Istnieje wiele różnych aspektów szachów, które można sformalizować matematycznie. Przynajmniej od XIX wieku szachy były eksploatowane jako źródło innowacji matematycznych. Mówiąc więc o matematycznej charakterystyce szachów, nie jest to pojedynczy model, o którym mówimy, który obejmuje każdą cechę, ale raczej szereg modeli, w których moc każdego jest paradoksalnie odpuszczenie jakiegoś aspektu szachów, który nie jest istotny dla tej analizy.
Być może najwcześniejszym sukcesem (nie licząc :-) ziaren ryżu na szachownicy) był Twierdzenie Zermelo (tak przez jednego z twórców teorii zbiorów ZF), które stwierdza, że w szachach „albo białe mogą wymusić wygraną, albo czarne mogą wymusić wygraną, albo obie strony mogą wymusić przynajmniej remis”.
Teoria gier kombinatorycznych (opracowana przez wybitnych matematyków Johna H. Conwaya, Elwyn Berlekamp i Richarda Guya) została z powodzeniem zastosowana w szachach. Jednak kilka założeń tej teorii jest sprzecznych z jej ogólnym zastosowaniem do szachów. Jednym z nich jest to, że wygrana w CGT ma miejsce wyłącznie wtedy, gdy przeciwnik nie może się poruszyć, co nie rozwiązuje problemu impasu. Po drugie, istnieje pojęcie „pociągającego za sobą posunięcie” (np. Czek), w którym jeśli jedna osoba gra, to drugi gracz musi odpowiedzieć, a nie pierwszy gracz ponownie. Ale Noam Elkies uzyskał pewne nietrywialne wyniki w końcówkach szachów, obliczając ich wartość CGT - odniesienia podane na jego stronie szachowej http://www.math.harvard.edu/~elkies/chess.html : „O liczbach i końcówkach” i „Wyższe nimbers [sic] w grach pionowych na dużych szachownicach”.
Wspomniałeś o teorii grup - co ciekawe, zestaw gier kombinatorycznych w składzie tworzy grupę abelową! Szczerze mówiąc, dwie wyżej wymienione przeszkody uniemożliwiają szachom takie zachowanie.
Wokół szachownicy wykonano ogromną ilość kombinatorycznej pracy. Vaclav Kotesovec opublikował w Internecie 800-stronicową książkę just na temat nieatakujących figur szachowych (uogólniając masowo problem 8 dam). Link znajduje się pod adresem http://www.kotesovec.cz/. Jest to związane z magicznymi kwadratami, projektowaniem eksperymentalnym itp.
Istnieje również, zaczynając w Finlandii z Eero Bonsdorffem, długi rodowód problemów szachowych z wyliczaniem ścieżek, liczący liczbę sposobów, w jakie można osiągnąć pozycję . Często wiąże się to z analizą Standard Young Tableaux, które stanowią również podstawę teorii reprezentacji grup symetrycznych. Często spotykane są tu liczby Fibonacciego, katalońskie i Eulera, a także inne kombinatoryjne tożsamości, których urzeczywistnienie kryje się w genialnych szachowych kompozycjach. Zobacz https://pdb.dieschwalbe.de/search.jsp i wpisz g = 'mathematics' w polu wyszukiwania.
Problem z trasą rycerza jest również znany z pomocy popchnąć badanie grafów Hamiltona, a zwłaszcza wyzwanie polegające na policzeniu liczby takich obiektów. Zobacz https://www.mayhematics.com/t/t.htm.
Teoria obliczeń pyta również o to, czy szachy są zdeterminowane. Chodzi o to, aby układać zestawy elementów w znacznie większe plansze, aby spróbować wykonać maszyny odpowiadające maszynom Turinga. To prowadzi nas do tematu granic obliczeń, w którym chciałbym zwrócić uwagę na to, że jeśli teoria matematyczna całkowicie charakteryzuje szachy, to nie powinniśmy być bardziej w stanie z nią dyskutować, niż sami gramy w szachy. To może pozwolić nam uciec przed niektórymi językowymi wyzwaniami obecnego prawa (np. Czy pionki mogą być zorientowane).
Myślę, że matematyczny opis tego, jak konwencje szachowe konsekwentnie stosuje się do problemów szachowych, w tym szachów z bajki, ma również wartość badawczą. Guus Rol ma bardzo ambitny program, który redukuje każdą turę do „mikro-faz” i twierdzi, że jest w stanie z dużą dokładnością określić, jak bajkowe warunki oddziałują na siebie w złożonych sytuacjach „retroaktywnych”, w których konieczna jest zarówno logika wstecz, jak i do przodu. Nie wiem, czy kiedykolwiek dokończy swoją teorię.
Osobiście chciałbym zobaczyć skromniejszą teorię, która traktuje każdy ruch jako atomową i chociaż nie obejmuje tak dobrze bajkowych szachów, na najmniej może obejmować działające wstecz aspekty konwencji problemowych, takich jak roszada i ep Nawet to nie zostało jeszcze zrobione.
Fizyk matematyczny Roger Penrose opublikował stanowisko szachowe około 2 lata temu, które miało na celu udowodnienie jego długo utrzymywanego stanowiska, że istnieje zasadniczo inny rodzaj rozumowania prezentowany przez ludzi niż sztuczna inteligencja ugruntowana w „funkcjach obliczeniowych” może zademonstrować. Zobacz https://en.chessbase.com/post/a-chess-problem-holds-the-key-to-human-consciousness
Mimo że teoria losowości wykresy, a analiza Monte Carlo została z powodzeniem zastosowana w silnikach, zwłaszcza najnowszej generacji, nie sądzę, że to dyskwalifikuje ją jako teorię matematyczną.
Istnieje również podejście algebry liniowej do liczenie ruchów i pozycji. „Jeśli szachy są wykresem, jaka jest jego maksymalna wartość własna?” to bardzo realne i interesujące pytanie. Zobacz witrynę Francois Labelle pod adresem http://wismuth.com/chess/statistics-games.html
Algebra liniowa może być z powodzeniem stosowana do innych pytań związanych z szachami, np. na ile jest sposobów, aby wieża przemieściła się z a1 na h8 dokładnie w n ruchach? A co z królem?
Od wielu lat Noam Elkies & Richard Stanley współpracuje nad książką o szachach i matematyce. Nie wiem, kiedy to się wreszcie pojawi, ani czy zrezygnowali z tego. Ale „Matematyczny rycerz” podany na stronie szachowej Noama, do której linkował wcześniej, może daje przedsmak tej książki. Richard Stanley jest jednym z czołowych liderów w dziedzinie kombinatoryki: patrz http://www-math.mit.edu/~rstan/chess/queue.pdf i artykuł urodzinowy Noama https: / /arxiv.org/pdf/math/0508645.pdf
Istnieje również książka „Mathematics and Chess” autorstwa Miodraga S. Petkovicia, ale nie znam jej zawartości.
Niektóre z tych pomysłów są wymienione na stronie Wikipedii: https://en.wikipedia.org/wiki/Category:Mathematical_chess_problems oraz bardziej szczegółowa strona https : //en.wikipedia.org/wiki/Mathematical_chess_problem.
Jeśli ktoś ma inne przykłady szachów i matematyki, wspomnij o nich w komentarzach, a spróbuję uwzględnić je w tej odpowiedzi . Jeśli ktoś ma linki ilustrujące tematy, o których wspominam, dodaj je, dziękuję.
Wreszcie: math.stackexchange.com ma 62 strony szachowych wpisów!?!