Post by Julien ArlandisPost by Olivier MiakinenPost by Julien ArlandisPour la démonstration, je pense qu'on peut partir de l'égalité suivante
vraie pour tout entier naturel : n = sqrt( (n+1)² + 1 - 2 (n+1))
0 = sqrt( (2) - 2 * (1) )
1 = sqrt( (5) - 2 * (2) )
0 = sqrt( (2) - 2 * sqrt( (5) - 2 * (2) ) )
puis on remplace (2) par 3, (3) par 4 etc etc...
En faisant cela, tu montres bien qu'elle est valable au rang 0
si elle est valable au rang 1, qu'elle est valable au rang 1 si
elle l'est au rang 2, et ainsi de suite.
Je construis la formule au rang 0,
La formule au rang 0, c'est « 0 = sqrt( (2) - 2 * (1) ) »
Post by Julien Arlandisje démontre ainsi la formule suivante
0 =
\sqrt{2-2\sqrt{5-2\sqrt{10-2\sqrt{17-2\sqrt{26-2\sqrt{37-2\sqrt{50-2\sqrt{u_n...}}}}}}}}
Tu ne trouves pas que tu sautes un peu vite à la conclusion ?
Post by Julien ArlandisEnsuite il est facile de montrer comme tu l'as fait la relation de
récurrence à partir d'un rang quelconque, la formule étant vrai pour n
= 0, elle est donc vraie pour tout n.
C'est le contraire : la formule avec une infinité de termes, tu as
d'abord besoin qu'elle soit vraie pour tout n supérieur à 0 avant
de pouvoir dire qu'elle est vraie aussi en 0.
Post by Julien ArlandisPost by Olivier MiakinenMAIS... tu ne montres pas qu'il ne peut exister une autre
suite de nombres { v_0, v_1, v_2, ... } différents de la
suite { 0, 1, 2, ... } et vérifiant la même relation de
récurrence, à savoir : v_n = sqrt((n+1)² + 1 - 2.v_{n+1})
Je ne comprends en quoi le fait qu'il existerait une autre relation de
récurrence invaliderait la démonstration?
Ce que je dis, c'est qu'en partant d'un v_0 différent de 0 on peut
généralement trouver un v_1, puis un v_2, etc., et que, à moins de
montrer que la suite (v_n) n'est infinie que si v_0 = 0, ton signe
« = » n'est qu'un abus de notation.
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Olivier Miakinen