Coronavirus: Pessimistische Prognose

[Stephan Gerlach]

Wir gehen aus von einer abgeschlossenen Population, in der die Anzahl N
der zum Zeitpunkt t Infizierten Personen angegeben werden soll.
Eine Quick-&-dirty-Modellierung:

N_0 = Anzahl der am Anfang (Zeit t=0) infizierten Personen
N_g = Gesamt-Anzahl aller Personen in der Population (zu jedem Zeitpunkt
konstant)
t = Zeit (genauer: Zeitpunkt)
dt = (infinitesimales) Zeitintervall
K = Anzahl aller(!) Kontakte in der Population im Zeitintervall dt
N(t) = Anzahl der infinierten Personen zum Zeitpunkt t
dN = Anzahl neu infizierter Personen im Zeitintervall dt

k = verhaltensabhängige Konstante der Population, nicht von N_g oder t
abhängig, beschreibt die Anzahl aller Kontakte pro Gesamtzahl Personen
und pro Zeitintervall, also k = K/(N_g*dt)

K_{i,n} = Anzahl aller Kontakte der Art [infiziert<->nicht_infiziert] in
der Population im Zeitintervall dt

p = Wahrscheinlichkeit für einen beliebigen Kontakt, daß dieser Kontakt
von der Art [infiziert<->nicht_infiziert] ist.


Weitere Bemerkungen / idealisierte Annahmen:
- Eigentlich sind K, N(t), dN, K_{i,n} Zufallsvariablen, und man müßte
statt ihrer selbst deren Erwartungswerte benutzen. Der Einfachheit
halber identifizieren wir die Zufallsvariablen mit ihren Erwartungswerten.
- k ist zeitlich konstant (wurde schon erwähnt)
- Eine einmal infizierte Person bleibt der Population als infizierte
Person "erhalten". (Aufgrund dieser Annahme ist die Prognose als
pessimistisch zu bezeichnen.)


Gesucht ist N als Funktion von t, d.h. N(t).

Es gilt

K = k*N_g*dt
dN = K{i,n}
K_{in} = K*p
p = 2*n*(N_g-N)/((N_g*(N_g-1))

Das führt zur Differentialgleichung bzw. dem Anfangswertproblem

dN/dt = 2*k*N*(N_g-N)/(N_g-1)
N(0) = N_0.

Die Lösung ist (selber nachrechnen / prüfen, ob's stimmt):

N(t) = N_g/2 * [tanh(artanh(2*N_0/N_g-1) + k*N_g/(N_g-1)*t) + 1]

In Kurzform:

N(t) = a * tanh(b*t + c) + d.

mit gewissen Parametern a, b, c, d.
D.h. der Graph von N ist eine "verschobene und gestreckte/gestauchte"
Tangenshyperbolicus-Funktion.

Eine etwas einfachere(?) Form der Lösung lautet

N(t) = N_g*N_0 / (N_0 + (N_g-N_0)*e^[-2*k*N_g*t/(N_g-1)]).

Für t --> unendlich konvergiert das Ganze gegen N_g, was plausibel
erscheint.

Allerdings ist das kein exponentielles Wachstum von N(t), wie in den
Medien immer wieder behauptet wird, sondern ein tangenshyperbolisches.
Wahrscheinlich klingt "exponentiell" einfach nur besser, weil das jeder
Zuschauer gut aus der Schule kennt.

Bezieht man mögliche Heilungen mit ein, wird es vermutlich "noch weniger
exponentiell". Allerdings ist es wohl so, daß es am Anfang, d.h. für
kleine t, wie ein exponentielles Wachstum aussieht.

[pirx42]

Wir gehen aus von einer abgeschlossenen Population, in der die Anzahl N der zum Zeitpunkt t Infizierten Personen
angegeben werden soll.
N_0 = Anzahl der am Anfang (Zeit t=0) infizierten Personen
N_g = Gesamt-Anzahl aller Personen in der Population (zu jedem Zeitpunkt konstant)
t = Zeit (genauer: Zeitpunkt)
dt = (infinitesimales) Zeitintervall
K = Anzahl aller(!) Kontakte in der Population im Zeitintervall dt
N(t) = Anzahl der infinierten Personen zum Zeitpunkt t
dN = Anzahl neu infizierter Personen im Zeitintervall dt
k = verhaltensabhängige Konstante der Population, nicht von N_g oder t abhängig, beschreibt die Anzahl aller Kontakte
pro Gesamtzahl Personen und pro Zeitintervall, also k = K/(N_g*dt)
K_{i,n} = Anzahl aller Kontakte der Art [infiziert<->nicht_infiziert] in der Population im Zeitintervall dt
p = Wahrscheinlichkeit für einen beliebigen Kontakt, daß dieser Kontakt von der Art [infiziert<->nicht_infiziert] ist.
- Eigentlich sind K, N(t), dN, K_{i,n} Zufallsvariablen, und man müßte statt ihrer selbst deren Erwartungswerte
benutzen. Der Einfachheit halber identifizieren wir die Zufallsvariablen mit ihren Erwartungswerten.
- k ist zeitlich konstant (wurde schon erwähnt)
- Eine einmal infizierte Person bleibt der Population als infizierte Person "erhalten". (Aufgrund dieser Annahme ist die
Prognose als pessimistisch zu bezeichnen.)
Gesucht ist N als Funktion von t, d.h. N(t).
Es gilt
K = k*N_g*dt
dN = K{i,n}
K_{in} = K*p
p = 2*n*(N_g-N)/((N_g*(N_g-1))
Das führt zur Differentialgleichung bzw. dem Anfangswertproblem
dN/dt = 2*k*N*(N_g-N)/(N_g-1)
N(0) = N_0.
N(t) = N_g/2 * [tanh(artanh(2*N_0/N_g-1) + k*N_g/(N_g-1)*t) + 1]
N(t) = a * tanh(b*t + c) + d.
mit gewissen Parametern a, b, c, d.
D.h. der Graph von N ist eine "verschobene und gestreckte/gestauchte" Tangenshyperbolicus-Funktion.
Eine etwas einfachere(?) Form der Lösung lautet
N(t) = N_g*N_0 / (N_0 + (N_g-N_0)*e^[-2*k*N_g*t/(N_g-1)]).
Für t --> unendlich konvergiert das Ganze gegen N_g, was plausibel erscheint.
Allerdings ist das kein exponentielles Wachstum von N(t), wie in den Medien immer wieder behauptet wird, sondern ein
tangenshyperbolisches.
Wahrscheinlich klingt "exponentiell" einfach nur besser, weil das jeder Zuschauer gut aus der Schule kennt.

Manche sagen auch logistische Kurve:

https://de.wikipedia.org/wiki/Logistische_Funktion

[Carlos Naplos]

Post by Stephan Gerlach
Allerdings ist das kein exponentielles Wachstum von N(t), wie in den
Medien immer wieder behauptet wird, sondern ein tangenshyperbolisches.
Wahrscheinlich klingt "exponentiell" einfach nur besser, weil das jeder
Zuschauer gut aus der Schule kennt.

Ich halte es auch für bedenklich, wenn Studienabbrecher, die ihr Abitur
mit 4.x in Mathematik bestanden haben, die Bevölkerung mit
Exponentialfunktionen in Angst und Schrecken versetzen können.

Stimmt es, dass es zu jeder (reellen) Exponentialfunktion auf jedem
endlichen Intervall eine lineare Funktion gibt, die an jeder Stelle
einen größeren Wert und eine größere Steigung hat?

Fragt sich
CN

[Ralf Goertz]

Am Sat, 21 Mar 2020 12:03:18 +0100

Post by Carlos Naplos

Post by Stephan Gerlach
Allerdings ist das kein exponentielles Wachstum von N(t), wie in
den Medien immer wieder behauptet wird, sondern ein
tangenshyperbolisches. Wahrscheinlich klingt "exponentiell" einfach
nur besser, weil das jeder Zuschauer gut aus der Schule kennt.

Ich halte es auch für bedenklich, wenn Studienabbrecher, die ihr
Abitur mit 4.x in Mathematik bestanden haben, die Bevölkerung mit
Exponentialfunktionen in Angst und Schrecken versetzen können.
Stimmt es, dass es zu jeder (reellen) Exponentialfunktion auf jedem
endlichen Intervall eine lineare Funktion gibt, die an jeder Stelle
einen größeren Wert und eine größere Steigung hat?

Hm, warum nicht? Da das Intervall endlich ist, hat es ein
Minimum/Maximum (sofern es abgeschlossen ist, wenn nicht, nehmen wir
Infimum und Supremum dazu) und damit ist auch der Anstiegs endlich mit
einem Maximum m. Die lineare Funktion (m+1)*x+n, die an min(x) den
Funktionswert der Exponentialfunktion +1 annimmt, hat überall auf dem
Intervall einen größeren Funktionswert und eine größere Steigung.

[Walter H.]

Post by Carlos Naplos

Post by Stephan Gerlach
Allerdings ist das kein exponentielles Wachstum von N(t), wie in den
Medien immer wieder behauptet wird, sondern ein tangenshyperbolisches.
Wahrscheinlich klingt "exponentiell" einfach nur besser, weil das
jeder Zuschauer gut aus der Schule kennt.

Ich halte es auch für bedenklich, wenn Studienabbrecher, die ihr Abitur
mit 4.x in Mathematik bestanden haben, die Bevölkerung mit
Exponentialfunktionen in Angst und Schrecken versetzen können.

jedes natürliche Wachstum liegt einer Exponentialfkt. zu Grunde, die
Frage ist nur welche Basis man wählt;
auch eine Verzinsung am Sparbuch mit dem momentanen
Nanozins von 0,01% p.a. ist ein exponentielles Wachstum;
K_<nach n Jahren> = K_<jetzt> * 1.0001^n
(dauert halt nur a paar Jahre mehr bis sich des verdoppelt)

bei dieser Pandemie gilt es zwingend die tägl. Zuwachsraten auf einen
einstellungen Prozentbereich zu drücken - noch besser auf 0 zu bringen;
nebenbei: mit falschen (geschönten) Zahlen kann man auch ein Volk
hinters Licht führen;

Italien hat angeblich Stand 3/22/2020 6:43:06 p.m.
(Quelle:
https://gisanddata.maps.arcgis.com/apps/opsdashboard/index.html#/bda7594740fd40299423467b48e9ecf6)
etwas mehr als 53500 bestätigte Personen mit Coronavirus, aber auch
bereits 4825 Todesfälle auf Grund von Corona verzeichnet;

alleine wenn nur diese Zahlen stimmen, würde jede Regierung welche nicht
unmittelbar ein ganzes Maßnahmenpaket auf die Reihe bringt wegen ...<mir
fehlt der Begriff>... vor ein Gericht gestellt werden;
so nach dem Motto: schließ ma mal die Schulen, dann schau ma mal;
ach dann schließ ma mal Kinos, ..., ...
passt nicht zu den Zahlen in Italien;

die Zahlen von China sind ohnehin geschönt, weil dass die 'nur' etwas
mehr als 3000 Todesfälle bei nichtmal 100 000 Fällen auf Grund des
Coronavirus zu verzeichnen hatten, glaube wer will ..., die passen
einfach nicht;

[Juergen Ilse]

Hallo,

Post by Walter H.
Italien hat angeblich Stand 3/22/2020 6:43:06 p.m.
https://gisanddata.maps.arcgis.com/apps/opsdashboard/index.html#/bda7594740fd40299423467b48e9ecf6)
etwas mehr als 53500 bestätigte Personen mit Coronavirus, aber auch
bereits 4825 Todesfälle auf Grund von Corona verzeichnet;

Italien hat insgesamt 60.000.000 Einwohner und 5200 Betten auf Intensiv-
stationen. Da wurde bislang auch nicht wesentlich aufgestockt. Und nicht
alle dieser 5200 Intensivbetten bieten eine Beatmungsmoeglichkeit ...

Post by Walter H.
die Zahlen von China sind ohnehin geschönt, weil dass die 'nur' etwas
mehr als 3000 Todesfälle bei nichtmal 100 000 Fällen auf Grund des
Coronavirus zu verzeichnen hatten, glaube wer will ..., die passen
einfach nicht;

Die passen vermutlich schon. Im Gegensatz zu Italien wurde (nachdem die
Epidemie zugegeben wurde, was allerdings rund einen Monat gedauert hatte)
wurde in wenigen Tagen im Hauptgefahrengebiet eine grosse komplett neue
Lungenklinik aus dem Boden gestampft. Innerhalb weniger Tage wurden deut-
lich mehr Intensivbetten zusaetzlich geschaffen, wie In Italien insgesamt
zur Verfuegung stehen. In Deutschland gab es aktuell 55 Tote bei 18.610
Infizierten. Das sind bezogen auf die Fallzahlen nicht wesentlich mehr
als in China und weniger als 1/20 dessen, was wir in Italien an Toten
relativ zur Zahl der Infektionen haben. In Deutschland hatten wir aller-
dings auch schon vor der Krise ca. 25.000 Intensivbetten, was inzwischen
um weitere 3000 aufgestockt wurde. Ein Drittel mehr an Bevoelkerung und
mehr als 5 mal so viele Intensivbetten (mit einem hoeheren Anteil mit
Beatmulngsmoeglichkeit aks in Italien) scheint also nicht so ganz sinn-
los zu sein ...

Tschuess,
Juergen Ilse (***@usenet-verwaltung.de)

[Walter H.]

Post by Walter H.
die Zahlen von China sind ohnehin geschönt, weil dass die 'nur' etwas
mehr als 3000 Todesfälle bei nichtmal 100 000 Fällen auf Grund des
Coronavirus zu verzeichnen hatten, glaube wer will ..., die passen
einfach nicht;

Die passen vermutlich schon. ...

leider nein - fehlerhafte Größenordnungen, dort war der Ausbrauch auch
bereits im Nov. 2019(!)
und WUHAN ist kein Kuhdorf sondern hat mehr Einwohner als alle Mio.
Städte von Deutschland zusammen ...
und bei WUHAN alleine blieb es nicht;

[Carlos Naplos]

Post by Walter H.

Post by Carlos Naplos

Post by Stephan Gerlach
Allerdings ist das kein exponentielles Wachstum von N(t), wie in den
Medien immer wieder behauptet wird, sondern ein tangenshyperbolisches.
Wahrscheinlich klingt "exponentiell" einfach nur besser, weil das
jeder Zuschauer gut aus der Schule kennt.

Ich halte es auch für bedenklich, wenn Studienabbrecher, die ihr
Abitur mit 4.x in Mathematik bestanden haben, die Bevölkerung mit
Exponentialfunktionen in Angst und Schrecken versetzen können.

jedes natürliche Wachstum liegt einer Exponentialfkt. zu Grunde, die

Eine Exponentialfunktion ist nicht beschränkt.

Ich weiß nicht, was Du unter "natürlichem Wachstum" verstehst.

In der Natur vorkommende Wachstumsprozesse sind beschränkt, z.B. bei
einer Epidemie durch die Zahl derer, die infiziert werden könnten, beim
Wachstum einer Zellkultur durch die Größe der Petrischale oder die
verfügbare Nährstoffmenge, beim radioaktiven Zerfall durch die
vorhandene Stoffmenge ...

Wie oben in diesem Thread (pirx42) bereits erwähnt, werden solche
Wachstumsprozesse durch sogenannte logistische Funktionen
(https://de.wikipedia.org/wiki/Logistische_Funktion) beschrieben.

Diese Funktionen haben einen Wendepunkt und nähern sich assymptotisch
der Obergrenze.
Mag sein, dass sie - wie der OP schon angemerkt hat - für
Abszissenabschnitte vor dem Wendepunkt mit einer Exponentialfunktion
approximiert werden können.

CN

[Walter H.]

Post by Carlos Naplos

Post by Walter H.

Post by Carlos Naplos

Post by Stephan Gerlach
Allerdings ist das kein exponentielles Wachstum von N(t), wie in den
Medien immer wieder behauptet wird, sondern ein tangenshyperbolisches.
Wahrscheinlich klingt "exponentiell" einfach nur besser, weil das
jeder Zuschauer gut aus der Schule kennt.

Ich halte es auch für bedenklich, wenn Studienabbrecher, die ihr
Abitur mit 4.x in Mathematik bestanden haben, die Bevölkerung mit
Exponentialfunktionen in Angst und Schrecken versetzen können.

jedes natürliche Wachstum liegt einer Exponentialfkt. zu Grunde, die

Eine Exponentialfunktion ist nicht beschränkt.
Ich weiß nicht, was Du unter "natürlichem Wachstum" verstehst.
In der Natur vorkommende Wachstumsprozesse sind beschränkt ...

so lange aber die Schranke nicht zum Tragen kommt, sind diese exponentiell;

Post by Carlos Naplos
z.B. bei
einer Epidemie durch die Zahl derer, die infiziert werden könnten,

solche Banalitäten berücksichtigt man bei derartigen Betrachtungen mal
nicht;
weil diese Schranke will man eben nicht dass erreicht wird; man will es
ja vorher schon stoppen ...

in den USA ist das Ganze - deren System sei Dank - mittlerweile bereits
außer Kontrolle geraten ..., zugeben wird dies aber niemand, man will ja
das Gesicht nicht verlieren ...

Nachsatz: Dein Wohlstand beruht übrigens auf ewigem Wachstum ;-)

[Stephan Gerlach]

Post by Walter H.

Post by Carlos Naplos
In der Natur vorkommende Wachstumsprozesse sind beschränkt ...

so lange aber die Schranke nicht zum Tragen kommt, sind diese exponentiell;

Nein, bestenfalls nur näherungsweise.

Was man machen könnte, ist, ein Modell mit abschnittweise definierten
Funktionen benutzen, so in der Art

"Im Intervall [0, t1) beschreiben wir den Vorgang durch eine Funktion
N(t) = a*e^(b*t),
im Intervall [t1, t2) durch irgendeine andere Funktion, im Intervall
[t2, t3) wieder durch was anderes, usw..."

Keine Ahnung, ob sowas gemacht wird. Das würde im Übrigen völlig den
Fakt ignorieren, daß im Intervall [0, t1) auch Kontakte zwischen 2
infizierten Personen stattfinden, die aber keine neue infizierte Person
generieren.

Post by Walter H.

Post by Carlos Naplos
z.B. bei einer Epidemie durch die Zahl derer, die infiziert werden
könnten,

solche Banalitäten berücksichtigt man bei derartigen Betrachtungen mal
nicht;
weil diese Schranke will man eben nicht dass erreicht wird; man will es
ja vorher schon stoppen ...

Auch ohne diese Gegenmaßnahmen würde irgendwann ersichtlich, daß da nix
exponentiell abläuft.

[Martin Vaeth]

Post by Stephan Gerlach
Eine etwas einfachere(?) Form der Lösung lautet
N(t) = N_g*N_0 / (N_0 + (N_g-N_0)*e^[-2*k*N_g*t/(N_g-1)]).
Für t --> unendlich konvergiert das Ganze gegen N_g, was plausibel
erscheint.

Es gibt viele epidemologische Modelle, und das ist natürlich ein
sehr einfaches. Aber nehmen wir das mal der Einfachheit halber an.

Post by Stephan Gerlach
Allerdings ist das kein exponentielles Wachstum von N(t), wie in den
Medien immer wieder behauptet wird, sondern ein tangenshyperbolisches.

Jein: Exponentielles Wachstum (im Sinne einer reinen
Exponentialfunktion) würde natürlich sehr schnell die Anzahl aller
Menschen übersteigen, was deshalb nicht stimmen kann.
Es ist klar, dass man die Gesamtzahl N_g asymptotisch erreichen muss
(bei diesem stark vereinfachten Modell, das natürlich vieles nicht
berücksichtigt!)

Allerdings erreicht diese Funktion die Asymptote exponentiell schnell:
N_g - N(t) verhält sich für t gegen unendlich wie C*exp(-c*t) (etwa
in dem Sinne, dass der Quotient für geeignete c,C>0 gegen 1 konvergiert),
fällt also insbesondere schneller gegen 0 als für jede rationale Funktion,
die sich von unten der Asymptote N_g nähert.

Zudem hat N wie schon bemerkt für nicht allzu große t>0 ebenfalls
annäherend exponentielles Verhalten: Um sich das klarzumachen, braucht
man nur zu beobachten, dass für nicht allzu große t>0, der erste
Summand N_0 im Nenner gegenüber dem zweiten (nahezu N_g) klein ist
und daher mal zur Vereinfachung weggelassen werden kann: Schon steht
dort die reine Exponentialfunktion. Das ist zwar nur eine grobe
Heuristik, beschreibt das Verhalten für kleine t>0 aber sehr gut,
und das ist genau der Fall, den wir dieser Tage erleben.

[Ralf Bader]

Post by Stephan Gerlach
Wir gehen aus von einer abgeschlossenen Population, in der die Anzahl N
der zum Zeitpunkt t Infizierten Personen angegeben werden soll.
N_0 = Anzahl der am Anfang (Zeit t=0) infizierten Personen
N_g = Gesamt-Anzahl aller Personen in der Population (zu jedem Zeitpunkt
konstant)
t = Zeit (genauer: Zeitpunkt)
dt = (infinitesimales) Zeitintervall
K = Anzahl aller(!) Kontakte in der Population im Zeitintervall dt
N(t) = Anzahl der infinierten Personen zum Zeitpunkt t
dN = Anzahl neu infizierter Personen im Zeitintervall dt
k = verhaltensabhängige Konstante der Population, nicht von N_g oder t
abhängig, beschreibt die Anzahl aller Kontakte pro Gesamtzahl Personen
und pro Zeitintervall, also k = K/(N_g*dt)
K_{i,n} = Anzahl aller Kontakte der Art [infiziert<->nicht_infiziert] in
der Population im Zeitintervall dt
p = Wahrscheinlichkeit für einen beliebigen Kontakt, daß dieser Kontakt
von der Art [infiziert<->nicht_infiziert] ist.
- Eigentlich sind K, N(t), dN, K_{i,n} Zufallsvariablen, und man müßte
statt ihrer selbst deren Erwartungswerte benutzen. Der Einfachheit
halber identifizieren wir die Zufallsvariablen mit ihren Erwartungswerten.
- k ist zeitlich konstant (wurde schon erwähnt)
- Eine einmal infizierte Person bleibt der Population als infizierte
Person "erhalten". (Aufgrund dieser Annahme ist die Prognose als
pessimistisch zu bezeichnen.)
Gesucht ist N als Funktion von t, d.h. N(t).
Es gilt
K = k*N_g*dt
dN = K{i,n}
K_{in} = K*p
p = 2*n*(N_g-N)/((N_g*(N_g-1))
Das führt zur Differentialgleichung bzw. dem Anfangswertproblem
dN/dt = 2*k*N*(N_g-N)/(N_g-1)
N(0) = N_0.
N(t) = N_g/2 * [tanh(artanh(2*N_0/N_g-1) + k*N_g/(N_g-1)*t) + 1]
N(t) = a * tanh(b*t + c) + d.
mit gewissen Parametern a, b, c, d.
D.h. der Graph von N ist eine "verschobene und gestreckte/gestauchte"
Tangenshyperbolicus-Funktion.
Eine etwas einfachere(?) Form der Lösung lautet
N(t) = N_g*N_0 / (N_0 + (N_g-N_0)*e^[-2*k*N_g*t/(N_g-1)]).
Für t --> unendlich konvergiert das Ganze gegen N_g, was plausibel
erscheint.
Allerdings ist das kein exponentielles Wachstum von N(t), wie in den
Medien immer wieder behauptet wird, sondern ein tangenshyperbolisches.
Wahrscheinlich klingt "exponentiell" einfach nur besser, weil das jeder
Zuschauer gut aus der Schule kennt.
Bezieht man mögliche Heilungen mit ein, wird es vermutlich "noch weniger
exponentiell". Allerdings ist es wohl so, daß es am Anfang, d.h. für
kleine t, wie ein exponentielles Wachstum aussieht.

Ich habe das jetzt nicht genauer gelesen. In Murray, Mathematical
Biology I, ist Ch. 10 den "Dynamics of Infectious diseases" gewidmet, es
wird da ein vom Deinigen jedenfalls abweichendes Modell, von Kermack und
McKendrick 1927 angegeben, diskutiert, in dem ebenfalls
tangenshyperbolisches Wachstum auftritt. Siehe auch
https://en.wikipedia.org/wiki/Kermack%E2%80%93McKendrick_theory

[Hans Crauel]

Stephan Gerlach schrieb

Post by Stephan Gerlach
Wir gehen aus von einer abgeschlossenen Population, in der die Anzahl N
der zum Zeitpunkt t Infizierten Personen angegeben werden soll.
N_0 = Anzahl der am Anfang (Zeit t=0) infizierten Personen
N_g = Gesamt-Anzahl aller Personen in der Population (zu jedem Zeitpunkt
konstant)
t = Zeit (genauer: Zeitpunkt)
dt = (infinitesimales) Zeitintervall
K = Anzahl aller(!) Kontakte in der Population im Zeitintervall dt
N(t) = Anzahl der infinierten Personen zum Zeitpunkt t
dN = Anzahl neu infizierter Personen im Zeitintervall dt
k = verhaltensabhängige Konstante der Population, nicht von N_g oder t
abhängig, beschreibt die Anzahl aller Kontakte pro Gesamtzahl Personen
und pro Zeitintervall, also k = K/(N_g*dt)
K_{i,n} = Anzahl aller Kontakte der Art [infiziert<->nicht_infiziert] in
der Population im Zeitintervall dt
p = Wahrscheinlichkeit für einen beliebigen Kontakt, daß dieser Kontakt
von der Art [infiziert<->nicht_infiziert] ist.
- Eigentlich sind K, N(t), dN, K_{i,n} Zufallsvariablen, und man müßte
statt ihrer selbst deren Erwartungswerte benutzen.

Das ist eine Frage der Modellierung. Will man Zufall einbeziehen, so
müsste man spezifizieren, welcher Zufall in welcher Form eingehen
soll, und das müsste man eigentlich gut überlegen. Häufig wird bei
solchen Modelle einfach ein multiplikatives weißes Rauschen addiert,
vor allem weil man mit dem Ito-Kalkül schön rechnen kann.

Post by Stephan Gerlach
Der Einfachheit halber identifizieren wir die Zufallsvariablen mit ihren
Erwartungswerten.
- k ist zeitlich konstant (wurde schon erwähnt)
- Eine einmal infizierte Person bleibt der Population als infizierte
Person "erhalten". (Aufgrund dieser Annahme ist die Prognose als
pessimistisch zu bezeichnen.)
Gesucht ist N als Funktion von t, d.h. N(t).
Es gilt
K = k*N_g*dt
dN = K{i,n}
K_{in} = K*p
p = 2*n*(N_g-N)/((N_g*(N_g-1))
Das führt zur Differentialgleichung bzw. dem Anfangswertproblem
dN/dt = 2*k*N*(N_g-N)/(N_g-1)
N(0) = N_0.
N(t) = N_g/2 * [tanh(artanh(2*N_0/N_g-1) + k*N_g/(N_g-1)*t) + 1]
N(t) = a * tanh(b*t + c) + d.
mit gewissen Parametern a, b, c, d.
D.h. der Graph von N ist eine "verschobene und gestreckte/gestauchte"
Tangenshyperbolicus-Funktion.
Eine etwas einfachere(?) Form der Lösung lautet
N(t) = N_g*N_0 / (N_0 + (N_g-N_0)*e^[-2*k*N_g*t/(N_g-1)]).
Für t --> unendlich konvergiert das Ganze gegen N_g, was plausibel
erscheint.
Allerdings ist das kein exponentielles Wachstum von N(t), wie in den
Medien immer wieder behauptet wird, sondern ein tangenshyperbolisches.
Wahrscheinlich klingt "exponentiell" einfach nur besser, weil das jeder
Zuschauer gut aus der Schule kennt.
Bezieht man mögliche Heilungen mit ein, wird es vermutlich "noch weniger
exponentiell". Allerdings ist es wohl so, daß es am Anfang, d.h. für
kleine t, wie ein exponentielles Wachstum aussieht.

Das ist ein einfaches, aber nicht unrealistisches Modell, im
wesentlichen die "logistische Differentialgleichung".
Weitere Modelle werden in Jan W. Prüß, Roland Schnaubelt und
Rico Zacher, "Mathematische Modelle in der Biologie", Birkhäuser 2008,
vorgestellt und untersucht, insbesondere in Kapitel II: "Infektionen"
und Kapitel III: "Viren und Prionen".

Aber das Gerede vom "exponentiellen Wachstum" ist natürlich Unfug,
sobald es sich auf asymptotisches Verhalten beziehen soll, oder
banal, wenn es sich auf beschränkte Zeitintervalle beziehen soll.
Die Lösung jeder skalaren Differentialgleichung dx/dt = f(x) (oder
auch dx/dt = f(x,t)) mit f(x(t_0)) > 0 für einen Zeitpunkt t_0
wächst ab t_0 "erst einmal" exponentiell.

Hans

[Walter H.]

Post by Hans Crauel
Aber das Gerede vom "exponentiellen Wachstum" ist natürlich Unfug,

nein eigentlich nicht;
die Kurve in einzelnen Ländern zeigt das sehr deutlich;

Vorsicht: wenn jetzt - nach offiziellen, aber nicht hinreichend
bewiesenen Zahlen - weltweit bei gerade mal weniger als ½ Mio (inkl. dem
Ursprung in China) eine Infektion nachgewiesen ist, ist ohne
entsprechende Maßnahmen noch länger ein exponentielles Wachstum;

am Beispiel der USA, die haben Stand heute (24. Mrz. 2020, 11:21)
mehr als 45000 Fälle bei knapp 600 Toten;
(Quelle:
https://gisanddata.maps.arcgis.com/apps/opsdashboard/index.html#/bda7594740fd40299423467b48e9ecf6)

schauen wir mal was in rund 1 Monat in den USA los ist, wenn da dann bei
deutlich mehr als mehr als 50% der Bevölkerung eine Infektion
nachgewiesen wurde,
sagste dann auch noch '"exponentielles Wachstum" ist natürlich Unfug'?

[Stephan Gerlach]

Post by Walter H.

Post by Hans Crauel
Aber das Gerede vom "exponentiellen Wachstum" ist natürlich Unfug,

nein eigentlich nicht;
die Kurve in einzelnen Ländern zeigt das sehr deutlich;

An der Kurve allein kann man sowas wie "exponentielles Wachstum" ohne
genaueres Hinsehen erstmal nicht erkennen.
Das einzige, was man erkennen ist, daß die Kurve positiv, monoton
steigend und konvex ist, was bedeutet, daß die 0., 1. und 2. Ableitung
größer als 0 sind:
N(t) > 0
N'(t) > 0
N''(t) > 0

Das Bedingungen trifft aber auch bereits auf ganz einfache quadratische
Funktionen zu, so daß man in diesem Fall von "parabolischem
Wachstum"(??) sprechen würde/könnte.

[Walter H.]

Post by Stephan Gerlach

Post by Walter H.

Post by Hans Crauel
Aber das Gerede vom "exponentiellen Wachstum" ist natürlich Unfug,

nein eigentlich nicht;
die Kurve in einzelnen Ländern zeigt das sehr deutlich;

An der Kurve allein kann man sowas wie "exponentielles Wachstum" ohne
genaueres Hinsehen erstmal nicht erkennen.

na sobald die Quotienten ( y_<k+1> - y_<k> ) / (x_<k+1> - x_<k>) was
annähernd konstantes ergeben, solltest bei Deiner Betrachtung mal
nachdenken, was das sein könnte;

und Diskrete Abbildung durch dei Differentialrechnung zu jagen ist
kompletter Quark;
es gibt keine ¾ Personen(!)

[Stephan Gerlach]

Post by Walter H.

Post by Stephan Gerlach

Post by Walter H.

Post by Hans Crauel
Aber das Gerede vom "exponentiellen Wachstum" ist natürlich Unfug,

nein eigentlich nicht;
die Kurve in einzelnen Ländern zeigt das sehr deutlich;

An der Kurve allein kann man sowas wie "exponentielles Wachstum" ohne
genaueres Hinsehen erstmal nicht erkennen.

na sobald die Quotienten ( y_<k+1> - y_<k> ) / (x_<k+1> - x_<k>) was
annähernd konstantes ergeben, solltest bei Deiner Betrachtung mal
nachdenken, was das sein könnte;

Wie siehst du das aus der Kurve, daß die Quotienten was annähernd
Konstantes ergeben?
Nochmal: Man sieht nur das, was ich über die Ableitungen geschrieben
habe. Ohne "genauer hinzusehen" oder weitere Informationen ist nicht
ersichtlich, ob das nun exponentiell oder parabolisch oder irgendwas
anderes ist.

Post by Walter H.
und Diskrete Abbildung

Von welcher "diskreten Abbildung" sprichst du hier konkret?

Post by Walter H.
durch dei Differentialrechnung zu jagen ist
kompletter Quark;
es gibt keine ¾ Personen(!)

Du meinst wahrscheinlich den Fakt, daß bei den üblichen Modellierungen
N(t) als stetige Funktion der Variable t angenommen wird, was zur Folge
hat, daß der Wertebereich ein Kontinuum ist, also z.B. auch - rein
rechnerisch - N = ¾ "rauskommen kann".
Eine solche Vorgehensweise hat sich allerdings in der Mathematik
bewährt, also daß man "diskrete Vorgänge" durch stetige Funktionen
modelliert.
Im Zweifelsfall kann man ja im Ergebnis wieder nur die natürlichen
Zahlen als Definitions- und Wertebereich zulassen.

[Walter H.]

Post by Stephan Gerlach
Von welcher "diskreten Abbildung" sprichst du hier konkret?

von der, dass es nur ganze Personen gibt, die gesund/krank/tot sind;

bei der Zinseszinsrechnung hast Glück, es gibt auch Bruchstücke eines
Euros, heißen Cent;

Von daher kannst in die Zahlen alles reininterpretieren;
Du kannst es kompliziert mit tanh, artanh, ... oder einfach mit exp
haben; denn es geht nur um diskrete Werte;

klar, es werden Maßnahmen in den einzelnen Ländern gesetzt;
Ausgehbeschränkungen, Ausgangsverbote, ...
diese beeinflussen natürlich das Wachstum der Erkrankten;

und der Kardinalsfehler schlechthin; nur weil wir gesichert wissen,
dass x Personen positiv auf Grund bereits vorhandener Symptome positiv
auf das Virus getestet wurden, wissen wir nicht, wieviele es noch haben,
und weiterhin Überträger der Krankheit sind ...

genau dass ist ja der Witz der Sache, bereits bei den ersten 10
nachgewiesenen Fällen mit Symptomen hätte eine Ausgangssperre verhängt
werden müssen ...

[Stephan Gerlach]

Post by Walter H.

Post by Stephan Gerlach
Von welcher "diskreten Abbildung" sprichst du hier konkret?

von der, dass es nur ganze Personen gibt, die gesund/krank/tot sind;

Das ist keine Abbildung im Sinne der Mathematik.
Siehe z.B.: <https://mathepedia.de/Abbildungen_und_Funktionen.html> oder
<https://de.wikibooks.org/wiki/Mathe_f%C3%BCr_Nicht-Freaks:_Abbildung,_Funktion>.

Post by Walter H.
bei der Zinseszinsrechnung hast Glück, es gibt auch Bruchstücke eines
Euros, heißen Cent;
Von daher kannst in die Zahlen alles reininterpretieren;
Du kannst es kompliziert mit tanh, artanh, ... oder einfach mit exp
haben; denn es geht nur um diskrete Werte;

Ähem... auch eine Exponentialfunktion hat nicht-ganzzahlige Werte im
Wertebereich.

Und es geht nicht darum, daß immer "alles möglichst einfach" sein soll,
sondern um einen Sachverhalt möglichst realitätsnah darzustellen.

Post by Walter H.
klar, es werden Maßnahmen in den einzelnen Ländern gesetzt;
Ausgehbeschränkungen, Ausgangsverbote, ...
diese beeinflussen natürlich das Wachstum der Erkrankten;
und der Kardinalsfehler schlechthin; nur weil wir gesichert wissen,
dass x Personen positiv auf Grund bereits vorhandener Symptome positiv
auf das Virus getestet wurden, wissen wir nicht, wieviele es noch haben,
und weiterhin Überträger der Krankheit sind ...

Die Leute, die jetzt positiv getestet werden, haben sich vermutlich
größtenteils noch vor den ganzen Ausgangsbeschränkungen infiziert.
Vor 2 Wochen (Inkubationszeit?) gab's die Beschränkungen noch nicht in
der Form so wie jetzt.

Post by Walter H.
genau dass ist ja der Witz der Sache, bereits bei den ersten 10
nachgewiesenen Fällen mit Symptomen hätte eine Ausgangssperre verhängt
werden müssen ...

Bei anderen infektiösen Krankheiten (z.B. Grippe) macht man das ja auch
nicht. Es ist insofern irgendwo "verständlich", daß man verspätet
reagiert hat.

[Walter H.]

Post by Stephan Gerlach

Post by Walter H.

Post by Stephan Gerlach
Von welcher "diskreten Abbildung" sprichst du hier konkret?

von der, dass es nur ganze Personen gibt, die gesund/krank/tot sind;

Das ist keine Abbildung im Sinne der Mathematik.

dann sollte auch die Mathematik f. derartige Sachverhalte nicht
herangezogen werden;

Post by Stephan Gerlach
Ähem... auch eine Exponentialfunktion hat nicht-ganzzahlige Werte im
Wertebereich.

darum ist das ja auch nur Daumen mal Pi; die USA sind hier ein gutes
Beispiel - wenngleich sie in der Causa kompletten Unfug bauen - dort
hast tatsächlich, wenn Du auf der x Achse nach Tagen skalierst und auf
der y Achse nach bezahlten nachgewiesenen Fällen auf Grund von Symptomen
skalierst; irgendwie einen exponentiellen Verlauf;

und n^k mit n aus IN und k aus IN ist immer ganzzahlig, nur nebenbei
erwähnt, und das sind auch Exponentialfunktionen ...

Post by Stephan Gerlach
Und es geht nicht darum, daß immer "alles möglichst einfach" sein soll,
sondern um einen Sachverhalt möglichst realitätsnah darzustellen.

wenn das nun doch einfach ist?

Post by Stephan Gerlach

Post by Walter H.
genau dass ist ja der Witz der Sache, bereits bei den ersten 10
nachgewiesenen Fällen mit Symptomen hätte eine Ausgangssperre verhängt
werden müssen ...

Bei anderen infektiösen Krankheiten (z.B. Grippe) macht man das ja auch
nicht.

dort ist die Sterblichkeit auch nur ein Bruchteil zum einem und zum
anderen kann man sich davor mittels einer Impfung schützen ...

Post by Stephan Gerlach
Es ist insofern irgendwo "verständlich", daß man verspätet
reagiert hat.

ja wenn man die geschönten Zahlen als die Bibel betrachtet; dass die
Zahlen von China hinten und vorne nicht stimmen können, sollte nun jetzt
jeder erkennen, der 1 und 1 zuammenzählen kann ...

die Pandemie wäre zu verhindern gewesen ...

wie heißt es so schön: 'lieber ein Ende mit Schrecken, als ein Schrecken
ohne Ende';
aber wahrscheinlich ist das passender: 'quod licet bovi, non licet jovi';

[Juergen Ilse]

Hallo,

Post by Walter H.

Post by Stephan Gerlach

Post by Walter H.
genau dass ist ja der Witz der Sache, bereits bei den ersten 10
nachgewiesenen Fällen mit Symptomen hätte eine Ausgangssperre verhängt
werden müssen ...

Bei anderen infektiösen Krankheiten (z.B. Grippe) macht man das ja auch
nicht.

dort ist die Sterblichkeit auch nur ein Bruchteil zum einem

Ueber die Sterblichkeit beim neuen Corona-Virus weiss man exakt *gar*
*nichts*. Um die Sterblichkeit zu ermitteln, muesste man zum einen bei
den sogenannten "Corona-Toten" wirklich die Todesursache wissen (oder
wenigstens eine Abschaetzung, bei wie vielen davon die Infektion mit
Covid-19 ursaechlich etwas mit dem Tod zu tun hatte), aber diese Zahlen
fehlen, denn jeder Tote mit nachgewiesener Covid-19 Infektion gilt als
"Corona-Toter", selbst wenn er mit dem Auto ueberfahren wurde. OK, die
letzte Bemerkung war polemisch, aber der Corona-Tote Nr. 52 in Deut-
schland war ein mehr als 80-jaehriger Mann mit Krebs im Endstadium,
der ein Hospiz aufsuchte, um dort in Frieden zu sterben. Da man bei
ihm *zusaetzlich* eine Covid-19 Infektion festgestellt hat, zaehlte
man ihn zu den Corona-Toten, obwohl er auch ohne Infektion im Laufe
der Woche gestorben waere. Wenn das Virus ueberhaupt etwas an seiner
lebensspanne geaendert hatz, dann nur maximal wenige Tage.
Dieser Mann ist nicht an Corona, sondern (nur zufaellig) *mit* Corona
gestorben. Niemand weiss, wie viele Personen noch *mit* Corona statt
*an* Corona gestorben sind.
Ausserdem muesste man zur Ermittlung der Sterblichkeit die wirkliche
Zahl an infizierten kennen, man kennt aber nur die Zahl der
*nachgewiesenen* Infektionen, und dass diese beiden Zahlen durchaus
auch um den Faktor 10 auseinanderliegen koennten, hat AFAIk mittler-
weile sogar das RKI eingeraeumt (ich denke, es koennte auch durchaus
Faktor 20 oder 30 sein, da ein sehr grosser Teil voellig ohne Symptome
bleibt und vom Rest der groesste Teil nur so leichte Symptome aufweist,
dass viele deswegen noch nicht einmal einen Arzt aufsuchen). i

Die Sterblichkeit wuerde sich errechnen aus dem Quotienten aus Covid-19
*verursachten* Todesfaellen und der *Gesamtzahl* aller Covid-19 Infektionen.
Beide Zahlen liegen (wenn man denn ehrlich ist) *voellig* im dunkeln,
sind also noch nicht einmal ansatzweise bekannt (u.a. weil nur so selektiv
getestet wird, aber fuer flaechendeckende Tests gibt es nicht genug
Testkapazitaeten, und mit dem PCR Test laesst sich nicht ermitteln,
wie gross der Anteil derer ist, die die Infektion bereits hinter sich
haben und eine Immunitaet aufgebaut haben).

Post by Walter H.
und zum anderen kann man sich davor mittels einer Impfung schützen ...

Dir ist bekannt, dass gerade bei der Risikogruppe der *Alten* bei ca.
20% die Impfung wirkungslos bleibt, weil sich das Immunsystem nicht mehr
an die Impfung anpassen kann?

Post by Walter H.

Post by Stephan Gerlach
Es ist insofern irgendwo "verständlich", daß man verspätet
reagiert hat.

ja wenn man die geschönten Zahlen als die Bibel betrachtet; dass die
Zahlen von China hinten und vorne nicht stimmen können, sollte nun jetzt
jeder erkennen, der 1 und 1 zuammenzählen kann ...
die Pandemie wäre zu verhindern gewesen ...

Die saisonale Grippe vor 2 Jahren forderte allein Deutschland ueber
25.000 Tote (weltweit mehr als 1,5 Mio), und zaehlte nicht als welt-
weite Pandemie. Mit welcher Begruendung wird Covid-19 als solche
eingestuft?

Tschuess,
Juergen Ilse (***@usenet-verwaltung.de)

[Walter H.]

Post by Juergen Ilse
Die saisonale Grippe vor 2 Jahren forderte allein Deutschland ueber
25.000 Tote (weltweit mehr als 1,5 Mio), und zaehlte nicht als welt-
weite Pandemie.

ja das sind die Toten, und wieviele hat es damit ins Bett gebracht und
haben es überlebt?

Post by Juergen Ilse
Mit welcher Begruendung wird Covid-19 als solche
eingestuft?

siehe Antwort darüber ...

einfach 1 und 1 zusammenzählen;

[Walter H.]

Post by Juergen Ilse
Mit welcher Begruendung wird Covid-19 als solche
eingestuft?

im Gegensatz zur Grippe, welche bei wärmeren Temperaturen abflaut, hat
dies bei Covid-19 keinen Einfluß ...
(das steht auf der WHO-Seite, man muss es nur lesen)

[Juergen Ilse]

Hallo,

Post by Walter H.

Post by Juergen Ilse
Die saisonale Grippe vor 2 Jahren forderte allein Deutschland ueber
25.000 Tote (weltweit mehr als 1,5 Mio), und zaehlte nicht als welt-
weite Pandemie.

ja das sind die Toten, und wieviele hat es damit ins Bett gebracht und
haben es überlebt?

Mit Sicherheit um ein vielfaches mehr als die Zahl der bestaetigten Faelle
bei Covid-19 bis jetzt. Den Veroeffentlichungen ueber die damalige Grippe
zu folge gab es allein in Deutschland in der Grippesaison 2017/2018 schaet-
zungsweise 9 Mio grippebedingte Arztbesuche (und wer sich nicht wirlich
krank fuehltie wird wohl eher nicht deswegen zum Arzt gegangen sein ...).

Post by Walter H.

Post by Juergen Ilse
Mit welcher Begruendung wird Covid-19 als solche
eingestuft?

siehe Antwort darüber ...
einfach 1 und 1 zusammenzählen;

s
Habe ich. Du auch?

Tschuess,
Juergen Ilse (***@usenet-verwaltung.de)

[Walter H.]

Post by Juergen Ilse
Hallo,

Post by Walter H.

Post by Juergen Ilse
Die saisonale Grippe vor 2 Jahren forderte allein Deutschland ueber
25.000 Tote (weltweit mehr als 1,5 Mio), und zaehlte nicht als welt-
weite Pandemie.

ja das sind die Toten, und wieviele hat es damit ins Bett gebracht und
haben es überlebt?

Mit Sicherheit um ein vielfaches mehr als die Zahl der bestaetigten Faelle
bei Covid-19 bis jetzt.

siehste ...

[Juergen Ilse]

Hallo,

Post by Walter H.

Post by Juergen Ilse

Post by Walter H.

Post by Juergen Ilse
Die saisonale Grippe vor 2 Jahren forderte allein Deutschland ueber
25.000 Tote (weltweit mehr als 1,5 Mio), und zaehlte nicht als welt-
weite Pandemie.

ja das sind die Toten, und wieviele hat es damit ins Bett gebracht und
haben es überlebt?

Mit Sicherheit um ein vielfaches mehr als die Zahl der bestaetigten Faelle
bei Covid-19 bis jetzt.

siehste ...

Aha. Die Grippewelle 2017/2018 war keine weltweite Pandemie, weil sie viel
gravierender als Covid-19 (das als weltweite Pandemie eingestuft ist) war.
Irgendwie klingt das fuer mich nicht unbedingt ueberzeugend ...

Tschuess,
Juergen Ilse (***@usenet-verwaltung.de)

[Walter H.]

Post by Juergen Ilse
Hallo,

Post by Walter H.

Post by Juergen Ilse

Post by Walter H.

Post by Juergen Ilse
Die saisonale Grippe vor 2 Jahren forderte allein Deutschland ueber
25.000 Tote (weltweit mehr als 1,5 Mio), und zaehlte nicht als welt-
weite Pandemie.

ja das sind die Toten, und wieviele hat es damit ins Bett gebracht und
haben es überlebt?

Mit Sicherheit um ein vielfaches mehr als die Zahl der bestaetigten Faelle
bei Covid-19 bis jetzt.

siehste ...

Aha. Die Grippewelle 2017/2018 war keine weltweite Pandemie, weil sie viel
gravierender als Covid-19 (das als weltweite Pandemie eingestuft ist) war.

das ist deine leider falsche Meinung.

Post by Juergen Ilse
Irgendwie klingt das fuer mich nicht unbedingt ueberzeugend ...

wenn man nicht 1 und 1 zusammenzählt ist nur die eigene - leider falsche
- Meinung überzeugend;

[Alfred Flaßhaar]

(...)

Alles sehr interessant zu lesen. Und es wird sichtbar, wie schwer es
ist, vernünftige Annahmen und Voraussetzungen für eine Modellbildung zu
schaffen. Und selbst wenn die DGL´s stehen, dann kann es erst richtig
losgehen mit Stabilitätsuntersuchungen und/oder z. B. Bifurkation.

Gruß, Alfred

[Martin Vaeth]

["Followup-To:" header set to de.sci.mathematik.]

Post by Alfred Flaßhaar
(...)
Alles sehr interessant zu lesen. Und es wird sichtbar, wie schwer es
ist, vernünftige Annahmen und Voraussetzungen für eine Modellbildung zu
schaffen.

Realistischere Epidemiemodelle bestehen nicht aus einer einzigen Dgl,
sondern sie berücksichtigen auch die räumliche Verteilung - man hat
also tatsächlich eine partielle Differentialgleichung mit räumlichen
Inhomogenitäten - sowie ggf. die zeitliche Verzögerung, typischerweise
räumlich und/oder zeitlich aufintegriert. Man ist also sehr schnell
bei einer partiellen Integro-Differentialgleichung mit räumlichen
und/oder zeitlichen Verschiebungen, die durchaus ganz andere
Eigenschaften haben kann (z.B. keineswegs zu Beginn "überall"
exponentielles Wachstum vorweisen muss).

Post by Alfred Flaßhaar
Und selbst wenn die DGL´s stehen, dann kann es erst richtig
losgehen mit Stabilitätsuntersuchungen und/oder z. B. Bifurkation.

Ja, wobei man natürlich nie sicher sein kann, dass das Modell die
Wirklichkeit abdeckt. Zunächst stehen daher meist erst mal
Existenzaussagen: Man sollte zumindest sicher sein, dass man nirgendwo
zu sehr idealisiert und ein mathematisches Modell konstruiert hat, das
gar keine Lösung hat (unabhängig davon, ob irgendeine Diskretisierung
im Rechner eine "plausible" Lösung liefert).

[Carlos Naplos]

Post by Juergen Ilse
Hallo,

Post by Walter H.

Post by Stephan Gerlach

Post by Walter H.
genau dass ist ja der Witz der Sache, bereits bei den ersten 10
nachgewiesenen Fällen mit Symptomen hätte eine Ausgangssperre verhängt
werden müssen ...

Bei anderen infektiösen Krankheiten (z.B. Grippe) macht man das ja auch
nicht.

dort ist die Sterblichkeit auch nur ein Bruchteil zum einem

Ueber die Sterblichkeit beim neuen Corona-Virus weiss man exakt *gar*
*nichts*. Um die Sterblichkeit zu ermitteln, muesste man zum einen bei
den sogenannten "Corona-Toten" wirklich die Todesursache wissen (oder
wenigstens eine Abschaetzung, bei wie vielen davon die Infektion mit
Covid-19 ursaechlich etwas mit dem Tod zu tun hatte), aber diese Zahlen
fehlen, denn jeder Tote mit nachgewiesener Covid-19 Infektion gilt als
"Corona-Toter", selbst wenn er mit dem Auto ueberfahren wurde. OK, die
letzte Bemerkung war polemisch, aber der Corona-Tote Nr. 52 in Deut-
schland war ein mehr als 80-jaehriger Mann mit Krebs im Endstadium,
der ein Hospiz aufsuchte, um dort in Frieden zu sterben. Da man bei
ihm *zusaetzlich* eine Covid-19 Infektion festgestellt hat, zaehlte
man ihn zu den Corona-Toten, obwohl er auch ohne Infektion im Laufe
der Woche gestorben waere. Wenn das Virus ueberhaupt etwas an seiner
lebensspanne geaendert hatz, dann nur maximal wenige Tage.
Dieser Mann ist nicht an Corona, sondern (nur zufaellig) *mit* Corona
gestorben. Niemand weiss, wie viele Personen noch *mit* Corona statt
*an* Corona gestorben sind.
Ausserdem muesste man zur Ermittlung der Sterblichkeit die wirkliche
Zahl an infizierten kennen, man kennt aber nur die Zahl der
*nachgewiesenen* Infektionen, und dass diese beiden Zahlen durchaus
auch um den Faktor 10 auseinanderliegen koennten, hat AFAIk mittler-
weile sogar das RKI eingeraeumt (ich denke, es koennte auch durchaus
Faktor 20 oder 30 sein, da ein sehr grosser Teil voellig ohne Symptome
bleibt und vom Rest der groesste Teil nur so leichte Symptome aufweist,
dass viele deswegen noch nicht einmal einen Arzt aufsuchen). i
Die Sterblichkeit wuerde sich errechnen aus dem Quotienten aus Covid-19
*verursachten* Todesfaellen und der *Gesamtzahl* aller Covid-19 Infektionen.
Beide Zahlen liegen (wenn man denn ehrlich ist) *voellig* im dunkeln,
sind also noch nicht einmal ansatzweise bekannt (u.a. weil nur so selektiv
getestet wird, aber fuer flaechendeckende Tests gibt es nicht genug
Testkapazitaeten, und mit dem PCR Test laesst sich nicht ermitteln,
wie gross der Anteil derer ist, die die Infektion bereits hinter sich
haben und eine Immunitaet aufgebaut haben).

Post by Walter H.
und zum anderen kann man sich davor mittels einer Impfung schützen ...

Dir ist bekannt, dass gerade bei der Risikogruppe der *Alten* bei ca.
20% die Impfung wirkungslos bleibt, weil sich das Immunsystem nicht mehr
an die Impfung anpassen kann?

Post by Walter H.

Post by Stephan Gerlach
Es ist insofern irgendwo "verständlich", daß man verspätet
reagiert hat.

ja wenn man die geschönten Zahlen als die Bibel betrachtet; dass die
Zahlen von China hinten und vorne nicht stimmen können, sollte nun jetzt
jeder erkennen, der 1 und 1 zuammenzählen kann ...
die Pandemie wäre zu verhindern gewesen ...

Die saisonale Grippe vor 2 Jahren forderte allein Deutschland ueber
25.000 Tote (weltweit mehr als 1,5 Mio), und zaehlte nicht als welt-
weite Pandemie. Mit welcher Begruendung wird Covid-19 als solche
eingestuft?

Mit dem, was Du über das Zustandekommen der Zahl der
Covid-19-assoziierten Todesfälle geschrieben hast, hast Du im Grunde recht.

Allerdings verhält es sich mit der Zahl der Influenza-assoziierten
Todesfälle nicht anders.

Siehe "Bericht zur Epidemiologie der Influenza in Deutschland
Saison 2018/19", Kap. 5.3
(https://edoc.rki.de/bitstream/handle/176904/6253/RKI_Influenzabericht_2018-19.pdf)
des RKI

Die 25.100 Todesfälle durch Influenza gemäß der "Exzess-Schätzung"
korrespondieren dort mit immer noch beachtlichen 1.674 laborbestätigten
Todesfälle (gemäß IfSG).

Bei den 3059 Verkehrstoten (Deutschland 2019, weltweit über 1,3 Mio) ist
die Kategorisierung sicher einfacher.
Und die Frage nach nicht ganz so drastischen Maßnahmen (Tempolimit) wie
die, die bei Corona notwendig zu sein scheinen, sei erlaubt.

CN

[Walter H.]

Post by Carlos Naplos
Bei den 3059 Verkehrstoten (Deutschland 2019, weltweit über 1,3 Mio) ist
die Kategorisierung sicher einfacher.

mag sein;

Post by Carlos Naplos
Und die Frage nach nicht ganz so drastischen Maßnahmen (Tempolimit) wie
die, die bei Corona notwendig zu sein scheinen, sei erlaubt.

hat aber nur im Vergleich zu den Maßnahmen, welche momentan wegen Corona
getroffen wurden kaum Auswirkung;

hier ist auch der Riesenunterschied:
von einem Tempolimit sind nur die betroffen die da fahren; ohne PKW
kannst Du als Fußgänger zwar im urbanen Raum oder auf überlandstraßen
zwar ebenfalls ein Verkehrstoter sein, der Verursacher ist hier
wissentlich der Autofahrer - es gibt keinen Verkehrsunfall, bei dem
technisches Gebrechen die Ursache war - es ist immer der Faktor Mensch,
sei es aus Dummheit wegen Trunkenheit, Übermüdung oder Drogen am Steuer
oder aus Gründen von Selbstüberschätzung, was auch wieder als Dummheit
zu werten ist;

hingegen bei Corona, kannst Du es bekommen, ohne daß der Überträger zum
Zeitpunkt der Ansteckung etwas weiss, das macht es auch so schlimm ...

der Vergleich mit Grippe ist nicht zulässig; da Du hier wegen der doch
kurzen Inkubationszeit gar nicht die "Chance" hast viele anzustecken,
weil Du schneller im Bett landest als dir lieb ist;
bei Corona ist das aber nicht; 2 Wochen Inkubationszeit sind hier sehr
sehr lange;

[Juergen Ilse]

Hallo,

Post by Walter H.
der Vergleich mit Grippe ist nicht zulässig; da Du hier wegen der doch
kurzen Inkubationszeit gar nicht die "Chance" hast viele anzustecken,
weil Du schneller im Bett landest als dir lieb ist;
bei Corona ist das aber nicht; 2 Wochen Inkubationszeit sind hier sehr
sehr lange;

Bei Covid-19 liegt die Inkubationszeit zwischen 2 und 14 Tagen (nach neuesten
Erkenntnissen in seltenen Faellen bis zu 24 Tage). Der Durchschnitt wurde bis-
lang mit 5 Tagen angenommen, nach neuesten Erkenntnissen wird aber eher von
durchschnittlich 3 Tagen ausgegangen. *SOOO* unbterschiedlich zur Influenza
ist zumindest der Durchschnittswert ggfs. gar nicht (die "Streuung" ist aber
zugegebenermassen vermutlich hoeher als bei der Influenza, aber rechtfertigt
das die doch *sehr* drastischen Massnahmen mit katastrophalen Auswirkungen
fuer unsere gesamte Wirtschaft?) ...

Tschuess,
Juergen Ilse (***@usenet-verwaltung.de)

[Walter H.]

Post by Juergen Ilse
Hallo,

Post by Walter H.
der Vergleich mit Grippe ist nicht zulässig; da Du hier wegen der doch
kurzen Inkubationszeit gar nicht die "Chance" hast viele anzustecken,
weil Du schneller im Bett landest als dir lieb ist;
bei Corona ist das aber nicht; 2 Wochen Inkubationszeit sind hier sehr
sehr lange;

Der Durchschnitt wurde bis-
lang mit 5 Tagen angenommen, nach neuesten Erkenntnissen wird aber eher von
durchschnittlich 3 Tagen ausgegangen.

wie komisch, dass es nach einem ganzzahligem Vielfachen dieser Perioden
der Ausgangsbeschränkungen dann doch so viele Fälle gibt ...

doch etwas infektiöser als Grippe, meinst nicht?

[Walter H.]

Post by Juergen Ilse
Hallo,

aber rechtfertigt das die doch *sehr* drastischen Massnahmen

Ja.

Das ist deine Meinung (die ich auch durchaus akzeptiere), aber man kann in
diesem Punkt durchaus auch anderer Meinung sein, ohne deswegen gleich als
"asozial" oder "unsolidarisch" eingestuft werden zu muessen.

doch das wirst Du damit; weil Du anscheinend immer noch nicht begriffen
hast, dass die Lage ernst ist;
Berichte aus Spanien/Italien vom schlimmsten wurden dir ja bereits vor
Augen geführt;

und es sei auch noch erwähnt, dass bei Grippeepidemien kein
medizinisches Personal an den Folgen der Grippe stirbt - da noch bevor
die Grippeepidemien so richtig zum Ausbruch kommen, zumindest dieser
Teil der Bevölkerung aktiv immunisiert wurde;

[Juergen Ilse]

Hallo,

Post by Carlos Naplos
Die 25.100 Todesfälle durch Influenza gemäß der "Exzess-Schätzung"
korrespondieren dort mit immer noch beachtlichen 1.674 laborbestätigten
Todesfälle (gemäß IfSG).

... wobei man vermutlich (trotz der gravierenden Auswirkungen der Influenza
damals) noch erheblich weniger getestet hat, als bei Covid-19 (und aus die-
sem Grunde weniger "bestaetigte Faelle"). Sieht Covid-1o evt. nur deshalb
gravierender aus, weil wir "genauer hinschauen"?

Post by Carlos Naplos
Bei den 3059 Verkehrstoten (Deutschland 2019, weltweit über 1,3 Mio) ist
die Kategorisierung sicher einfacher.
Und die Frage nach nicht ganz so drastischen Maßnahmen (Tempolimit) wie
die, die bei Corona notwendig zu sein scheinen, sei erlaubt.

Sicher ist die Frage erlaubt (das wuerde ich moeglicherweise sogar be-
gruessen), nur hat die nichts mit der Einstufung der Influenza oder
Covid-19 als Pandemie oder nicht zu tun, ebenso wenig wie mit den aktuellen
Massnahmen gegen Covid-19 ...

Tschuess,
Juergen Ilse (***@usenet-verwaltung.de)

[Gottfried Helms]

Post by Juergen Ilse
Ausserdem muesste man zur Ermittlung der Sterblichkeit die wirkliche
Zahl an infizierten kennen, man kennt aber nur die Zahl der
*nachgewiesenen* Infektionen, und dass diese beiden Zahlen durchaus
auch um den Faktor 10 auseinanderliegen koennten, hat AFAIk mittler-
weile sogar das RKI eingeraeumt (ich denke, es koennte auch durchaus
Faktor 20 oder 30 sein, da ein sehr grosser Teil voellig ohne Symptome
bleibt und vom Rest der groesste Teil nur so leichte Symptome aufweist,
dass viele deswegen noch nicht einmal einen Arzt aufsuchen). i
Die Sterblichkeit wuerde sich errechnen aus dem Quotienten aus Covid-19
*verursachten* Todesfaellen und der *Gesamtzahl* aller Covid-19 Infektionen.
Beide Zahlen liegen (wenn man denn ehrlich ist) *voellig* im dunkeln,
sind also noch nicht einmal ansatzweise bekannt

Es müßte in den Daten auf individueller Ebene "Verläufe" geben,
durch die die Öff. dann sehen könnte, vieviel getestet-positive
sich erholen oder sterben. Und wie lange die Corona-Episode
dauert, bis "Recovery" oder "Death".
Leider geben die kumulierten verfügbaren Daten so etwas nicht
her.
Ich habe mal versucht zu probieren, ob man Argumente für eine
durchschnittliche Episoden-Dauer von "pos. getestet" bis "Death"
finden kann, und zwar indem ich eine Episoden-Dauer von x Tagen
annehme und dann eine (angenommene) Kohorten-Sterblichkeit berechne
als Ratio zwischen der Verstorbenen-Anzahl eines Tages t zu der
"pos. getesteten" am tag t-x .
Ich fand es ermutigend, daß man anscheinend eine "optimale"
Schätzung für x finden kann, wenn man die Konstanz der
Kohorten-Sterblichkeit über alle Tage erreichen will.
Da es eine gewisse Fummelei auf Excel-Datenebene (Basis:Johns-
Hopkins-Daten) erfordert passende Grafiken zu basteln, habe ich
das bisher nur für D und I gemacht.
Wenn ich für Deutschland für x=12 Tage ansetze, bekomme ich die
relative Kohortensterblichkeit ("rKs") von ca 6% - der Wert stabilisiert sich
nach den ersten 5 Tagen mit vorhandenen Todesmeldungen;
für Italien bekomme ich mit x=5 ca 18% .
Hierbei gibt es eine weitere Konvergenz: wenn ich einen höheren
x-Wert ansetze, sinkt die anfangs höhere rKs gegen diesen Wert;
wenn ich einen niedrigeren x-Wert ansetze, steigt die anfangs nie-
drigere rKs gegen ungefähr diese Wert.
Wenn ich dieses x=0 setze, also die übliche Sterblichkeitsquote
"deaths"/"confirmed" vom selben Tag berechne, wächst die rks vom
sehr kleinen Wert und nähert sich aber ziemlich kontinuierlich
(prognostisch) zu dem Wert rKs(D)=6% bzw rKs(I)=19% an.

Diese erreichte Konstanz eines bedeutenden Parameters in der
Datensammlung für einzelne Länder macht mir die Sache sehr
verführerisch - was halten andere "profis" hier von so einer
Heuristik?

Ein link, an dem ich das einem JHU-Daten-verbesserer (Tippfehler,
Inkonsistenzen auflösen etc) vorgeschlagen habe und mit 2 Excel-Grafiken
illustriert habe.

https://github.com/cipriancraciun/covid19-datasets/issues/8

Der Autor (private Initiative, keine kommerzielle Verwendung erwünscht)
updated seine Daten täglich und man kann sie im *.tsv/*.csv
oder im *.Jason-Format für die eigene Auswertung downloaden.
Die Excel Datei mit den Daten vom 25.3. kann ich gerne verfübar machen.
Falls Interess, bitte email, lese z.Zt. nicht viel in Newsgruppen...

Gottfried

[Juergen Ilse]

Hallo,

Post by Gottfried Helms
Diese erreichte Konstanz eines bedeutenden Parameters in der
Datensammlung für einzelne Länder macht mir die Sache sehr
verführerisch - was halten andere "profis" hier von so einer
Heuristik?

Gar nichts. Fuer jede halbwegs sinnvolle "Heuristik" fehlen einfach zu viele
Daten. Urigens sind in Deutschland seit einigen Tagen die Zahlen der "neu
hinzugekommenen Corona-Faelle"! wieder ruecklaeufig. Sie waren es schon
mal kurz vor dem 25.03., aber dann wurde die Definition von "Corona-Fall"
geaendert: Wer seit dem jemand Symptome zeigt und in den letzten 14 Tagen
Kontakt zu einem "bestatigten Corona Fall" gehabt hat, wird als "Corona-
Fall" gezaehlt, selbst dann, wenn der PCR-Test negativ ausgefallen ist,
also keine Corona-Viren nachgewiesen werden konnten ...
Dise Aenderung der Zaehlweise gab es am 25.03. als die Zahl der neuen
Faelle zum ersten mal ruecklaeufig war (nach Aenderung der Definition der
"Corona-Faelle" ging dann auch prompt die Zahl der neuen Faelle wieder
nach oben, ist mittlerweile aber wieder etwas ruecklaeufig ... Ob es bald
wieder eine Neudefinition der Corona-Faelle gibt?).

Tschuess,
Juergen Ilse (***@usenet-verwaltung.de)

[Stephan Gerlach]

Post by Juergen Ilse
Urigens sind in Deutschland seit einigen Tagen die Zahlen der "neu
hinzugekommenen Corona-Faelle"! wieder ruecklaeufig. Sie waren es schon
mal kurz vor dem 25.03., aber dann wurde die Definition von "Corona-Fall"
geaendert: Wer seit dem jemand Symptome zeigt und in den letzten 14 Tagen
Kontakt zu einem "bestatigten Corona Fall" gehabt hat, wird als "Corona-
Fall" gezaehlt, selbst dann, wenn der PCR-Test negativ ausgefallen ist,
also keine Corona-Viren nachgewiesen werden konnten ...
Dise Aenderung der Zaehlweise gab es am 25.03. als die Zahl der neuen
Faelle zum ersten mal ruecklaeufig war (nach Aenderung der Definition der
"Corona-Faelle" ging dann auch prompt die Zahl der neuen Faelle wieder
nach oben, ist mittlerweile aber wieder etwas ruecklaeufig ... Ob es bald
wieder eine Neudefinition der Corona-Faelle gibt?).

Woher hast du das mit der Definitions-Änderung "Corona-Fall"?
Nach einem derartigen Detail müßte man ja gezielt suchen.

[Stephan Gerlach]

Post by Hans Crauel
Stephan Gerlach schrieb

Post by Stephan Gerlach
Wir gehen aus von einer abgeschlossenen Population, in der die Anzahl N
der zum Zeitpunkt t Infizierten Personen angegeben werden soll.
N_0 = Anzahl der am Anfang (Zeit t=0) infizierten Personen
N_g = Gesamt-Anzahl aller Personen in der Population (zu jedem Zeitpunkt
konstant)
t = Zeit (genauer: Zeitpunkt)
dt = (infinitesimales) Zeitintervall
K = Anzahl aller(!) Kontakte in der Population im Zeitintervall dt
N(t) = Anzahl der infinierten Personen zum Zeitpunkt t
dN = Anzahl neu infizierter Personen im Zeitintervall dt
k = verhaltensabhängige Konstante der Population, nicht von N_g oder t
abhängig, beschreibt die Anzahl aller Kontakte pro Gesamtzahl Personen
und pro Zeitintervall, also k = K/(N_g*dt)
K_{i,n} = Anzahl aller Kontakte der Art [infiziert<->nicht_infiziert] in
der Population im Zeitintervall dt
p = Wahrscheinlichkeit für einen beliebigen Kontakt, daß dieser Kontakt
von der Art [infiziert<->nicht_infiziert] ist.
- Eigentlich sind K, N(t), dN, K_{i,n} Zufallsvariablen, und man müßte
statt ihrer selbst deren Erwartungswerte benutzen.

Das ist eine Frage der Modellierung. Will man Zufall einbeziehen, so
müsste man spezifizieren, welcher Zufall in welcher Form eingehen
soll, und das müsste man eigentlich gut überlegen.

Das stimmt. Das hätte ich vielleicht genauer ausführen sollen.
Ich ging hier im wesentlichen davon aus, daß in einem bestimmten
Zeitintervall dt jeder Kontakt gleichwahrscheinlich ist.
D.h. der Kontakt zwischen z.B. den Personen 5 und 13 ist genauso
wahrscheinlich wie der zwischen den Personen 214 und 68.
Außerdem ist diese Wahrscheinlichkeit nicht vom speziellen Intervall dt
abhängig (per Annahme).

Nimmt man dies so an, dann sind aber (glaube ich beim groben
Überblicken) keine weiteren Annahmen(?) über den Zufall bei meiner
Berechnung notwendig.

Bezieht man Ausgangsbeschränkungen mit ein, oder räumlich lokale Effekte
("wo sind schon besonders viele Infizierte"), oder die Quarantäne von
infizierten Personen, sind die gemachten Annahmen (beide) natürlich so
nicht mehr realistisch.

[...]

Post by Hans Crauel
Aber das Gerede vom "exponentiellen Wachstum" ist natürlich Unfug,
sobald es sich auf asymptotisches Verhalten beziehen soll, oder
banal, wenn es sich auf beschränkte Zeitintervalle beziehen soll.
Die Lösung jeder skalaren Differentialgleichung dx/dt = f(x) (oder
auch dx/dt = f(x,t)) mit f(x(t_0)) > 0 für einen Zeitpunkt t_0
wächst ab t_0 "erst einmal" exponentiell.

Auch für f(x) = 1 (konstante Funktion)?

Für das vorliegende Beispiel ist es allerdings tatsächlich so
(exponentielles Wachstum für kleine t); siehe die heuristische
Begründung von Martin V. bzw. meine Antwort darauf

[Hans Crauel]

Stephan Gerlach schrieb

Post by Stephan Gerlach

Post by Hans Crauel
Die Lösung jeder skalaren Differentialgleichung dx/dt = f(x) (oder
auch dx/dt = f(x,t)) mit f(x(t_0)) > 0 für einen Zeitpunkt t_0
wächst ab t_0 "erst einmal" exponentiell.

Auch für f(x) = 1 (konstante Funktion)?

Da hast du Recht, es soll natürlich f'(x(t_0)) > 0 heißen.

Post by Stephan Gerlach
Für das vorliegende Beispiel ist es allerdings tatsächlich so
(exponentielles Wachstum für kleine t); siehe die heuristische
Begründung von Martin V. bzw. meine Antwort darauf

Ebenfalls. Das begründet die häufig eingesetzte Modellierung
dx/dt = a*x(1-x), wobei a der Parameter ist, der durch
Kontaktverminderung verkleinert wird, was in einer Verlangsamung
des (ansonsten völlig gleichen) Ablaufs resultiert.
Für kleine x ist 1-x nahe 1, zunächst ist dann x(t) sehr nah an
exp(at). Das verlangsamt sich mit zunehmendem x(t).

Hans