Post by IVPost by IVPost by IVwas ist die g e n a u e Ursache dafür, daß Gleichungen wie
y + e^y = x
und die Kepler-Gleichung
y - c*sin(y) = x, c eine Konstante,
keine Elementare Funktion y (siehe Wikipedia en: Elementary function)
als Lösung haben können?
x + e^x = a oder x + sin(x) = b, mit a und b Konstanten.
Ich fange endlich einfach mal an, Teilantworten zu suchen
Heute endlich kam ich auf das für den Beweis noch fehlende Argument.
Ich skizziere den Beweis hier kurz.
Es ist noch viel Kauderwelsch in der Argumentation. Vielleicht kann/möchte
mir ja jemand helfen, die für einen Mathematiker doch recht einfach zu
formulierenden Herleitungen mathematisch korrekt zu machen.
Nach umfangreichen Literaturrecherchen bin ich zu dem Schluß gekommen, daß
die Herleitungen neu sind und eine Innovation darstellen.
Denjenigen, die wesentliche Beiträge liefern, biete ich die Mitautorschaft
an dem zu erstellenden Artikel in einer mathematischen Fachzeitschrift (in
Deutsch und in Englisch) an.
Die Begriffe Umkehrung einer Verkettung, Verkettung und
Verkettungsdarstellung müssen noch genauer definiert und präziser eingesetzt
werden.
Definition 1:
Eine Funktion ist genau dann elementar, also eine elementare Funktion, wenn
sie einstellig und einwertig ist, ihr Defi nitionsbereich ein komplexes
Intervall ist, und ihre Funktionswerte sich aus ihrem Argument in einer
endlichen Anzahl von Schritten allein durch algebraische Funktionen,
Exponentialfunktionen, Logarithmusfunktionen, Winkelfunktionen, inversen
Winkelfunktionen (= Arkusfunktionen), Hyperbelfunktionen und/oder inversen
Hyperbelfunktionen (= Areafunktionen) erzeugen lassen.
Satz 1:
Ist F eine elementare Funktion, dann sind die folgenden Aussagen äquivalent.
a) Die Funktionswerte von F lassen sich aus dem Argument von F in einer
endlichen Anzahl von Schritten allein durch algebraische Funktionen,
Exponentialfunktionen, Logarithmusfunktionen, Winkelfunktionen, inversen
Winkelfunktionen (= Arkusfunktionen), Hyperbelfunktionen und/oder inversen
Hyperbelfunktionen (= Areafunktionen) erzeugen.
b) Die Funktionswerte von F lassen sich aus dem Argument von F allein durch
endlich oftes Anwenden von algebraischen Funktionen, Exponentialfunktionen,
Logarithmusfunktionen, Winkelfunktionen, inversen Winkelfunktionen (=
Arkusfunktionen), Hyperbelfunktionen und/oder inversen Hyperbelfunktionen (=
Areafunktionen) erzeugen.
c) Die Funktionswerte von F lassen sich aus dem Argument von F allein durch
endlich oftes Anwenden von algebraischen Funktionen, exp und/oder ln
erzeugen.
d) Die Funktionswerte von F lassen sich aus dem Argument von F allein durch
endlich ofte Verkettung von algebraischen Funktionen, exp und/oder ln
erzeugen.
e) Die Funktionswerte von F lassen sich aus dem Argument von F allein durch
endlich ofte Verkettung von ein- oder mehrstelligen algebraischen
Funktionen, exp und/oder ln erzeugen.
f) F ist eine Verkettung endlich vieler Funktionen, von denen jede der Menge
{ein- oder mehrstellige algebraische Funktionen, exp, ln} entstammt.
Beweis von Satz 1:
Aussage a ist in der Definition 1 enthalten.
Aussage b ist Aussage a mit etwas anderen Worten.
Aussage c ergibt sich aus Aussage b dadurch, daß die Exponentialfunktionen,
Logarithmusfunktionen, Winkelfunktionen, Arkusfunktionen, Hyperbelfunktionen
und Areafunktionen sich allein durch algebraische Operationen sowie exp
und/oder ln darstellen lassen (siehe z. B. Abramowitz/Stegun), und jede
algebraische Operation eine algebraische Funktion ist. Aussage b ist in der
Definition der elementaren Funktionen aus [Ritt 1925] enthalten.
Aussage d ergibt sich aus Aussage c durch Benennen des Anwendens von
Funktionen als Verkettung.
Aussage e ergibt sich aus Aussage d dadurch, dass die Stelligkeit der
algebraischen Funktionen Erwähnung findet.
Aussage f ist Aussage e mit etwas anderen Worten.
Satz 2:
Eine Gleichung E(y) = x, worin E eine elementare Funktion, y die komplexe
Lösungsvariable und x eine komplexe Variable sind, hat genau dann eine
elementare Funktion y als Lösung, wenn die Funktion E eine elementare
Umkehrfunktion hat.
Beweis von Satz 2:
E^-1: Umkehrfunktion der Funktion E
Zuordnungsvorschrift der elementaren Funktion E: E(x) = F(x)
(1)
Definitionsgleichung der Umkehrfunktion E^-1: E(E^-1(x)) = x
(2)
Transformation y = E^-1(x)
(3)
Einsetzen von (2) in Gleichung (1): E(y) = x
(4)
Gleichung (4) ist die Gleichung aus Satz 2.
Verwenden von Gleichung (1) in Gleichung (4): F(y) =x
(5)
Auflösen von Gleichung (2) nach der Lösungsvariablen y: y = F^-1(x) (6)
Rücktransformation (3): E^-1(x) = F^-1(x)
(7)
Die Lösung der Gleichung aus Satz 2 ist genau die Umkehrfunktion E^-1.
Daraus folgt Satz 2.
Wir wollen jetzt Ritts Satz ([Ritt 1925]) beweisen.
Satz 3 (Satz über die Form elementar umkehrbarer elementarer Funktionen
(IV)) - Ritts Satz in etwas anderer Notation:
Wenn die Funktion F und ihre Umkehrfunktion beide elementar sind, dann
existieren n Funktionen F_1, F_2, ..., F_n, wo jedes F_i mit einem ungeraden
Index i eine algebraische Funktion ist, und jedes F_i mit einem geraden
Index i entweder exp oder ln ist, so dass F(z) =
F_n(F_{n-1}(...(F_2(F_1(z)))...)).
Beweis von Satz 3 (IV):
a) Satz 4 besagt, dass jede bijektive lineare expln-Verkettung elementar
umkehrbar ist.
b) Satz 5 besagt, dass keine nicht-lineare expln-Verkettung elementar
umkehrbar ist.
c) Aus a und b folgt, dass nur lineare expln-Verkettungen elementar
umkehrbar sind.
Aus c und dem Rittschen Konstruktionsprinzip der elementaren Funktionen
folgt die Formeldarstellung in Ritts Satz (Satz 3).
Satz 4 (IV):
Ist die Funktion F eine bijektive lineare expln-Verkettung, dann ist F
elementar umkehrbar.
Beweis von Satz 4:
Satz 4 ergibt sich daraus, dass die Umkehrfunktion einer bijektiven linearen
Verkettung ebenfalls eine lineare Verkettung ist.
In Erweiterung von [Ritt 1925] läßt sich auch sofort die Umkehrfunktion
einer bijektiven linearen Verkettung angeben. Das wäre ein weiterer Satz.
Satz 5 (IV):
Ist die Funktion F eine nicht-lineare expln-Verkettung, dann ist F nicht
elementar umkehrbar.
Beweis von Satz 5:
F ist gemäß Voraussetzung von Satz 5 eine bijektive nicht-lineare
expln-Verkettung.
Ist F nicht bijektiv, dann ist F nicht umkehrbar und damit nicht elementar
umkehrbar.
Ist F bijektiv, dann existiert die Umkehrfunktion zu F.
Die Umkehrung einer Verkettung ist die Verkettung der Umkehrfunktionen der
Komponenten der Verkettung in umgekehrter Reihenfolge. Da F eine
nicht-lineare Verkettung ist, enthält die expln-Verkettungsdarstellung von F
mindestens eine mehrstellige algebraische Funktion. Die Umkehrfunktion einer
mehrstelligen algebraischen Funktion ist eine mehrwertige Funktion. Eine
mehrwertige Funktion kann laut Definition der elementaren Funktionen
(Definition 1) jedoch keine elementare Funktion sein. Deshalb kann die
Umkehrung der Verkettungsdarstellung von F keine elementare Funktion sein.
Da F eine nicht-lineare expln-Verkettung ist, besitzt F keine lineare
Verkettungsdarstellung, sondern nur nicht-lineare Verkettungsdarstellungen.
Entsprechend dem im vorigen Absatz Gesagten kann keine dieser nicht-linearen
Verkettungsdarstellungen von F eine elementare Umkehrung haben. Da F aber
keine lineare Verkettungsdarstellung besitzt, kann keine der
Verkettungsdarstellungen der Umkehrfunktion von F eine elementare Funktion
sein. Die Umkehrfunktion von F kann daher keine elementare Funktion sein.
Diese Herleitungen beziehen sich auf die elementaren Funktionen nach Ritt.
Er zählt die impliziten algebraischen Funktionen mit zu den elementaren
Funktionen. Khovanskii nennt Ritts elementare Funktionen verallgemeinerte
elementare Funktionen.
Analoge Herleitungen sind auch für die Klasse der elementaren Funktionen
möglich, die sich von der Funktionenklasse Ritts darin unterscheidet, dass
nur die expliziten algebraischen Funktionen, nicht aber die impliziten
algebraischen Funktionen dazuzählen.
Weiter definiere ich die Klasse der standardfunktionbasierten Funktionen.
Definition (IV):
Eine Funktion ist genau dann eine Standardfunktion, wenn definiert ist, dass
sie eine Standardfunktion ist.
Definition (IV):
Eine Funktion ist genau dann standardfunktionbasiert, also eine
standardfunktionbasierte Funktion, wenn sie eine Verkettung endlich vieler
Funktionen ist, von denen jede der Menge {ein- oder mehrstellige
algebraische Funktionen, {einstellige einwertige Standardfunktionen}}
entstammt.
Satz (IV):
Wenn die Funktion F und ihre Umkehrfunktion beide standardfunktionbasiert
sind, dann ist F eine Verkettung endlich vieler Funktionen, von denen jede
der Menge {einstellige algebraische Funktionen, {einstellige einwertige
Standardfunktionen}} entstammt.
Begriffserklärungen
================
algebraische Funktion: ein- oder mehrstellige einwertige algebraische
Funktion
expln-Verkettung: Verkettungsdarstellung nach Satz 1 e
lineare expln-Verkettung: elementare Funktion, die eine
Verkettungsdarstellung nach Satz 1 e besitzt, deren algebraische Funktionen
sämtlich einstellig sind
nicht-lineare expln-Verkettung: elementare Funktion, die eine
Verkettungsdarstellung nach Satz 1 e besitzt die mindestens eine
mehrstellige algebraische Funktionen enthält, und die keine lineare
expln-Verkettung ist
Umkehrung einer Verkettung: ...
Verkettung: ...
Verkettungsdarstellung: ...
Literatur
=======
[Ritt 1925]: Ritt, J. F.: Elementary functions and their inverses. Trans.
Amer. Math. Soc. 27 (1925) (1) 68-90.
http://www.ams.org/journals/tran/1925-027-01/S0002-9947-1925-1501299-9