Post by Hans CrauelRoland Franzius schrieb
Post by Roland FranziusPost by Hans CrauelHat die implizite Differentialgleichung
f(f') = t
Loesungen?
Das ist keine Differentialgleichung sondern bestenfalls eine
Differentialbedingung.
Es ist keine Standard-Differentialgleichung.
Post by Roland FranziusEine Differentialegleichung ist eine Beziehung zwischen einer Funktion
oder einer endlichen Menge von Funktionen und ihren Ableitungen bis zu
endlicher Ordnung.
Und genau so etwas ist die obige Gleichung: Eine `Beziehung' zwischen
einer skalaren Funktion einer reellen Variablen und ihrer ersten
Ableitung.
Delay- bzw. retardierte Differentialgleichungen etwa koennen die Form
x'(t) = f(x(t),x_t) haben, wobei x_t = {x(s): s < t} das Funktionsstueck
vor t ist.
Das nennt man dann Integro-Differentialgleichung, eine Sonderform einer
Integralgleichung. Die sind aber wiederum linear, also in gewissem Sinn
elementar.
Sobald man eine Verkettung mit der unbekannten Funktion f in einer
Gleichung jenseits linearer Operationen wie f->f(x), f->d^nf/dx^n
einführt, steht man im Walde, das scheint dir aber nicht bewusst zu sein.
Post by Hans CrauelPost by Roland FranziusExplizit, wenn die Funktionen in erster Ordung, also linear im
Gleichungssystem auftreten, implizit, wenn eine lokal umkehrbare
Abbildung der Funktionen nach ihnen lokal eineindeutig auflâ sbar ist.
Woher stammt diese Charakterisierung von `implizit' (die ueberdies
auch reichlich schwurbelig ist)?
Das muss daran liegen, dass Laien, die Elemente der höheren Mathematik
als schwurbelig empfinden.
Man lernte zu alten Zeiten:
Eine gewöhnliche Dgl definiert ein Vektorfeld in der euklidischen
x-y-Ebene mit einer skalaren Funktion F für die beiden Komponenten des
Vektors v = (vx,vy) im Punkt (x,y)
F(vx,vy,x,y) = 0
vy muss als Funktion von vx,x,y berechenbar sein, dh die Funktion F
muss nach vy lösbar mit endlicher Lösungsmenge sein.
Das ist nach dem Satz über implizite Funktionen garantiert, wenn
F partiell differenzierbar und F_vy !=0.
Da vx und vy als Differentiale einer Unbekannten f(x)=y angesehen werden
sollen, die sich an das Vektorfeld lokal anschmiegt, wird die
Approximation gemacht
F(dx, f' dx, x,y) = 0
und F muss umkehrbar nach dem 2. Argument im Urspung der Tangentialebene
(dx, f'dx ,x,y) = (0,0,x,y)
sein, um für einen gegebenen Schritt dx den Zuwachs berechnen zu können
f' dx = PartialInverse^(0,1,0,0)(F)(dx,x,f)
Post by Hans CrauelMir ist sowas noch nicht begegnet.
Das halte ich für ein Scheuklappenphänomen.
Guckst du Wiki und die Standarbeispiele nichtlinearer gewöhnlicher
Differentialgleichungen und die Bedingung für der Eindeutigkeit, die
Lipschitzbedingung.
Gegenbeipiel für eine nichtlineare Dgl mit Verletzung der
Lipschitzbedingung |f(x,y+dy)-f(x,y)| < const |dy| :
f'^2 = (1-f^2)
|f(x,y+dy)-f(x,y)| = | d/dy((1-y^2)^(1/2)) dy| = oo für y=1
Geometrisches Vektorfeld
dy = +-(1-y)^(-1/2) dx
Man könnte die Dgl ja auch als algebraische Diffentialbedingung
f^(-1) o (1-f'^2)^(1/2) +-id == 0
lesen, könnte das Vektorfeld aber dann nicht mehr analytisch/geometrisch
ohne weiteres verstehen.
Die obige nichtlineare Gleichung vom d'Alembertschen Typ hat bekanntlich
jede Menge Lösungen vom Typ
f=sin(x+a)
f=+-1
In den Punkten, in denen zwei Lösungen sich mit gleicher Tangente
berühren, ist die Lösung nicht eindeutig fortsetzbar, es gibt Weichen.
Man kann Lösungen also beliebig stückeln, zB fü rn,m>0 definieren
f(x)= -1 ; x-a<-(2n+1) p/2
f(x)=1 ;x-a > (2m+1) p/2
f(x) = sin (x-a)
und hat damit eine Lösungsschar, in der der wert a zwar durch
-1<f(x0)<^1 festgelegt ist, aber nur bis zum nächsten Verzweigungspunkt.
Post by Hans CrauelImplizit kenne ich nur als Verneinung von explizit, und explizit
bedeutet, dass die hoechste Ableitung eine explizite Funktion der
niedrigeren Ableitungen (sowie der Variablen) ist.
Nein, implizit heißt der allgemeinste Fall
F(x,y,y')=0
Post by Hans CrauelPost by Roland FranziusDie unbekannte Funktion erfâ llt diese Bedingungen nicht.
Da sind keine verifizierbaren Bedingungen genannt.
Generell gilt die Regel, wenn man mit Funktionalgleichungen hantiert,
dass die zulässige Klasse, in der die Lösung zu suchen sei als Rahmen
definiert sein muss.
Zudem muss ein Banachraum spezifiziert werden in dem lokal die Limites
für Ableitungen und global die Konvergenz einer Funktionenfolge von
Nährungen gegen die Grenzfunktion erklärt sein muss.
Post by Hans CrauelPost by Roland FranziusEs ist daher nicht möglich, einen lokalen selbstadaptiven
Lösungsalgorithmus für Nâäherungen etwa nach Peano oder
Picard-Lindelöf auf einen Satz von Startwerten, hier
(x0, f(x0)), anzuwenden, um (x0+dx, f(x0+dx)=f(x0)+dx
f'(x0)) zu erhalten.
Richtig. Gut erkannt.
Ich erkenne nicht gut.
Was ich erkenne, ist ein lächerliches Lob. Du hast etwas, was ich sagte,
erkannt.
Post by Hans CrauelEs ist kein Anfangswertproblem (AWP).
Fuer AWP gibt es in der Tat Standardergebnisse und -verfahren.
Die du aber nicht kennst. Und die Klassifikation von
Differentialgleichungen scheint ja auch außer Reichweite.
Post by Hans CrauelAber nun hat nicht jede Differentialgleichung die Eigenschaft, dass
man die allgemeine Loesung durch Loesung hinreichend vieler AWP
erhaelt (was fuer `Loesungsalgorithmen' schon problematisch wird,
wenn man nicht lokal Lipschitz hat). Es ist eine Besonderheit
expliziter gewoehnlicher Differentialgleichungen erster Ordnung,
dass man dies mittels (Peano bzw.) Picard-Lindeloef erhaelt. Bei
partiellen Dgl hat man es in der Regel schon nicht mehr.
Dafür hat man bei partiellen Dgl den Begriff der wohldefinierten Aufgabe.
Die Wohldefiniertheit ist auch bei nichtlinearen gewöhnlichen
Differentialungleichungen mit Spezialfall -gleichungen. der erste
Schritt, den du ausließest, als du die dir Unbekannte f mit Argument f'
hinschriebst.
Post by Hans CrauelPost by Roland FranziusInsgesamt also nicht als eine sinnlose Gedankenpfriemelei ohne
mathematischen Hintergrund und Unterlage, wie mir scheint.
Das sei dir unbenommen.
Das bleibt der Mathematik als Fachwissenschaft unbenommen. Mit mir hat
das nichts zu tun.
Aber wenn du über das Beispiel der quadratischen Gleichungen für
trigonometrische Funktionen und ihre Abeleitungen als irrrationaler
Funktionenkörper den Gesichtskreis auf den Stand von 1850 erweitern
willst, empfehle ich dir die Kunst des Differnzierens der Jacobischen
elliptischen Funktionen sn, cn, dn
Dein Beipiel für eine in (x,y) in der Ebene lokal umkehrbare Funktion
y = f(x)
x =f^(-1)(y)
dh eines Grafen als Menge (x,f(x)), der in (x,y) weder senkrecht noch
waagerecht verläuft
hätten wir
fof'= id
f' = f^(-1)
f'' = (f^(-1))'= 1/(f'o f) ...
f(x+dx) = f(x) + f^(-1)(x) dx +1/2 1/(f(f'(x))) dx^2 ...
dh es handelt sich um ein undefiniertes Problem unendlicher Rekursion
ohne Auflösung und ohne Limesdefinition, wie man ja schon zu Anfang
vermuten könnte.
Die Benutzung des Wortes Differentialgleichung setzt voraus, dass durch
einen Ausdruck mit bekannter Funktion F=0 das Vektorfeld an jeder Stelle
der Ebene eindeutig oder mehrdeutig berechenbar festliegt, so dass die
Gleichung immer durch Zeichnen approximativ lösbar ist. Dazu gehört
irgendein konvergentes Verfahren, das gleichmäßige Kurvenapproximation
analytisch in einem normierten Funktionenraum implementiert
Ohne diese Beschränkung begibt man sich auf das Gebiet der
Funktionalgleichungen, für das es außerhalb des linearen, gebrochen
linearen bis kubischen Beispielapparates für rationale, trigonometrische
und elliptische Funktionen bekanntlich nichts mit Methoden der
Highsschool-Algebra Auflösbares an Gleichungen mit
Differentialausdrücken gibt.
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Roland Franzius