [argumentierst] mit einer über-
abzählbaren Domäne [...].

Jep.

Post by Mostowski Collapse
Aber interessanterweise gilt ja die
Identität auch nicht in einer abzählbaren
Domäne wenn man Numerale verwendet.

Vielleicht sollte man in diesem Zusammenhang lieber von log. Äquivalenz als von Identität sprechen. Aber ich denke, ich weiß was Du meinst.

Post by Mostowski Collapse
In bin jetzt noch weiter runter gegangen,
und habe mir eine Domäne angeschaut, die
scheinbar nur zwei Elemente 0 und 1 hat.
[usw.]

Ja, das sind interessante Dinge. Werde mir aber erst mal den Aufsatz über die "Protothetic" reinziehen.

[Me]

Post by Mostowski Collapse

Dieser Umstand erscheint mir ...

Das ist fraglos eine Frage.

Das ist die/meine Aussage (sic!) zweifellos nicht. :-)

Was Du vermutlich meinst, ist die Frage, die sich offenbar für Dich daraus ergeben hat: "Ist dem tatsächlich so?" :-P

[Mostowski Collapse]

Aufgrund des Skolem Paradox, gibt es abzählbare
Modelle unter gewissen noch zu bezeichnenden

Umständen, und deshalb würde "..." schon funktionieren
unter noch zu bezeichnenden Umständen.

Auch bei Realzahlen.

https://en.wikipedia.org/wiki/Skolem's_paradox

Post by Me

Post by Mostowski Collapse

Dieser Umstand erscheint mir ...

Das ist fraglos eine Frage.

Das ist die/meine Aussage (sic!) zweifellos nicht. :-)
Was Du vermutlich meinst, ist die Frage, die sich offenbar für Dich daraus ergeben hat: "Ist dem tatsächlich so?" :-P

[Mostowski Collapse]

Das gilt aber nur für FOL oder andere Logiken,
die über das Löwenheim–Skolem theorem verfügen.

Post by Mostowski Collapse
Aufgrund des Skolem Paradox, gibt es abzählbare
Modelle unter gewissen noch zu bezeichnenden
Umständen, und deshalb würde "..." schon funktionieren
unter noch zu bezeichnenden Umständen.
Auch bei Realzahlen.
https://en.wikipedia.org/wiki/Skolem's_paradox

Post by Me

Post by Mostowski Collapse

Dieser Umstand erscheint mir ...

Das ist fraglos eine Frage.

Das ist die/meine Aussage (sic!) zweifellos nicht. :-)
Was Du vermutlich meinst, ist die Frage, die sich offenbar für Dich daraus ergeben hat: "Ist dem tatsächlich so?" :-P

[Mostowski Collapse]

Ein weiterer Zugang wäre dass "..." gar nicht
abzählbar bedeutet. Ich könnte ja auch schreiben:

R = {0,1,sqrt(2),pi,...}

Wäre ja auch nicht falsch. Und dann wäre das
hier auch nicht wirklich falsch:

forall x e R A(x) = A(0) & A(1) & A(sqrt(2)) & A(pi) & ...

Ist dann einfach eine Infinitare Logik wo die
Konjunktion sogar überabzählbar lang sein kann.
Das Problem is nur der Syntax transfer, also
von Elemente x e R zu Konstanten a_x. Da aber

in verschiedenen Modelle R verschieden ausgestalltet
sein kann, ist die Rechte Seite der Identität
variable, also ist es gar keine Identität. Man
kann auf der Rechten Seite gar keinen fixen

Ausdruck hinschreiben, auch wenn er sehr lang ist.

Post by Mostowski Collapse
Das gilt aber nur für FOL oder andere Logiken,
die über das Löwenheim–Skolem theorem verfügen.

Post by Mostowski Collapse
Aufgrund des Skolem Paradox, gibt es abzählbare
Modelle unter gewissen noch zu bezeichnenden
Umständen, und deshalb würde "..." schon funktionieren
unter noch zu bezeichnenden Umständen.
Auch bei Realzahlen.
https://en.wikipedia.org/wiki/Skolem's_paradox

Post by Me

Post by Mostowski Collapse

Dieser Umstand erscheint mir ...

Das ist fraglos eine Frage.

Das ist die/meine Aussage (sic!) zweifellos nicht. :-)
Was Du vermutlich meinst, ist die Frage, die sich offenbar für Dich daraus ergeben hat: "Ist dem tatsächlich so?" :-P

[Me]

On Saturday, August 8, 2020 at 7:56:44 PM UTC+2, Mostowski Collapse wrote:

Ich hatte hier eigentlich eine "infinitäre Logik" vorausgesetz, die (lediglich) abzählbar unendlich lange Ausdrücke (wffs) zulässt.

Wenn man eine Formel so hinschreibt, kann man es m. E. auch kaum anders "auffassen":

AxF(x) <-> F(c_1) & F(c_2) & F(c_3) & ...

Post by Mostowski Collapse
forall x e R A(x) = A(0) & A(1) & A(sqrt(2)) & A(pi) & ...

In jedem Fall würdest Du (wenn ich Deine Intention richtig verstanden habe) dafür eine Sprache benötigen, die überabzählbar unendlich viele Konstanten besitzt. Allerdings müsste man sich dann überlegen, was "A(0) & A(1) & A(sqrt(2)) & A(pi) & ..." bedeuten soll: eine "gewöhnliche" Zeichenfolge kann es ja wohl nicht sein. Die "wff" müsste ja offensichtlich überabzählbar unendlich viele "A(x)" bzw. "Konjunktionen" enthalten.

[usw. usf.]

Ich wollte bei meinen Überlegungen aber nicht über _abzählbar_ unendlich lange Ausdrücke hinausgehen. Denn so habe ich auch die (fragwürdigen) "Erklärungen" im Wikipedia-Artikel aufgefasst.

[Me]

eine "infinitäre Logik" ...

Dass es dazu keine deutsche Wikipedia-Seite gibt, ist vielsagend. :-/

https://en.wikipedia.org/wiki/Infinitary_logic

[Mostowski Collapse]

Ausgehend von FOL kann man eine infinitäre Logik
wie folgt bauen. Sei Form die Menge der Formel
in FOL. Dan kann man bei der infinitäre Logik

unendliche Konjunktion und unendliche Disjunkion
hinzufügen. Also bei der Definition von Form'
gibt es noch folgende zusätzliche Klauseln:

Form':
das üblich bla bla für FOL
neu 1) Falls A subset Form', dann /\A e Form'
neu 2) Falls A subset Form', dann \/A e Form'

Allerdings kann es jetzt Formeln geben die
unendlich tief sind. Bezüglich der Semantik kann
man diese wie folgt festsetzen. Für eine

geschlossene Formel der Wahrheitswert [_]:

[_]:
das üblich bla bla für FOL
neu 1) [/\A] := forall B(B e A => [B])
neu 2) [\/A] := exists B(B e A /\ [B])

D.h. die Formel aus Form' fixieren den Quantoren-
laufbereich syntaktisch. Was eben in FOL nicht
passiert. Semantisch ist in FOL der Domain of

Discourse nicht fixiert. Wenn ich in FOL schreibe:

T |- A

Wegen der Vollständigkeit und somit T |= A,
dann gilt das für alle Modell, und somit für
alle Domain of Discourse die T erfüllen.

Post by Me

eine "infinitäre Logik" ...

Dass es dazu keine deutsche Wikipedia-Seite gibt, ist vielsagend. :-/
https://en.wikipedia.org/wiki/Infinitary_logic

[Mostowski Collapse]

Wikipedia gibt die Semantik einer infinitäre Logik
nicht an. Wikipedia verhält sich hier woolly wie
Dan-O-Matik. Scheint eine Seuche zu sein.

Aber man findet es auf SEP:

Having defined the syntax of L(κ,λ),
we next sketch its semantics.
[...]
∧Φ is satisfied in A (by a given sequence) ⇔
for all φ ∈ Φ, φ is satisfied in A (by the sequence);
[...]
Now the usual notions of truth, validity, satisfiability,
and model for formulas and sentences of
L(κ,λ) become available.

Infinitary Logic
https://plato.stanford.edu/entries/logic-infinitary/#1

Post by Mostowski Collapse
Ausgehend von FOL kann man eine infinitäre Logik
wie folgt bauen. Sei Form die Menge der Formel
in FOL. Dan kann man bei der infinitäre Logik
unendliche Konjunktion und unendliche Disjunkion
hinzufügen. Also bei der Definition von Form'
das üblich bla bla für FOL
neu 1) Falls A subset Form', dann /\A e Form'
neu 2) Falls A subset Form', dann \/A e Form'
Allerdings kann es jetzt Formeln geben die
unendlich tief sind. Bezüglich der Semantik kann
man diese wie folgt festsetzen. Für eine
das üblich bla bla für FOL
neu 1) [/\A] := forall B(B e A => [B])
neu 2) [\/A] := exists B(B e A /\ [B])
D.h. die Formel aus Form' fixieren den Quantoren-
laufbereich syntaktisch. Was eben in FOL nicht
passiert. Semantisch ist in FOL der Domain of
T |- A
Wegen der Vollständigkeit und somit T |= A,
dann gilt das für alle Modell, und somit für
alle Domain of Discourse die T erfüllen.

Post by Me

eine "infinitäre Logik" ...

Dass es dazu keine deutsche Wikipedia-Seite gibt, ist vielsagend. :-/
https://en.wikipedia.org/wiki/Infinitary_logic

[Me]

Aufgrund des Skolem Paradox, gibt es abzählbare Modelle [usw.]

Keine "infinitäre Logik", aber auch ganz interessant in diesem Zusammenhang:

https://en.wikipedia.org/wiki/%CE%A9-consistent_theory#%CF%89-logic