Wer hilft Mückenheim mit seinen Hausaufgaben?

[jvr]

Die Farey-Folge n-ter Ordnung besteht aus den rationalen Zahlen im Intervall [0,1], der Größe nach geordnet, die eine Darstellung als gekürzter Bruch h/k mit k <= n besitzen. Es ist also (h,k) = 1.

1. Wenn n > 1 haben zwei direkt aufeiander folgende Glieder einer Farey-Folge niemals denselben Nenner.

2. Für zwei benachbarte Brüche h/k and h'/k' der Farey-Folge F_n gilt immer
k + k' > n.

3. Wie bestimmt man nun den Nachfolger von h/k in der Farey-Folge F_n?

Bis Mücke die gelöst hat, hat er Redeverbot. Man darf ihm aber helfen, denn
alleine kommt er bestimmt nicht zurecht.

[Roalto]

Post by jvr
Die Farey-Folge n-ter Ordnung besteht aus den rationalen Zahlen im Intervall [0,1], der Größe nach geordnet, die eine Darstellung als gekürzter Bruch h/k mit k <= n besitzen. Es ist also (h,k) = 1.
1. Wenn n > 1 haben zwei direkt aufeiander folgende Glieder einer Farey-Folge niemals denselben Nenner.
2. Für zwei benachbarte Brüche h/k and h'/k' der Farey-Folge F_n gilt immer
k + k' > n.
3. Wie bestimmt man nun den Nachfolger von h/k in der Farey-Folge F_n?
Bis Mücke die gelöst hat, hat er Redeverbot. Man darf ihm aber helfen, denn
alleine kommt er bestimmt nicht zurecht.

Er wird dir antworten, dass das alles nichts mit seinem Problem zu tun hat.

Viel Spass weiterhin
Roalto

[Me]

Post by Roalto
Er wird dir antworten, dass das alles nichts mit seinem Problem zu tun hat.

Sein Problem ist ja ganz offensichtlich nicht mathematischer Natur.

[h***@gmail.com]

Post by Me

Post by Roalto
Er wird dir antworten, dass das alles nichts mit seinem Problem zu tun hat.

Sein Problem ist ja ganz offensichtlich nicht mathematischer Natur.

Diese Aufgabe hat auch nichts mit seinem Grenzwert zu tun, genausowenig wie sein bloeder Grenzwert irgendetwas zu bedeuten hat.

[jvr]

Post by h***@gmail.com

Post by Me

Post by Roalto
Er wird dir antworten, dass das alles nichts mit seinem Problem zu tun hat.

Sein Problem ist ja ganz offensichtlich nicht mathematischer Natur.

Diese Aufgabe hat auch nichts mit seinem Grenzwert zu tun, genausowenig wie sein bloeder Grenzwert irgendetwas zu bedeuten hat.

Dies sind amüsante kleine Aufgaben. Ob Sie mit dem Grenzwert etwas zu tun
hat, werden wir sehen. Zunächst hat der Grenzwert, den Mücke und alle ihm
bekannten "research mathematicians" nicht bestimmen können, mit Eulers
phi-Function zu tun; phi(n) = Anzahl der Zahlen m < n mit (m,n) =1. Ebenso
die Farey-Folge.

Warten wir mal ab. Es kann sein, dass Mücke von irgendwoher Lösungen abschreibt
und hier präsentiert. Es kann auch sein, dass er so tut, als hätte er nicht
gemerkt, dass er angesprochen wurde.

[Michael Klemm]

Post by jvr

Post by h***@gmail.com

Post by Me

Post by Roalto
Er wird dir antworten, dass das alles nichts mit seinem Problem zu tun hat.

Sein Problem ist ja ganz offensichtlich nicht mathematischer Natur.

Diese Aufgabe hat auch nichts mit seinem Grenzwert zu tun, genausowenig wie sein bloeder Grenzwert irgendetwas zu bedeuten hat.

Dies sind amüsante kleine Aufgaben. Ob Sie mit dem Grenzwert etwas zu tun
hat, werden wir sehen. Zunächst hat der Grenzwert, den Mücke und alle ihm
bekannten "research mathematicians" nicht bestimmen können, mit Eulers
phi-Function zu tun; phi(n) = Anzahl der Zahlen m < n mit (m,n) =1. Ebenso
die Farey-Folge.
Warten wir mal ab. Es kann sein, dass Mücke von irgendwoher Lösungen abschreibt
und hier präsentiert. Es kann auch sein, dass er so tut, als hätte er nicht
gemerkt, dass er angesprochen wurde.

Man kann ja mal probeweise für die Folge (q_n)_n aus Cantors Korrespondenz den Wert n_q für den Bruch 101/1 aus WMs Intervall (100,101] mit Hilfe der phi-Funktion bestimmen. Dann sieht man schon, worauf das rausläuft.

Gruß
Michael

[Jens Kallup]

Post by jvr
phi-Function zu tun; phi(n) = Anzahl der Zahlen m < n mit (m,n) =1. Ebenso
die Farey-Folge.

auch wieder Haarspalterrei: m < n

1m = 0.9 <
1n = 0.99 <
2n = 0.999

was ist nun größer 1n oder 2n ?

Ich denke, da kann zwar eine Formel in einen bestimmten Index-
bereich helfen, aber das ist ja angeblich wieder ein Algorythmus;
wonach ja auch nicht gefragt wurde.

Jens

[jvr]

Post by jvr
Die Farey-Folge n-ter Ordnung besteht aus den rationalen Zahlen im Intervall [0,1], der Größe nach geordnet, die eine Darstellung als gekürzter Bruch h/k mit k <= n besitzen. Es ist also (h,k) = 1.
1. Wenn n > 1 haben zwei direkt aufeiander folgende Glieder einer Farey-Folge niemals denselben Nenner.
2. Für zwei benachbarte Brüche h/k and h'/k' der Farey-Folge F_n gilt immer
k + k' > n.
3. Wie bestimmt man nun den Nachfolger von h/k in der Farey-Folge F_n?
Bis Mücke die gelöst hat, hat er Redeverbot. Man darf ihm aber helfen, denn
alleine kommt er bestimmt nicht zurecht.

Wenn Mücke das Redeverbot nicht beachtet, bekommt er neue, schwerere Aufgaben:

4. Sum_{n=1}^{n=N} phi(n) = 3(N^2)/(pi^2) + O(NlogN). Hier ist phi() wieder
die Euler'sche Function (Euler's totient function).

[jvr]

Post by jvr

Post by jvr
Die Farey-Folge n-ter Ordnung besteht aus den rationalen Zahlen im Intervall [0,1], der Größe nach geordnet, die eine Darstellung als gekürzter Bruch h/k mit k <= n besitzen. Es ist also (h,k) = 1.
1. Wenn n > 1 haben zwei direkt aufeiander folgende Glieder einer Farey-Folge niemals denselben Nenner.
2. Für zwei benachbarte Brüche h/k and h'/k' der Farey-Folge F_n gilt immer
k + k' > n.
3. Wie bestimmt man nun den Nachfolger von h/k in der Farey-Folge F_n?
Bis Mücke die gelöst hat, hat er Redeverbot. Man darf ihm aber helfen, denn
alleine kommt er bestimmt nicht zurecht.

4. Sum_{n=1}^{n=N} phi(n) = 3(N^2)/(pi^2) + O(NlogN). Hier ist phi() wieder
die Euler'sche Function (Euler's totient function).

Wie erwartet, hat Mücke zur Zeit keine Lust sich zu blamieren. Sehr vernünftig
von ihm. Hier also die Lösung der ersten Aufgabe:

Es seien h/k und h'/k' die aufeinander folgenden Glieder von F_n. Dann gilt
h/k < h/(k-1) < (h+1)/k <= h'/k, denn h+1 <= h' < k. Also müsste
h/(k-1) zwischen h/k und h'/k' liegen.

Wenn Mücke sich doch noch entscheidet mitzumachen, werde ich ihm zeigen, wie
er seine ursprüngliche Aufgabe lösen kann, und warum sein "Beweis" Unsinn
ist.

[Andreas Leitgeb]

Post by jvr

Post by jvr
Die Farey-Folge n-ter Ordnung besteht aus den rationalen Zahlen im
Intervall [0,1], der Größe nach geordnet, die eine Darstellung als
gekürzter Bruch h/k mit k <= n besitzen. Es ist also (h,k) = 1.
1. Wenn n > 1 haben zwei direkt aufeiander folgende Glieder einer
Farey-Folge niemals denselben Nenner.

Es seien h/k und h'/k' die aufeinander folgenden Glieder von F_n.

Ich würde da gleich als Annahme ansetzen, die zwei Brüche
wären h/k und (h+1)/k , da wir ja die These "gleicher Nenner"
aufstellen und widerlegen wollen. Jede Auswahl von h,k wo einer
dieser Brüche kürzbar wäre, fällt von selber raus, da der kürzbare
davon dann ja gar nicht in der Folge drin ist.

Post by jvr
Dann gilt h/k < h/(k-1) < (h+1)/k

Zuerst unterscheiden wir die Fälle nach
k=1 (trivial: weil n>1, liegt 1/2 zwischen 0 und 1) und k>1 (wie folgt)

Kürzbarkeit von h/(k-1) spielt keine Rolle, da die etwaige Kürzung
immernoch ein Element der Folge wäre und zwischen h/k und (h+1)/k läge.

Dass h/k < h/(k-1) folgt trivial aus der Monotonie der Division für
rein positive operanden.

Die zweite Ungleichung h/(k-1) < (h+1)/k ist nicht ganz so
offensichtlich: h*k < (h+1)*(k-1) = h*k + k - h -1 also (h+1)<k
Das gilt aber, weil wir ja bereits im "k>1"-Zweig sind, und (h+1)
immernoch kleiner als k sein muss, sonst wäre (h+1)/k entweder > 1
oder kürzbar.

Also gibt es stets noch einen Bruch mit "anderem" Nenner zwischen
beliebigen gekürzten Brüchen gleichen Nenners.