Für römisch Nummer 5:
ich weiss ja nicht, warum hier immer wieder mal die Theromen,
die irgendwer mal vor 100 Jahren in Englisch aufgestellt hat.
Sollte man sich vielleicht Informationen im Deutschen Raum
beschaffen, anstelle zu versuchen, Texte zu re-implementieren?
Mein Englisch ist auch kein Hohes Niveau, aber ich kann sagen,
daß manch einer Text gar eine andere Bedeutung hat ...
Bevor hier von Körpern und dergleichen gesprochen wird, sollte
eine einheitliche Basis gesetzt werden.
Ich weiss, daß die wenigen hier darauf bedacht sind von Null
auf einzusteigen oder gar auf elementare Mathematik abzusteigen;
bin halt auch kein Experte, so daß ich Dir einmal eine
Zusammenstellung geben möchte.
Sie kann von den anderen ggf. überpflogen werden, aber für Deiner
Einer wohl interssant sein könnte ...
Was ist ein Term?
Ein Term ist eine mathematische Zeichenreihe, die aus einer oder
mehreren Zahlen oder gar als Variable besteht.
Ein Term enthält *keine* Beziehungszeichen wie: =, <, >, etc...
Beispiele für Terme:
/
8 : 2 oder:/ 8
: ---- = 4 <-- vereinfacht
8 / 2 oder:\ 2
\
a^2 + b^2
83a + 123b - xz
Terme wie: 6 + x = 10 oder 7 > 3 ...
sind keine Terme!
* Gleichartige Terme liegen vor, wenn diese zum Beispiel die
gleichen Variablen aufweisen.
Sind die Variablen unterschiedlich, sind die Terme nicht als
gleichartig zu behandeln.
Beispiel: 7x oder 42x oder 9x
* Terme, die nicht gleichartig sind werden unterschiedloch behandelt,
man kann sie dann als eigenständige Gruppe ansehen:
231a oder: xy oder: 8cd
* gleichwertige Terme sind Terme, die einen gleichen Wert aufweisen:
* 4 \cdot 4 und 8 \cdot 2 sind gleichwertig, da beide Werte
als Ergebnis 16 aufweisen.
* 8 + a und a + 8 sind ebenfalls gleichwertig
Man kann Terme umformen:
x + x + x = 3x
2y + 3y + 1y = 6y
oder:
2xy + 3xy - xy = 4xy
Randnotiz:
----------
* Variablen sind keine Konstanten!
* Konstanten werden üblich auf Null / 0 gesetzt.
* Variablen, die keine Zahl an deren Anfang aufweisen werden als
eine Einheit, bzw. als _eine_ _wertmässige_ Einheit behandelt.
zum Beispiel: x steht für die Einheit: 1 * x = 1x
man denkt sich die 1, damit einfach mehr Platz auf seinen Rechen-
papier hat. Man beachte aber auch die Rechenoperatoren !!!
Nicht zu vergessen, die Einheit-Bezeichung mit angeben !
So würde zum Beispiel der Umformungs-Term:
x + x + x = 3x
1 * x + 1 * x + 1 * x = 3x zum Einstieg kann man sich auch
eine einfache Addition Vorstellen:
1 + 1 + 1 = 3
Terme kann man Zusammenfassen:
6xy + 2xy = 8xy
=>
6 * x * y + 2 * x * y = 8 * x * y
6 * 1 * 1 + 2 * 1 * 1 = 8 * 1 * 1
6 + 2 = 8
an Stelle der 1 für die Variablen, können unterschhiedliche Zahlen
eingesetzt werden: zum Beispiel x = 2, y = 3.
Ich hoffe, die verwendete 1 irretiert nicht so sehr :-)
Terme können auch Potenzen enthalten, die ebenfalls umgeformt werden
können:
2x²y³ + 4x²y³ = 6x²y³
=>
2 * x² * y³ + 4 * x² * y³ = 6 * x² * y³
2 * 2² * 3³ + 4 * 2² * 3³ = 6 * 2² * 3³
2 * 4 * 27 + 4 * 4 * 27 = 6 * 4 * 27
8 * 27 + 16 * 27 = 24 * 27
216 + 432 = 648
648 = 648
Aus Termen können auch Gleichungen nach x aufgelöst werden:
8 * 3 + x = 34
24 + x = 34 | um das x zu erhalten, wird die 24 subtrahiert
x = 10 | was auf der einen Seite gerechnet wird, muss
| auf der gegenüberliegende Seite (r/l) angewandt
| werden.
das war noch Stoff der siebten 7 Klasse.
Ein etwas Höheres Mathe-Term-Umformung:
+--------------------+--------------------+
| | |
o o o
-2sin(x) * cos²(x) - sin(x) + sin³(x) | - sin(x)
Lemma A := sin²(c) = 1 - cos²(x)
= sin(x) * (-2cos²(x) - A)
= sin(x) * (-3cos²(x))
= -3sin(x) * cos²(x)
Ordnung einer Gruppe ist die Mächtigkeit (Kardinalität)
|G| der Trägermenge der Gruppe nennt man Ordnung der Gruppe
oder kurz *Gruppenordnung*.
Für endliche Mengen ist dies einfach die Anzahl der Elemente.
Ein Ring ist eine Menge R mit zwei binären Verknüpfungen:
plus (+) und minus (-), so daß gilt:
* (R, +) ist eine abelsche Gruppe
* (R, -) ist eine Halbgruppe
Was ist ein mathematischer "algebraischer" Körper?
= Struktur, in der +, -, *, div angewandt werden kann
= Definition:
Ein Tripel (K,+,-) mit Menge K und zwei binären Verknüpfungen
(plus und minus) ist dann ein Körper, wenn folgendes Erfüllt ist:
(K,+) ist eine abelsche Gruppe mit neutral Element 0
(K\{0},-) ... mit neutral Element 1
Was sind geometrische Körper?
= ist eine dreidimensionale Figur, die durch ihre Oberfläche beschrieben
werden kann
Was ist eine Funktion?
= eine Zuordnung, die jedem Element x aus einer Menge A
(Definitionsbereich) *eindeutig*
*ein* Element y in einer Menge B (Wertebereich) zuordnet.
Beispiel: f(x) = sin(x) mit T = 2pi
Was sind Quadratische Funktionen / Gleichungen?
* Gleichungen haben die Form:
y = ax² + bx + c
Beispiele wären:
y = 3x² + 2x + 3
y = 4x²
* PQ-Formel
x² + px + q = 0
x_1, x_2 = -(p/2) +- sqrt( (p/2)² - q )
Rechenbeispiel:
3x² + 9x + 5 = -1 | + 1
3x² + 9x + 6 = 0 | div 3
x² + 3x + 2 = 0
o o
| |
= =
p q
p = 3
q = 2
x_1, x_2 = -(3/2) +- sqrt( (3/2)² - 2 )
x_1, x_2 = -1,5 +- sqrt( 2,25 - 2 )
x_1, x_2 = -1,5 +- 0,5
x_1 = -1,5 + 0,5 | x_2 = -1,5 - 0,5
x_1 = -1,0 | x_2 = -2
Lösung:
x_1 = -1
x_2 = -2
In vielen Texten kann man folgende schreibweise einer Funktion
antreffen:
f(x) = 3 , was nichts anderes bedeutet als: y = 3, das heißt:
y = 3 , y ist 3 zugeordnet.
y ist hier nicht näher beschrieben, so daß y einen Wert auf der
Y-Achse eines Graphen, oder y = Katze zugeordnet werden kann,
wobei dann es wahrscheinlicher ist, das man k = Katze verwendet,
falls ein Katalog oder Register von Katzen(namen) erstellt werden
soll.
Hoffe das Hilft erstmal weiter.
Wenn Fragen sind, immer her damit.
Gruß, Jens