Mückenheims Hausaufgaben

[jvr]

Der Versuch, Mückenheims Interesse für ein wenig Mathematik zu wecken, ist
zunächst gescheitert. Aber wir wollen nicht so schnell aufgeben.

Hier also die Lösung für die ersten beiden Mückenhausener Hausaufgaben.

Am Schluss werden wir Mückes tiefsinnige Frage nach der Dichte der Verteilung
bei der Cantor'schen Abzählung der rationalen Zahlen beantworten - aber nur
wenn Mücke mitspielt.

Def: Die Farey-Folge n-ter Ordnung besteht aus den rationalen Zahlen im Intervall [0,1], der Größe nach aufsteigend geordnet, die eine Darstellung als gekürzter Bruch h/k mit k <= n besitzen. Es ist also (h,k) = 1.

1. Wenn n > 1 haben zwei direkt auf einander folgende Glieder einer Farey-Folge niemals denselben Nenner.

Es seien h/k und h'/k' die aufeinander folgenden Glieder von F_n. Dann gilt
h/k < h/(k-1) < (h+1)/k <= h'/k, denn h+1 <= h' < k. Also müsste
h/(k-1) zwischen h/k und h'/k' liegen.

2. Für zwei benachbarte Brüche h/k and h'/k' der Farey-Folge F_n gilt immer
k + k' > n.

Es gilt h/k < (h + h')/(k + k') < h'/k'.

Das war doch noch sehr schmerzlos. Wovor hat Mücke also so große Angst?

[jvr]

Post by jvr
Der Versuch, Mückenheims Interesse für ein wenig Mathematik zu wecken, ist
zunächst gescheitert. Aber wir wollen nicht so schnell aufgeben.
Hier also die Lösung für die ersten beiden Mückenhausener Hausaufgaben.
Am Schluss werden wir Mückes tiefsinnige Frage nach der Dichte der Verteilung
bei der Cantor'schen Abzählung der rationalen Zahlen beantworten - aber nur
wenn Mücke mitspielt.
Def: Die Farey-Folge n-ter Ordnung besteht aus den rationalen Zahlen im Intervall [0,1], der Größe nach aufsteigend geordnet, die eine Darstellung als gekürzter Bruch h/k mit k <= n besitzen. Es ist also (h,k) = 1.
1. Wenn n > 1 haben zwei direkt auf einander folgende Glieder einer Farey-Folge niemals denselben Nenner.
Es seien h/k und h'/k' die aufeinander folgenden Glieder von F_n. Dann gilt
h/k < h/(k-1) < (h+1)/k <= h'/k, denn h+1 <= h' < k. Also müsste
h/(k-1) zwischen h/k und h'/k' liegen.
2. Für zwei benachbarte Brüche h/k and h'/k' der Farey-Folge F_n gilt immer
k + k' > n.
Es gilt h/k < (h + h')/(k + k') < h'/k'.
Das war doch noch sehr schmerzlos. Wovor hat Mücke also so große Angst?

Mückes dritte Aufgabe ist schon etwas schwieriger. Deshalb sollten wir
vorher zwei weitere Eigenschaften der Farey-Folgen beweisen, nämlich

2a) Sind h/k und h'/k' zwei aufeinanderfolgende Glieder der Farey-Folge F_n,
so gilt kh' - hk' = 1

2b) Sind h/k, h"/k", h'/k' drei aufeinanderfolgende Glieder der Farey-Folge F_n, dann gilt h"/k" = (h+h')/(k+k').

Das wird Mücke ernsthafte Schwierigkeiten bereiten, aber er kann natürlich
nachschlagen, z.B. bei Chandrasekharan oder Landau.

[Jens Kallup]

Hallo,

das geht irgendwie nicht, oder?
Die Farey Folge fängt die nicht mit den natürlichen
Zahlen bei 0 an?

2a)
Differenz-Ableitung:

f (x) = g (x) - h (x)
f'(x) = g'(x) - h'(x)

f (x) = x^2 - x
f'(x) = 2x^2 - 1
= (x * x)^2 - 1
= (1 * 1)^2 - 1
= 1^2 - 1
= (1 * 1) - 1
= 1 - 1
= 0
------------------

hui.
War das jetzt Absicht?

Jens

[Jens Kallup]

Post by Jens Kallup
hui.
War das jetzt Absicht?

An: jvr,

war das ein Hinweis auf: "Fangen wir bei 0, also dem
Anfang an!" ?

Ich würde ja gerne mehr Mathe betreiben, aber bei 0,
ich weiß nicht?
Okay, ich weiß, das ich vieles oder gar nichts mehr
weiß Doc. , aber wenn Ihr mitmacht, das Paradoxe um-
zukehren, dann bin ich dabei.

Aber bitte, in kleinen Happen :-)

Jens

[Jens Kallup]

Post by jvr
2a) Sind h/k und h'/k' zwei aufeinanderfolgende Glieder der Farey-Folge F_n,
so gilt kh' - hk' = 1

1. Eigenschaft:

geg.: h/k, und h'/k'
SOLL: kh' - hk' = 1 -___- quark

Lemma:

h(x)
f(x) = -----
k(x)

=>
k(x) * h'(x) - h(x) * k(x)
f(x) = -----------------------------
| k(x) |^2


Lösung:

1. Teil:
h(x) = x^2 = 1 => h'(x) = 2x^2 = 1

k(x) = x = 1 => k'(x) = 1 = 1


2. Teil:
x * 2x^2 - x^2 * x
f'(x) = --------------------
| x |^2

1 * 1 - 1 * 1
f'(x) = --------------------
| 1 |

0
f'(x) = ...........---------
1
= 0

Prüfung:

kh' - hk' = 1 ( SOLL )
1 - 1 = 0 ( HABEN ) <-- hihi, keine knete ?

irgendwie gewollt :-) ?

Jens

[Jens Kallup]

Post by Jens Kallup

Post by jvr
2a) Sind h/k und h'/k' zwei aufeinanderfolgende Glieder der
Farey-Folge F_n,
so gilt kh' - hk' = 1

geg.: h/k, und h'/k'
SOLL: kh' - hk' = 1    -___- quark

was für Hagen:

ist 1 Primzahl?

Also unter WikiPedia.de findet sich:
"N = größer 1, und 'ausschließlich' durch sich selbst und durch 1
teilbar ist."

Das gibt natürlich wieder zu Denken:
"und durch 1 teilbar ist".

Widerspruch oder?

N > 1 und !teilbar durch 1.

Also was nun?
Müssten also Primzahlen bei 2 Anfangen?

Ein Computer beginnt mit 0 Zustand!

Jetzt schauen wir mal:
2_10 = 10_2 (zu Basis betrachtet)

aber 0_2 ist ja auch in der IT ein gültiger Wert.
Also 3 mögliche Zustände !!!

Fällt Dir was auf?
Ja?

Bitte örtliche Polizeistation oder gleich Interpol melden :-)
Bitte!!!

Jens

[m***@gmail.com]

Post by Jens Kallup
"N = größer 1, und 'ausschließlich' durch sich selbst und durch 1
teilbar ist."
"und durch 1 teilbar ist".
Widerspruch oder?
N > 1 und !teilbar durch 1.
Also was nun?
Müssten also Primzahlen bei 2 Anfangen?
Ein Computer beginnt mit 0 Zustand!
2_10 = 10_2 (zu Basis betrachtet)
aber 0_2 ist ja auch in der IT ein gültiger Wert.
Also 3 mögliche Zustände !!!
Fällt Dir was auf?
Ja?

Was genau ist a_b?

Post by Jens Kallup
Bitte örtliche Polizeistation oder gleich Interpol melden :-)
Bitte!!!

Touché

[Jens Kallup]

Post by m***@gmail.com
Was genau ist a_b?

wie meinst?

a ist ein Element
b ist ein Indizes

zum Beispiel schreibt man zu Kennzeichnung von Basen:

5_10 = 5 als Dezimalzahl zur Basis 10 oder
10_2 = 2 als Dezimalzahl => 10 als Binärzahl zur Basis 2

Basis 10: 10 mögliche Zustände: 0 bis 9
Basis 2: 2 mögliche Zustande: 0 oder 1

normalerweise werden die Zahlen, die hinter dem Unterstrich
stehen: _n von den meisten Newsreadern tiefgestellt.
Da dies aber kein Standard ist, wird oldskool n_m verwendet.

Du kannst natürlich auch in einer textbasierten Gruppe sowas
wie:

5 oder: 7
2 10

mahcen.
Aber das ist Platzverschwendung, und Mathematiker sind genau
wie Programmierer etwas faul.

Jens

[Roalto]

Post by Jens Kallup

Post by m***@gmail.com
Was genau ist a_b?

wie meinst?
a ist ein Element
b ist ein Indizes

Index

Viel Spass weiterhin
Roalto

Post by Jens Kallup
5_10 = 5 als Dezimalzahl zur Basis 10 oder
10_2 = 2 als Dezimalzahl => 10 als Binärzahl zur Basis 2
Basis 10: 10 mögliche Zustände: 0 bis 9
Basis 2: 2 mögliche Zustande: 0 oder 1
normalerweise werden die Zahlen, die hinter dem Unterstrich
stehen: _n von den meisten Newsreadern tiefgestellt.
Da dies aber kein Standard ist, wird oldskool n_m verwendet.
Du kannst natürlich auch in einer textbasierten Gruppe sowas
5 oder: 7
2 10
mahcen.
Aber das ist Platzverschwendung, und Mathematiker sind genau
wie Programmierer etwas faul.
Jens

[m***@gmail.com]

Post by Jens Kallup
ist 1 Primzahl?
"N = größer 1, und 'ausschließlich' durch sich selbst und durch 1
teilbar ist."
"und durch 1 teilbar ist".
Widerspruch oder?
N > 1 und !teilbar durch 1.
Also was nun?
Müssten also Primzahlen bei 2 Anfangen?
Ein Computer beginnt mit 0 Zustand!
2_10 = 10_2 (zu Basis betrachtet)
aber 0_2 ist ja auch in der IT ein gültiger Wert.
Also 3 mögliche Zustände !!!

0_2=0_10?

[Roalto]

Post by jvr

Post by jvr
Der Versuch, Mückenheims Interesse für ein wenig Mathematik zu wecken, ist
zunächst gescheitert. Aber wir wollen nicht so schnell aufgeben.
Hier also die Lösung für die ersten beiden Mückenhausener Hausaufgaben.
Am Schluss werden wir Mückes tiefsinnige Frage nach der Dichte der Verteilung
bei der Cantor'schen Abzählung der rationalen Zahlen beantworten - aber nur
wenn Mücke mitspielt.
Def: Die Farey-Folge n-ter Ordnung besteht aus den rationalen Zahlen im Intervall [0,1], der Größe nach aufsteigend geordnet, die eine Darstellung als gekürzter Bruch h/k mit k <= n besitzen. Es ist also (h,k) = 1.
1. Wenn n > 1 haben zwei direkt auf einander folgende Glieder einer Farey-Folge niemals denselben Nenner.
Es seien h/k und h'/k' die aufeinander folgenden Glieder von F_n. Dann gilt
h/k < h/(k-1) < (h+1)/k <= h'/k, denn h+1 <= h' < k. Also müsste
h/(k-1) zwischen h/k und h'/k' liegen.
2. Für zwei benachbarte Brüche h/k and h'/k' der Farey-Folge F_n gilt immer
k + k' > n.
Es gilt h/k < (h + h')/(k + k') < h'/k'.
Das war doch noch sehr schmerzlos. Wovor hat Mücke also so große Angst?

Mückes dritte Aufgabe ist schon etwas schwieriger. Deshalb sollten wir
vorher zwei weitere Eigenschaften der Farey-Folgen beweisen, nämlich
2a) Sind h/k und h'/k' zwei aufeinanderfolgende Glieder der Farey-Folge F_n,
so gilt kh' - hk' = 1
2b) Sind h/k, h"/k", h'/k' drei aufeinanderfolgende Glieder der Farey-Folge F_n, dann gilt h"/k" = (h+h')/(k+k').
Das wird Mücke ernsthafte Schwierigkeiten bereiten, aber er kann natürlich
nachschlagen, z.B. bei Chandrasekharan oder Landau.

Wer ist Chandrasekharan ?

Viel Spass weiterhin
Roalto

[Alfred Flaßhaar]

(...)

Post by Roalto
Wer ist Chandrasekharan ?

https://de.wikipedia.org/wiki/K._Chandrasekharan

[Roalto]

Post by Alfred Flaßhaar
(...)

Post by Roalto
Wer ist Chandrasekharan ?

https://de.wikipedia.org/wiki/K._Chandrasekharan

Oh, danke, den kannte ich noch nicht.
Viel Spass weiterhin
Roalto

[Mostowski Collapse]

Ich würde als Hausaufgabe für WM hinzufügen,
lernen was sind widersprüchliche Aussagen.
z.B. diese zwei Aussagen sind widersprüchlich:

A(x)

~A(x)

Aber Quantoren-Legasthenie kann schon dazu
führen, dass man denkt diese zwei hier seien
auch widersprüchlich:

forall x (x e B => A(x))

~exists x (x e B /\ A(x))

Aber ohne die Feststellung B leer sind die
zwei Aussagen nicht widersprüchlich. Insofern
kann man es auch nicht für einen Widerspruchsbeweis

benutzen um eine leere Menge auszuschliessen.

LoL

[Mostowski Collapse]

Es ist ja nicht so dass es sich hier um
eine Fallacy des Existentiellen Imports
handelt. Wir befinden uns ja mittlerweile

im 21. Jahrhundert, und das sollte mittlerweile
bereinigt sein. Die moderne Logik erlaubt
leere Mengen oder Klassen.

Why Reject Existential Import?
Modern logic rejects existential import
for a number of reasons. The most significant
for our purposes have to do with the nature
of universal claims and our understanding of
what it means to say of a proposition that it is false.
http://cstl-cla.semo.edu/hhill/pl120/notes/existential%20import.htm

Post by Mostowski Collapse
Ich würde als Hausaufgabe für WM hinzufügen,
lernen was sind widersprüchliche Aussagen.
A(x)
~A(x)
Aber Quantoren-Legasthenie kann schon dazu
führen, dass man denkt diese zwei hier seien
forall x (x e B => A(x))
~exists x (x e B /\ A(x))
Aber ohne die Feststellung B leer sind die
zwei Aussagen nicht widersprüchlich. Insofern
kann man es auch nicht für einen Widerspruchsbeweis
benutzen um eine leere Menge auszuschliessen.
LoL

[Mostowski Collapse]

Gruppentheorie, x = y <=> x - y = 0 wäre
auch noch ganz praktisch gegen Mückenwahn.

Obwohl, es gibt schon konstruktive Real-
zahlen die nicht mehr so richtig eine

Gruppe bilden. Hm.

Post by Mostowski Collapse
Es ist ja nicht so dass es sich hier um
eine Fallacy des Existentiellen Imports
handelt. Wir befinden uns ja mittlerweile
im 21. Jahrhundert, und das sollte mittlerweile
bereinigt sein. Die moderne Logik erlaubt
leere Mengen oder Klassen.
Why Reject Existential Import?
Modern logic rejects existential import
for a number of reasons. The most significant
for our purposes have to do with the nature
of universal claims and our understanding of
what it means to say of a proposition that it is false.
http://cstl-cla.semo.edu/hhill/pl120/notes/existential%20import.htm

Post by Mostowski Collapse
Ich würde als Hausaufgabe für WM hinzufügen,
lernen was sind widersprüchliche Aussagen.
A(x)
~A(x)
Aber Quantoren-Legasthenie kann schon dazu
führen, dass man denkt diese zwei hier seien
forall x (x e B => A(x))
~exists x (x e B /\ A(x))
Aber ohne die Feststellung B leer sind die
zwei Aussagen nicht widersprüchlich. Insofern
kann man es auch nicht für einen Widerspruchsbeweis
benutzen um eine leere Menge auszuschliessen.
LoL

[Mostowski Collapse]

Anstatt sich mit Quark zu beschäftigen wie der
leeren Menge, sollte WM vielleicht wirklich
einmal das Continuum hinterfragen.

z.B. was wäre wenn es keine Dedekind Cuts gäbe?

"In constructive mathematics, indecomposability
or indivisibility (German: Unzerlegbarkeit, from
the adjective unzerlegbar) is the principle
that the continuum cannot be partitioned into
two nonempty pieces.
https://en.wikipedia.org/wiki/Indecomposability

Die Grossen wie Brower, Heyting, etc.. haben
so gedacht. Man kann dann auch "=" aufweichen:

"In constructive mathematics, a pseudo-order is
a constructive generalisation of a linear order
to the continuous case. The usual trichotomy
law does not hold in the constructive continuum
because of its indecomposability, so this
condition is weakened."
https://en.wikipedia.org/wiki/Pseudo-order

Post by Mostowski Collapse
Gruppentheorie, x = y <=> x - y = 0 wäre
auch noch ganz praktisch gegen Mückenwahn.
Obwohl, es gibt schon konstruktive Real-
zahlen die nicht mehr so richtig eine
Gruppe bilden. Hm.

Post by Mostowski Collapse
Es ist ja nicht so dass es sich hier um
eine Fallacy des Existentiellen Imports
handelt. Wir befinden uns ja mittlerweile
im 21. Jahrhundert, und das sollte mittlerweile
bereinigt sein. Die moderne Logik erlaubt
leere Mengen oder Klassen.
Why Reject Existential Import?
Modern logic rejects existential import
for a number of reasons. The most significant
for our purposes have to do with the nature
of universal claims and our understanding of
what it means to say of a proposition that it is false.
http://cstl-cla.semo.edu/hhill/pl120/notes/existential%20import.htm

Post by Mostowski Collapse
Ich würde als Hausaufgabe für WM hinzufügen,
lernen was sind widersprüchliche Aussagen.
A(x)
~A(x)
Aber Quantoren-Legasthenie kann schon dazu
führen, dass man denkt diese zwei hier seien
forall x (x e B => A(x))
~exists x (x e B /\ A(x))
Aber ohne die Feststellung B leer sind die
zwei Aussagen nicht widersprüchlich. Insofern
kann man es auch nicht für einen Widerspruchsbeweis
benutzen um eine leere Menge auszuschliessen.
LoL

[Mostowski Collapse]

Vielleicht die Fehlkonstruktion von WMs
Transfinity PDF, zu viel Set Theory,
und zu wenig Constructive Mathematics?

Post by Mostowski Collapse
Anstatt sich mit Quark zu beschäftigen wie der
leeren Menge, sollte WM vielleicht wirklich
einmal das Continuum hinterfragen.
z.B. was wäre wenn es keine Dedekind Cuts gäbe?
"In constructive mathematics, indecomposability
or indivisibility (German: Unzerlegbarkeit, from
the adjective unzerlegbar) is the principle
that the continuum cannot be partitioned into
two nonempty pieces.
https://en.wikipedia.org/wiki/Indecomposability
Die Grossen wie Brower, Heyting, etc.. haben
"In constructive mathematics, a pseudo-order is
a constructive generalisation of a linear order
to the continuous case. The usual trichotomy
law does not hold in the constructive continuum
because of its indecomposability, so this
condition is weakened."
https://en.wikipedia.org/wiki/Pseudo-order

Post by Mostowski Collapse
Gruppentheorie, x = y <=> x - y = 0 wäre
auch noch ganz praktisch gegen Mückenwahn.
Obwohl, es gibt schon konstruktive Real-
zahlen die nicht mehr so richtig eine
Gruppe bilden. Hm.

Post by Mostowski Collapse
Es ist ja nicht so dass es sich hier um
eine Fallacy des Existentiellen Imports
handelt. Wir befinden uns ja mittlerweile
im 21. Jahrhundert, und das sollte mittlerweile
bereinigt sein. Die moderne Logik erlaubt
leere Mengen oder Klassen.
Why Reject Existential Import?
Modern logic rejects existential import
for a number of reasons. The most significant
for our purposes have to do with the nature
of universal claims and our understanding of
what it means to say of a proposition that it is false.
http://cstl-cla.semo.edu/hhill/pl120/notes/existential%20import.htm

Post by Mostowski Collapse
Ich würde als Hausaufgabe für WM hinzufügen,
lernen was sind widersprüchliche Aussagen.
A(x)
~A(x)
Aber Quantoren-Legasthenie kann schon dazu
führen, dass man denkt diese zwei hier seien
forall x (x e B => A(x))
~exists x (x e B /\ A(x))
Aber ohne die Feststellung B leer sind die
zwei Aussagen nicht widersprüchlich. Insofern
kann man es auch nicht für einen Widerspruchsbeweis
benutzen um eine leere Menge auszuschliessen.
LoL

[Me]

Post by Mostowski Collapse
Vielleicht die Fehlkonstruktion von WMs
Transfinity PDF, zu viel Set Theory,
und zu wenig Constructive Mathematics?

Zum einen das, zum anderen würde ich sagen, eher zu viel Fledermaussuppe als zu viel Mengenlehre. Von Mengenlehre versteht Mückenheim doch so viel, wie ein Fisch vom Fahrradfahren.

[Mostowski Collapse]

Schon beim Begriff Menge fehlts gewalltig
bei WM. Die Menge der bekannten Primzahlen,

ist eine Funktion, Pr(t), und keine Menge Pt.
Wenn Sie beweisen könnten Pr(t)=Pr(s) für
beliebig t und s, dann könnte man es

als Menge bezeichnen. Was aber dem Ziel
von "bekannt" widerspricht und wohl
Gegenbeispiele hat. Also der Parameter t

fällt nicht heraus, nicht wie in {}_A.

Post by Me

Post by Mostowski Collapse
Vielleicht die Fehlkonstruktion von WMs
Transfinity PDF, zu viel Set Theory,
und zu wenig Constructive Mathematics?

Zum einen das, zum anderen würde ich sagen, eher zu viel Fledermaussuppe als zu viel Mengenlehre. Von Mengenlehre versteht Mückenheim doch so viel, wie ein Fisch vom Fahrradfahren.