Voici la réponse du livre.
Considérons une frontière entre deux supports comme le plan $ y = 0 $. Tracez une boucle rectangulaire de côté $ \ delta x $ et $ \ delta y $. Avoir un champ E de chaque côté de la limite qui est parallèle à la limite dans la direction $ x $. Le champ E est $ E_1 $ dans le milieu 1 et $ E_2 $ dans le milieu 2.
Maintenant, utilisez la forme intégrale de la loi de Faraday. $$ \ oint {\ bf E} \ cdot d {\ bf l} = - \ int \ frac {\ partial {\ bf B}} {\ partial t} \ cdot d {\ bf S} $$$$ E_1 \ delta x - E_2 \ delta x = - \ frac {\ partial {\ bf B}} {\ partial t} \ delta x \ delta y. $$ Mais maintenant vous pouvez laisser $ \ delta y $ se réduire à zéro et vous trouvez que $ E_2 = E_1 $. c'est-à-dire que la composante du champ E qui est parallèle à l'interface doit être la même immédiatement de chaque côté de la frontière.
Maintenant, la frontière doit être définie par le plan $ y = 0 $, le point d'incidence be $ {\ bf r} = 0 $ et faire approcher une onde incidente de la forme $ E = E_i \ exp [i ({\ omega_i t - \ bf k_i} \ cdot {\ bf r})] \ hat { \ bf k} \ times \ hat {\ bf r} $, où $ \ hat {\ bf k} $ est un vecteur unitaire dans la direction du vecteur d'onde $ {\ bf k_i} $, et $ \ omega_i $ est la fréquence angulaire.
L'onde incidente a un impact à $ {\ bf r} = 0 $ et une partie de la lumière est transmise et une partie réfléchie. Les rayons incidents, réfléchis et transmis sont tous dans le même plan et parce que, comme indiqué ci-dessus, les composantes parallèles doivent être du même côté de part et d'autre de la frontière, nous pouvons écrire. theta_i + E_r \ exp (i \ omega_r t) \ cos \ theta_r = E_t \ exp (i \ omega_t t) \ cos \ theta_t, $$ où $ \ theta_i $ etc sont les angles d'incidence, de réflexion, de transmission; et $ \ omega_r $ et $ \ omega_t $ sont les fréquences des ondes réfléchies et transmises.
Mais cette relation doit être vraie pour toutes les valeurs de $ t $. La seule façon dont cela peut être arrangé est si $ \ omega_i = \ omega_r = \ omega_t $. Ainsi, la fréquence de la lumière reste inchangée lorsqu'elle passe dans le milieu.
J'ai pris un raccourci ici pour accéder au résultat souhaité. Habituellement, lorsque vous faites cette démonstration, vous définissez une géométrie de sorte que l'onde frappe en différents points le long de l'interface et cela signifie que les arguments des exponentielles ressemblent à $ (\ omega_i t -k_i x \ sin \ theta_i) $, $ ( \ omega_r t -k_rx \ sin \ theta_r) $ et $ (\ omega_t t -k_tx \ sin \ theta_t) $, où $ x $ est une coordonnée le long de la frontière. En exigeant que ces arguments soient égaux pour tout $ x, t $ vous donne également la loi de réflexion ($ \ theta_i = \ theta_r $) et la loi de réfraction de Snell; $ \ sin \ theta_t / \ sin \ theta_i = k_i / k_t $, et si $ \ omega_t = \ omega_i $ et $ \ omega / k = c / n $, alors $ \ sin \ theta_t / \ sin \ theta_i = n_i / n_t $.