Was ist die genaue Ursache dafür, daß manche Gleichungen keine Elementare Funktion als Lösung haben? II

[IV]

Hallo,

was ist die g e n a u e Ursache dafür, daß Gleichungen wie
y + e^y = x
und die Kepler-Gleichung
y - c*sin(y) = x, c eine Konstante,
keine Elementare Funktion y (siehe Wikipedia en: Elementary function) als
Lösung haben können?
Im Thread I ist ja nach Wochen noch nicht einmal damit _begonnen_ worden,
eine Antwort zu suchen.
(Wer sich belästigt oder ausgebeutet fühlt, lese und antworte bitte nicht,
sondern widme sich den anderen zahlreichen interessanten wichtigen Threads
hier im Forum.)
Danke.

[H0Iger SchuIz]

Post by IV
Hallo,
was ist die g e n a u e Ursache dafür, daß Gleichungen wie
y + e^y = x
und die Kepler-Gleichung
y - c*sin(y) = x, c eine Konstante,
keine Elementare Funktion y (siehe Wikipedia en: Elementary function) als
Lösung haben können?
Im Thread I ist ja nach Wochen noch nicht einmal damit _begonnen_ worden,
eine Antwort zu suchen.

Das stimmt so nicht. Es wurden eine Hinweise gegeben, in deren Richtung
man hätte weiter denken können.

Aber was g e n a u erhofft sich der Threaderersteller denn davon, die
gleiche Frage erneut zu stellen? Meint er, die Mitleser hier haben auf
einmal bessere Ideen?

hs

Post by IV
(Wer sich belästigt oder ausgebeutet fühlt, lese

Scho' z'spät.

hs

[Jens Kallup]

Post by IV
was ist die g e n a u e Ursache dafür, daß Gleichungen wie
y + e^y = x
und die Kepler-Gleichung
y - c*sin(y) = x, c eine Konstante,

och mensch, ich hab doch schon geschrieben, daß Konstanten wie
e und c immer 0 sind.
womit will der Fragende rechnen, wenn die Lösung stets die gleiche
bleibt und irgendwie alles selbstbeantwortend ist?
Nen 2ter Mückenheimer?

e = 0
c = 0

y + 0^y = x
y - 0*sin(y) = x

;-------------------------

y + 0 = x
y = x
y =/= x ----+
|
y - 0 = x |--> gleiche Ergebnisse = kurzschluß!!!
y = x |
y =/= x ----+


y und x sind ebenfalls Variablen, als auch konstanten.
daher

y = 0
x = 0

0 = 0 = gleicher Ursprung = keine Umkehrdingens !!!
= man könnte auch hier nicht weiter rechnen...
= was kommt nach 0 ?
= das past und future infinite?

[Jens Kallup]

Post by Jens Kallup
0 = 0 = gleicher Ursprung = keine Umkehrdingens !!!
= man könnte auch hier nicht weiter rechnen...
= was kommt nach 0 ?
= das past und future infinite?

sagt: ich bin ein GNU !
Irgendwie nen Verwandter von WM.

Gleich kommt WM mit Omega 0

[Christian Gollwitzer]

Post by IV
was ist die g e n a u e Ursache dafür, daß Gleichungen wie
y + e^y = x
und die Kepler-Gleichung
y - c*sin(y) = x, c eine Konstante,
keine Elementare Funktion y (siehe Wikipedia en: Elementary function)
als Lösung haben können?
Im Thread I ist ja nach Wochen noch nicht einmal damit _begonnen_
worden, eine Antwort zu suchen.

sehe ich anders. Du willst die Antwort bloß nicht hören.
Ich verrate Dir das Geheimnis, wenn Du die Gleichung

x + k(x) = 0

nach x auflöst. k sei irgendeine monoton steigende Funktion von R->R,
womit die Umkehrfunktion k^-1 existiert.

Christian

[IV]

Post by Christian Gollwitzer

Post by IV
was ist die g e n a u e Ursache dafür, daß Gleichungen wie
y + e^y = x
und die Kepler-Gleichung
y - c*sin(y) = x, c eine Konstante,
keine Elementare Funktion y (siehe Wikipedia en: Elementary function) als
Lösung haben können?
Im Thread I ist ja nach Wochen noch nicht einmal damit _begonnen_ worden,
eine Antwort zu suchen.

sehe ich anders. Du willst die Antwort bloß nicht hören.
Ich verrate Dir das Geheimnis, wenn Du die Gleichung
x + k(x) = 0
nach x auflöst. k sei irgendeine monoton steigende Funktion von R->R,
womit die Umkehrfunktion k^-1 existiert.

Nun soll die Antwort wieder von mir kommen. Ich möchte doch aber wissen,
welche genaue Begründung die Mathematik liefert.
Wenn k eine Algebraische Funktion ist, dann ist die Gleichung die
Nullstellengleichung einer einstelligen Algebraischen Funktion, und die
Nullstellen sind algebraisch, also Elementare Funktionen.
Warum aber sind Gleichungen x + k(x) = 0 für manche k nicht allein durch
Elementare Funktionen lösbar, wenn x und k(x) algebraisch unabhängige
Funktionen sind?

[Jens Kallup]

Post by IV
Warum aber sind Gleichungen x + k(x) = 0 für manche k nicht allein durch
Elementare Funktionen lösbar, wenn x und k(x) algebraisch unabhängige
Funktionen sind?

irgendwie krempelst Du da was durcheinander.
0 heißt nicht immer gleich 0. Ein Kontext muss bestehen!

Potenz- und Wurzelfunktionen:
= f(x) = x^n

Sonderfall: x^0 = 1

warum x^0 = 1 ist habe ich auch mehrmals geschrieben - kommt das nicht
an?

aber ich sehe da in der Gleichung x + k(x) = 0 nirgends was mut x^0
was raus kommt habe ich in einen älteren Post von Heute gezeigt:

Beweis:
-0 = +0

e = 0
c = 0

y + 0^y = x
y - 0*sin(y) = x

;-------------------------

y + 0 = x
y = x
y =/= x ----+
|
y - 0 = x |--> gleiche Ergebnisse = kurzschluß!!!
y = x |
y =/= x ----+


y und x sind ebenfalls Variablen, als auch konstanten.
daher

y = 0
x = 0

-x0 + +x0 = x0 (Sonderfall: 1) x^0 = 1^0 = 1
-y0 + +y0 = y0 (Sonderfall: 2) y^0 = 1^0 = 1

Warum aus x und y; 1 wird habe ich auch schon oftmals eläutert.

Also Definition:
----------------
Eine Funktion heißt "gerade", wenn alle x/y elemente in |D die Bedingung
f(-x) = f(x)

Zu jedem Punkt des Funktionsgraphen existiert in diesem Fall ein zweiter
Graphenpunkt, der achsensymmetrisch zur y-Achse ist.
Diese Bedingung wird von allen Potenzfunktionen mit geradzahligen
Exponenten erfüllt, da sich bei diesen die Minuszeichen der negativen
x Werte beim Potenzieren gegenseitig aufheben. Die konstante Funktion
f(x) = c

wird ebenfalls zu den geraden Funktionen gezählt, da x^0 = 1 ist - für
Beweis siehe oben.
Weitere Eigenschaft von Potenzfunktionen ist:
* Graph verläuft stets durch (0,0) und (1,1) -> siehe oben
* Graph streng monoton fallend x < 0 und streng monoton steigend x > 0
* wir erinnern uns --> Mengenlehre.... ;-)

Definitionsbereich der Funktion ist |R
Wertebereich ist |R^x_0

* Funktionen sind somit nach unten beschränkt und für den Scheitelpunkt
gilt s = 0

So nun hast Du den Beweis sowie die Definition für einen Fall.
Lerne den Text hier auswendig, und prahle Deine Lehrer, wie fruchtbar
Du bist.

[Hans Crauel]

IV schrieben

Post by IV
Warum aber sind Gleichungen x + k(x) = 0 für manche k nicht allein durch
Elementare Funktionen lösbar, wenn x und k(x) algebraisch unabhängige
Funktionen sind?

Na, die Summe zweier algebraisch unabhaengiger Funktionen kann sehr
wohl eine elementare Funktion als Inverse haben. Nimmt man etwa die
durch

f(x) = sin(x)^2 - 1 und g(x) = x + cos(x)^2

gegebenen Funktionen, so sind f und g algebraisch unabhaengig, und
die durch

h(x) = f(x) + g(x)

gegebene Funktion hat eine sehr elementare Umkehrfunktion (die
ueberdies mit der Funktion selbst identisch ist).

Hans Crauel

[IV]

Post by IV
Warum aber sind Gleichungen x + k(x) = 0 für manche k nicht allein durch
Elementare Funktionen lösbar, wenn x und k(x) algebraisch unabhängige
Funktionen sind?

Na, die Summe zweier algebraisch unabhaengiger Funktionen kann sehr wohl
eine elementare Funktion als Inverse haben.

Das hatte ich nicht bestritten.
In der Frage geht es doch aber um die Fälle, in denen die Gleichung nicht
allein durch Elementare Funktionen auflösbar ist.
Die algebraische Unabhängigkeit der Funktionsargumente der Gleichung wird
oft als Ursache für Nicht-Auflösbarkeit durch Elementare Funktionen genannt.
Das ist aber nur die halbe Wahrheit. Sie ist nur eine notwendige Bedingung,
keine hinreichende Bedingung für die Nicht-Auflösbarkeit durch Elementare
Funktionen. Was weiß die Mathematik über die andere Hälfte der Wahrheit?

[H0Iger SchuIz]

Post by IV
In der Frage geht es doch aber um die Fälle, in denen die Gleichung nicht
allein durch Elementare Funktionen auflösbar ist.
Die algebraische Unabhängigkeit der Funktionsargumente der Gleichung wird
oft als Ursache für Nicht-Auflösbarkeit durch Elementare Funktionen genannt.

"... wird ... genannt ...". Soso. Im Passiv kann man viel formulieren.
Wer nennt das? Quelle?

Post by IV
Das ist aber nur die halbe Wahrheit. Sie ist nur eine notwendige Bedingung,
keine hinreichende Bedingung für die Nicht-Auflösbarkeit durch Elementare
Funktionen.

Habt ihr auch den Eindruck, dass hier (mal wieder) Informationen aus dem
nichts ploppen, die in der Originalfrage nicht genannt wurden?

hs

[IV]

Post by H0Iger SchuIz

Post by IV

Post by IV
Warum aber sind Gleichungen x + k(x) = 0 für manche k nicht allein durch
Elementare Funktionen lösbar, wenn x und k(x) algebraisch unabhängige
Funktionen sind?

Das ist aber nur die halbe Wahrheit. Sie ist nur eine notwendige
Bedingung, keine hinreichende Bedingung für die Nicht-Auflösbarkeit durch
Elementare Funktionen.

Habt ihr auch den Eindruck, dass hier (mal wieder) Informationen aus dem
Nichts ploppen, die in der Originalfrage nicht genannt wurden?

Nö.
Was soll dieser - Zitat: "Kinderkram", diese Anfeindungen? Du hättest fragen
können, ob ich Genaueres dazu sagen kann.
Ich antworte trotzdem mal: In einigen Mathe-Foren wurde die
Nicht-Auflösbarkeit von Gleichungen in elementaren Ausdrücken oder in
geschlossenen Ausdrücken auf die Art und Weise begründet. Ich habe schon
öfter nach den Stellen gesucht, sie aber nicht mehr gefunden.
Inzwischen bin ich schlauer und weiß, daß es auch Gleichungen in Elementaren
Ausdrücken gibt, deren Variable in algebraisch unabhängigen
Funktionsausdrücken steckt und die trotzdem in Elementaren Funktionen
auflösbar sind.
Letztes Jahr habe ich Ritts Artikel [Ritt 1925] entdeckt. Ritts Satz gibt
an, welche Elementaren Funktionen elementar umkehrbar sind. Was die
Begründung dafür ist, erhellt sich mir nicht, da ich die Analysis-Teile in
Ritts 23seitigem Beweis nicht verstehe.
Leider sagt Ritt überhaupt nichts über algebraische Unabhängigkeit. Den
Zusammenhang zwischen Ritts Satz und dem Argument moderner Mathematiker mit
der algebraischen Unabhängigkeit mußte _ich_ erst herstellen - über die
Stelligkeit der zur Darstellung der Elementaren Funktionen verwendeten
Funktionen. Ich möchte nun mit Euch gemeinsam herausfinden, ob meine Ideen
richtig sind. Gemeinsam - nicht damit, Euch zu mißbrauchen und auszubeuten.

[H0Iger SchuIz]

Post by IV
Ich möchte doch aber wissen,
welche genaue Begründung die Mathematik liefert.

Dann find's 'raus. Eine Antwort in Form einer Musterlösung zum
Auswendiglernen wird's nicht geben. Ein einfaches Schema, nach dem man
mit einem Blick erkennt, ob eine Funktion "elementar umkehrbar" ist,
auch nicht.

Außerdem macht es keinen Sinn, nach eine _genauen_ Antwort zu fragen,
indem na ein ungenaue Frage stellt. Das fängt mit dem Begriff "Ursache"
an. Der ist nicht formal definiert, das kann man auch nicht erwarten.
Was aber soll überhaupt als Ursache gelten? Und ist es richtig, danach
im Singular zu fragen? Insbesondere die unklare Eingrenzung der
untersuchte Funktionen, die als "manche" deklariert sind, ist nicht die
Voraussetzung, die eine einzelne Erklärung erwarten lässt.

Ich möchte nicht sagen, dass eine solche Frage nach Ursachen
uninteressant wäre oder sich nicht zu stellen lohnte. Im Gegenteil. Die
Fragen danach, was sich hinter den Formalismen an Zusammenhängen
verbirgt, sind die besonders interessanten. Und genau die sind schwierig
zu beantworten und die Antworten nur bedingt zu formalisieren. Aber
sonst wäre Mathematik ja auch langweilig.

Also, schau dir Beispiele an. Erkenne die Systematiken, die sich
vielleicht zeigen, konstruiere daraus weitere Beispiele. So näherst du
dich der Antwort, nach der dir begehrt. Dadurch, dass die deine
unbezahlten Mitarbeiter hier anpöbelst, sie hätten ja noch gar nicht mit
Bearbeitung deines Arbeitsauftrags begonnen, kommst du nämlich
vielleicht gar nicht zum Ziel.

Außerdem ist der Vorwurf falsch. Schau dir mal an, wie viele Tipps ud
Hinweise dir hier schon gegeben wurden und wie arrogant du die teilweise
abtust. Von den dringend notwendigen Nachhilfestunden, die dir hier
kostenlos erteilt wurden, mal abgesehen.

Ob du es hören willst oder nicht, ich sage es so oft, bis du es
einsiehst: Wer sich mit Mathematik beschäftigen will, kommt nicht drum
herum, sich mit Mathematik zu beschäftigen.

Weiterhin viel Erfolg.

hs

[IV]

Ich möchte doch aber wissen, welche genaue Begründung die Mathematik
liefert.

Dann find's 'raus. ...
...
Außerdem macht es keinen Sinn, nach eine _genauen_ Antwort zu fragen,
indem man ein ungenaue Frage stellt. Das fängt mit dem Begriff "Ursache"
an. Der ist nicht formal definiert ...
...
Also, schau dir Beispiele an. Erkenne die Systematiken, die sich
vielleicht zeigen, konstruiere daraus weitere Beispiele. So näherst du
dich der Antwort, nach der dir begehrt.
...
Wer sich mit Mathematik beschäftigen will, kommt nicht drum herum, sich
mit Mathematik zu beschäftigen.

(Entschuldigung, daß ich als Laie eine Mathematik betreffende Frage gestellt
habe, noch dazu umgangssprachlich und nicht mathematisch korrekt formuliert,
also nicht so, daß in der Formulierung der Aufgabenstellung bereits die
Lösung enthalten ist.)

[H0Iger SchuIz]

Post by IV
(Entschuldigung, daß ich als Laie eine Mathematik betreffende Frage gestellt
habe,

Das hat niemand kritisiert.

Post by IV
noch dazu umgangssprachlich und nicht mathematisch korrekt formuliert,

Das hat niemand kritisiert.

Post by IV
also nicht so, daß in der Formulierung der Aufgabenstellung bereits die
Lösung enthalten ist.)

Und auch das hat niemand kritisiert.

Gab's in der Sache noch etwas oder ist wieder mal nur Schmollecke?

hs

[IV]

Post by Christian Gollwitzer

Post by IV
was ist die g e n a u e Ursache dafür, daß Gleichungen wie
y + e^y = x
und die Kepler-Gleichung
y - c*sin(y) = x, c eine Konstante,
keine Elementare Funktion y (siehe Wikipedia en: Elementary function)
als Lösung haben können?
Im Thread I ist ja nach Wochen noch nicht einmal damit _begonnen_ worden,
eine Antwort zu suchen.

sehe ich anders. Du willst die Antwort bloß nicht hören.
Ich verrate Dir das Geheimnis, wenn Du die Gleichung
x + k(x) = 0
nach x auflöst. k sei irgendeine monoton steigende Funktion von R->R,
womit die Umkehrfunktion k^-1 existiert.

Ich setze F(x) = x + k(x). F ist eine Funktion, ihre Umkehrfunktion F^-1.
Dann ist x = F^-1(0).
Wenn x und k(x) voneinander algebraisch abhängige Funktionen sind, dann sind
sowohl F als auch F^-1 algebraische Funktionen.
Wenn x und k(x) voneinander algebraisch unabhängige Funktionen sind, welche
Bedingungen müssen noch erfüllt sein, damit die Gleichung durch Anwenden
lediglich Elementarer Funktionen nach x auflösbar ist?

[Christian Gollwitzer]

"Christian Gollwitzer" schrieb im Newsbeitrag

Post by Christian Gollwitzer
sehe ich anders. Du willst die Antwort bloß nicht hören.
Ich verrate Dir das Geheimnis, wenn Du die Gleichung
x + k(x) = 0
nach x auflöst. k sei irgendeine monoton steigende Funktion von R->R,
womit die Umkehrfunktion k^-1 existiert.

Ich setze F(x) = x + k(x). F ist eine Funktion, ihre Umkehrfunktion F^-1.
Dann ist x = F^-1(0).

Richtig. Für den Versuch hast Du eine Antwort verdient.

Wenn x und k(x) voneinander algebraisch abhängige Funktionen sind, dann
sind sowohl F als auch F^-1 algebraische Funktionen.
Wenn x und k(x) voneinander algebraisch unabhängige Funktionen sind,
welche Bedingungen müssen noch erfüllt sein, damit die Gleichung durch
Anwenden lediglich Elementarer Funktionen nach x auflösbar ist?

Es gelingt Dir ja offensichtlich auch nicht, F^-1(x) durch k^-1(x)
auszudrücken. Das war der Sinn dieses Beispiels.

Es gibt schlicht keine Regel dafür, ob eine Summe elementar umkehrbar
ist oder nicht. Für k(x)=x^3+1 geht es, für k(x)=x^27+1 nicht. Das ist
beweisbar, weil es Polynome sind. Für k(x)=exp(x) geht es nicht, für
k(x)=exp(x)-x geht es. Da scheitert eine einfache Erklärung. Ich
bezweifle, dass es ein besseres Kriterium gibt als "Die Summe hat eine
elementare Umkehrfunktion", kann das aber nicht beweisen.

Wenn Du es für die Summe zweier Funktionen schaffst, dann kannst Du Dich
an komplizierteren Fall Komposition & Körperoperationen versuchen.

Christian

[IV]

Es gibt schlicht keine Regel dafür, ob eine Summe elementar umkehrbar ist
oder nicht.

Na, ein paar Regeln gibt es schon:
- Satz von der Invarianz der Dimension
- Van der Waerden in "Einführung in die Algebraische Geometrie":
"Algebraisch unabhängige Elemente kann man wie Unbestimmte behandeln, da
ihre algebraischen Eigenschaften dieselben sind."
- Ritt, J. F.: Elementary functions and their inverses. Trans. Amer. Math.
Soc. 27 (1925) (1) 68-90.
http://www.ams.org/journals/tran/1925-027-01/S0002-9947-1925-1501299-9
- Rosenlight, M.: On the explicit solvability of certain transcendental
equations. Publications math\'ematiques de l'IH\'ES 36 (1969) 15-22.
https://eudml.org/doc/103891
- Risch, R. H.: Algebraic Properties of the Elementary Functions of
Analysis. Amer. J. Math. 101 (1979) (4) 743-759.
https://www.jstor.org/stable/2373917?seq=1#page_scan_tab_contents

[Herbert Meinl]

Post by IV
Hallo,
was ist die g e n a u e Ursache dafür, daß Gleichungen wie
y + e^y = x
und die Kepler-Gleichung
y - c*sin(y) = x, c eine Konstante,
keine Elementare Funktion y (siehe Wikipedia en: Elementary function)
als Lösung haben können?
Im Thread I ist ja nach Wochen noch nicht einmal damit _begonnen_
worden, eine Antwort zu suchen.
(Wer sich belästigt oder ausgebeutet fühlt, lese und antworte bitte
nicht, sondern widme sich den anderen zahlreichen interessanten
wichtigen Threads hier im Forum.)
Danke.

http://www.psychiatrie.de/krankheitsbilder/manie/