Quale sarebbe $ \ operatorname {Var} (X ^ 2) $ , se $ \ operatorname {Var} (X) = \ sigma ^ 2 $ ?
Quale sarebbe $ \ operatorname {Var} (X ^ 2) $ , se $ \ operatorname {Var} (X) = \ sigma ^ 2 $ ?
Come semplice esempio delle risposte di @ user2168 e @mpiktas: la varianza dell'insieme di valori 1,2,3 è 0.67, mentre la varianza del suo quadrato è 10.89. D'altra parte, anche la varianza di 2,3,4 è 0.67, ma la varianza dei quadrati è 24.22.
Queste sono solo varianze per insiemi finiti di dati, ma l'idea si estende alle distribuzioni.
Propagazione degli errori tramite la regola di Taylor (noto anche come metodo "delta") -
$$ \ operatorname {Var} (X ^ 2) \ approx 4 \ nome operatore {\ mathbb {E}} (X) ^ 2 \ nome operatore {Var} (X) $$
È facile vedere che la relazione tra allora non è costante prendendo $ X '= X + c $ .Spostare una distribuzione di una costante non influisce sulla varianza, ma $ Var ((X + c) ^ 2) $ può essere reso arbitrariamente grande. $ Var (X ^ 2) $ è una statistica del quarto ordine (ovvero è una combinazione di momenti di ordine quattro e inferiori) e non può essere scritta in termini distatistiche sugli ordini come varianza e media.
Propagazione degli errori tramite la regola di Taylor (noto anche come metodo "delta") -
$$ \ operatorname {Var} (X ^ 2) \ approx 4 \ operatorname {\ mathbb {E}} (X) ^ 2 \ operatorname {Var} (X)- \ operatorname {Var} (X) ^ 2 $$
Scusa se ho espanso la regola del sarto in un ordine in più, perché solo approssimare il $ \ operatorname {Var} (X) $ linearmente ha causato qualche problema con il mioalgoritmo, pensava che avrebbe aiutato altre persone a rendersi conto che non è lineare ...