Küsimus:
Aritmeetiline arvutus enne 17. sajandit
Rob Arthan
2020-04-13 01:05:44 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Ilmselt kirjutas Dijkstra 1977. aastal artiklis Datamation 1 :

On väga valgustav mõelda tõsiasjale, et mõned - kõige rohkem nelisada - aastat tagasi , Euroopa ülikoolide professorid ütleksid hiilgavatele üliõpilastele, et kui nad oleksid väga hoolsad, poleks võimatu õppida pikki jagamisi tegema. Vaesed poisid pidid seda tegema rooma numbritega.

Kas Dijkstra väite kohta on tõendeid? Ma olin alati arvanud, et inimesed on babüloonlaste ajast alates teinud õnnelikult kõiki tavalisi aritmeetilisi toiminguid, kasutades abaakse (st kümnendmärke) või savil / kiltkivil / pärgamendil / paberil kümnend- või sekssimaalmärkidega.

1 MW Cashman, intervjuu prof Edsger W. Dijkstraga. Datamation , 23 (5) (1977), lk 164–166.

Dijstral on ajaraami osas umbes õigus, 16. sajandil toimus üleminek kaasaegsetele pikkade käte aritmeetilistele algoritmidele. On olemas [Gregor Reischi kuulus puulõige] (https://www.drthomasoshea.com/typus-arithmeticae.html) aastast 1504, mis näitab võistlust abakust kasutavate inimeste vahel vs pika käega operatsioone. Mõjukas saksa matemaatik [Adam Ries] (https://et.wikipedia.org/wiki/Adam_Ries) avaldas mitu aritmeetikat käsitlevat õpikut, millest ainult varasem (1518) käsitleb abakust. Kõik hilisemad käsitlevad pika käe meetodeid, sealhulgas ruutjuure puhul
Täname selle suurepärase puulõike osutamise eest, kuid kumbki osapool ei arvesta sellel illustratsioonil rooma numbritega.
Roomlased tegid arvutusi [abacuse] (https://et.wikipedia.org/wiki/Roman_abacus) või arvestusplaadi abil, nagu seda nägi puulõige. Meie sõna arvutus [tuletatakse] (https://www.etymonline.com/search?q=calculus) selles arvutusrežiimis kasutatud väikestest kivikestest.
@njuffa, "arvutamiseks" tuleb otse sealt, "arvutus" tuletatakse viimasest.
@vonbrand [allikas] (https://www.etymonline.com/search?q=calculus): *** arvutus (n.) ** matemaatiline meetod probleemide ravimiseks algebralise tähistussüsteemi (1660) abil Ladinakeelne arvutus "arvestus, konto", algselt "arvestusloendurina kasutatav kivike", vasika (genitiivkaliisi) deminutiiv "lubjakivi"
Kaks vastused:
njuffa
2020-04-13 06:55:59 UTC
view on stackexchange narkive permalink

TL; DR Dijkstra sai selle põhimõtteliselt korda.

Rooma numbritega arvutamise peamised vahendid olid abacus ja arvestusplaat. Väikeste kivikeste kasutamine sellisel arvutusviisil on meie sõna arvutus päritolu.

Roger Cooke, "Matemaatika ajalugu. Lühike kursus 2. toim.", Wiley 2005, lk. 144 annab lühikese, kuid kasuliku ülevaate sellest, kuidas ja millal toimus üleminek meie praegusele kümnendsüsteemile, kasutades araabia numbreid, kasutades pliiatsi ja paberi arvutamise meetodeid:

Arvutuste jaoks asendati need tülikad numbrid sajandeid tagasi Hindu-Araabia kohaväärtuse kümnendsüsteem. Enne seda aega oli arvutus läbi viidud harilike murdude abil, kuigi geomeetriliste ja astronoomiliste arvutuste jaoks kasutati ka Lähis-Idast päritud seksagesimaalset süsteemi. Just kokkupuutel moslemikultuuriga said eurooplased tuttavaks kümnendkoha väärtushinnangute süsteemiga ja sellised matemaatikud nagu Gerbert Aurillacist julgustasid abakusega seoses uute numbrite kasutamist. XIII sajandil aitas Pisa Leonardo seda arvutussüsteemi ka Euroopasse juurutada ja 1478. aastal avaldati Itaalias Trevisos aritmeetika, milles selgitati hindude-araabia numbrite kasutamist [...] XVI sajandil olid paljud teadlased, sealhulgas Robert Recorde (1510-1558) Suurbritannias ja Adam Ries (1492-1559) Saksamaal, pooldas hindude-araabia süsteemi kasutamist ja kehtestas selle universaalse standardina.

Leonardo Pisa (umbes 1170–1240), nimega Fibonacci, populariseeris araabia numbrite kasutamist oma raamatus Liber Abaci , mis ilmus 1202. aastal. See sisaldas juba meie tänapäevaste varajasi variante pikkade käte meetodid nii põhiaritmeetika teostamiseks kui ka ruutjuurte väljavõtmiseks. Kuid laialdane üleminek nendele uutele aritmeetikameetoditele toimus alles umbes 16. th sajandi esimesel poolel.

On kuulus allegooriline puulõige Gregor Reischi 1503. aastast pärit teosest, mis näitab Pythagorase vahelist konkurentsi, arvutades traditsioonilisel meetodil abakusega ja Boethius, arvutades pliiatsi ja paberiga, kasutades araabia numbreid. Nende vastavate näoilmete põhjal on selge, et viimased võitsid. Samuti märgime, et taustal olev jumalanna Arithmetica naeratab Boethiusele soodsalt. See on selge väljend, et araabia numbritega paberi-pliiatsiga arvutuste paremust tunnistati.

Matemaatik Adam Ries avaldas mitu populaarset saksa keeles õpikut. Huvitav on märkida, et tema esimene raamat Rechnung auff der linihen (1518) selgitab abakuse kasutamist, teine ​​raamat Rechenung auff der linihen vnd federn (1522) selgitab nii abakuse kui pliiatsi ja paberi arvutamise kasutamist, näidates nihet viimase arvutamisviisi suunas.

Google pakub täieliku skannimise raamatust "Die Coss Christoffs Rudolffs, Mit schönen Exempeln der Cosz. Durch Michael Stifel Gebessert vnd ​​sehr gemehrt" 1571. aastast. See on raamat algselt Christoph Rudolffi (1499-1545) kirjutatud algebra, mida Stifel täiustas ja laiendas. Lisaks põhiaritmeetikale hõlmab see ruutjuurte ja kuubikujuurte ekstraheerimist. Demonstreeritud meetodid on põhimõtteliselt identsed tänapäeval kasutatavate pika käega meetoditega.

Rahvusvahelisele publikule: Ries * tähistab raamatut "arvutamine abacudi või * calculi * -tahvli joonel" ja "arvutamine joonel või [koos] sulega". Siiani on tavaline öelda sirgjoonelise lihtsa arvutuse tulemus (kõnekeeles / keel põses) kui "das gibt nach Adam Riese" ("Adam Riesi sõnul on selle tulemuseks")
Aitäh, see on väga huvitav. Tundub, nagu oleks Dijkstra täpselt ajakavas. Mida ma veel ei tea, on see, kas inimesed on kunagi proovinud teha selliseid arvutusi nagu see, mida me nüüd nimetame pikaks jagamiseks, kasutades otse Rooma numbreid (mida Dijkstra soovitab teha). Kui jah, siis kuidas nad seda tegid?
@RobArthan Ma arvan, et on oluline märkida, et Dijkstra tsitaat küsimuses pärineb intervjuust (lisasin viite küsimusele; redigeerimine ootab praegu kinnitamist). On usutav, et Dijkstra rääkis lõdvemalt kui siis, kui ta oleks kirjutanud ametliku dokumendi ja viidanud rooma numbritele * pars pro toto * abakusega arvutamiseks, kuna nende kasutamine oli tegelikult tihedalt seotud, nagu ma rõhutan. Ma ei tea, kuidas jagunemist (Rooma) abakusega tehti, see näeb välja suurepärane jätkuküsimus.
Teie lingitud Vikipeedia artikkel kirjutab: "* Mida saab nendest Rooma abaafidest järeldada, on vaieldamatu tõestus selle kohta, et roomlased kasutasid seadet, millel oli kümnendkohaline kohahinde süsteem, ja järeldatud teadmised nullväärtusest, mida tähistab veerg, kus loendamata asendis pole helmeid. * "See on venitus, kuid sama on ka Dijkstra" rooma numbritega ". Tulemused olid rooma numbritega, kuid mitte abakuse arvutused. Kiirendamise põhjus ei olnud minu arvates mitte niivõrd üleminek rooma numbritelt kümnendkohtadele, kuivõrd paremate kümnendjaotuse algoritmide väljatöötamine.
Näiteks kasutab * Liber Abaci * juba kümnendkohti, kuid selle jagamisalgoritm seisnes jagaja tegurite jagamises ja jagamises teguritega järjest ning abakusel kasutati peamiselt korduvat lahutamist. Midagi kaugelt sarnanevat "pikka jagunemist" levis Euroopas alles 15. sajandi lõpus, varsti pärast trükipressi ja kümnendkohtadega, vt [Windsor-Booker] (https://www.semanticscholar.org/paper/An-Historical Jaotuse kontseptsiooni ja Windsor-Bookeri analüüs / 1fbf13e7fe8d7549a870cf1fd430af5b4d8691d4). Nii et loos on olulisi osi, mida Dijkstra eksis üsna valesti.
@Conifold Nõustun Vikipeedia artikli kriitikaga ja nõustun, et rooma numbreid kasutati ainult operandide salvestamiseks abakuse arvutamise sisendina / väljundina. Abacus pakub pigem füüsilist kui sümboolset esindust ja ma arvan, et see muutub üha suuremaks puuduseks, kuna operatsiooni keerukus suureneb korrutamisest jagunemisele ruutjuureni. Meie praegused pika käega (pliiats ja paber) aritmeetilised protseduurid toovad kümnendsüsteemi * kohaväärtuse * olemusest selgelt suurt kasu.
@njuffa: Ma pole kindel, et saan aru, miks arvate, et erinevus füüsilise, mitte sümboolse kujutise vahel on oluline. Mulle näib, et pliiatsi ja paberi meetodi eeliseks on see, et see registreerib kõik arvutusseisundid, samas kui abacuse meetod registreerib ainult praeguse oleku, mis muudab vigade avastamise ja parandamise raskemaks.
Alexandre Eremenko
2020-04-13 02:50:01 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Keskaegses Euroopas tehti vähemalt kahte väga erinevat arvutust: a) täisarvudega arvutamine, näiteks raamatupidamises, ja b) pikkade murdarvudega arvutamine astronoomias. Positiivne, seksagesimaalne süsteem leiutati Babüloonias astronoomia ja muudel teoreetilistel eesmärkidel ning Euroopas ei kasutatud seda tavapärases igapäevases elus, näiteks raamatupidamiseks. Kuna Dijkstra räägib "ülikooliprofessoritest", peab ta tõenäoliselt silmas astronoomiat. Sel ajal ülikoolides raamatupidamist ei õpetatud.

Kümnendsüsteemi kasutas Fibonacci 1170-1275 täisarvude ja raamatupidamise jaoks ning alles 16. sajandi lõpus populariseeris kümnendmurdude arvu Simon Stevin 1548-1620.

Rooma numbritega jagamine on tõesti ebamugav. Kuid isegi positsioonilises (näiteks kümnend- või seksagesimaalses) süsteemis on pikkade arvude jagamine ja korrutamine väsitav. Kas olete kunagi proovinud korrutada kahte juhuslikku 6-kohalist numbrit kümnendsüsteemis?

Selleks ei pea te eriti hiilgav olema, kuid pärast proovimist nõustute tõenäoliselt, et see on aeganõudev protsess, mis nõuab suur tähelepanu. Selle probleemi lahendas Napier 16. sajandi lõpus. Selle probleemi eelmised lahendused proteesimine olid palju keerulisemad.

Kokkuvõtteks võib öelda, et "geniaalne" on liialdus, peaks ilmselt ütlema "abistav".

Aitäh, kuid see ei anna tõepoolest mingeid tõendeid Dijkstra nõude poolt ega vastu. Kahe kuuekohalise kümnendkoha arvu korrutamist oleks 100 aastat tagasi peetud tühiseks ülesandeks - ja ma saaksin seda teha nüüd. Napieri logaritmide ja selliste tööriistade nagu slaidireegel leiutamine pole asjakohane - minu küsimus puudutab täpseid aritmeetilisi arvutusi.
Seksagesimaalset süsteemi ei leiutatud Babüloonias, babüloonlased pärisid selle sumerlastelt ja see ei olnud astronoomia ega teooria jaoks, enamik savitahvleid sisaldavad maa suuruse ja kaalu / tiheduse arvutusi, vt nt. [Maamõõtmine iidses Mesopotaamias] (https://www.tandfonline.com/doi/full/10.1179/1752270613Y.0000000070). Astronoomia spetsialiseerumine tuli alles palju hiljem.


ⓘ
See küsimus ja vastus tõlgiti automaatselt inglise keelest.Algne sisu on saadaval stackexchange-is, mida täname cc by-sa 4.0-litsentsi eest, mille all seda levitatakse.
Loading...