Fermats Satz für die 3te Potenz

[Peter Heckert]

Wir nehmen an:

a^3 + b^3 = c^3 sei ganzzahlig lösbar.
c + x = a + b.

Es gelten dann diese Äqivalenzen:

a^3 + b^3 = (a + b) * ((a + b)^2 -3 * a * b)
c^3 + x^3 = (c + x) * ((c + x)^2 -3 * c * x)

(a + b)^2 -3 * a * b + x^3 = (c + x)^2 -3 * c * x
a * b + x^3 = c * x
a * b / x + x^2 = c

Da jedoch a, b, x teilweise teilerfremd sein müssen,
kann es keine ganzzahlige Lösung geben.

[Peter Heckert]

*** KORREKTUR ***

Wir nehmen an:

Wir nehmen an:
a,b,c seien teilerfremd.

A) a^3 + b^3 = c^3 sei ganzzahlig lösbar.
B) c + x = a + b.

Es gelten dann diese Äqivalenzen:

a^3 + b^3 = (a + b) * ((a + b)^2 -3 * a * b)
c^3 + x^3 = (c + x) * ((c + x)^2 -3 * c * x)

(a + b)^2 -3 * a * b + x^3 = (c + x)^2 -3 * c * x
-3 * a * b + x^3 = -3* c * x
-3 * a * b / x + x^2 = -3 *c
a * b / x - x^2 / 3 = c

x muss alle Teiler aus (a + b) enthalten, da auch c diese enthält. Das ist aus Annahme A) zu ersehen.
Deshalb enthält x Teiler, die (a * b) nicht enthält.

x muss unter den gegebenen Annahmen durch 3 teilbar sein. Das soll hier nicht gezeigt werden, der Nachweis ist jedoch einfach.

Daher kann es keine ganzzahlige Lösung geben.

[Detlef Müller]

Post by Peter Heckert
*** KORREKTUR ***
a,b,c seien teilerfremd.

immerhin :)

Post by Peter Heckert
A) a^3 + b^3 = c^3 sei ganzzahlig lösbar.
B) c + x = a + b.

ok.

Post by Peter Heckert
a^3 + b^3 = (a + b) * ((a + b)^2 -3 * a * b)
c^3 + x^3 = (c + x) * ((c + x)^2 -3 * c * x)

Was man durch nachrechnen Zeigen kann.

Post by Peter Heckert
(a + b)^2 -3 * a * b + x^3 = (c + x)^2 -3 * c * x

Was wir wegen (??) wissen. Mir nach wie vor nicht
klar.

Post by Peter Heckert
-3 * a * b + x^3 = -3* c * x
-3 * a * b / x + x^2 = -3 *c
a * b / x - x^2 / 3 = c
x muss alle Teiler aus (a + b) enthalten, da auch c diese enthält. Das ist aus Annahme A) zu ersehen.

Wieso folgt das aus a^3 + b^3 = c^3?
Ok. a+b teilt a^3+b^3, also auch c^3.
Nun könnte z.B. 4 ein Teiler von c^3 sein, nicht aber von c.
Also muß c (ohne weitere Argumentation) keineswegs alle Teiler
von a+b enthalten nur weil a+b Teiler von c^3 ist.

Post by Peter Heckert
Deshalb enthält x Teiler, die (a * b) nicht enthält.
x muss unter den gegebenen Annahmen durch 3 teilbar sein. Das soll hier nicht gezeigt werden, der Nachweis ist jedoch einfach.

Wäre doch aber wichtig, damit a * b / x - x^2 / 3 nicht doch wieder
ganzzahlig ist (obwohl es a * b / x nicht ist).
Wenn etwas "einfach zu zeigen" ist, sollte man das auch einfach tun.
Die Leser rätseln zu lassen ist unhöflich.

Gruß,
Detlef

PS: Hatten wir das Ganze nicht schon vor längerer Zeit hier
gehabt?

[Detlef Müller]

Hallo, Peter.

Sind das Notizen, aus denen ein Beweis werden
soll?

Das ist allerdings noch recht lückenhaft, wenn der
Beweis komplett ist, sollte eine vollständige Argumentation
da stehen, wie die Gleichungen zustande kommen, warum die
behaupteten Aussagen stimmen und welche Eigenschaften die
auftauchenden Variablen haben.

Nicht zu vergessen, eine klare Formulierung der zu zeigenden
Aussage. Ich nehme an, a,b und c sollen paarweise teilerfremde
ganze Zahlen sein und es soll gezeigt werden, daß dann
a^3 + b^3 ungleich c^3 ist.

Post by Peter Heckert
a^3 + b^3 = c^3 sei ganzzahlig lösbar.

Klar, ist es auch. Z.B. für a=b=c=0 oder auch
für a=1, b=-1, c=0.

Post by Peter Heckert
c + x = a + b.

Für den Fall a,b,c ganzzahlig und >0 sind kann man sich
sogar überlegen, daß dann auch x>0 sein muß.

Post by Peter Heckert
a^3 + b^3 = (a + b) * ((a + b)^2 -3 * a * b)
c^3 + x^3 = (c + x) * ((c + x)^2 -3 * c * x)

Ich vermute, die beiden Gleichungen kann man durch Ausmultiplizieren
verifizieren.
In Zeiten von CAS reicht es wohl, das anzumerken. Aber es sollte schon
geschehen.

Post by Peter Heckert
(a + b)^2 -3 * a * b + x^3 = (c + x)^2 -3 * c * x

Keine Ahnung, warum das gelten sollte. Hier fehlt definitiv eine
Herleitung. Mein CAS vereinfacht jedenfalls die Differenz der
beiden Seiten nicht zu 0.

Post by Peter Heckert
a * b + x^3 = c * x

Auch hier fehlt eine Herleitung.

Post by Peter Heckert
a * b / x + x^2 = c

Da sehe ich zumindest, wie das aus der vorherigen Zeile
folgt, und das anscheinend x nicht 0 sein darf.

Post by Peter Heckert
Da jedoch a, b, x teilweise teilerfremd sein müssen,

Müssen sie das? Warum?
(sollte es "paarweise teilerfremd" heißen?)

Post by Peter Heckert
kann es keine ganzzahlige Lösung geben.

Also irgendwie möchtest Du trickreich die ersten beiden Gleichungen
benutzen und verwendest dabei nicht erwähnte Bedingungen (wie
Teilerfreiheit gewisser Zahlen) um die genannten Zwischenergebnisse
zu erhalten.

Leider werden die verwendeten Tricks nicht verraten - gerade die
hinreichend kleinschrittig darzulegen machen aber einen Beweis
aus.

Der Beweis von Euler in
https://en.wikipedia.org/wiki/Proof_of_Fermat%27s_Last_Theorem_for_specific_exponents#n_=_3

ist zwar noch "relativ elementar" aber doch deutlich komplexer als
das hier angedeutete Vorgehen.

Wenn Du meinst, hier einen deutlich einfacheren Beweis angeben zu
können, gebietet es zumindest der Respekt vor den mathematischen
Größen der Vergangenheit, eine glasklare, wasserdichte Argumentation
vor zu legen, in der jeder Schritt begründet wird.

Gruß,
Detlef

[Paule Paul]

Post by Detlef Müller

Post by Peter Heckert
a^3 + b^3 = c^3 sei ganzzahlig lösbar.

Klar, ist es auch. Z.B. für a=b=c=0 oder auch
für a=1, b=-1, c=0.

kann man so einfach -1 annehmen?
ich dachte -1 kann man nicht wurzeln?

a := 2
b := 2
c := x


27
8
12 52

a) 3 => 3^3 := 3 * 3 * 3 := 27
b) 9 => 9^3 := 9 * 9 * 9 := 729

x = a + b = 756

27a 729b
x = --- + ---- | a, und b kürzt sich weg
1a 1b

27 729
x = -- + --- | dividiert x := 756/27
1 1

28 27 729
x := -- = -- + ---
27 27 27

28 28
x := -- = -- | wurzeln und -1
27 1
___ ___
x := ³V 1 + ³V 27

x := 4

[Uwe Weiss]

Post by Paule Paul

Post by Detlef Müller

Post by Peter Heckert
a^3 + b^3 = c^3 sei ganzzahlig lösbar.

Klar, ist es auch. Z.B. für a=b=c=0 oder auch
für a=1, b=-1, c=0.

kann man so einfach -1 annehmen?
ich dachte -1 kann man nicht wurzeln?
a := 2
b := 2
c := x
27
 8
12 52
a) 3 => 3^3 := 3 * 3 * 3 :=  27
b) 9 => 9^3 := 9 * 9 * 9 := 729
x = a + b = 756
    27a     729b
x = ---  +  ----    | a, und b kürzt sich weg
     1a       1b
    27      729
x = --   +  ---     | dividiert x := 756/27
     1        1
      28     27      729
x :=  --  =  --   +  ---
      27     27       27
      28     28
x :=  --  =  --     |  wurzeln und -1
      27      1
        ___      ___
x :=  ³V 1   + ³V 27
x := 4

Hallo Paule,

wirklich sehr schön.
Da bleibt am Ende eigentlich nur eine Frage offen:
Häh?

[Paule Paul]

Post by Uwe Weiss
wirklich sehr schön.
Häh?

Hallo Uwe,

sind da irgendwo noch Fehler?
Fehlen noch detailiertere Lösungsschritte?

Was meinst mit Häh?

[Christian Gollwitzer]

Post by Paule Paul

Post by Detlef Müller

Post by Peter Heckert
a^3 + b^3 = c^3 sei ganzzahlig lösbar.

Klar, ist es auch. Z.B. für a=b=c=0 oder auch
für a=1, b=-1, c=0.

kann man so einfach -1 annehmen?
ich dachte -1 kann man nicht wurzeln?
a := 2
b := 2
c := x
27
 8
12 52
a) 3 => 3^3 := 3 * 3 * 3 :=  27
b) 9 => 9^3 := 9 * 9 * 9 := 729
x = a + b = 756
    27a     729b
x = ---  +  ----    | a, und b kürzt sich weg
     1a       1b

Jens, bist Du's?

Christian