最も古い「未解決の問題」はよく知られており、複製、三等分、求積法は古代で広く議論されていました。アルキメデスとアポロニウスの時までに、専門家は定規とコンパスでは解決できないことに気づいたと推定されています（これはサポートされています） Pappusによる問題の平面、固体、および「機械的」への分類による）が、当時は誰も不可能性の証明を組み立てることさえできませんでした。この分野がどのように出現したかについては、 Crippaの不可能性結果を参照してください。もう1つの古い問題は、Didoの等周定理の問題です。シンプリシウスは、円は「アリストテレスの時までに」同じ周囲長を持つ人物の中で最大の面積を持っていることが「知られている」と主張し、アルキメデスとゼノドルスは「それを証明した」。ゼノドルスの生き残った断片は、彼がポリゴンの単純化された問題のみを扱ったことを示しており、等周定理がギリシャ人の方法によってどのように「証明」されたのかは不明です。
推測に関しては、そうではありませんでした。彼らが今日いるビジネス。疑わしい定理を証明できないことを書面で告白することは、19世紀でもめったに行われず、それがあったときは、予想ではなく、通常は通過する発言でした（リーマンがゼータ関数の零点を使用したように）。 17〜18世紀には、いくつかの推測が私信で「定理」として述べられました。オイラーへの手紙の中でゴールドバッハは、$ 2 ^ {2 ^ n} + 1 $が常に素数であるというフェルマーの主張を報告しています。多くの場合、推測は学生に個人的に伝えられたり（ODEの幾何学的方法におけるアーノルドの暗示と比較してください：「基本的なアイデアや方法を隠す動機のない定義は、学生に個人的に説明されたたとえ話のようなものです」）、または他の人によって推測されました公開テキストの特殊性から。
典型的な例は、EuclidがElementsでの平行線公準の使用を可能な限り回避することです。これは、それを証明するための手がかりとして採用されました。別の例では、アポロニウスは円錐曲線の序文で自慢していました： "ユークリッドが3行と4行に関して軌跡の合成を行っていなかったが、それとそれはうまくいきませんでした：私の追加の発見なしに合成を完了することは不可能だったからです "。
さらに初期の例は、テアイテトスのプラトンによってほのめかされています。マッケイブのテアイテトスの不合理性の証明：
"ここのテアイテトスは、3平方フィートと5平方フィートを含む正方形が足の単位と長さが通約不可能であるため、17平方フィートを含む正方形まで順番にそれぞれを選択し、そこで停止しました。 "
おそらく、彼は$ \ sqrt {19} $が合理的であると思ったが、彼の偶数/奇数の証明方法が失敗したために停止しませんでした。すべての素数に対して機能するユークリッド原論からの今ではおなじみの方法は、おそらく問題を継承した彼の学生であるテアイテトスによって発見されました。
アルキメデスはエラトステネスに有名な手紙を書き、「私が暫定的に差し控えた証拠を見つけるようにとの要請で、私が以前に発見したいくつかの定理をあなたに送った」で始まり、そこで彼は推測を生成する、重みのバランスをとる彼の方法。彼は他の人がそれを使って新しい定理を見つけるだろうという希望を表明したが、彼が具体的に挙げた唯一の結果は、ユードキシアンの二重帰謬法によってすでに非難されたものであった。ディオクレスの燃える鏡の序文のトゥーマーの解釈によると、アルキメデスの友人であり頻繁に通信するドシテウスは、ディオクレスが証明することを約束する「実用的な手段によって」放物線の焦点特性を発見しました（彼はアルキメデスが研究したスパイラルも発見しました）。この解釈は物議を醸していますが、アセルビの論文を参照してください。
Euclidは、完全数についての推測のように、リモートで何も述べていません。新ピュタゴラス主義者であるゲラサのニコマコス（西暦100年頃）は、彼の算術に次のように宣言している箇所があります。
"ユニットの中で1つだけが見つかり、他の1つだけが見つかります。数十の中で、数百のランクの3分の1、数千の範囲内の4分の1 ...そして、6または8で交互に終了し、常に均等であることが付随する特性です。 " 。
ニコマコスはこれらを推測として認定せず、それらに対する議論のヒントさえ提供しません。 1つ目は、各桁に完全なものが1つあること、特にそれらが無限に多いことを意味すると解釈されました。 Al-Bagdhadi（c。980AD）は、次のようにコメントしています。
" 10の累乗ごとに完全数が1つしかないことを断言する人は間違っています。完全数はありません。数は1万から10万の間です。すべての完全数が6または8の数字で終わると断言する人は正しいです "。
もちろん、「彼」は、奇数の完全数が存在しない場合にのみ正しいでしょう。メルセンヌは1644年に257までの「メルセンヌ素数」のリストを公開することでそれに続きました。彼はそれを推測としても請求しませんでしたが、カップルは無関係で、いくつかは行方不明でした。それでも、彼は非常に近かった。メルセンヌはどのようにしてメルセンヌ素数を発見したのか？
少し後退します。これはシャッパチャーのディオファンタスに関する論文からのものです：
" 940年頃、アル・カジンは、アブ・M・アル・クジャンディが方程式（表記法）$ x ^ 3 + y ^ 3 =を示すことを提案したという議論に反論しました。 z ^ 3 $は正の整数の解がなく、この議論はアブダラ・ベン・アリも巻き込んでさらに続けられました！そして、過去15年間に算数の中で起こった問題を定式化したのは、ディオファンタスではなく、アルカジンでもありました。代数幾何学は、より多くの聴衆のための講義のお気に入りのトピックです：一致数の問題。与えられた二乗自由整数が合理的な辺を持つ右三角形の領域であるかどうかを決定します。今日はまだ解決されていませんが、非常に単純な推測の答え... "
OmarKhayyám、立方体のすべてのケースを分類し、円錐セクションを交差させることによってそれぞれを解いた後ns、Al-jabr w'al-Muqabalaに書いた：
"しかし、問題の対象が絶対数である場合、私たちも代数に関係する人も持っていませんこの方程式を解くことができました-おそらく私たちに従う他の人はギャップを埋めることができるでしょう... "
他の人は無駄に試みました、そして1494年にSumma Arithmeticae Luca Pacioli代数的に「立方体を解くことは求積法と同じくらい不可能です」とまで言っていました。これはデルフェロがそれを行う19年前のことでした...そして彼の学生フィオーレ以外のすべてからこの方法を差し控えました。幾何学は歴史的に多項式を解くためにどのように使用されましたか？