Quelle équation décrit la fonction d'onde d'un photon unique?

Question

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L ' équation de Schrödinger décrit la mécanique quantique d'une seule particule massive non relativiste. L ' équation de Dirac régit une seule particule de spin ½ relativiste massive. Le photon est une particule de spin 1 relativiste sans masse.

Quelle est l'équation équivalente donnant la mécanique quantique d'un seul photon?

Answer 1

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Il n'y a pas de mécanique quantique d'un photon, seulement une théorie quantique du champ du rayonnement électromagnétique. La raison en est que les photons ne sont jamais non relativistes et qu'ils peuvent être librement émis et absorbés, donc pas de conservation du nombre de photons.

Pourtant, il existe une direction de recherche où les gens essaient de réinterpréter certaines quantités de champ électromagnétique en termes de fonction d'onde photonique, voir par exemple cet article.

Answer 2

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Il y a une légère confusion dans cette question. Dans la théorie quantique des champs, l'équation de Dirac et l'équation de Schrödinger ont des rôles très différents. L'équation de Dirac est une équation pour le champ, qui n'est pas une particule. L'évolution temporelle d'une particule, c'est-à-dire d'un état quantique, est toujours donnée par l'équation de Schrödinger. L'hamiltonien pour cette évolution temporelle s'écrit en termes de champs qui obéissent eux-mêmes à une certaine équation. Donc, la bonne réponse est: l'équation de Schrödinger avec un hamiltonien donné en termes d'un champ vectoriel sans masse dont l'équation n'est rien d'autre que l'équation de Maxwell.

Answer 3

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Les équations de maxwell, tout comme en électrodynamique classique. Cependant, vous devrez utiliser la théorie quantique des champs pour travailler avec eux.

http://en.wikipedia.org/wiki/Relativistic_wave_equations
http : //en.wikipedia.org/wiki/Quantum_electrodynamics

Answer 4

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Bien que les réponses ci-dessus soient excellentes, j'ai senti qu'il manquait de quoi La question posée concernant une équation analogue à l'équation de Schrödinger (ou Dirac).

Il existe une quantité appelée le vecteur Riemann-Silberstein ( https://en.wikipedia.org/wiki/Riemann%E2%80%93Silberstein_vector#Photon_wave_function), d'abord utilisée par le tristement célèbre Bernhardt Riemann pour démontrer une formulation concise des équations de Maxwell.

Ce «vecteur» a la forme:

$$ \ vec {F} = \ vec {E} + ic \ vec {B} $$

Une recherche rapide en ligne démontre que l'électrodynamique classique écrite sous cette forme peut être très utile pour résoudre des problèmes.

Dans le domaine quantique, une quantité analogue à la fonction d'onde peut être écrite pour un seul photon. Une telle quantité a la forme:

$$ i \ hbar \ partial_ {t} \ vec {F} = c \ left (\ vec {S} \ cdot \ frac {\ hbar} {i} \ vec {\ nabla} \ right) \ vec {F} $$ Qui peut s'écrire simplement sous la forme:

$$ i \ hbar \ partial_ {t} \ vec {F} = c \ left (\ vec {S} \ cdot \ hat {P} \ right) \ vec {F} $$

Cela peut être une quantité utile pour examiner les propriétés d'un seul photon. Commencez par la page Wikipédia, c'est en fait une quantité assez intéressante et utile.

Answer 5

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Le concept général de la mécanique quantique est que les particules sont des ondes. On suppose que la phase des particules se comporte de la même manière que la phase de la lumière $ \ exp (i \ vec {k} \ cdot \ vec {x} - iE t / \ hbar). $ (voir Feynman Lectues on Physics , volume 3, chapitre 7-2).

Pour une lumière monochromatique (ou presque monochromatique), prenez simplement les équations de Maxwell et ajoutez l'hypothèse qu'un photon ne peut pas être partiellement absorbé. La plupart du temps, il suffit d'utiliser l'approximation paraxiale, voire l'approximation d'onde plane. Il fonctionne pour les configurations standard de mécanique quantique comme Elitzur – Vaidman bomb-tester.

Pour la lumière non monochronatique, c'est beaucoup plus compliqué. Pour en savoir plus sur la nature de la mécanique quantique d'un photon: Iwo Bialynicki-Birula, On the Wave Function of the Photon, Acta Physica Polonica 86, 97-116 (1994).

Answer 6

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Un photon unique est décrit mécaniquement quantique par les équations de Maxwell, où les solutions sont considérées comme complexes. Les équations de Maxwell peuvent être écrites sous la forme de l'équation matricielle de Dirac, où les matrices à deux composants de Pauli, correspondant à des électrons de spin 1/2, sont remplacées par des matrices à trois composants analogues, correspondant à des photons de spin 1. Puisque l'équation de Dirac et l'équation de Maxwell correspondante sont entièrement relativistes, il n'y a aucun problème avec la masse du photon étant nulle, comme ce serait le cas pour une équation de type Schroedinger. Voir http://www.nist.gov/pml/div684/fcdc/upload/preprint.pdf.

Answer 7

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Selon l'analyse de Wigner, l'espace de Hilbert à photon unique est couvert par une base paramétrée par des impulsions d'énergie sur la frontière du cône lumineux avant, et une hélicité de $ \ pm 1 $.

Cependant, une description manifestement covariante de Lorentz dans l'espace des positions doit inclure un photon longitudinal fictif avec une hélicité de 0. Ce degré de liberté est de pure jauge, et se découplage. Fait intéressant, la norme d'état est maintenant semi-définie positive, au lieu de définie positive, avec les modes transverses ayant une norme positive et les modes longitudinaux ayant une norme nulle.

Answer 8

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Il existe plusieurs ondes différentes associées à un photon. Dans QED, le photon est associé à une solution classique du potentiel vectoriel (4-). Le potentiel vectoriel contient des caractéristiques qui ne sont pas physiques, car un changement de jauge ne se traduit pas par un changement des propriétés physiques. Ainsi, son rôle en tant que fonction d'onde peut être quelque peu discutable, mais il doit quand même y avoir une onde qui explique les modèles d'interférence et de diffraction bien connus. une double fente, nos yeux reçoivent des photons diffusés par les atomes à la surface de l'écran. Les atomes absorbent et émettent des photons sous forme d'antennes dipôles électriques quantiques. Cela implique que les atomes sont sensibles au champ électrique. A partir du champ vectoriel associé au photon, un champ électrique peut être calculé. Ce champ est indépendant de la jauge donc un champ physique. Ce champ est une solution aux équations de Maxwell et décrit les diagrammes d'interférence et de diffraction habituels.

Answer 9

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Ma réponse est davantage un commentaire sur d'autres réponses correctes: vous ne pouvez pas construire une fonction delta pour le photon en 3D car la composante longitudinale d'un champ vectoriel sans masse est manquante. Mais cela ne signifie pas qu'il n'y a pas de concept utile et significatif d'une fonction d'onde dans le secteur à photon unique. C'est juste un fait particulier à propos du champ électromagnétique libre, vous ne pouvez fondamentalement pas localiser la lumière dans une région plus petite que la longueur d'onde caractéristique. Les équations de Maxwell pour le composant sans source ( solénoïdal) du champ de potentiel vectoriel $ \ bf {A} $ jouent le rôle de l'équation de Schrödinger.

Je recommande le livre de Rodney Loudon " La théorie quantique de la lumière" est une bonne ressource pour vraiment comprendre le niveau quantique de description de la lumière.