Vous dites:
elle m'a dit que, si je voulais des définitions hardcore,
un champ est une fonction qui renvoie une valeur pour un point dans l'espace.
Maintenant, cela a finalement beaucoup de sens pour moi mais je ne comprends toujours pas comment les fonctions mathématiques peuvent faire partie de l'Univers et façonner la réalité.
Vous n'êtes pas obligé d'utiliser des exemples extrêmement compliqués tels que l'électromagnétisme. Je vais vous donner deux exemples qui, je l'espère, rendront les choses plus claires; faites-moi savoir si cela aide.
Exemple 1: Température
Vous avez peut-être vu que plus vous montez (sur Terre ou ailleurs, mais pensons à la Terre), plus il fait froid l'air obtient, à un taux typique d'environ 6 ° C par kilomètre (cela dépend de divers facteurs, mais il s'agit d'une valeur approximative); en météorologie, c'est ce qu'on appelle le taux de déchéance: le taux de baisse de température avec l'altitude.
Supposons maintenant que vous observiez un grand terrain uniforme (par exemple un "désert plat "). Si vous voulez demander:
Quelle est la température de l'air en un point $ (x, y, z) $ ?
alors vous attribuerez une certaine valeur de température pour chaque point. Mais faire un "tableau" pour donner la température pour chaque point n'est certainement pas pratique! Vous essayez plutôt d'utiliser une fonction , une application, qui donne la valeur de la température pour chaque point: $$ f: (x, y, z) \ mapsto f (x, y, z) $$ J'utiliserai une nomenclature plus claire: $$ T: (x, y, z) \ mapsto T (x , y, z) $$
Il s'agit donc d'une fonction avec des arguments dans un espace $ \ mathcal {R} ^ 3 $ (espace tridimensionnel, $ \ mathcal {R} \ times \ mathcal {R} \ times \ mathcal {R} $ ) qui donne des valeurs dans un $ \ mathcal {R} $ espace. Ces valeurs représentent les valeurs de la température à chaque coordonnée $ (x, y, z) $ de $ \ mathcal {R } ^ 3 $ . Au lieu d'écrire $ T (x, y, z) $ , vous pouvez être plus "pratique" et écrire simplement $ T $ en tant que raccourci (surtout lorsque vous êtes un peu de calcul dans un exercice).
Cette fonction représente^ un champ - le > champ de température .
"Mais à quoi ça sert?!"
À quoi ça ressemble? Si vous avez le cas idéal d'un "désert" parfaitement plat et d'une atmosphère idéalisée, le champ de température sera quelque chose comme: $$ T (x, y, z) = T (x , y, z_0) - \ frac {dT} {dz} (z-z_0) $$ Quelques remarques:
- Dans cette situation, le la température ne varie que verticalement; il ressemble à n'importe quel endroit du désert - il n'y a vraiment aucune dépendance dans les coordonnées $ x $ et $ y $ . Pour cette raison, vous pourriez vous faciliter la tâche et raccourcir l'expression à $ T (z) = T (z-z_0) - dT / dz $ .
- Au cas où vous ne sauriez pas / oublieriez: $ dT $ correspond à la température $ T $ varie lorsque vous augmentez votre taille d'un petit montant (infinitésimal!) $ dz $ .
- Ne vous inquiétez pas du signe moins à côté du tarif. Il est mis là à la main pour avoir la signification physique attendue. Lorsque vous passez d'un niveau de hauteur $ z $ à $ z + dz $ , la température doit diminuer , de $ T $ à $ T-dT $ où $ - dT < 0 $ , de sorte que $ - dT / dz $ soit négatif (il "retire" de la température lorsque vous augmentez l'altitude $ z $ ). Exemple: de $ z = 1000 $ à $ z + dz = 1001 $ , la température devrait chuter de $ T $ à $ T-0,006 $ où $ T $ est la température au niveau $ z = 1000 $ . Bien sûr, cette petite valeur est due au fait que 0,006 $ / (1001-1000) = dT / (dz + zz) = dT / dz = 6 $ Celsius par km.
- J'ai abusé intentionnellement de l'expression ci-dessus pour la rendre plus facile à comprendre. Une expression plus appropriée serait (si vous avez étudié les " intégrales" en calcul) quelque chose comme $$ T (x, y, z) = T ( x, y, z_0) - \ int \ limits_ {z_0} ^ z \ frac {dT} {dz} dz \. $$
Vous devez donner la température à un certain niveau $ z_0 $ de votre choix pour représenter un cas spécifique ; il peut être à la surface, $ z_0 = 0 \ \ mathrm {metres} $ . Cette fonction que vous avez là représente le champ de température pour cette situation. Si vous avez un "point chaud" - par exemple vous allumez une bougie - alors la distribution de la température (le champ!) sera différente, et l'expression mathématique pour décrire le champ de température sera différente (plus compliquée).
Donc, ce champ de température décrit la température au-dessus de cet "air du désert". Il représente une quantité qui a une distribution spatiale. Vous pouvez le rendre beaucoup plus raccourci si vous ignorez simplement la condition frontière $ T (z_0) $ à un certain niveau vertical $ z_0 $ (qui est arbitraire !) et écrivez le champ comme $$ - \ frac {dT} {dz} \. $$
Exemple 2: vitesse du vent
L'exemple ci-dessus illustre un champ scalaire : la valeur du champ à chaque point d'espace prend une valeur scalaire ("juste un nombre"). Tous les champs ne sont pas scalaires. Un exemple est le champ de vitesse , qui représente la vitesse ( direction et magnitude! ) de l'air en chaque point.
Vous pouvez l'écrire comme $$ \ vec v: (x, y, z) \ mapsto \ vec v (x, y, z) $$ et pour chaque point $ (x, y, z) $ il décrit la direction et la magnitude de l'air déplacement à ce point, le vecteur $ \ vec v $ à ce point.
À quoi cela ressemble-t-il?
(L'expression mathématique?) Eh bien, cela dépendra de la situation bien sûr! L’expression peut être incroyablement compliquée à écrire analytiquement . Vous n'écrirez certainement pas le champ de vitesse (ou le champ de température) pour l'air à l'intérieur de votre salon - c'est trop compliqué d'écrire une expression mathématique! Le mieux que vous puissiez faire est de
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Connaître quelques lois ou expressions ou (plus correctement) des modèles, peut-être déduits des premiers principes, pour décrire comment les conditions d'un minuscule morceau d'air seront influencées par les conditions de les régions voisines. Ces modèles peuvent être très simples ou plus élaborés; dans ce dernier pour la météorologie, vous utilisez simplement des ordinateurs pour faire la ballance compliquée pour chaque "cellule à air". Dans l'exemple 1 avec la température ci-dessus, il n'y a pas de dépendance horizontale , mais la vitesse à laquelle la température varie verticalement dépend de la température, de la pression, etc. sur en haut de la "petite boîte à air / cellule / élément" et en bas - ce sont ceux qui produisent un effet.
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Faites quelques simplifications sur les conditions initiales , comme savoir quelle est la température le long des murs et supposer (par exemple) qu'il n'y a pas de "points chauds" ou s'il y en a, ils sont aussi insignifiant pour repérer la différence par rapport à la situation où il n'y a pas de points chauds.
Exemple 3: le champ électromagnétique
Lorsque vous mettez un électriquement- particule minuscule chargée ( particule test ) près d'une plaque métallique (par exemple) qui a une charge électrique elle-même (comme la plaque d'un gros condensateur, par exemple), dans le cas le plus général et le plus large, le force que la particule ressentira dépendra de où la particule est relative à la plaque chargée.
La force ressentie par la particule de test a une magnitude ainsi qu'une direction . Si vous placez la particule de test dans une autre position, elle ressentira la force avec une intensité et une direction différentes.
Vous pouvez placer la particule de test à de nombreux endroits différents autour de la plaque et mesurer la force électrique ressentie par la particule de test. Et vous collectez la direction et l ' intensité de cette force. Si vous parvenez à condenser cette description des amplitudes et des directions de la force électrique ressentie par la particule, vous l'écrivez sous forme de champ , $$ \ vec E: (x, y, z) \ mapsto \ vec E (x, y, z) \. $$
Vous pouvez interpréter le champ électromagnétique comme rien de plus qu'un "mash-up" de la force électrique et de la force magnétique qu'une particule test ressentira à chaque point de l'espace.
OK, mais pouvez-vous "toucher" un champ?
Pour finir, je dirai ce qui suit; cette question est davantage sujette à discussion. Personnellement, je ne pense pas tout à fait à "toucher" un champ ou que ce soit "matériel"; Je ne sais pas comment vous êtes censé "toucher" la température.
Le champ représente l'ensemble des valeurs d'une quantité sur un espace donné, et ainsi nous arrivons au commentaire de votre professeur. Dans le sens de la physique classique que j'ai présenté ci-dessus, vous pouvez interpréter les champs comme "notre façon" de décrire quelque chose qui est là, en un raccourci (une expression mathématique au lieu d'un "tableur de valeurs"). Dans ce cas, je vois le concept de champ se mélanger avec la «chose» qu'il représente. Je ne vais pas en débattre car je ne suis pas sûr de pouvoir mieux expliquer.