Kleines Problem aus dem Bereich der (analytischen) Geometrie

[Me]

Leider komme ich nicht auf eine Lösung.

Folgendes Problem:

Gegeben zwei Punkte: P = (px, py) und Q = (qx, qy), die die Endpunkte zweier Vektoren (mit Ursprung (0,0)) sein sollen, die ein Parallelogramm "bestimmen".

Es ist zu zeigen, dass die Fläche dieses Parallelogramms = |px*qy - py*qx| ist.

[Alfred Flaßhaar]

Post by Me
Leider komme ich nicht auf eine Lösung.
Gegeben zwei Punkte: P = (px, py) und Q = (qx, qy), die die Endpunkte zweier Vektoren (mit Ursprung (0,0)) sein sollen, die ein Parallelogramm "bestimmen".
Es ist zu zeigen, dass die Fläche dieses Parallelogramms = |px*qy - py*qx| ist.

Eine anschauliche Herleitung im Zusammenhang mit Vorbereitung auf lin.
Algebra (Schulniveau) findet man in H. Reichardt, Vorlesungen über
Vektor- und Tensorrechnung, S. 20 - 23

Gruß, Alfred

[Alfred Flaßhaar]

Post by Alfred Flaßhaar

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Leider komme ich nicht auf eine Lösung.
Gegeben zwei Punkte: P = (px, py) und Q = (qx, qy), die die Endpunkte
zweier Vektoren (mit Ursprung (0,0)) sein sollen, die ein
Parallelogramm "bestimmen".
Es ist zu zeigen, dass die Fläche dieses Parallelogramms = |px*qy - py*qx| ist.

Eine anschauliche Herleitung im Zusammenhang mit Vorbereitung auf lin.
Algebra (Schulniveau) findet man in H. Reichardt, Vorlesungen über
Vektor- und Tensorrechnung, S. 20 - 23

Es geht natürlich auch, indem das Parallelogramm in ein achsentreues
Rechteck gebettet wird, dessen Ecken (Ursprung und Diagonalecke) mit
Parallelogrammecken zusammenfallen. Die gesuchte Fläche ergibt sich aus
Addition und Subtraktion von Teildreiecken.
Mir gefällt aber die erste Lösung wegen der Verallgemeinerungsfähigkeit
besser.

[Siegfried Neubert]

Post by Alfred Flaßhaar

Post by Alfred Flaßhaar

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Leider komme ich nicht auf eine Lösung.
Gegeben zwei Punkte: P = (px, py) und Q = (qx, qy), die die Endpunkte
zweier Vektoren (mit Ursprung (0,0)) sein sollen, die ein
Parallelogramm "bestimmen".
Es ist zu zeigen, dass die Fläche dieses Parallelogramms = |px*qy - py*qx| ist.

Eine anschauliche Herleitung im Zusammenhang mit Vorbereitung auf lin.
Algebra (Schulniveau) findet man in H. Reichardt, Vorlesungen über
Vektor- und Tensorrechnung, S. 20 - 23

Es geht natürlich auch, indem das Parallelogramm in ein achsentreues
Rechteck gebettet wird, dessen Ecken (Ursprung und Diagonalecke) mit
Parallelogrammecken zusammenfallen. Die gesuchte Fläche ergibt sich aus
Addition und Subtraktion von Teildreiecken.
Mir gefällt aber die erste Lösung wegen der Verallgemeinerungsfähigkeit
besser.

(px+qx)(py+qx)-pxpy-qxqy-qxpy=qxpy-pxqy

[Siegfried Neubert]

Post by Siegfried Neubert

Post by Alfred Flaßhaar

Post by Alfred Flaßhaar

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Leider komme ich nicht auf eine Lösung.
Gegeben zwei Punkte: P = (px, py) und Q = (qx, qy), die die Endpunkte
zweier Vektoren (mit Ursprung (0,0)) sein sollen, die ein
Parallelogramm "bestimmen".
Es ist zu zeigen, dass die Fläche dieses Parallelogramms = |px*qy - py*qx| ist.

Eine anschauliche Herleitung im Zusammenhang mit Vorbereitung auf lin.
Algebra (Schulniveau) findet man in H. Reichardt, Vorlesungen über
Vektor- und Tensorrechnung, S. 20 - 23

Es geht natürlich auch, indem das Parallelogramm in ein achsentreues
Rechteck gebettet wird, dessen Ecken (Ursprung und Diagonalecke) mit
Parallelogrammecken zusammenfallen. Die gesuchte Fläche ergibt sich aus
Addition und Subtraktion von Teildreiecken.
Mir gefällt aber die erste Lösung wegen der Verallgemeinerungsfähigkeit
besser.

(px+qx)(py+qx)-pxpy-qxqy-qxpy=qxpy-pxqy

Pardon: (px+qx)(py+qx)-pxpy-qxqy-2qxpy=qxpy-pxqy

Man zeichne eine Skizze des Parallelogramms in ein IR² Koordinatensystem und Hilfslinien von den Achsen zu den Eckpunkten dieses Parallelogramms, dann kann man je zwei Dreiecke zu einem Rechteck zusammenfassen und "sieht" obige Gleichung!

[Siegfried Neubert]

Post by Siegfried Neubert

Post by Alfred Flaßhaar

Post by Alfred Flaßhaar

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Leider komme ich nicht auf eine Lösung.
Gegeben zwei Punkte: P = (px, py) und Q = (qx, qy), die die Endpunkte
zweier Vektoren (mit Ursprung (0,0)) sein sollen, die ein
Parallelogramm "bestimmen".
Es ist zu zeigen, dass die Fläche dieses Parallelogramms = |px*qy - py*qx| ist.

Eine anschauliche Herleitung im Zusammenhang mit Vorbereitung auf lin.
Algebra (Schulniveau) findet man in H. Reichardt, Vorlesungen über
Vektor- und Tensorrechnung, S. 20 - 23

Es geht natürlich auch, indem das Parallelogramm in ein achsentreues
Rechteck gebettet wird, dessen Ecken (Ursprung und Diagonalecke) mit
Parallelogrammecken zusammenfallen. Die gesuchte Fläche ergibt sich aus
Addition und Subtraktion von Teildreiecken.
Mir gefällt aber die erste Lösung wegen der Verallgemeinerungsfähigkeit
besser.

(px+qx)(py+qx)-pxpy-qxqy-qxpy=qxpy-pxqy

Pardon: (px+qx)(py+qx)-pxpy-qxqy-2qxpy=pxqy-qxpy

Man zeichne eine Skizze des Parallelogramms in ein IR² Koordinatensystem und Hilfslinien von den Achsen zu den Eckpunkten dieses Parallelogramms, dann kann man je zwei Dreiecke zu einem Rechteck zusammenfassen und "sieht" obige Gleichung!

[Me]

Post by Siegfried Neubert
(px+qx)(py+qx)-pxpy-qxqy-2qxpy=pxqy-qxpy

Sollte wohl

(px+qx)(py+qx)-pxpy-qxqy-2qxqy=pxqy-qxpy

lauten.

Post by Siegfried Neubert
Man zeichne eine Skizze des Parallelogramms in ein IR² Koordinatensystem und
Hilfslinien von den Achsen zu den Eckpunkten dieses Parallelogramms, dann
kann man je zwei Dreiecke zu einem Rechteck zusammenfassen und "sieht" obige
Gleichung!

Insbesondere sieht man, dass (Modulo Vorzeichen) pxqy-qxpy = A_Parallelogramm ist.

Ja, danke, das ist eine schöne und einfache "elementare" Lösung des Problems.

Diese ist wohl mit der von Alfred erwähnten identisch.

[Mostowski Collapse]

Ich bin faul, und benutze:
https://de.wikipedia.org/wiki/Gau%C3%9Fsche_Trapezformel

Mit den Punkten (0,0), (px,py), (px+qx,py+qy), (qx,qy)
Das ergibt dann:

1/2(px*py+(2*px+qx)*qy+(px+2*qx)*-py+qx*-qy) =

1/2(px*py+2*px*qy+qx*qy-px*py-2*qx*py-qx*qy) =

1/2(0 + 2*px*qy + 0 - 2*qx*py) =

px*qy - qx*py

Post by Me
Leider komme ich nicht auf eine Lösung.
Gegeben zwei Punkte: P = (px, py) und Q = (qx, qy), die die Endpunkte zweier Vektoren (mit Ursprung (0,0)) sein sollen, die ein Parallelogramm "bestimmen".
Es ist zu zeigen, dass die Fläche dieses Parallelogramms = |px*qy - py*qx| ist.

[Siegfried Neubert]

Post by Me
Leider komme ich nicht auf eine Lösung.
Gegeben zwei Punkte: P = (px, py) und Q = (qx, qy), die die Endpunkte zweier Vektoren (mit Ursprung (0,0)) sein sollen, die ein Parallelogramm "bestimmen".
Es ist zu zeigen, dass die Fläche dieses Parallelogramms = |px*qy - py*qx| ist.

Was kannst Du denn voraussetzen?
Sonst: Seien A und B besagte Vektoren in IR²,
dann ist AxB ein Vektor dessen Betrag durch die Determinante |px*qy - py*qx| gegeben ist und der dem Flächeninhalt des besagten Parallelogramms gleich ist!

Gruß Siggi N.

[Alfred Flaßhaar]

Post by Siegfried Neubert

Post by Me
Leider komme ich nicht auf eine Lösung.
Gegeben zwei Punkte: P = (px, py) und Q = (qx, qy), die die Endpunkte zweier Vektoren (mit Ursprung (0,0)) sein sollen, die ein Parallelogramm "bestimmen".
Es ist zu zeigen, dass die Fläche dieses Parallelogramms = |px*qy - py*qx| ist.

Was kannst Du denn voraussetzen?
Sonst: Seien A und B besagte Vektoren in IR²,
dann ist AxB ein Vektor dessen Betrag durch die Determinante |px*qy - py*qx| gegeben ist und der dem Flächeninhalt des besagten Parallelogramms gleich ist!

..., was in dieser "Koordinatensprache" zu beweisen wäre. Die
Flächenformel mit dem Kreuzprodukt ist ja elementargeometrisch
offensichtlich. Aber ihre Übersetzung in die
Koordinaten-/Determinantenform ist gesucht. So habe ich die Frage
verstanden.

Gruß, Alfred

[Rainer Rosenthal]

Post by Alfred Flaßhaar

Post by Me
Leider komme ich nicht auf eine Lösung.
Gegeben zwei Punkte: P = (px, py) und Q = (qx, qy), die die Endpunkte
zweier Vektoren (mit Ursprung (0,0)) sein sollen, die ein
Parallelogramm "bestimmen".
Es ist zu zeigen, dass die Fläche dieses Parallelogramms = |px*qy - py*qx| ist.

Aber ihre Übersetzung in die
Koordinaten-/Determinantenform ist gesucht. So habe ich die Frage
verstanden.

Nach dem Motto in der "Feuerzangenbowle":
"Stelle mer uns mal janz dumm" und lassen es ganz gemütlich angehen mit
Q auf der x-Achse. Man merkt dann zumindest, dass die Formel nicht
unplausibel ist.

Na ja, und wenn man dann wissbegierig ist, probiert man noch ein
bisschen weiter und wird dann schon ein gutes Gefühl dafür kriegen, dass
de Formel wasserdicht ist. Kommt man auf dem weiteren Weg an
Hindernisse, dann kann man ja hier Hilfe bekommen.

Gruß,
RR

[Me]

Post by Siegfried Neubert

Post by Me
Leider komme ich nicht auf eine Lösung.
Gegeben zwei Punkte: P = (px, py) und Q = (qx, qy), die die Endpunkte
zweier Vektoren (mit Ursprung (0,0)) sein sollen, die ein Parallelo-
gramm "bestimmen".
Es ist zu zeigen, dass die Fläche dieses Parallelogramms = |px*qy - py*qx| ist.

Was kannst Du denn voraussetzen?

Eigentlich bis auf etwas "Elementargeometrie" (und "Arithmetik" + "trigonometrische Funktionen") so gut wie nichts.

Post by Siegfried Neubert
Sonst: Seien A und B besagte Vektoren in IR²,
dann ist AxB ein Vektor dessen Betrag durch die Determinante |px*qy - py*qx|
gegeben ist und der dem Flächeninhalt des besagten Parallelogramms gleich
ist!

Ja, ich erinnere mich, das hatte ich auch mal gelernt.

Zwar kann ich das hier nicht verwenden, aber ich habe mich auch an die Formel
|AxB| = |A|*|B|*sin(alpha) erinnert, wobei alpha der Winkel zwischen A und B ist.

Beim Versuch, diese Formel zu beweisen (für Vektoren im IR^3 für die die z-Komponente jeweils 0 ist), in ich auf die trigonometrischen Summenformeln gekommen. Diese habe ich mir dann über ein Drehung eines Einheitsvekors um einen Winkel alpha "hergeleitet".

Langer Rede kurzer Sinn: Ich kann nun die Summenformel für sin(alpha+beta) verwenden, um das das Gesuchte "elementargeometrisch" zu zeigen.

Vielen Dank für diese Anregung.

[Dieter Heidorn]

Post by Me
Leider komme ich nicht auf eine Lösung.
Gegeben zwei Punkte: P = (px, py) und Q = (qx, qy), die die Endpunkte zweier Vektoren (mit Ursprung (0,0)) sein sollen, die ein Parallelogramm "bestimmen".
Es ist zu zeigen, dass die Fläche dieses Parallelogramms = |px*qy - py*qx| ist.

Die Fläche des Parallelogramms lässt sich als Betrag des Vektorprodukts
(Kreuzprodukts) der (räumlich ergänzten) Vektoren p und q berechnen:

( e_x p_x q_x )
p X q = det( e_y p_y q_y )
( e_z 0 0 )

= e_x * (p_x*q_y - p_y*q_x)

Fläche = |p X q| = |p_x*q_y - p_y*q_x|

Dieter Heidorn

[Me]

Post by Dieter Heidorn
Die Fläche des Parallelogramms lässt sich als Betrag des Vektorprodukts
(Kreuzprodukts) der (räumlich ergänzten) Vektoren p und q berechnen [...]

Leider kann ich das (an der Stelle im Buch) noch nicht voraussetzen.

Das Problem wurde inzwischen aber wohl (auf zwei verschiedene Arten) "elementar" gelöst. Einmal direkt über Flächenbetrachtungen und einmal unter Zuhilfenahme trigonometrischer Funktionen.

[Stephan Gerlach]

Post by Me
Leider komme ich nicht auf eine Lösung.
Gegeben zwei Punkte: P = (px, py) und Q = (qx, qy), die die Endpunkte zweier Vektoren (mit Ursprung (0,0))
sein sollen, die ein Parallelogramm "bestimmen".
Es ist zu zeigen, dass die Fläche dieses Parallelogramms = |px*qy - py*qx| ist.

Es ist bekannt(?), daß für 2 beliebige Vektoren v, w des R^3(!) der
Betrag des Vektorprodukts der Flächeninhalt des von v und w
aufgespannten Parallelogramms ist:

A = |v × w|

Wählt man nun 2 Vektoren v und w so, daß beide die z-Koordinate 0 haben,
so kann man die Formel für den R^3 direkt für den R^2 "übernehmen",
wobei sich das Vektorprodukt stark vereinfacht, und erhält automatisch
die von dir angegebene Formel. D.h. der Trick ist bei dieser Methode,
daß man für eine Aussage im R^2 in den "schwierigeren" Vektorraum R^3
übergeht.


Alternativ kann man die (allgemeine) Aussage benutzen, daß die
Determinante einer aus n (Spalten-)Vektoren v_1, ..., v_n des R^n
gebildeten quadratischen Matrix gerade das (u.U. mit "Vorzeichenfehler"
versehene) Volumen des von den v_1, ..., v_n gebildeten Spats ist.

Diese Aussage ist nun einfach auf den Spezialfall n=2 anzuwenden, woraus
ebenfalls direkt die von dir angefragte Formel folgt.

[Me]

Post by Stephan Gerlach
Es ist bekannt(?), daß für 2 beliebige Vektoren v, w des R^3(!) der
Betrag des Vektorprodukts der Flächeninhalt des von v und w
A = |v × w|

Leider ist das an der Stelle des Buches eben noch nicht "bekannt".

Post by Stephan Gerlach
Wählt man nun 2 Vektoren v und w so, daß beide die z-Koordinate 0 haben,
so kann man die Formel für den R^3 direkt für den R^2 "übernehmen",
wobei sich das Vektorprodukt stark vereinfacht, und erhält automatisch
die von dir angegebene Formel. D.h. der Trick ist bei dieser Methode,
daß man für eine Aussage im R^2 in den "schwierigeren" Vektorraum R^3
übergeht.

Jep. Inzwischen kann ich mir mit "elementaren Mitteln" (für solche Vektoren, also mit z-Komponente = 0) sowohl

v*w = |v| * |w| * cos(alpha)

als auch

|v × w| = |v| * |w| * sin(alpha)

herleiten (und damit auch die Lösung des Problems).

Wobei (für v = (v1,v2,v3) und w = (w1, w2, w3)) v*w definiert ist als (v1*w1, v2*w2, v3*w3) und v × w als (v2*w3 - v3*w2, v3*w1 - v1*w2, v1*w2 - v2*w1).

Für Vektoren v,w mit z-Komponente = 0 erhält man also

|v × w| = |v| * |w| * sin(alpha) = |v1*w2 - v2*w1| .