Courbe paramétrée

[ast]

bonjour

Soit la courbe paramétrée définie en coordonnées polaires par:

r(t) = 1-t
theta(t) = -Log(1-t)

Si on restreint t dans l'intervalle [0, 1[ il n'y a pas de problème
la courbe s'enroule infiniment autour du point O sans jamais
atteindre O.

Mais peut-on rajouter t=1 à l'intervalle dans lequel t évolue ?

Si t=1, r=0, le point M de la courbe est en O, et peu importe
que l'argument théta ne soit pas définit.

La courbe ainsi prolongée est elle continue en O ? non ...

Qu'en pensez vous ?

[Samuel DEVULDER]

Post by ast
La courbe ainsi prolongée est elle continue en O ? non ...
Qu'en pensez vous ?

Tu veux prolonger par continuité sans ajouter une ligne spéciale à la
définition qui dise theta(0)=0 par exemple ?

Je sais pas... Je pense que c'est une drôle de question conduite par un
mauvais paramétrage de la courbe.

En effet, un autre paramétrage ne fait pas se poser cetten remplaçant
1-t par 1/t (chagement de paramétrage) on décrit strictement la même
courbe par r(t)=1/t et theta(t)=log(t) pour t=[1...inf[ sur laquelle on
ne se pose(rait) pas la question de la prolongation en t=inf, non?

sam.

[Samuel DEVULDER]

En effet, en remplaçant

(couic... correction d'un pb technique)

1-t par 1/t (changement de paramétrage) on décrit strictement la même
courbe par r(t)=1/t et theta(t)=log(t) pour t=[1...inf[ sur laquelle on
ne se pose(rait) pas la question de la prolongation en t=inf, non?
sam.

[Benoit RIVET]

Post by ast
bonjour
r(t) = 1-t
theta(t) = -Log(1-t)
Si on restreint t dans l'intervalle [0, 1[ il n'y a pas de problème
la courbe s'enroule infiniment autour du point O sans jamais
atteindre O.
Mais peut-on rajouter t=1 à l'intervalle dans lequel t évolue ?

Une courbe en polaire est une courbe paramétrée comme les autres :
x(t)=-(1-t)cos(Log(1-t))
y(t)=-(1-t)sin(Log(1-t))

Cette courbe paramétrée se prolonge par par continuité lorsque t->1 ? Si
la réponse est oui, le prolongement définit-il une courbe paramétrée de
classe C^1, y compris lorsque t=1 ? De classe C^2 ? C^oo ?

[ast]

Post by Benoit RIVET

Post by ast
bonjour
r(t) = 1-t
theta(t) = -Log(1-t)
Si on restreint t dans l'intervalle [0, 1[ il n'y a pas de problème
la courbe s'enroule infiniment autour du point O sans jamais
atteindre O.
Mais peut-on rajouter t=1 à l'intervalle dans lequel t évolue ?

x(t)=-(1-t)cos(Log(1-t))
y(t)=-(1-t)sin(Log(1-t))
Cette courbe paramétrée se prolonge par par continuité lorsque t->1 ?

oui

Post by Benoit RIVET
Si la réponse est oui, le prolongement définit-il une courbe paramétrée de
classe C^1

non

[MAIxxx]

Post by ast
bonjour
r(t) = 1-t
theta(t) = -Log(1-t)
Si on restreint t dans l'intervalle [0, 1[ il n'y a pas de problème
la courbe s'enroule infiniment autour du point O sans jamais
atteindre O.
Mais peut-on rajouter t=1 à l'intervalle dans lequel t évolue ?
Si t=1, r=0, le point M de la courbe est en O, et peu importe
que l'argument théta ne soit pas définit.
La courbe ainsi prolongée est elle continue en O ? non ...
Qu'en pensez vous ?

AMA je ne parlerais pas de "courbe continue" mais plutôt de "fonction(s)
continue(s)" ce qui me paraît plus strict. Dans ce cas r est continue,
mais pas theta pour t=1.

La conséquence est que la "courbe représentative" de cette spirale
logarithmique n'a pas de tangente au point (0,0) ou en langage un peu
incorrect que la "courbe" n'est pas dérivable pour t=1.

On peut ,aussi remarquer que la longueur de la courbe si on inclut t=1
est finie : ds²=dx²+dy² = (1-t)²[cos²(-Log(1-t)) + sin²(-Log(1-t))]
=(1-t)² l = 1/2(1-t)²|0,1| = 1/2
--

[ast]

Post by ast
bonjour
r(t) = 1-t
theta(t) = -Log(1-t)
Si on restreint t dans l'intervalle [0, 1[ il n'y a pas de problème
la courbe s'enroule infiniment autour du point O sans jamais
atteindre O.
Mais peut-on rajouter t=1 à l'intervalle dans lequel t évolue ?
Si t=1, r=0, le point M de la courbe est en O, et peu importe
que l'argument théta ne soit pas définit.
La courbe ainsi prolongée est elle continue en O ? non ...
Qu'en pensez vous ?

AMA je ne parlerais pas de "courbe continue" mais plutôt de "fonction(s) continue(s)" ce qui me
paraît plus strict. Dans ce cas r est continue, mais pas theta pour t=1.
La conséquence est que la "courbe représentative" de cette spirale logarithmique n'a pas de
tangente au point (0,0) ou en langage un peu incorrect que la "courbe" n'est pas dérivable pour
t=1.
On peut ,aussi remarquer que la longueur de la courbe si on inclut t=1 est finie : ds²=dx²+dy² =
(1-t)²[cos²(-Log(1-t)) + sin²(-Log(1-t))] =(1-t)² l = 1/2(1-t)²|0,1| = 1/2
--

oui

Cette courbe est la courbe suivie par l'une des mouches dans l'expérience
suivante.

On place à t=0 quatre mouches au sommet d'un carré de centre O et
de coté a, chaque mouche se déplace à la même vitesse V, chaque
mouche suit celle qui la précède.(c'est un exo assez connu niveau bac+1).

Quelles sont les trajectoire suivies par les mouches, quel temps mettent-
elles pour se rejoindre ?

Les mouches finissent par atteindre O, mais ce qui se passe juste avant
l'arrivée en O est déroutant.

Les trajectoires s'enroulent autour de O, les mouches ont une vitesse de
rotation qui tend vers +oo, les trajectoires n'ont pas de tangentes en O,
les trajectoires ont bien une longueur finie, et le temps de parcours est fini