Ecco la mia derivazione preferita, che è più o meno basata su, ma a mio parere piuttosto più semplice di quelle fornite nei link sopra. È necessaria solo l'integrazione elementare!
La configurazione
Lavora su una griglia $ N $ -dimensionale per la generalità ed etichetta i punti della griglia con $ \ vec {n} $, un vettore intero.
Supponiamo che la tensione in ogni punto sia $ V_ \ vec {n} $. Quindi la corrente che scorre in $ \ vec {n} $ dai suoi $ 2N $ vicini è
$$ \ sum_ {i, \ pm} (V _ {\ vec {n} \ pm \ vec {e} _i} - V_ \ vec {n}) $$
($ \ vec {e} _i $ è il vettore unitario lungo la direzione $ i $.)
Insistere sul fatto che una fonte esterna sta pompando un amplificatore in $ \ vec {0} $ e fuori da $ \ vec {a} $. L'attuale conservazione dà
$$ \ sum_ {i, \ pm} (V _ {\ vec {n} \ pm \ vec {e} _i} - V_ \ vec {n}) = - \ delta_ \ vec {n} + \ delta_ {\ vec {n} - \ vec {a}} $$
($ \ delta_ \ vec {n} $ è uguale a $ 1 $ se $ \ vec {n} = \ vec {0} $ e $ 0 $ altrimenti.)
Questa è l'equazione che vogliamo risolvere. Dato $ V_ \ vec {n} $, la resistenza effettiva tra $ \ vec {0} $ e $ \ vec {a} $ è semplicemente
$$ R_ \ vec {a} = V_ \ vec {0} - V_ \ vec {a} $$
Sfortunatamente, ci sono infinite soluzioni per $ V_ \ vec {n} $ e i loro risultati per $ R_ \ vec {a} $ non sono d'accordo! Questo perché la domanda non specifica alcuna condizione al contorno all'infinito. A seconda di come li scegliamo, possiamo ottenere qualsiasi valore di $ R_ \ vec {a} $ che ci piace! Risulterà che esiste una scelta ragionevole unica, ma per ora dimentichiamoci completamente di questo problema e troviamo solo qualsiasi soluzione.
Soluzione mediante trasformata di Fourier
La strategia è trovare una funzione verde $ G_ \ vec {n} $ soddisfacente
$$ \ sum_ {i, \ pm} (G _ {\ vec {n} \ pm \ vec {e} _i} - G_ \ vec {n}) = \ delta_ \ vec {n} $$
Una soluzione all'equazione originale sarebbe quindi
$$ V_n = -G_ \ vec {n} + G _ {\ vec {n} - \ vec {a}} $$
Per trovare $ G_ \ vec {n} $, supponiamo che possa essere rappresentato come
$$ G_ \ vec {n} = \ int_0 ^ {2 \ pi} \ frac {d ^ N \ vec {k}} {(2 \ pi) ^ N} (e ^ {i \ vec {k } \ cdot \ vec {n}} - 1) g (\ vec {k}) $$
Quindi notandolo
\ begin {align}
\ sum_ {i, \ pm} (G _ {\ vec {n} \ pm \ vec {e} _i} - G_ \ vec {n})
& =
\ int_0 ^ {2 \ pi} \ frac {d ^ N \ vec {k}} {(2 \ pi) ^ N} e ^ {i \ vec {k} \ cdot \ vec {n}} \ left (\ somma_ {i, \ pm} e ^ {\ pm i k_i} - 2N \ right) g (\ vec {k})
\\
\ delta_ \ vec {n}
& =
\ int_0 ^ {2 \ pi} \ frac {d ^ N \ vec {k}} {(2 \ pi) ^ N} e ^ {i \ vec {k} \ cdot \ vec {n}}
\ end {align}
vediamo che l'equazione per $ G_ \ vec {n} $ può essere risolta scegliendo
$$ g (\ vec {k}) = \ frac {1} {\ sum_ {i, \ pm} e ^ {\ pm k_i} - 2N} $$
che porta a
$$ G_ \ vec {n} = \ frac {1} {2} \ int_0 ^ {2 \ pi} \ frac {d ^ N \ vec {k}} {(2 \ pi) ^ N} \ frac {\ cos (\ vec {k} \ cdot \ vec {n}) - 1} {\ sum \ cos (k_i) - N} $$
A proposito, il divertente $ -1 $ al numeratore non sembra fare molto altro che spostare $ G_ \ vec {n} $ di una $ \ vec {n} $ - costante indipendente, quindi potrebbe chiedersi cosa ci fa lì. Ma senza di esso l'integrale sarebbe infinito, almeno per $ N \ leq 2 $.
Quindi la risposta finale è
$$ R_ \ vec {a} = V_ \ vec {0} - V_ \ vec {a} = 2 (G_ \ vec {a} - G_ \ vec {0}) = \ int_0 ^ {2 \ pi } \ frac {d ^ N \ vec {k}} {(2 \ pi) ^ N} \ frac {1 - \ cos (\ vec {k} \ cdot \ vec {a})} {N - \ sum \ cos (k_i)} $$
Perché questa è la risposta giusta?
(Da questo punto in poi, $ N = 2 $)
Ho detto prima che c'erano infinite soluzioni per $ V_ \ vec {n} $. Ma quello sopra è speciale, perché a grandi distanze $ r $ dall'origine, le tensioni e le correnti si comportano come
$$ V = \ mathcal {O} (1 / r) \ qquad I = \ mathcal {O} (1 / r ^ 2) $$
Un teorema standard (unicità delle soluzioni dell'equazione di Laplace) dice che può esserci solo una soluzione che soddisfa questa condizione. Quindi la nostra soluzione è l'unica con il minor flusso di corrente possibile all'infinito e con $ V_ \ infty = 0 $ . E anche se la domanda non lo chiedesse, è ovviamente l'unica cosa ragionevole da chiedere.
Oppure lo è? Forse preferiresti definire il problema lavorando su una griglia finita, trovando la soluzione unica per $ V_ \ vec {n} $ lì, quindi cercando di prendere una sorta di limite mentre la dimensione della griglia va all'infinito. Tuttavia, si può sostenere che $ V_ \ vec {n} $ ottenuto da una griglia size- $ L $ dovrebbe convergere al nostro $ V_ \ vec {n} $ con un errore dell'ordine $ 1 / L $. Quindi il risultato finale è lo stesso.
Fare gli integrali
Considera innanzitutto il caso diagonale
\ begin {align}
R_ {n, n}
& = \ frac {1} {(2 \ pi) ^ 2} \ int_A dx \, dy \, \ frac {1 - \ cos (n (x + y))} {2 - \ cos (x) - \ cos (y)} \\
& = \ frac {1} {2 (2 \ pi) ^ 2} \ int_A dx \, dy \, \ frac {1 - \ cos (n (x + y))} {1 - \ cos (\ frac { x + y} {2}) \ cos (\ frac {xy} {2})}
\ end {align}
dove $ A $ è il quadrato $ 0 \ leq x, y \ leq 2 \ pi $.
Poiché l'integrando è periodico, il dominio può essere modificato da $ A $ a $ A '$ in questo modo:
Quindi modificare le variabili in
$$ a = \ frac {x + y} {2} \ qquad b = \ frac {x-y} {2} \ qquad dx \, dy = 2 \, da \, db $$
l'integrale diventa
$$ R_ {n, n} = \ frac {1} {(2 \ pi) ^ 2} \ int_0 ^ \ pi da \ int _ {- \ pi} ^ \ pi db \, \ frac {1 - \ cos (2na)} {1 - \ cos (a) \ cos (b)} $$
L'integrale $ b $ può essere fatto con la sostituzione mezza abbronzatura
$$ t = \ tan (b / 2) \ qquad \ cos (b) = \ frac {1-t ^ 2} {1 + t ^ 2} \ qquad db = \ frac {2} {1+ t ^ 2} dt $$
dare
$$ R_ {n, n} = \ frac {1} {2 \ pi} \ int_0 ^ \ pi da \, \ frac {1 - \ cos (2na)} {\ sin (a)} $$
L'identità trigonometrica
$$ 1 - \ cos (2na) = 2 \ sin (a) \ big (\ sin (a) + \ sin (3a) + \ dots + \ sin ((2n-1) a) \ big) $$
riduce il rimanente $ a $ integrale a
\ begin {align}
R_ {n, n}
& =
\ frac {2} {\ pi} \ left (1 + \ frac {1} {3} + \ dots + \ frac {1} {2n-1} \ right)
\ end {align}
Induzione
Sebbene l'integrazione fosse necessaria per ottenere i valori diagonali di $ R_ {m, n} $, il resto può essere determinato senza di essa. Il trucco sta nell'usare la simmetria rotazionale / riflessiva,
$$ R_ {n, m} = R _ {\ pm n, \ pm m} = R _ {\ pm m, \ pm n} $$
insieme alla seguente relazione di ricorrenza
$$ R_ {n + 1, m} + R_ {n-1, m} + R_ {n, m + 1} + R_ {n, m-1} - 4 R_ {n, m} = 2 \ delta _ {(n, m)} $$
che può essere dedotto utilizzando $ R_ \ vec {n} = 2 G_ \ vec {n} $ e l'equazione di definizione per $ G_ \ vec {n} $.
Inizia con la banale affermazione che
$$ R_ {0,0} = 0 $$
Applicando la relazione di ricorrenza a $ (0,0) $ e utilizzando la simmetria si ottiene
$$ R_ {1,0} = R_ {0,1} = 1/2 $$
La riga successiva è fatta in questo modo
E quello successivo ...
Alternando ripetutamente i due passaggi precedenti si ottiene un algoritmo per determinare ogni $ R_ {m, n} $. Chiaramente, sono tutti nella forma
$$ a + b / \ pi $$
dove $ a $ e $ b $ sono numeri razionali. Ora questo algoritmo può essere facilmente eseguito a mano, ma si potrebbe anche codificarlo in Python:
importa numpy come np
importa frazioni come fr
N = 4
arr = np.empty ((N * 2 + 1, N * 2 + 1, 2), dtype = 'oggetto')
def plus (i, j):
arr [i + 1, j] = 4 * arr [i, j] - arr [i - 1, j] - arr [i, j + 1] - arr [i, abs (j - 1)]
def even (i):
arr [i, i] = arr [i - 1, i - 1] + [0, fr.fraction (2, 2 * i - 1)]
per k nell'intervallo (1, i + 1): più (i + k - 1, i - k)
def dispari (i):
arr [i + 1, i] = 2 * arr [i, i] - arr [i, i - 1]
per k nell'intervallo (1, i + 1): più (i + k, i - k)
arr [0, 0] = 0
arr [1, 0] = [fr.Fraction (1, 2), 0]
per i nell'intervallo (1, N):
perfino io)
dispari (i)
pari (N)
per i nell'intervallo (0, N + 1):
per j nell'intervallo (0, N + 1):
a, b = arr [max (i, j), min (i, j)]
print ('(', a, ') + (', b, ') / π', sep = '', end = '\ t')
Stampa()
Questo produce l'output
$$
\Grande
\ begin {array} {| c: c: c: c: c}
40 - \ frac {368} {3 \ pi} & \ frac {80} {\ pi} - \ frac {49} {2} & 6 - \ frac {236} {15 \ pi} & \ frac {24} {5 \ pi} - \ frac {1} {2} & \ frac {352} {105 \ pi} \\
\ hdashline
\ frac {17} {2} - \ frac {24} {\ pi} & \ frac {46} {3 \ pi} - 4 & \ frac {1} {2} + \ frac {4} {3 \ pi } & \ frac {46} {15 \ pi} & \ frac {24} {5 \ pi} - \ frac {1} {2} \\
\ hdashline
2 - \ frac {4} {\ pi} & \ frac {4} {\ pi} - \ frac {1} {2} & \ frac {8} {3 \ pi} & \ frac {1} {2}+ \ frac {4} {3 \ pi} & 6 - \ frac {236} {15 \ pi} \\
\ hdashline
\ frac {1} {2} & \ frac {2} {\ pi} & \ frac {4} {\ pi} - \ frac {1} {2} & \ frac {46} {3 \ pi} - 4& \ frac {80} {\ pi} - \ frac {49} {2} \\
\ hdashline
0 & \ frac {1} {2} & 2 - \ frac {4} {\ pi} & \ frac {17} {2} - \ frac {24} {\ pi} & 40 - \ frac {368} {3 \ pi} \\
\ hline
\ end {array}
$$
da cui possiamo leggere la risposta finale,
$$ R_ {2,1} = \ frac {4} {\ pi} - \ frac {1} {2} $$