Hallo,
Post by Juergen IlseAch ja, und bevor ich es vergesse: selbst wenn dieser Grenzwert existiert,
besagt er (unabhaengig von seinem Wert) *nichts* darueber aus, ob die Can-
torsche Abbildung bisjektiv ist oder nicht. Auch wenn SIE jetzt wieder an-
fangen werden, irgendetwas mit angeblicher "Logik" daherzufasseln, um doch
einen Zusammenhang herzustellen: Nein, einen solchen Zusammenhang gibt es
*nicht*. Das die Abbildung bijektiv ist, ist aber leicht zu beweisen.
PS: Wenn der Grenzwert existieren sollte, liegt er mit Sicherheit >=1,
denn egal, wie weit man geht: Die Diagonale und alles oeberhalb der Diagonale
liegt mit Sicherheit *immer* im halboffenen Intervall ]0;1]. Egal, wie weit
man die Diagonalen durchzaehlt, ist also *immer* ungefaehr die Haelfte der
bis dahin abgezaehlten Elemente im halboffenen Intervall ]0;1] und damit mit
Sicherheit nicht im halboffenen Intervall ]1000;1001]. Darueber, ob die
Abbildung bijektiv ist oder nicht, laesst diese Betrachtung allerdings kei-
nerlei Aussage zu.
Der Grenzwert existiert nicht (als "eigentlicher Grenzwert" bzw. als "unei-
gentlicher Grenzwert" waere er "unendlich".
Beweis:
Den ersten Quotienten aus dem Intervall findet man erst bei q_5050, und auch
in den darauf folgenden 1000 Diagonalen findet man nur jeweils ein Element
aus diesem Intervall auf der jeweiligen Diagonale. Damit steigt die Anzahl
der Elemente aus dem Intervall ]0;1] auf einer Diagonale linear mit der Nummer
der jeweiligen Diagonale (bei jeder zweiten Diagonale nimmt dieser Wert um 1
zu), bei den Elementen aus dem Intervall ]1000;1001] nimmt die Anzahl der
Elemente aus diesem Intervall maximal alle 1000 Diagonalen um 1 zu (und in
der tausendsten Diagonale, die mit dem Element q_5050 beginnen wuerde waere
erstmalig ein Element aus dem Intervall ]1000;1001] enthalten). Die Anzahl
der Elemente aus dem Intervall ]0;1] steigen mit steigender Zahl der "durch-
numerierten Diagonalen" also sehr viel staerker an, als die Anzahl der
Elemente aus dem Intervall ]1000;1001].
Nur hat das nicht den geringsten Einfluss auf die Bijektivitaet der Abbildung
von der Menge der natuerlichen Zahlen auf die Menge der rationalen Zahlen,
warum sollte da auch ein Zusammenhang existieren?
Numeriert man im Gegensatz zu Cantor alle Diagonalen von links unten nach
rechts oben durch, kann man den Index ausrechnen, den der Bruch p/q in der
Abzaehlung hat:
Er stuende in der "p-ten Zeile" und "q-ten Spalte", damit also in der
"(p+q-1)-ten" Diagonale. Auf dieser Diagonale wuede er dann den "q-ten"
Platz belegen. Da die Summe aller Brueche in den ersten (p+q-2) Diagonalen
gleich (p+q-2)*(p+q-3)/2 ist (Summenformel fuer arichtmetische Reihen),
ergibt sich der Index des Bruches p/q zu q+(p+q-2)*(p+q-3)/2. Das ist mit
absoluter Sicherheit eine natuerliche Zahl. Ich kann also zu jedem positivn
Bruch bei *dieser* Abzaehlung genau den Index des Bruches bai der Abzaehlung
berechnen. Damit haben wir jetzt also sogar eine geschlossene Formel fuer
die bisjektive Abbildung der positiven Brueche auf die natuerlichen Zahlen:
p/q -> q+(p+q-2)*(p+q-3)/2
Dass diese Abbildung bijektiv ist, ergibt aich aus der Konstruktion der
Abbildung (es wird ja stets von links unten nach rechts oben an den Dia-
gonalen der Cantorschen Anordnung der Brueche "entlang gezaehlt").
Tschuess,
Juergen Ilse (***@usenet-verwaltung.de)
PS: Das ist noch keine bijektive Abbildung von den positiven rationalen
Zahlen auf die natuerlichen Zahlen, da wir ja rationale Zahlen mehrfach
zaehlen. Eine bijektive Abbildung wuerde sich nur dann ergeben, wenn man
die "nicht gekuerzten Brueche" auslassen wuerde, aber dann wuerde unsere
schoene oben stehende geschlossene Formel fuer die Abbildung nicht mehr
zutreffen ...