Como se pregunta en el título:
¿Hay alguna fuente escrita (del siglo XIX) que indique explícitamente la creencia de que cualquier función que satisfaga la propiedad del valor intermedio es continua?
(No creo que tenga sentido buscar fuentes anteriores, ya que la noción de continuidad en sí no se hizo rigurosa hasta el siglo XIX. Esta pregunta se originó en una respuesta que di en Math.Stackexchange. Lo que sigue se basa en gran medida en esa respuesta.)
Si I es un intervalo, yf: I → ℝ, decimos que f tiene el propiedad de valor intermedio si y solo si siempre que a ≠ b son puntos de I, si c está entre f (a) yf (b), entonces hay un anuncio entre a y b con f (d) = c.
Bolzano publicó en 1817 su artículo Rein analytischer Beweis des Lehrsatzes, dass zwischen je zwey Werthen, die ein entgegengesetzes Resultat gewähren, wenigstens eine reelle Wurzel der Gleichung liege ( Demostración puramente analítica del teorema de que entre dos valores cualesquiera que den resultados de signo opuesto se encuentra al menos una raíz real de la ecuación). Allí, demuestra que las funciones continuas satisfacen la propiedad del valor intermedio. Como indica en el artículo, se creía ampliamente que la proposición era verdadera, y se habían dado varios argumentos "geométricos" tratando de justificarla.
Por otro lado, ahora sabemos que la propiedad del valor intermedio es mucho más débil que la continuidad.
I. Halperin, Funciones discontinuas con la propiedad Darboux , Can. Matemáticas. Bull., 2 (2) , (mayo de 1959), 111-118.
En el artículo de Halperin encontramos la cita divertida
Hasta el trabajo de Darboux en 1875, algunos matemáticos creían que la propiedad [del valor intermedio] en realidad implicaba la continuidad de f (x).
Esta afirmación se repite en (muchos) otros lugares. Por ejemplo, aquí se lee
En el siglo XIX, algunos matemáticos creían que la propiedad [del valor intermedio] es equivalente a la continuidad.
Esto es muy similar a lo que encontramos en A. Bruckner, Diferenciación de funciones reales , AMS, 1994. En la página 5 leemos
Algunos matemáticos del siglo XIX creían que esta propiedad era equivalente a la propiedad de continuidad.
Históricamente, esta propiedad de valor intermedio se ha sugerido como una definición para la continuidad de funciones de valor real [cita requerida].
No he podido encontrar una fuente directa que exprese esta creencia. El hecho de que este fuera el caso quizás esté respaldado por las dos citas siguientes de Mémoire sur les fonctions discontinues de Gaston Darboux, Ann. Sci. Norma de la Scuola. Sup., 4 , (1875), 161–248. Primero, en las págs. 58-59 leemos:
Au risque d'être trop long, j'ai tenu avant tout, sans y réussir peutêtre, à être rigoureux. Bien des points, qu'on regarderait à bon droit comme évidents ou que l'on accorderait dans les applications de la science aux fonctions usuelles, doivent être soumis à une critique rigoureuse dans l'exposé des propositions related aux fonctions les plus générales. Por ejemplo, en verra qu'il existe des fonctions continúa qui ne sont ni croissantes ni décroissantes dans aucun intervalle, qu'il ya des fonctions discontinues qui ne peuvent varier d'une valeur à une autre sans passer par toutes les valeurs intermédiaires.
El artículo de Darboux demuestra que las derivadas tienen la propiedad del valor intermedio y que hay derivadas discontinuas, verificando así primero que las dos nociones no son equivalentes. (Por esta razón, la propiedad del valor intermedio a veces se denomina propiedad Darboux o, incluso, se dice que una función con esta propiedad es continuo Darboux .)
La prueba de que las derivadas tienen la propiedad de valor intermedio comienza en la página 109, donde leemos:
En partant de la remarque précédente, nous allons montrer qu ' il existe des fonctions discontinues qui jouissent d'une propriété que l'on regarde quelquefois comme le caractère differentif des fonctions continúa, celle de ne pouvoir varier d'une valeur à une autre sans passer par toutes les valeurs intermediaires.
Wikipedia menciona lo siguiente:
Antes de que se diera la definición formal de continuidad, la propiedad de valor intermedio se daba como parte de la definición de un función continua. Los proponentes incluyen a Louis Arbogast, quien asumió que las funciones no tienen saltos, satisfacen la propiedad del valor intermedio y tienen incrementos cuyos tamaños corresponden a los tamaños de los incrementos de la variable.
El artículo cita este sitio, aunque no he podido verificar esto a partir de los escritos de Arbogast (o del sitio vinculado). De hecho, Arbogast parece tener una noción de función que es significativamente más restrictiva que nuestra noción moderna de continuidad y, por lo tanto, el teorema del valor intermedio se mantiene allí. No veo que aborde directamente la propiedad del valor intermedio, ni indique que implique continuidad. (Dada su comprensión de lo que es una función, ni siquiera estoy seguro de que esto hubiera sido significativo).
Finalmente, déjame preguntar:
Si no es realmente el caso de que la creencia en la equivalencia de estas dos nociones haya sido expresada explícitamente en la literatura, ¿dónde se origina la afirmación falsa? (¿Está en el periódico de Halperin?)