Stałe $ \ epsilon_0 $ i $ \ mu_0 $ są tym, co fizyk nazywa "stałymi wymiarowymi ”. Oznacza to, że są to stałe, których wartości zawierają jednostki. Zwykle podawane wartości są w jednostkach SI lub systemie metrycznym, np.
$$ \ epsilon_0 \ około 8,854 \ times 10 ^ {- 12} \ \ mathrm {F / m} $$
i
$$ \ mu_0 \ około 1,256 \ times 10 ^ {- 7} \ \ mathrm {H / m} $$
Sztuczka polega na tym, że gdy stała zawiera jednostkę, jej wartość zależy zatem od jednostek użytych do jej pomiaru. W innym systemie jednostek może występować inna wartość. W szczególności, jeśli spojrzymy na powyższe jednostki, zobaczymy, że obejmują one trzy różne fizyczne wymiary pomiarowe, z których wszystkie, jak się okazuje, nie są na tyle powiązane, że można użyć oddzielnych jednostek dla wszystkich trzech: pojemności, indukcyjności i długości. Całkowicie można wybrać jednostki w dowolny sposób i sprawić, by otrzymały one dowolną wartość, jaką chcesz. Na przykład mógłbym wybrać jednostkę długości, aby nie była to metr, ale zamiast tego będzie to Smoot , quasi-humorystyczna jednostka równa dokładnie 5 stopom imperialnym i 7 calom imperialnym, czyli dokładnie 1,7018 m . Ta jednostka została nazwana na cześć być może - ale - być może - nie tak sławnego, zależnie od tego kogo znasz, profesora, który spędził lata w college'u studiując na MIT, Massachusetts Institute of Technology, i w ramach zobowiązania bractwa własne ciało jako urządzenie pomiarowe do pomiaru długości mostu poza kampusem, najwyraźniej przez przewracanie go w kółko, aż cały most - mierzony przy „364,4 smoota”, „plus lub minus ucha”. (*) Jeśli mierzymy stałe w Smootach, ale zachowujemy inne jednostki (technicznie tworząc w ten sposób bardzo bastardowy system jednostek), zamiast tego otrzymujemy
$$ \ epsilon_0 \ około 5.203 \ times 10 ^ {- 12} \ \ mathrm {F / Smoot} $$
$$ \ mu_0 \ około 7,380 \ times 10 ^ {- 8} \ \ mathrm {H / Smoot} $$
W rzeczywistości przy odpowiednim doborze jednostek jest całkowicie możliwe, aby miały one w ogóle jakąkolwiek wartość. Zatem z punktu widzenia teorii fizycznych wartości te nie są fundamentalne. Moglibyśmy nawet przyjąć je za 1 $ , a możliwość zrobienia tego z odpowiednim wyborem jednostek jest jedną z rzeczy, które są bardzo przydatne w pracy teoretycznej w celu uproszczenia równania.
Dotyczy to dowolnej stałej wymiarowej. Stałe, których nie można tak zmienić, to te, które powstają z takich stałych wymiarowych w taki sposób, że wszystkie ich jednostki anulują się, pozostawiając czystą liczbę: nazywane są one stałymi bezwymiarowymi . Te bezwymiarowe stałe są zwykle uważane za mające bardziej fizyczne znaczenie z tego powodu, jako bardziej zasadniczo odzwierciedlające właściwości zasad działania Wszechświata, niż po zastanowieniu się, co w zasadzie sprowadza się do związku między tymi zasadami a wyłaniającym się systemem - ludźmi. - wynikało to z ich działania w konkretnym (jedynym? czy nie?) wystąpieniu w określonym miejscu i czasie.
Jest to być może dokładniej zilustrowane stałą, która jest łatwiejsza do odniesienia do rzeczy, których my, ludzie, doświadczamy w życiu codziennym, i nie są to te nieco bardziej wyspecjalizowane stałe, na które zwykle wpadają tylko fizycy i inżynierowie, ale przynajmniej takie, na które spory procent ogólnej populacji prawdopodobnie podejrzewa, że jest to prędkość światła, $ c $ , zwykle podawana jako:
$$ c = 299 \ 792 \ 458 \ \ mathrm {m / s} $$
Oczywiście, ponieważ ma jednostkę, jest stałą wymiarową.Naiwnie, możesz pomyśleć, że oznacza to „światło idzie naprawdę, bardzo szybko”.Ale w rzeczywistości, po zastanowieniu, tak nie jest.Jak być może wiesz, światło potrzebuje ogromnej ilości czasu, aby podróżować po Wszechświecie, więc czy światło jest „w rzeczywistości” szybkie , czy też jest bardzo wolne?Szybkość jest zależna od nas , ludzi.I rzeczywiście, moglibyśmy wziąć system jednostek, który sprawia, że prędkość jest bardzo niska, gdybyśmy chcieli:
$$ c = 0.000 \ 002 \ 997 \ 924 \ 58 \ \ mathrm {Pm / s} $$
gdzie teraz użyliśmy jednostki odległości jako petametrów (Pm), jednostki systemu metrycznego, która jest odpowiednia do pomiaru skal astronomicznych.Moglibyśmy nawet pomyśleć o jednostce czasu:
$$ c = 0.000 \ 002 \ 997 \ 924 \ 58 \ \ mathrm {m / fs} $$
gdzie teraz wymieniliśmy go na skalę czasową odpowiednią dla sfery atomowej. Chodzi o to, że prędkość wygląda diametralnie inaczej, gdy patrzy się na skalę inną niż ludzka, a zatem to, co tak naprawdę mówi nam, to nie „jak szybkie jest światło”, ale raczej „gdzie jesteśmy w odniesieniu do własnych skal Wszechświata ”. Aby to bardziej rozwinąć, powinniśmy najpierw bardziej szczegółowo zwrócić uwagę na to, jak odnoszą się do nas jednostki, których używaliśmy - metr i druga -: mamy około 1,70 m wzrostu na międzynarodowym, ważonym demograficznie (tj. Nie eurocentrycznym, skupionym na ludach kolorowych) przeciętna przynajmniej w stosunku do przypuszczalnych badań tego autora (więc Smoot jest raczej zbliżony do w pełni „przeciętnego” człowieka, z punktu widzenia świata) biorąc pod uwagę taką liczbę, trudno jest bezpośrednio podać, tylko listy wartości dla oddzielnych krajów, ponieważ istnieje duża zmienność, a ponadto jedna sekunda to mniej więcej skala czasowa, na której działamy - nasze indywidualne myśli zajmują około sekundy, a nasze serce bije 1 lub 2 razy na sekundę, w zależności od tego, czy odpoczywamy, czy jesteśmy aktywni ( przynajmniej dla wystarczająco zdrowego człowieka). Widzimy więc, że te jednostki z grubsza obejmują „ludzką skalę”, a tam, po prawej stronie symbolu jednostki, znajduje się „ludzka skala”.
Zatem z jednej interpretacji wynika, że światło jest o rząd wielkości 300 000 000 razy większe niż prędkości, które są ważne w typowych skalach ruchu człowieka. Istnieje jednak znacznie bardziej interesująca interpretacja, która dotyczy tego, jak ta stała, którą nazywamy tutaj „prędkością światła”, nie jest chyba najlepiej postrzegana jako prędkość z bardziej fizycznego punktu widzenia. Zamiast tego „naprawdę” jest czynnikiem, który wiąże ze sobą przestrzeń i czas - „kurs wymiany”, który mówi nam, ile miejsca potrzebujemy do wymiany na określony czas i odwrotnie, ponieważ Albert Einstein pomógł przynajmniej ludziom ze świata zachodniego uświadomić sobie (**), a ponadto stworzył podstawy do potwierdzenia jako bardzo dokładny obraz, że przestrzeń i czas są dwiema częściami tego samego kontinuum. W ten sposób można by to również zinterpretować jako wskazujące nam, w jaki sposób ludzka skala jest skalowana w ramach kontinuum czasoprzestrzennego , to znaczy „ $ c $ " to nie tylko "prędkość", ale raczej nasze wymiary (jak w naszych pomiarach fizycznych, takich jak mierzenie pudełka z linijkami) w przestrzeni- czas są w stosunku mniej więcej 300 000 000: 1 czasu do przestrzeni, to znaczy, że jesteśmy o wiele dłużej w czasie niż w przestrzeni ! W rzeczywistości, mówiąc dokładniej, jesteśmy znacznie, znacznie dłużej: nasza typowa długość życia wynosi około 2,2 G - to gigasekundy , przyzwyczaj się do nich - dla średniej międzynarodowej (bogate kraje mogą przekraczać 2,6 Gs długowieczności i niestety jest wiele narodów, których ludzie nie mogą oczekiwać, że sięgną po swój trzeci występ.). Korzystając z prędkości światła, łatwo widzimy, że wynosi ona 660 000 000 Gm, czyli 660 µm - petametrów, wspomniana wcześniej jednostka - przestrzeni. To jak 400 biliardów razy dłużej niż jesteśmy w naszym maksymalnym zasięgu przestrzennym ! W rzeczywistości, gdybyś wziął jednego z nas i ułożył nas wzdłuż naszej NAPRAWDĘ najdłuższej osi w kosmosie, dotarlibyśmy do kilku gwiazd o znacznej odległości - zwróć uwagę, że najbliższa Słońcu gwiazda, Proxima, bez wątpienia znany wielu, jest tylko 46 µm stąd, a fikcyjna ojczyzna Spocka, Vulcan, wyobrażana jako znajdująca się na orbicie gwiazdy Keid, o której wielu mniej osób mogło słyszeć, nadal byłaby oddalona tylko o 150 µm, gdyby była prawdziwa! Pomyśl o tym: w pewnym sensie jesteś tak długi jak przestrzeń międzygwiazdowa! To właśnie $ c $ mówi Ci „naprawdę”!
Podobnie wartości $ \ epsilon_0 $ i $ \ mu_0 $ mówią nam, jak możemy , ludzie, odnoszą się elektromagnetycznie do Wszechświata, a nie do fundamentalnej właściwości samego Wszechświata. W tym celu powinniśmy wybrać system jednostek, który jest bardziej zgodny z wydobyciem tych właściwości w najlepszy sposób, w jaki je rozumiemy, i możemy to zrobić, wybierając jednostki, w których właściwe stałe wymiarowe trafiają do 1 $ , a tym samym całkowicie wypadnij z naszych równań. W szczególności, jeśli weźmiemy
$$ \ hbar = c = G = k_B = e = 1 $$
mamy dobrego kandydata na „skalę samego Wszechświata”. Nadal istnieje arbitraż w kwestii tego, które stałe tak ustaliliśmy, ale okazuje się, że ten wybór jest szczególnie pouczający w przypadku teorii elektromagnetycznej. Jest zbliżony do „jednostek Plancka”, ale nie do końca, z podstawową różnicą, że wzięliśmy naturalną jednostkę ładunku elektrycznego, $ e $ span >, aby być naszą jednostką, podczas gdy jednostki Plancka masują 4 $ \ pi \ epsilon_0 $ za 1 $ . Prawdopodobnie uważam, że ten wybór jest przyjemniejszy i bardziej intuicyjny w porównaniu z systemem jednostek Plancka i wkrótce dowiemy się, dlaczego.
W ten sposób jesteśmy teraz w stanie wyjaśnić prawdziwe kontury elektromagnetyzmu. Prawo Coulomba odchodzi teraz od tego
$$ F_E = \ frac {1} {4 \ pi \ epsilon_0} \ frac {q_1 q_2} {r ^ 2} $$
do raczej głębszej formy
$$ F_E = \ alpha \ frac {q_1 q_2} {r ^ 2} $$
Tutaj stała, która wyskoczyła z przodu, jest teraz w rzeczywistości nie wymiarowa - ta $ \ alpha $ jest stałą, która nie jest prostym przypadkiem naszych wyborów jednostek, ale raczej takim, który lepiej reprezentuje prawdziwy parametr Wszechświata, lub przynajmniej taki, który znacznie głębiej wnikamy w nasze zrozumienie niż inne - to znaczy, że teraz poszliśmy w dół dziura i do Krainy Czarów. Jest to tak zwana „stała drobnej struktury”, czasami znana jako stała Sommerfelda dla tych, którzy mają (moim zdaniem niezdrową) obsesję na punkcie eponimów (coś, czego jestem trochę nieufny ). Ma słynną wartość $ \ alpha \ approx \ frac {1} {137} $ , a jego znaczenie polega na tym, że jest uważane za „główne pokrętło”, które „opisuje siła siły elektromagnetycznej ”. Jest to ukryte w naszym poprzednim wyborze jednostek, co wydaje się sugerować, że jest związane z $ \ epsilon_0 $ i $ \ mu_0 $ , ale to dlatego, że w rzeczywistości pochodzenie elektromagnetyki jest kwantowo-mechaniczne, a wprowadzając kwant ładunku, pokazaliśmy ten głębszy poziom. W tym systemie możemy zobaczyć $ \ alpha $ jako dosłownie opisujący dokładną kwotę, o jaką ładunek wytwarza siłę: jeśli zwiększymy $ \ alpha $ w jakiś sposób, a następnie $ F_E $ będzie proporcjonalnie silniejszy. Z punktu widzenia naszych innych układów jednostek, zinterpretowalibyśmy to jako zwiększenie ładunku elektronu, co wydaje się dziwne, biorąc pod uwagę sposób, w jaki zwykle opisywana jest stała, która jest miernikiem siły, a nie oceną baterii.
Co więcej, idąc dalej, pełne równania Maxwella to
$$ \ nabla \ cdot \ mathbf {E} = 4 \ pi \ alpha \ rho $$
$$ \ nabla \ cdot \ mathbf {B} = \ mathbf {0} $$
$$ \ nabla \ times \ mathbf {E} = - \ frac {\ part \ mathbf {B}} {\ part t} $$
$$ \ nabla \ times \ mathbf {B} = \ left (4 \ pi \ alpha \ mathbf {J} + \ frac {\ części \ mathbf {E}} {\ częściowe t} \ right) $$
I jak widać, tutaj stała $ \ alpha $ bezpośrednio steruje teraz stosunkiem ładunków elektrycznych - źródeł sił elektromagnetycznych - do pola elektromagnetycznego pola, które generują, ponieważ występuje tylko w terminach związanych z opłatami $ \ rho $ (gęstość ładunku) i $ \ mathbf {J} $ (aktualna gęstość).
Zatem $ \ alpha $ jest prawdziwą „magiczną stałą” stojącą za elektromagnetyzmem, a jej bezpośrednią interpretacją jest tutaj „ile pola elektromagnetycznego ładunek wypływa ”. Im większy $ \ alpha $ , tym więcej EMF wytworzy ładunek o danym rozmiarze, a im mniejszy, tym mniej. Wreszcie widzimy, że Twoim pytaniem nie powinno być „dlaczego próżnia ma te wartości $ \ epsilon_0 $ i $ \ mu_0 $ ", ale" dlaczego $ \ alpha $ ma taką wartość? " I to mój przyjacielu, prawdziwa zagadka w fizyce. Rozwiąż to do końca, a wygrasz Nagrodę Nobla!
ADD: Zauważyłem, że niektórzy komentatorzy poniżej zadawali pytanie, co to ma wspólnego z zerowymi wartościami stałych. I przyznaję, że powyższa odpowiedź dotyczyła głównie tego, „dlaczego mają takie wartości, jakie mają?” aspekt pytania, a także nie zauważyłem pierwotnego pytania również zapytanego, dlaczego są niezerowe. W rzeczywistości jest to ważny punkt, a ponadto jest on różny od powyższego, ponieważ chociaż jest prawdą, że specyficzną wartością ma stała wymiarowa jest (modulo ograniczenia które wynikają z potrzeby, aby bezwymiarowe stosunki odpowiednich stałych kombinacji były tym, czym są w kategoriach „naprawdę” fizycznie znaczących parametrów naszego Wszechświata) w rzeczywistości produktem naszych sztuczek pomiarowych, czy stała jest zerowa czy niezerowa jest z drugiej strony w rzeczywistości inną sprawą i rzeczywiście można by twierdzić, że ma znaczenie fizyczne, ponieważ jest także niezależne od systemu jednostek: każdy matematycznie rozsądny wybór jednostek pozostawi zero stałe zero lub niezerowa stała niezerowa, nie możesz znaleźć takiej, która spowoduje, że niezerowa stała wymiarowa stanie się zerem lub odwrotnie.
Można zatem spojrzeć na to na kilka sposobów. Jedna jest z punktu widzenia systemu jednostek podstawowych, który mamy powyżej. W tym widoku możemy ustalić, że $ \ epsilon_0 = \ frac {1} {4 \ pi \ alpha} $ i $ \ alpha $ , a następnie rozwiąż $ \ alpha = \ frac {1} {4 \ pi \ epsilon_0} $ , a następnie zwróć uwagę, że $ 1 = c = \ frac {1} {\ sqrt {\ epsilon_0 \ mu_0}} $ , więc $ \ epsilon_0 \ mu_0 = 1 $ ). Jako odwrotność widzimy zatem, że oba nie mogą być zero jednocześnie, ponieważ $ 0 \ cdot 0 = 0 $ , ale mamy $ \ epsilon_0 \ mu_0 = 1 $ . Co więcej, gdyby tylko jeden był zerowy, to iloczyn $ c $ byłby nieokreślony, ponieważ drugi musiałby być nieskończony. Prawa fizyki nie byłyby z tego zadowolone, a Wszechświat zbudowany z takich praw nie miałby żadnego sensu. Muszą więc być czymś niezerowym, biorąc pod uwagę zbiór praw, na których najlepiej je rozumiemy.
Drugi pogląd to jednak skorzystanie z tego, o czym właśnie mówiliśmy. Pamiętaj, że kiedy znormalizowaliśmy stałe do $ 1 $ , w rzeczywistości zakładaliśmy, że wszystkie są niezerowe. Ale jak powiedzieliśmy, to, czy stała wymiarowa jest zerowa, czy niezerowa jest fundamentalnie fizycznie znacząca, w przeciwieństwie do jej specyficznej wartości niezerowej, a zatem powinniśmy również rozważyć wszystkie sposoby, w jakie takie stałe mogłyby mieć taką jakość różne „rodzaje” wartości i ich znaczenie. Mianowicie mamy w dowolnych jednostkach, które
$$ \ epsilon_0 = \ frac {e ^ 2} {2 \ alpha \ hbar c}, \ \ epsilon_0 \ mu_0 = \ frac {1} {c ^ 2} $$
Zauważamy, że jeśli w jakiś sposób $ \ epsilon_0 $ i $ \ mu_0 $ były równe zero, drugie oznaczałoby, że $ c $ musiałby być $ \ infty $ - co także to kolejny niezależny od jednostki fakt. 0 $ i $ \ infty $ to punkty specjalne, które nie są nawet zwykłą liczbą rzeczywistą, oraz zachowuje się pod pewnymi względami nawet bardziej „wyjątkowo” niż $ 0 $ . Jeśli $ c = \ infty $ , w rzeczywistości nie mamy żadnej szczególnej teorii względności. Jeśli jednak nie ma szczególnej teorii względności, to nie ma fal elektromagnetycznych, a nawet lepiej (chociaż moje kotlety nie są wystarczające, by wiedzieć) cała zwykła struktura kwantowych teorii pola albo nie działa, albo staje się bardzo zdegenerowana . Myślę, że Wszechświat staje się raczej sterylny i pozbawiony życia, gdyby prawa nadal miały sens.
Ogólnie rzecz biorąc, czy jedna ze stałych wymiarowych $ \ hbar $ , $ c $ czy $ G $ jest lub nie jest zerem w zasadzie odpowiada temu, czy mamy wszechświat, który jest, czy nie (wybór binarny) obejmujący mechanikę kwantową, szczególną teorię względności lub odpowiednio ogólna teoria względności (grawitacja).
(*) W rzeczywistości rzeczywista długość wynosi 387,72 Smoota, więc w rzeczywistości nie wypadli tak dobrze, oceniając swoją niepewność! Niemniej jednak prawdziwa niepewność - poniżej 10% - jest dość imponująca i nie mogę sobie wyobrazić, jak to było być przewracane przez głowę po piętach nieco ponad 364 razy. Mogę jednak wyobrazić sobie wymioty jako wiarygodny widok przynajmniej gdzieś w trakcie tego procesu, a żołądek prawdopodobnie zraniłby potem jak śmierć - chiński sposób powiedzenia „boli naprawdę bardzo źle”. (Co ciekawe, autor tego posta ma prawie dokładnie jedną gładką wysokość - w granicach 1 cm!)
(**) Pojęcia podobne do naszej współczesnej czasoprzestrzeni, chociaż możliwe do przetestowania dopiero niedawno, były rozważane wcześniej przez przynajmniej niektóre rdzenne ludy regionu Andów (które, nawiasem mówiąc, nadal istnieją), w szczególności Peru i Boliwia. Ludy te mają również inne interesujące sposoby, dzięki którym, przynajmniej w swoim tradycyjnym rozumieniu języka, odnoszą się do czasu.