Post by WMDa FOL kein Selbstzweck, sondern zur Anwendung auf vor allem mathematische
Objekte geschaffen wurde,
Ja.
Post by WMhat der Allquantor sehr wohl und auch sehr häufig mit natürlichen Zahlen zu
tun.
Na klar, sofern sie Objekte seines "Bereichs" sind, ja.
Z. B. lautet das zweite der Peanoschen Axiome ja:
An(n e IN ==> n' e IN)
zweifellos "bezieht" sich der Allquantor damit auch auf natürliche Zahlen. :-P
Post by WMIch habe lediglich behauptet, dass
∀ n ∈ ℕ: |{ m ∈ ℕ | m < n }| < |{ m ∈ ℕ | m > n }| = aleph_0
[ist.]
Ich denke, Sie meinen (sauber/korrekt hingeschrieben):
∀n ∈ ℕ: |{m ∈ ℕ | m < n}| < |{m ∈ ℕ | m > n}| & |{m ∈ ℕ | m > n}| = aleph_0
Ja, das ist im Kontext der Mengenlehre in der Tat eine beweisbare Formel (sofern |.| hier "card" ("Kardinalität") bedeutet, und /</ und /aleph_0/ wie üblich bzw. sinnvoll definiert sind, also insbesondere "<" auf IN u {aleph_0} definiert ist.
Mehr noch, es gilt sogar:
∀n ∈ ℕ: |{m ∈ ℕ | m < n}| e IN
und
|{m ∈ ℕ | m > n}| = aleph_0
Und da natürlich in diesem Kontext
∀n ∈ ℕ: n < aleph_0
gilt (=beweisbar ist), gilt auch das von Ihnen oben behauptete.
Post by WMund daher ∀n ∈ ℕ unerfüllbar ...
??? Hier muss man leider wieder sagen: "non sequitur". Ich sehe wirklich nicht, was das weiter oben Gesagte mit dieser Behauptung (hier) zu tun haben soll, bzw. wie diese aus jenem FOLGEN soll.
Hinweis: Man kann in der Modelltheorie sogar ein MODELL für diese Formeln angeben, also so, dass sie ERFÜLLBAR sind. (Ich sage das, weil Sie hier diesen Begriff verwendet haben.)
Post by WMPost by ichIm Übrigen muss man diese/eine Ordnung erst DEFINIEREN, wenn man die
natürlichen Zahlen z. B. auf der Basis der Peano-Axiome "eingeführt" hat.
Das ist falsch.
Nein, das ist NICHT falsch, Herr Mückenheim. Sie können das in JEDEM einschlägigen Text nachlesen. (*seufz*)
Post by WMSogar die [...] Definition der natürlichen Zahlen durch Peano erzeugt
unmittelbar die natürliche Ordnung.
Nein, tut sie nicht. Ich jedenfalls weiß nicht, was sie mit "erzeugt" (in diesem Zusammenhang) meinen. (Sie haben ja offenbar ihre ganz eigene Terminologie, die mit der in der Mathematik üblichen, nicht allzu viel zu tun hat: "identifizieren", "auswählen", "erzeugen", "bilden" usw. usf. Das macht es schwer zu entziffern, was Sie eigentlich sagen wollen.)
Darum muss man sie auch in diesem Kontext EXPLIZIT DEFINIEREN; und diese Definition ist durchaus nicht "elementar".
Interessanterweise muss man das im Kontext der MENGENLEHRE _nicht_ auf diese (umständliche Art und) Weise tun, wenn (!) man die natürlichen Zahlen nach von Neumann einführt/definiert. Denn in DIESEM Fall gilt:
An,m e IN: n < m <-> n e m .
Natürlich muss man das /Symbol/ "<" AUCH in diesem Kontext mittels einer expliziten Definition einführen, also z. B. so:
Def. n < m :<-> n e m (n,m e IN) .
Man kann allerdings sicher behaupten (ich sagte das schon), dass mit der Definition einer ZÄHLREIHE nach Peano "implizit" auch eine gewisse "Anordnung" der Zahlen gegeben ist ... Die Aufgabe einer EXPLIZITEN DEFINITION ist es ja nun gerade diese EXPLIZIT "einzuführen" - also insbesondere auch mittels eines SYMBOLS mit dessen Hilfe man sich dann auf diese /Ordnung/ beziehen kann.
Ohne eine EXPLIZITE DEFINITION von "<" können Sie nicht einfach BEHAUPTEN, dass
1 < 2
gilt. Naja... *SIE* können das vielleicht behaupten, das Problem ist aber, dass auch SIE das dann nicht BEWEISEN können, solange "<" nicht irgendwo/irgendwie DEFINIERT (oder AXIOMATISCH eingeführt) worden ist.