Detta är faktiskt en mycket knepig fråga, matematiskt. Fysiker kanske tycker att denna fråga är trivial. Men det tar mig en timme i en matematisk sommarskola att förklara uppfattningen om gapped Hamiltonian.
För att se varför det är knepigt, låt oss överväga följande uttalanden. Varje fysiskt system har ett begränsat antal frihetsgrader (förutsatt att universum är ändligt). Ett sådant fysiskt system beskrivs av en Hamilton-matris med en ändlig dimension. Alla Hamilton-matriser med en begränsad dimension har ett diskret spektrum. Så alla fysiska system (eller hela Hamiltonian) är gappade.
Visst, ovanstående är inte vad vi menar med "gapped Hamiltonian" i fysik. Men vad betyder det för en Hamiltonian att vara gapped?
Eftersom ett gapped system kan ha lucklösa excitationer vid gränsen, så definierar vi gapped Hamiltonian, vi behöver att sätta Hamiltonian på ett utrymme utan gräns. System med vissa storlekar kan också innehålla icke-triviala excitationer (som spin-vätsketillstånd för spin-1/2-spins på ett galler med ett ODD-antal platser), så vi måste ange att systemet har en viss sekvens av storlekar när vi tar den termodynamiska gränsen.
Så här är en definition av "gapped Hamiltonian" i fysik: Tänk på ett system i ett slutet utrymme, om det finns en sekvens av storlekar på systemet $ L_i $, $ L_i \ to \ infty $ som $ i \ to \ infty $, så att storleken- $ L_i $ -systemet på slutet utrymme har följande "gap-egenskap", då sägs systemet vara gapped. Observera att begreppet "gapped Hamiltonian" inte ens kan definieras för en enda Hamiltonian. Det är en egenskap hos en sekvens av Hamiltonian i den stora storleksgränsen.
Här är definitionen av "gap-egenskapen": Det finns en fast $ \ Delta $ (dvs. oberoende av $ L_i $) så att storleken- $ L_i $ Hamiltonian har ingen egenvärde i ett energifönster med storleken $ \ Delta $. Antalet egenstater under energifönstret beror inte på $ L_i $, energidelningen av dessa egenstater under energifönstret
närmar sig noll som $ L_i \ till \ infty $.
Siffrorna egenvärden under energifönstret blir det gappade systemets degenerering av marktillståndet. Detta är hur marktillståndsgenerationen hos ett topologiskt ordnat tillstånd definieras. Jag undrar, om någon hade övervägt definitionen av gapped många-kroppssystem mycket noggrant, skulle han / hon kanske upptäcka uppfattningen i topologisk ordning matematiskt.