Discussion:
Neue Erkenntnisse aus Augsburg (Beweis)
(zu alt für eine Antwort)
Me
2020-09-24 15:48:50 UTC
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Herr Mückenheim vertritt die Meinung, dass

U{[1/(n+1),1/n] : n e IN} = (0,1]

nicht gelten kann:

"Obviously impossible."

(W. Mückenheim, sci.math)

Hier sein Beweis dafür:

"Würden die Intervalle mit rationalen Endpunkten alle außer 0 darstellen
[...], dann lägen zwei rationale Punkte unmittelbar zusammen. Wir sagen
auch: sie berühren sich. Das ist unmöglich. Dieser Beweis ist Mathematik."

(W. Mückenheim, de.sci.mathematik)
Me
2020-09-24 15:54:28 UTC
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Post by Me
Herr Mückenheim vertritt die Meinung, dass
U{[1/(n+1),1/n] : n e IN} = (0,1]
"Obviously impossible."
(W. Mückenheim, sci.math)
"Würden die Intervalle mit rationalen Endpunkten alle außer 0 darstellen
[...], dann lägen zwei rationale Punkte unmittelbar zusammen. Wir sagen
auch: sie berühren sich. Das ist unmöglich. [...]
(W. Mückenheim, de.sci.mathematik)
@Mückenheim: So weit so klar. Was mir nicht ganz klar ist, ist, wie Sie das "dann" in Ihrem Beweis oben begründen wollen. Bitte zeigen Sie, dass aus

U{[1/(n+1),1/n] : n e IN} = (0,1]

tatsächlich

Ex e Q: Ey e Q: x < y & ~Ez e IR: x < z < y

folgt.
Me
2020-09-24 15:58:35 UTC
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Post by Me
Herr Mückenheim vertritt die Meinung, dass
U{[1/(n+1),1/n] : n e IN} = (0,1]
"Obviously impossible."
(W. Mückenheim, sci.math)
"Würden die Intervalle mit rationalen Endpunkten alle außer 0 darstellen
[...], dann lägen zwei rationale Punkte unmittelbar zusammen. Wir sagen
auch: sie berühren sich. Das ist unmöglich. [...]
(W. Mückenheim, de.sci.mathematik)
@Mückenheim: So weit so klar. Was mir nicht ganz klar ist, ist, wie Sie das
"dann" in Ihrem Beweis oben begründen wollen. Bitte zeigen Sie, dass aus
U{[1/(n+1),1/n] : n e IN} = (0,1]
tatsächlich
Ex e Q: Ey e Q: x < y & ~Ez e IR: x < z < y
folgt.
Sie verstehen: Eine reine Behauptung ist noch kein Beweis.
Ganzhinterseher
2020-09-24 17:10:48 UTC
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Sie verstehen: Eine reine Behauptung ist noch kein Beweis.
Eine reine Behauptung des Nichtverstehens ist keine Widerlegung.

Fakt ist, dass durch die Endpunkte 1/n der Intervalle [1/n, 1/(n-1)) jede positive irrationale Zahl gegen den Grenzwert 0 abgeschirmt wird. Wenn die Entfernung aller Intervalle nur den Punkt 0 übrig lässt, dann war dieser Punkt vorher in Berührung mit einem Endpunkt. Und das ist mathematisch unmöglich.

Gruß, WM
Me
2020-09-24 18:11:20 UTC
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Post by Me
Sie verstehen: Eine reine Behauptung ist noch kein Beweis.
Eine <blubber>
Was ist denn jetzt aus dem Beweis Ihrer Behauptung, dass aus

U{[1/(n+1),1/n] : n e IN} = (0,1]

Ex e Q: Ey e Q: x < y & ~Ez e IR: x < z < y

folgen würde, geworden, Mückenheim?

Also mal wieder nichts anderes als heiße Luft?

Und schon wieder eine NEUE (ebenso unbeweisbare) Behauptung?

Sie sind schon ein drolliges Kerlchen, das muss man Ihnen lassen.
Fakt ist, dass durch die Endpunkte 1/n der Intervalle [1/n, 1/(n-1)) jede
positive irrationale Zahl gegen den Grenzwert 0 abgeschirmt wird.
Vermutlich meinen Sie mit diesem Geblubber, dass

Ax e IR+: En e IN: 0 < 1/n < x

gilt. Abgesehen von Ihrer eher "blumigen" (und nicht gerade präzisen) "Umschreibung" des mathematischen Sachverhalts, stimmt das.
Wenn die Entfernung aller Intervalle nur den Punkt 0 übrig lässt,
Vermutlich meinen Sie damit den Sachverhalt:

[0, 1] \ U{[1/(n+1),1/n] : n e IN} = {0}
dann war dieser Punkt vorher in Berührung mit einem Endpunkt.
Gemeint ist hier wohl, dass dann

En e IN: ~Ex e IR+: 0 < x < 1/n

gilt.

Again: @Mückenheim: So weit so klar. Was mir nicht ganz klar ist, ist, wie Sie das "dann" in Ihrem Beweis oben begründen wollen. Bitte zeigen Sie, dass aus

[0, 1] \ U{[1/(n+1),1/n] : n e IN} = {0}

tatsächlich

En e IN: ~Ex e IR+: 0 < x < 1/n

folgt. (Sie verstehen: Eine reine Behauptung ist noch kein Beweis.)

Zur Erinnerung: "Unproven statements carry little weight in the world of mathematics." (Amir D. Aczel)
Me
2020-09-24 18:27:54 UTC
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Post by Me
Post by Ganzhinterseher
Wenn die Entfernung aller Intervalle nur den Punkt 0 übrig lässt,
[0, 1] \ U{[1/(n+1),1/n] : n e IN} = {0}
Post by Ganzhinterseher
dann war dieser Punkt vorher in Berührung mit einem Endpunkt.
Gemeint ist hier wohl [Ihre Behauptung], dass dann
En e IN: ~Ex e IR+: 0 < x < 1/n
gilt.
Mal unter uns, Mückenheim...

[0, 1] \ U{[1/(n+1),1/n] : n e IN} = {0}

ist äquivalent zu

U{[1/(n+1),1/n] : n e IN} = (0, 1] .

Und letzteres bedeutet einfach, dass (0, 1] von den Intervallen [1/(n+1),1/n] mit n e IN "überdeckt" wird. Was ist daran so schwer zu verstehen?

Hinweis: Für jede reelle Zahl r > 0 gibt es eine natürliche Zahl n, so dass 1/n < r bzw. r e [1/n, oo) gilt.

Siehe: https://en.wikipedia.org/wiki/Archimedean_property#Ordered_fields
Ganzhinterseher
2020-09-24 19:00:55 UTC
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Post by Me
Was ist denn jetzt aus dem Beweis Ihrer Behauptung
Post by Ganzhinterseher
Fakt ist, dass durch die Endpunkte 1/n der Intervalle [1/n, 1/(n-1)) jede
positive irrationale Zahl gegen den Grenzwert 0 abgeschirmt wird.
Wenn die Entfernung aller Intervalle nur den Punkt 0 übrig lässt,
[0, 1] \ U{[1/(n+1),1/n] : n e IN} = {0}
Post by Ganzhinterseher
dann war dieser Punkt vorher in Berührung mit einem Endpunkt.
Was mir nicht ganz klar ist, ist, wie Sie das "dann" in Ihrem Beweis oben begründen wollen. Bitte zeigen Sie, dass aus
Post by Me
[0, 1] \ U{[1/(n+1),1/n] : n e IN} = {0}
tatsächlich
En e IN: ~Ex e IR+: 0 < x < 1/n
folgt.
Das hast Du leider wieder falsch verstanden. Selbstverständlich gibt es zu jedem definierbaren 1/n eine kleinere positive irrationale Zahl.

Aber alle definierbaren Zahlen lassen bei Entfernung weit mehr als nur den Nullpunkt übrig.

Erst wenn nur noch der Nullpunkt übrig bleibt, dann ist bewiesen, dass er mit einem rationalen Intervallendpunkt touchierte, was, wie gesagt, nicht möglich ist.

Gruß, WM
Me
2020-09-24 19:08:48 UTC
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Was mir nicht ganz klar ist, ist, wie Sie das "dann" in Ihrem Beweis [...]
begründen wollen. Bitte zeigen Sie, dass aus
[0, 1] \ U{[1/(n+1),1/n] : n e IN} = {0}
tatsächlich
En e IN: ~Ex e IR+: 0 < x < 1/n
folgt.
Das <blubber>
Vielleicht habe ich mich nicht klar genug ausgedrückt. Ich warte auf den Beweis der Behauptung, dass

[0, 1] \ U{[1/(n+1),1/n] : n e IN} = {0}

En e IN: ~Ex e IR+: 0 < x < 1/n

impliziert.

Sie sollen also nicht blubbern, sondern beweisen.
Ganzhinterseher
2020-09-24 19:47:58 UTC
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Post by Me
Ich warte auf den Beweis der Behauptung, dass
[0, 1] \ U{[1/(n+1),1/n] : n e IN} = {0}
Wenn die Wegnahme aller Intervalle [1/n, 1/(n-1)) nur den Nullpunkt, aber keine positive reelle Zahl übrig lässt, dann kann offenbar keine kleinere positive reelle Zahl existieren. Es ist ja nichts mehr übrig.
Post by Me
En e IN: ~Ex e IR+: 0 < x < 1/n
impliziert.
Die Existenz einer solchen natürlichen Zahl kann man nicht direkt beweisen, da sie dunkel ist. Beweis: alle nicht dunklen Zahlen lassen mehr als den Nullpunkt übrig.

Gruß, WM
Me
2020-09-24 20:10:02 UTC
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Post by Me
Ich warte auf den Beweis der Behauptung, dass
[0, 1] \ U{[1/(n+1),1/n] : n e IN} = {0}
En e IN: ~Ex e IR+: 0 < x < 1/n
impliziert.
Die Existenz einer solchen natürlichen Zahl kann man nicht [...] beweisen
Mit anderen Worten, Sie können Ihre (falsche) Behauptung nicht beweisen. Na so was!

Hinweis: Ihre Behauptung ist FALSCH, da man zeigen/beweisen kann, dass

[0, 1] \ U{[1/(n+1),1/n] : n e IN} = {0} (*)
und
~En e IN: ~Ex e IR+: 0 < x < 1/n (**)
gilt.

Damit ist Ihre Behauptung WIDERLEGT, da aus (*) & (**)

~([0, 1] \ U{[1/(n+1),1/n] : n e IN} = {0} -> En e IN: ~Ex e IR+: 0 < x < 1/n)

folgt. Es ist also NICHT der Fall, dass

[0, 1] \ U{[1/(n+1),1/n] : n e IN} = {0} -> En e IN: ~Ex e IR+: 0 < x < 1/n)

gilt.

Warum behaupten Sie eigentlich ständig Dinge, die Sie nicht nur nicht beweisen können, sondern die zudem auch noch nachweisbar FALSCH sind?
Ganzhinterseher
2020-09-24 20:39:01 UTC
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Post by Me
Post by Me
Ich warte auf den Beweis der Behauptung, dass
[0, 1] \ U{[1/(n+1),1/n] : n e IN} = {0}
En e IN: ~Ex e IR+: 0 < x < 1/n
impliziert.
Die Existenz einer solchen natürlichen Zahl kann man nicht [...] beweisen
Mit anderen Worten, Sie können Ihre (falsche) Behauptung nicht beweisen.
Wieder falsch. Man kann die Existenz dieser dunklen Zahlen sehr wohl beweisen.

Es gibt keine positive irrationale Zahl, die kleiner als alle Endpunkte 1/n ist. (Gleichgroß kann sie auch nicht sein, da irrational.) Also ist jede positive irrationale Zahl größer als mindestens einer der Endpunkte. Also gilt für jede irrationale positive Zahl, dass mindestens ein Endpunkt näher an 0 liegt.

Gruß, WM




Na so was!
Post by Me
Hinweis: Ihre Behauptung ist FALSCH, da man zeigen/beweisen kann, dass
[0, 1] \ U{[1/(n+1),1/n] : n e IN} = {0} (*)
und
~En e IN: ~Ex e IR+: 0 < x < 1/n (**)
gilt.
Damit ist Ihre Behauptung WIDERLEGT, da aus (*) & (**)
~([0, 1] \ U{[1/(n+1),1/n] : n e IN} = {0} -> En e IN: ~Ex e IR+: 0 < x < 1/n)
folgt. Es ist also NICHT der Fall, dass
[0, 1] \ U{[1/(n+1),1/n] : n e IN} = {0} -> En e IN: ~Ex e IR+: 0 < x < 1/n)
gilt.
Warum behaupten Sie eigentlich ständig Dinge, die Sie nicht nur nicht beweisen können, sondern die zudem auch noch nachweisbar FALSCH sind?
Me
2020-09-25 00:41:30 UTC
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Post by Me
Post by Me
Ich warte auf den Beweis der Behauptung, dass
[0, 1] \ U{[1/(n+1),1/n] : n e IN} = {0}
En e IN: ~Ex e IR+: 0 < x < 1/n
impliziert.
Die Existenz einer solchen natürlichen Zahl kann man nicht [...] beweisen
Mit anderen Worten, Sie können Ihre (falsche) Behauptung nicht beweisen.
Wieder <blubber>
Hinweis: Ihre Behauptung ist FALSCH, da man zeigen/beweisen kann, dass

[0, 1] \ U{[1/(n+1),1/n] : n e IN} = {0} (*)
und
~En e IN: ~Ex e IR+: 0 < x < 1/n (**)
gilt.

Damit ist Ihre Behauptung WIDERLEGT, da aus (*) & (**)

~([0, 1] \ U{[1/(n+1),1/n] : n e IN} = {0} -> En e IN: ~Ex e IR+: 0 < x < 1/n)

folgt. Es ist also NICHT der Fall, dass

[0, 1] \ U{[1/(n+1),1/n] : n e IN} = {0} -> En e IN: ~Ex e IR+: 0 < x < 1/n)

gilt.

Warum behaupten Sie eigentlich ständig Dinge, die Sie nicht nur nicht beweisen können, sondern die zudem auch noch nachweisbar FALSCH sind?
<wirres Geschwalle gelöscht>
Ganzhinterseher
2020-09-25 13:08:39 UTC
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Post by Me
folgt. Es ist also NICHT der Fall, dass
[0, 1] \ U{[1/(n+1),1/n] : n e IN} = {0} -> En e IN: ~Ex e IR+: 0 < x < 1/n)
gilt.
Du bringst wieder definierbare und dunkle Zahlen durcheinander.

Für definierbare Zahlen ist

[0, 1] \ U{[1/(n+1),1/n] : n e IN_def} = {0}

falsch. Da bleibt immer einen unendliche Menge zwischen 0 und den Intervallen [1/(n+1),1/n] übrig. Natürlich stecken darin irrationale Zahlen.

Für alle natürlichen Zahlen hingegen gilt

[0, 1] \ U{[1/(n+1),1/n] : n e IN} = {0}.

Deswegen bleibt nichts außer der 0 übrig. Und entfernt wird das offene Intervall (0, 1] durch Intervalle der Form [1/(n+1),1/n], so dass nur Rationalzahlen in Frage kommen. Jede positive Irrationalzahl besitzt eine kleinere positive Rationalzahl. Aber nicht umgekehrt.
Post by Me
Warum behaupten Sie eigentlich ständig Dinge, die Sie nicht nur nicht beweisen können,
Das habe ich oben getan. Aufgrund der Struktur der Intervalle gilt für alle Irrationalzahlen, die sich in den Intervallen befinde, dass kleinere Rationalzahlen an den Intervallenden existieren. Diese Kette endet mit der Wegnahme aller positiven Punkte.

Gruß, WM
Me
2020-09-25 21:19:24 UTC
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Post by Ganzhinterseher
Post by Me
Es ist also NICHT der Fall, dass
[0, 1] \ U{[1/(n+1),1/n] : n e IN} = {0} -> En e IN: ~Ex e IR+: 0 < x < 1/n)
gilt.
Du bringst wieder definierbare und dunkle Zahlen durcheinander.
Äh, nö, da *ich* diese psychotischen Mistbegriffe erst gar nicht hochgebracht habe, Mückenheim.
Post by Ganzhinterseher
Post by Me
Es ist NICHT der Fall, dass
[0, 1] \ U{[1/(n+1),1/n] : n e IN} = {0} -> En e IN: ~Ex e IR+: 0 < x < 1/n)
gilt.
Und DAS wiederum folgt aus der Tatsache, dass sowohl

[0, 1] \ U{[1/(n+1),1/n] : n e IN} = {0}
als auch
~En e IN: ~Ex e IR+: 0 < x < 1/n)
gilt.
Post by Ganzhinterseher
Für definierbare Zahlen ist
Das interessiert hier kein Schwein. Ihre Psychose können Sie im Irrenhaus ausleben, aber nicht hier.
Post by Ganzhinterseher
[es] gilt
[0, 1] \ U{[1/(n+1),1/n] : n e IN} = {0}.
Äh, ja, und? [Hinweis: Das hatte *ich* doch gesagt (und bewiesen).]

Wichtiger ist hier die Aussage, dass dies NICHT

En e IN: ~Ex e IR+: 0 < x < 1/n)

impliziert.

Letzteres hatten sie BEHAUPTET und es ist FALSCH.

Was ist los mit Ihnen, Mückenheim?
Post by Ganzhinterseher
Jede positive Irrationalzahl besitzt eine kleinere positive Rationalzahl.
Aber nicht umgekehrt.
Äh, ja doch auch "umgekehrt": Also zu jeder positive Rationalzahl [der Form 1/n] gibt es eine kleinere Irrationalzahl. Das ist ein TRIVIALER Sachverhalt.
Post by Ganzhinterseher
Post by Me
Warum behaupten Sie eigentlich ständig Dinge, die Sie nicht nur nicht
beweisen können, sondern die zudem auch noch nachweisbar FALSCH sind?
Ein Zwang?
Ganzhinterseher
2020-09-26 11:38:26 UTC
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Post by Me
Post by Ganzhinterseher
Post by Me
Es ist also NICHT der Fall, dass
[0, 1] \ U{[1/(n+1),1/n] : n e IN} = {0} -> En e IN: ~Ex e IR+: 0 < x < 1/n)
gilt.
Du bringst wieder definierbare und dunkle Zahlen durcheinander.
Äh, nö,
Doch, Du bist nicht in der Lage Intervalle individuell zu definieren, die (0, 1] überdecken, aber Du behauptest, dass es sie gibt. Andererseits behauptest Du, dass zu jedem Endpunkt 1/n eine kleinere positive Irrationalzahl existiert. Für Intervalle, die (0, 1] überdecken, kann das nicht gelten, denn Irrationalzahlen, die kleiner als alle diese Endpunkte sind, existieren nicht.
Post by Me
Post by Ganzhinterseher
Post by Me
Es ist NICHT der Fall, dass
[0, 1] \ U{[1/(n+1),1/n] : n e IN} = {0} -> En e IN: ~Ex e IR+: 0 < x < 1/n)
gilt.
Sie ist ganz einfach falsch
Post by Me
Und DAS wiederum folgt aus der Tatsache, dass sowohl
[0, 1] \ U{[1/(n+1),1/n] : n e IN} = {0}
als auch
~En e IN: ~Ex e IR+: 0 < x < 1/n)
gilt.
Das ist falsch. Letzteres gilt für definierbare Punkte 1/n. Aber die kommen dem Nullpunkt nur beliebig nahe, was bedeutet, dass immer noch unendlich viele Punkte dazischen liegen.
Post by Me
Post by Ganzhinterseher
Für definierbare Zahlen ist
Das interessiert hier kein Schwein.
Trotzdem ist es richtig.
Post by Me
Post by Ganzhinterseher
Post by Me
Warum behaupten Sie eigentlich ständig Dinge, die Sie nicht nur nicht
beweisen können, sondern die zudem auch noch nachweisbar FALSCH sind?
Ich beweise meine Behauptung dadurch, dass keine definierbaren 1/n dem Nullpunkt nahe genug kommen um (0, 1] zu überdecken.

Gruß, WM
h***@gmail.com
2020-09-26 11:45:29 UTC
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Post by Ganzhinterseher
Post by Me
Post by Ganzhinterseher
Post by Me
Es ist also NICHT der Fall, dass
[0, 1] \ U{[1/(n+1),1/n] : n e IN} = {0} -> En e IN: ~Ex e IR+: 0 < x < 1/n)
gilt.
Du bringst wieder definierbare und dunkle Zahlen durcheinander.
Äh, nö,
Doch, Du bist nicht in der Lage Intervalle individuell zu definieren, die (0, 1] überdecken, aber Du behauptest, dass es sie gibt. Andererseits behauptest Du, dass zu jedem Endpunkt 1/n eine kleinere positive Irrationalzahl existiert. Für Intervalle, die (0, 1] überdecken, kann das nicht gelten, denn Irrationalzahlen, die kleiner als alle diese Endpunkte sind, existieren nicht.
Und schon wieder die Quantoren durcheinandergebracht, Herr Professor. Und dann entbloeden Sie sich nicht, von dunklen und undefinierbaren Zahlen zu schwafeln, und damit Ihren geistigen Wirrwarr noch zu vergroessern. Was Sie dieser Tage von sich geben, ist unter aller Sau.
Ganzhinterseher
2020-09-26 12:22:27 UTC
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Post by h***@gmail.com
Post by Ganzhinterseher
Post by Me
Post by Ganzhinterseher
Post by Me
Es ist also NICHT der Fall, dass
[0, 1] \ U{[1/(n+1),1/n] : n e IN} = {0} -> En e IN: ~Ex e IR+: 0 < x < 1/n)
gilt.
Du bringst wieder definierbare und dunkle Zahlen durcheinander.
Äh, nö,
Doch, Du bist nicht in der Lage Intervalle individuell zu definieren, die (0, 1] überdecken, aber Du behauptest, dass es sie gibt. Andererseits behauptest Du, dass zu jedem Endpunkt 1/n eine kleinere positive Irrationalzahl existiert. Für Intervalle, die (0, 1] überdecken, kann das nicht gelten, denn Irrationalzahlen, die kleiner als alle diese Endpunkte sind, existieren nicht.
Und schon wieder die Quantoren durcheinandergebracht,
Nein, es ist durchaus statthaft, von allen Endpunkten zu sprechen und festzustellen, dass sie der Null so nahe kommen, dass kein Punkt dazwischen passt. Vorausgesetzt natürlich, dass die Behauptung der Mengenlehre richtig ist, wonach das Intervall (0, 1] von den Intervallen [1/n, 1/(n-1)] vollständig überdeckt wird.

Dies Nahekommen gilt für irrationale Punkte des Intervalls (0, 1) nicht. Und für definierbare Intervalle gilt es auch nicht.

Gruß, WM
h***@gmail.com
2020-09-26 13:50:19 UTC
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Post by Ganzhinterseher
Post by h***@gmail.com
Post by Ganzhinterseher
Post by Me
Post by Ganzhinterseher
Post by Me
Es ist also NICHT der Fall, dass
[0, 1] \ U{[1/(n+1),1/n] : n e IN} = {0} -> En e IN: ~Ex e IR+: 0 < x < 1/n)
gilt.
Du bringst wieder definierbare und dunkle Zahlen durcheinander.
Äh, nö,
Doch, Du bist nicht in der Lage Intervalle individuell zu definieren, die (0, 1] überdecken, aber Du behauptest, dass es sie gibt. Andererseits behauptest Du, dass zu jedem Endpunkt 1/n eine kleinere positive Irrationalzahl existiert. Für Intervalle, die (0, 1] überdecken, kann das nicht gelten, denn Irrationalzahlen, die kleiner als alle diese Endpunkte sind, existieren nicht.
Und schon wieder die Quantoren durcheinandergebracht,
Nein, es ist durchaus statthaft, von allen Endpunkten zu sprechen und festzustellen, dass sie der Null so nahe kommen, dass kein Punkt dazwischen passt. Vorausgesetzt natürlich, dass die Behauptung der Mengenlehre richtig ist, wonach das Intervall (0, 1] von den Intervallen [1/n, 1/(n-1)] vollständig überdeckt wird.
Dies Nahekommen gilt für irrationale Punkte des Intervalls (0, 1) nicht.
Und schon wieder hast du die Quantoren vertauscht. Das geht bei dir so schnell, du merkst es nicht einmal. Das ist eine Geisteskrankheit bei dir.
Ganzhinterseher
2020-09-26 16:12:50 UTC
Permalink
Post by h***@gmail.com
Am Samstag, 26. September 2020 13:45:30 UTC+2 schrieb
Post by h***@gmail.com
Post by Ganzhinterseher
Doch, Du bist nicht in der Lage Intervalle individuell zu definieren, die (0, 1] überdecken, aber Du behauptest, dass es sie gibt. Andererseits behauptest Du, dass zu jedem Endpunkt 1/n eine kleinere positive Irrationalzahl existiert. Für Intervalle, die (0, 1] überdecken, kann das nicht gelten, denn Irrationalzahlen, die kleiner als alle diese Endpunkte sind, existieren nicht.
Und schon wieder die Quantoren durcheinandergebracht,
Nein, es ist durchaus statthaft, von allen Endpunkten zu sprechen und festzustellen, dass sie der Null so nahe kommen, dass kein Punkt dazwischen passt. Vorausgesetzt natürlich, dass die Behauptung der Mengenlehre richtig ist, wonach das Intervall (0, 1] von den Intervallen [1/n, 1/(n-1)] vollständig überdeckt wird.
Dies Nahekommen gilt für irrationale Punkte des Intervalls (0, 1) nicht.
Und schon wieder hast du die Quantoren vertauscht.
Ich sage: Keine positive Irrationalzahl ist kleiner als alle Endpunkte 1/n. Da alle Endpunkte als existent angenommen werden und auch erforderlich sind, um das Intervall (0, 1] überdecken, darf man wohl davon sprechen.

Gruß, WM
h***@gmail.com
2020-09-26 16:33:40 UTC
Permalink
Post by Ganzhinterseher
Post by h***@gmail.com
Am Samstag, 26. September 2020 13:45:30 UTC+2 schrieb
Post by h***@gmail.com
Post by Ganzhinterseher
Doch, Du bist nicht in der Lage Intervalle individuell zu definieren, die (0, 1] überdecken, aber Du behauptest, dass es sie gibt. Andererseits behauptest Du, dass zu jedem Endpunkt 1/n eine kleinere positive Irrationalzahl existiert. Für Intervalle, die (0, 1] überdecken, kann das nicht gelten, denn Irrationalzahlen, die kleiner als alle diese Endpunkte sind, existieren nicht.
Und schon wieder die Quantoren durcheinandergebracht,
Nein, es ist durchaus statthaft, von allen Endpunkten zu sprechen und festzustellen, dass sie der Null so nahe kommen, dass kein Punkt dazwischen passt. Vorausgesetzt natürlich, dass die Behauptung der Mengenlehre richtig ist, wonach das Intervall (0, 1] von den Intervallen [1/n, 1/(n-1)] vollständig überdeckt wird.
Dies Nahekommen gilt für irrationale Punkte des Intervalls (0, 1) nicht.
Und schon wieder hast du die Quantoren vertauscht.
Ich sage: Keine positive Irrationalzahl ist kleiner als alle Endpunkte 1/n. Da alle Endpunkte als existent angenommen werden und auch erforderlich sind, um das Intervall (0, 1] überdecken, darf man wohl davon sprechen.
Wenn, dann aber richtig. Aber das raffen Sie ja nicht mehr.

Zu jedem eps > 0 gibt es eine natuerliche Zahl n so, dass 0 < 1/(n+1) < eps.

Was selbstverstaendlich *NICHT* dasselbe ist wie Ihr Mist

Es gibt (muss geben) ein eps so dass fuer jede natuerliche Zahl n 0 < 1/n < eps.

Wie gesagt, den Unterschied koennen Sie ja nicht mehr begreifen.
Ganzhinterseher
2020-09-26 16:51:31 UTC
Permalink
Post by h***@gmail.com
Post by Ganzhinterseher
Ich sage: Keine positive Irrationalzahl ist kleiner als alle Endpunkte 1/n. Da alle Endpunkte als existent angenommen werden und auch erforderlich sind, um das Intervall (0, 1] überdecken, darf man wohl davon sprechen.
Zu jedem eps > 0 gibt es eine natuerliche Zahl n so, dass 0 < 1/(n+1) < eps.
Dieser Satz sagt nichts weiter aus, als dass zwischen 0 und jedem 1/n noch unendlich viele Punkte liegen. Es wird das Intervall (eps, 1] überdeckt, wobei zwischen eps und 0 unendlich viele Punkte liegen.


Wenn die 1/n aber das Intervall (0, 1] überdecken, so kommen sie nicht nur bis auf jedes eps an die 0 heran, sondern so nahe, dass kein einziger Punkt mehr dazwischen liegt.
Post by h***@gmail.com
Was selbstverstaendlich *NICHT* dasselbe ist wie Ihr Mist
Dieser Mist resultiert aus der Mengenlehre.
Post by h***@gmail.com
Es gibt (muss geben) ein eps so dass fuer jede natuerliche Zahl n 0 < 1/n < eps.
Nein, es gibt kein solches eps, weil jedes unendlich viele Punkte 1/n zwischen sich und 0 lässt. Aber alle diese Punkte werden durch Endpunkte 1/n überdeckt, wenn keine positiven übrig bleiben.

Gruß, WM
h***@gmail.com
2020-09-26 22:57:43 UTC
Permalink
Post by Ganzhinterseher
Post by h***@gmail.com
Post by Ganzhinterseher
Ich sage: Keine positive Irrationalzahl ist kleiner als alle Endpunkte 1/n. Da alle Endpunkte als existent angenommen werden und auch erforderlich sind, um das Intervall (0, 1] überdecken, darf man wohl davon sprechen.
Zu jedem eps > 0 gibt es eine natuerliche Zahl n so, dass 0 < 1/(n+1) < eps.
Dieser Satz sagt nichts weiter aus, als dass zwischen 0 und jedem 1/n noch unendlich viele Punkte liegen. Es wird das Intervall (eps, 1] überdeckt, wobei zwischen eps und 0 unendlich viele Punkte liegen.
Wenn die 1/n aber das Intervall (0, 1] überdecken, so kommen sie nicht nur bis auf jedes eps an die 0 heran, sondern so nahe, dass kein einziger Punkt mehr dazwischen liegt.
Post by h***@gmail.com
Was selbstverstaendlich *NICHT* dasselbe ist wie Ihr Mist
Dieser Mist resultiert aus der Mengenlehre.
Post by h***@gmail.com
Es gibt (muss geben) ein eps so dass fuer jede natuerliche Zahl n 0 < 1/n < eps.
Nein, es gibt kein solches eps, weil jedes unendlich viele Punkte 1/n zwischen sich und 0 lässt. Aber alle diese Punkte werden durch Endpunkte 1/n überdeckt, wenn keine positiven übrig bleiben.
Dieser Mist wurde selbstverstaendlich auf Ihrem Scheisshaus produziert. Aber eigentlich sind Sie sogar zum Scheissen zu bloed.
Juergen Ilse
2020-09-27 03:30:35 UTC
Permalink
Hallo,
Post by Ganzhinterseher
Ich sage: Keine positive Irrationalzahl ist kleiner als alle Endpunkte 1/n.
Und was soll das nun heissen?

Heisst es:

Niicht es gibt x element |R \ |Qi : fuer alle n element |N : x < 1/n

Diese Aussge waere richtig. Oder heisst es:

Fuer alle n element |N : nicht es gibt x element |R \ |Q : x < 1/n

Diese Aussage sieht zwar aehnlich aus, ist aber im Gegensatz zur vor-
hergehenden *falsch*. Man kann das ganze auch umkehren:

Fuer alle n element |N : es gibt x element |R \ |Q : x < 1/n

Diese Aussage ist richtig.

Es gibt x element |R \ |Q : fuer alle n element |N : x < 1/n

und diese Aussage ist falsch.

SIE wechseln dauernd zwischen beiden Aussagen, die sich in IHRE windigen
Formulierungen hineininterpretieren lassen, und jedesmal ist es eine
unzulaessige Quantoerenvertauschung, die den Wahrheitswert der Aussage
aendert ...
Post by Ganzhinterseher
Da alle Endpunkte als existent angenommen werden und auch erforderlich sind, um das Intervall (0, 1] überdecken, darf man wohl davon sprechen.
... und das "erfordern" ist hier wieder so eine windihge Formulierung, der
man keine eindeutige mathematische Bedeutung zuordnen kann. SIE merken noch
nicht einmal, was SIE fuer einen Dummfug faseln.

Tschuess,
Juergen Ilse (***@usenet-verwaltung.de)
Ganzhinterseher
2020-09-28 19:37:15 UTC
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Post by Juergen Ilse
Fuer alle n element |N : es gibt x element |R \ |Q : x < 1/n
Diese Aussage ist richtig.
Es gibt x element |R \ |Q : fuer alle n element |N : x < 1/n
und diese Aussage ist falsch.
SIE wechseln dauernd zwischen beiden Aussagen,
Ich geben nur folgendes zu bedenken: Wenn zu jedem Intervall [1/n, 1/(n-1)] für n = 2, 3, 4, ... ein positives x < 1/n existiert, dann kommt kein Endpunkt so nahe an die 0, dass nichts mehr dazwischen passt. Aber die Vereinigung aller Intervalle kommt so nahe heran. Enthält sie Punkte, die in keinem Intervall [1/n, 1/(n-1)] für n = 2, 3, 4, ... vorhanden sind? Oder wie wird die Lücke zur 0 geschlossen?

Gruß, WM
Juergen Ilse
2020-09-28 20:16:02 UTC
Permalink
Hallo,
Post by Ganzhinterseher
Ich geben nur folgendes zu bedenken: Wenn zu jedem Intervall [1/n, 1/(n-1)] für n = 2, 3, 4, ... ein positives x < 1/n existiert, dann kommt kein Endpunkt so nahe an die 0, dass nichts mehr dazwischen passt.
Die Punkte auf der Zahlengerade liegen dicht, dass heisst, dass es zwischen
je zwei verschiedenen Punkten auf der Zahlengeraden *immer* noch mindestens
einen Punkt dazwischen gibt. Daraus folgt, dass es keinen von 0 verschiedenen
Punkt geben kann, der "sodicht an der 0 dran liegt, dass nichts dazwischen
passt". Das SIE sich weigern, dass zu begreifen, aendert nichts daran, dass
es dennoch so ist ...
Post by Ganzhinterseher
Aber die Vereinigung aller Intervalle kommt so nahe heran. Enthält sie Punkte, die in keinem Intervall [1/n, 1/(n-1)] für n = 2, 3, 4, ... vorhanden sind?
Nein.
Post by Ganzhinterseher
Oder wie wird die Lücke zur 0 geschlossen?
Durch die (unendliche) Menge der Intervalle, deren linke Grenzen (die Glieder
der Folge a(n)=1/n der 0 beliebig nahe kommen ohne sie je zu erreichen, da 0
der Grenzwert dieser Folge ist). SIE sind einfach zu beschraeenkt fuer jede
Art von Mathematik, weil SIE sich selbst durch ihre von endlichen Mengen
inspirierten Vorstellungen selbst einschraenken, statt rein axiomatisch
zu folgern, wie es in der Mathematik angebracht ist.

Tschuess,
Juergen Ilse (***@usenet-verwaltung.de)
Ganzhinterseher
2020-09-29 09:58:23 UTC
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Post by Juergen Ilse
Hallo,
Post by Ganzhinterseher
Ich geben nur folgendes zu bedenken: Wenn zu jedem Intervall [1/n, 1/(n-1)] für n = 2, 3, 4, ... ein positives x < 1/n existiert, dann kommt kein Endpunkt so nahe an die 0, dass nichts mehr dazwischen passt.
Die Punkte auf der Zahlengerade liegen dicht, dass heisst, dass es zwischen
je zwei verschiedenen Punkten auf der Zahlengeraden *immer* noch mindestens
einen Punkt dazwischen gibt. Daraus folgt, dass es keinen von 0 verschiedenen
Punkt geben kann, der "sodicht an der 0 dran liegt, dass nichts dazwischen
passt". Das SIE sich weigern, dass zu begreifen, aendert nichts daran, dass
es dennoch so ist ...
Post by Ganzhinterseher
Aber die Vereinigung aller Intervalle kommt so nahe heran. Enthält sie Punkte, die in keinem Intervall [1/n, 1/(n-1)] für n = 2, 3, 4, ... vorhanden sind?
Nein.
Post by Ganzhinterseher
Oder wie wird die Lücke zur 0 geschlossen?
Durch die (unendliche) Menge der Intervalle
Nein, auch für die unendliche Menge, dass jeder Punkt aus der Vereinigung in mindestens einem der vereinigten Intervalle liegen muss.

Für die unendliche Menge der Intervalle gilt:

∀n ∈ ℕ: [1/n, 1] =/= (0, 1]
Post by Juergen Ilse
, deren linke Grenzen (die Glieder
der Folge a(n)=1/n der 0 beliebig nahe kommen ohne sie je zu erreichen, da 0
der Grenzwert dieser Folge ist).
Beliebig nahe bedeutet: Für jedes eps > 0 kann ein n gefunden werden, so dass der Abstand zwischen 0 und 1/n kleiner als eps ist. Das führt aber nicht zum Abstand 0. Der Abstand 0 wird nie erreicht, also von keiner der unendlich vielen natürlichen Zahlen. Deswegen muss der Glaube, (0, 1] enthielte nur Punkte, die auch in Intervallen [1/n, 1/(n+1)] auf Fanatismus oder Dummheit zurückgeführt werden. Ich bis sicher, dass kein Student und keine Studentin dieser Aussage widersprechen würde, solange sie noch noch im Vollbesitz ihrer geistigen Krafte sind und über über die Bedeutung des All-Quantors Bescheid wissen, zum Beispiel aus meinem Buch:"Mathematik für die ersten Semester", 4th ed., De Gruyter, Berlin (2015).
Post by Juergen Ilse
weil SIE sich selbst durch ihre von endlichen Mengen
inspirierten Vorstellungen selbst einschraenken, statt rein axiomatisch
zu folgern, wie es in der Mathematik angebracht ist.
Ich benutze den Allquantor, das Extensionalitätsaxiom und Axiom der Vereinigung.

Sets are completely defined by their elements.

For any set A there exists the union B = UA of all elements of A.

Merke: Alle Elemente von A. Wenn dort stets welche fehlen, dann kommen sie auch in der Vereinigung nicht vor.

Deine Behauptung steht also sogar im Widerspruch zur Mengenlehre.

Gruß, WM
Me
2020-09-29 10:16:24 UTC
Permalink
[...] Wenn dort stets welche fehlen, dann kommen sie auch in der Vereinigung
nicht vor.
Welches Element in (0, 1] ist den _nicht_ in mindestens einem Intervall der Form [1/n, 1] (mit n e IN) enthalten?
Ganzhinterseher
2020-09-29 11:10:09 UTC
Permalink
Post by Me
[...] Wenn dort stets welche fehlen, dann kommen sie auch in der Vereinigung
nicht vor.
Welches Element in (0, 1] ist den _nicht_ in mindestens einem Intervall der Form [1/n, 1] (mit n e IN) enthalten?
Was soll die Frage? Wenn jedem etwas fehlt, und zwar in der gleichen Richtung, dann fehlt allen etwas.

Aber die Unfähigkeit mathematisch zu denken und diesen Schluss zu ziehen ist wohl allen Matheologen antrainiert worden, selbst, wenn sie vorher noch denkfähig waren. Dafür haben sie die Fähigkeit erworben eklatante Widersprüche als Grundlage der Mathematik zu akzeptieren.

Aber ich kann auch eine direkte Antwort geben: Es fehlen die Elemente, die dichter an 0 liegen als alle Elemente definierbarer Intervalle. Und das sind unendlich viele.

Gruß, WM
h***@gmail.com
2020-09-29 12:52:08 UTC
Permalink
Post by Ganzhinterseher
Post by Me
[...] Wenn dort stets welche fehlen, dann kommen sie auch in der Vereinigung
nicht vor.
Welches Element in (0, 1] ist den _nicht_ in mindestens einem Intervall der Form [1/n, 1] (mit n e IN) enthalten?
Was soll die Frage? Wenn jedem etwas fehlt, und zwar in der gleichen Richtung, dann fehlt allen etwas.
Aber die Unfähigkeit mathematisch zu denken und diesen Schluss zu ziehen ist wohl allen Matheologen antrainiert worden, selbst, wenn sie vorher noch denkfähig waren. Dafür haben sie die Fähigkeit erworben eklatante Widersprüche als Grundlage der Mathematik zu akzeptieren.
Aber ich kann auch eine direkte Antwort geben: Es fehlen die Elemente, die dichter an 0 liegen als alle Elemente definierbarer Intervalle. Und das sind unendlich viele.
Du kannst doch nicht einmal erklaeren, welche natuerlichen Zahlen "definierbar" sind und welche nicht. Und kannst du ein "Element" (welcher Menge?) definieren, das "dichter an 0 lieg[t] als alle ... definierbare[n]" Reziproke 1/n? Dein ganzes Geschwurbel ist inkonsistent von vorne bis hinten.
Ganzhinterseher
2020-09-29 13:53:29 UTC
Permalink
Post by h***@gmail.com
Post by Ganzhinterseher
Aber ich kann auch eine direkte Antwort geben: Es fehlen die Elemente, die dichter an 0 liegen als alle Elemente definierbarer Intervalle. Und das sind unendlich viele.
Du kannst doch nicht einmal erklaeren, welche natuerlichen Zahlen "definierbar" sind und welche nicht.
Die Menge der definierbaren Zahlen ist potentiell unendlich. Es gibt keine größte, aber nach jeder folgen noch aleph_0 dunkle - falls es aleph_0 gibt.
Post by h***@gmail.com
Und kannst du ein "Element" (welcher Menge?) definieren, das "dichter an 0 lieg[t] als alle ... definierbare[n]" Reziproke 1/n?
Natürlich kann ich kein undefinierbares Element definieren. Aber aus der Endlichkeit aller definierten Elemente schließe ich, dass es unendlich viele undefinierte geben muss - falls aleph_0 existiert. Das ändert sich auch nicht durch weitere Definitionen. Deswegen sind aleph_0 Zahlen undefinierbar.
Post by h***@gmail.com
Dein ganzes Geschwurbel ist inkonsistent von vorne bis hinten.
Inkonsistent ist nur der folgende Satz, und zwar inkonsistent bis zur Schmerzhaftigkeit:

Allen Intervallen [1/n, oo] fehlen unendlich viele positive Punkte. Aber der Vereinigung dieser Intervalle fehlt kein einziger. Ich verstehe nicht, wie man diesen Satz behaupten kann. Und ich weiß, dass jeder nicht durch die Matheologie irregeführte Geist genau so denkt wie ich.

Gruß, WM
Me
2020-09-29 15:10:28 UTC
Permalink
Post by h***@gmail.com
Du kannst doch nicht einmal erklaeren, welche natuerlichen Zahlen
"definierbar" sind und welche nicht.
Die Menge der definierbaren Zahlen <blubber>
Sie haben wieder einmal /definierbar/ mit (in einem System, zu einem bestimmten "Zeitpunkt" explizit) /definiert/ verwechselt.

Vielleicht sollten Sie, bevor Sie sich sich weiter mit der "Mathematik" beschäftigen, Deutsch lernen?
Me
2020-09-29 15:20:11 UTC
Permalink
Post by Ganzhinterseher
Allen Intervallen [1/n, oo] fehlen unendlich viele positive Punkte. Aber der
Vereinigung dieser Intervalle fehlt kein einziger. Ich verstehe nicht, wie
man diesen Satz behaupten kann.
Dann denken Sie einfach mal DARÜBER nach:

Für _jedes_ x e (0, oo], also _jedes_ x e IR+, gibt es ein n e IN mit 1/n < x, also ein n e IN, so dass x e [1/n, oo] ist.

Mit anderen Worten, jeder Punkt aus IR+ ist in mindestens einem Intervall der Form [1/n, oo] (mit n e IN) enthalten.

Was ist daran so schwer zu verstehen?
Andreas Leitgeb
2020-09-30 14:10:47 UTC
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Post by Me
Was ist daran so schwer zu verstehen?
Es widerspricht halt einem von WMs Privat-Axiomen, wonach ja auch
der Durchschnitt aller Endabschnitte von |N nicht leer und dual
dazu die Vereinigung aller Anfangsabschnitte von |N nicht |N
sein "darf".

Ein "total schlüssiger Beweis" dafür ist ja auch nur eine kleine
Quantoren-vertauschung weit entfernt...
Me
2020-09-30 15:13:38 UTC
Permalink
Post by Andreas Leitgeb
Post by Me
Was ist daran so schwer zu verstehen?
Es widerspricht halt einem von WMs Privat-Axiomen, wonach ja auch
der Durchschnitt aller Endabschnitte von |N nicht leer und dual
dazu die Vereinigung aller Anfangsabschnitte von |N nicht |N
sein "darf".
Ein "total schlüssiger Beweis" dafür ist ja auch nur eine kleine
Quantoren-vertauschung weit entfernt...
:-)
Ganzhinterseher
2020-09-30 18:12:30 UTC
Permalink
Post by Andreas Leitgeb
Post by Me
Was ist daran so schwer zu verstehen?
Es widerspricht halt einem von WMs Privat-Axiomen, wonach ja auch
der Durchschnitt aller Endabschnitte von |N nicht leer und dual
dazu die Vereinigung aller Anfangsabschnitte von |N nicht |N
sein "darf".
Das ist kein Axiom, sondern eine einfache Anwendung der Mathematik: Jedes Glied der Folge
E(1) =/= { }
E(2) ∩ E(1) =/= { }
E(3) ∩ E(2) ∩ E(1) =/= { }
E(4) ∩ E(3) ∩ E(2) ∩ E(1) =/= { }
E(5) ∩ E(4) ∩ E(3) ∩ E(2) ∩ E(1) =/= { }
...
besitzt die KZ ℵo. Deswegen kann der Grenzwert nicht leer sein.
Post by Andreas Leitgeb
Ein "total schlüssiger Beweis" dafür ist ja auch nur eine kleine
Quantoren-vertauschung weit entfernt...
Es gibt keine Quantorenvertauschung, sondern es gilt für alle definierbaren Endsegmente

∀k ∈ ℕ_def: ∩{E(1), E(2), ..., E(k)} = E(k) /\ |E(k)| = ℵo .

Das ist der analoge Fall zu

∀n ∈ ℕ_def: [1/n, 1] =/= (0, 1] .

Nur sollte hier sogar ein Matheologe verstehen können, dass der Allquantor nur auf definierbare Zahlen anwendbar ist. Dagegen wird bei Voraussetzung der unendlichen Menge nicht auf Definierbarkeit geachtet:

∩{E(k) | k ∈ ℕ } = { }

und

U_(n ∈ ℕ) [1/n, 1] = (0, 1] .

Mit Quantorenvertauschungen hat das nichts zu tun. In beiden Fällen wird "alles" hergenommen.

Gruß, WM
Roalto
2020-09-29 16:50:20 UTC
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Post by Ganzhinterseher
Post by h***@gmail.com
Post by Ganzhinterseher
Aber ich kann auch eine direkte Antwort geben: Es fehlen die Elemente, die dichter an 0 liegen als alle Elemente definierbarer Intervalle. Und das sind unendlich viele.
Du kannst doch nicht einmal erklaeren, welche natuerlichen Zahlen "definierbar" sind und welche nicht.
Die Menge der definierbaren Zahlen ist potentiell unendlich. Es gibt keine größte, aber nach jeder folgen noch aleph_0 dunkle - falls es aleph_0 gibt.
Post by h***@gmail.com
Und kannst du ein "Element" (welcher Menge?) definieren, das "dichter an 0 lieg[t] als alle ... definierbare[n]" Reziproke 1/n?
Natürlich kann ich kein undefinierbares Element definieren. Aber aus der Endlichkeit aller definierten Elemente schließe ich, dass es unendlich viele undefinierte geben muss - falls aleph_0 existiert. Das ändert sich auch nicht durch weitere Definitionen. Deswegen sind aleph_0 Zahlen undefinierbar.
Post by h***@gmail.com
Dein ganzes Geschwurbel ist inkonsistent von vorne bis hinten.
Allen Intervallen [1/n, oo] fehlen unendlich viele positive Punkte. Aber der Vereinigung dieser Intervalle fehlt kein einziger. Ich verstehe nicht, wie man diesen Satz behaupten kann. Und ich weiß, dass jeder nicht durch die Matheologie irregeführte Geist genau so denkt wie ich.
Gruß, WM
Oh, Erleuchteter, wer denkt denn wie du? Die 2 Leute mussten sich deinen Scheiss wg. Creditpoints wohl anhören und die sind verschmerzbar. Man packt sie in die Phalanx der Aluhütchenträger. Kein richtiger Mathematiker identifiziert sich mit deinem Gepupse.
Viel Spass weiterhin
Roalto
h***@gmail.com
2020-09-29 17:06:17 UTC
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Post by Ganzhinterseher
Allen Intervallen [1/n, oo] fehlen unendlich viele positive Punkte. Aber der Vereinigung dieser Intervalle fehlt kein einziger. Ich verstehe nicht, wie man diesen Satz behaupten kann. Und ich weiß, dass jeder nicht durch die Matheologie irregeführte Geist genau so denkt wie ich.
Das sind nun drei Saetze, und es ist in der Tat schmerzhaft, diesen Senf auf einmal lesen zu muessen.
Ganzhinterseher
2020-09-29 21:08:05 UTC
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Post by h***@gmail.com
Post by Ganzhinterseher
Allen Intervallen [1/n, oo] fehlen unendlich viele positive Punkte. Aber der Vereinigung dieser Intervalle fehlt kein einziger. Ich verstehe nicht, wie man diesen Satz behaupten kann. Und ich weiß, dass jeder nicht durch die Matheologie irregeführte Geist genau so denkt wie ich.
Das sind nun drei Saetze, und es ist in der Tat schmerzhaft, diesen Senf auf einmal lesen zu muessen.
Du solltest lieber zu denken versuchen: Wenn

∀n ∈ ℕ: [1/n, 1] =/= (0, 1] (*)

und

U_(n ∈ ℕ) [1/n, 1] = (0, 1] (**)

beides gilt, dann müssen in (**) mehr Intervalle vereinigt sein als in (*). Welche sind das? In (*) sind doch schon alle.

Gruß, WM
Me
2020-09-29 21:17:27 UTC
Permalink
Post by Ganzhinterseher
Wenn
∀n ∈ ℕ: [1/n, 1] =/= (0, 1] (*)
und
U_(n ∈ ℕ) [1/n, 1] = (0, 1] (**)
beides gilt, dann müssen in (**) mehr Intervalle vereinigt sein als in (*).
"In" (*) sind gar kein Intervalle vereinigt. Es handelt sich um eine generalisierte Aussage, die für jedes Intervall [1/n, 1] mit n e IN besagt, dass dieses Intervall =/= (0, 1] ist.

Wie dumm kann/darf man eigentlich als Prof sein?
Ganzhinterseher
2020-09-30 10:42:28 UTC
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Post by Me
Post by Ganzhinterseher
Wenn
∀n ∈ ℕ: [1/n, 1] =/= (0, 1] (*)
und
U_(n ∈ ℕ) [1/n, 1] = (0, 1] (**)
beides gilt, dann müssen in (**) mehr Intervalle vereinigt sein als in (*).
"In" (*) sind gar kein Intervalle vereinigt.
beides gilt, dann müssen in (**) mehr Intervalle vereinigt sein als in (*) vorkommen.

Gruß, WM
Me
2020-09-30 12:40:52 UTC
Permalink
Post by Ganzhinterseher
Post by Me
Post by Ganzhinterseher
Wenn
∀n ∈ ℕ: [1/n, 1] =/= (0, 1] (*)
und
U_(n ∈ ℕ) [1/n, 1] = (0, 1] (**)
beides gilt, dann müssen in (**) mehr Intervalle vereinigt sein als in (*).
"In" (*) sind gar kein Intervalle vereinigt.
beides gilt, dann müssen in (**) mehr Intervalle vereinigt sein als in (*) vorkommen.
Das ist eher unwahrscheinlich, da im einen Fall eine (generalisierte) Aussage für alle Elemente der Menge {[1/n, 1] : n e IN} gemacht wird, und im anderen Fall die Elemente dieser Menge vereinigt werden. :-)

1. Ax e {[1/n, 1] : n e IN}: x =/= (0, 1]

und

2. U{[1/n, 1] : n e IN} = (0, 1] .

Davon mal abgesehen, "kommen in (*) keine Intervalle vor".
Ganzhinterseher
2020-09-30 18:28:07 UTC
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Post by Me
Post by Ganzhinterseher
Post by Ganzhinterseher
Wenn
∀n ∈ ℕ: [1/n, 1] =/= (0, 1] (*)
und
U_(n ∈ ℕ) [1/n, 1] = (0, 1] (**)
beides gilt, dann müssen in (**) mehr Intervalle vereinigt sein als in (*) vorkommen.
Das ist eher unwahrscheinlich,
Nein, das ist Fakt, denn im ersten Falle bleibt das Ergebnis kleiner als (0, 1], im zweiten Falle ist es genau (0, 1]. Aber auch im ersten Falle enthält jedes Intervall die Vereinigung aller Vorgänger. Würden also alle Intervalle vorkommen, so wäre dasselbe Ergebnis wie im zweiten Fall zu erwarten.
Post by Me
da im einen Fall eine (generalisierte) Aussage für alle Elemente der Menge {[1/n, 1] : n e IN} gemacht wird
die laut zweitem Fall angeblich (0, 1] überdecken.
Post by Me
, und im anderen Fall die Elemente dieser Menge vereinigt werden. :-)
Das geschieht auch im ersten Fall, denn jedes Intervall enthält die Vereinigung aller Vorgänger.
Post by Me
1. Ax e {[1/n, 1] : n e IN}: x =/= (0, 1]
und
2. U{[1/n, 1] : n e IN} = (0, 1] .
Davon mal abgesehen, "kommen in (*) keine Intervalle vor".
Was bedeutet denn [1/n, 1] dort ?

Gruß, WM
h***@gmail.com
2020-09-30 10:18:32 UTC
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Post by Ganzhinterseher
Post by h***@gmail.com
Post by Ganzhinterseher
Allen Intervallen [1/n, oo] fehlen unendlich viele positive Punkte. Aber der Vereinigung dieser Intervalle fehlt kein einziger. Ich verstehe nicht, wie man diesen Satz behaupten kann. Und ich weiß, dass jeder nicht durch die Matheologie irregeführte Geist genau so denkt wie ich.
Das sind nun drei Saetze, und es ist in der Tat schmerzhaft, diesen Senf auf einmal lesen zu muessen.
Du solltest lieber zu denken versuchen: Wenn
∀n ∈ ℕ: [1/n, 1] =/= (0, 1] (*)
und
U_(n ∈ ℕ) [1/n, 1] = (0, 1] (**)
beides gilt, dann müssen in (**) mehr Intervalle vereinigt sein als in (*). Welche sind das? In (*) sind doch schon alle.
Du hast wirklich nicht mehr alle Tassen im Schrank. Wieviele Intervalle denkst, werden in (*) vereinigt? Ich seh da keine Vereinigung, du etwa?
Ganzhinterseher
2020-09-30 10:41:38 UTC
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Post by h***@gmail.com
Post by Ganzhinterseher
Wenn
∀n ∈ ℕ: [1/n, 1] =/= (0, 1] (*)
und
U_(n ∈ ℕ) [1/n, 1] = (0, 1] (**)
beides gilt, dann müssen in (**) mehr Intervalle vereinigt sein als in (*). Welche sind das? In (*) sind doch schon alle.
Du hast wirklich nicht mehr alle Tassen im Schrank. Wieviele Intervalle denkst, werden in (*) vereinigt? Ich seh da keine Vereinigung, du etwa?
Deswegen, habe ich Verständnis vorausgesetzt. Aber es war zu kühn vermutet. Also hier der vollständige Satz:

Wenn ... beides gilt, dann müssen in (**) mehr Intervalle vereinigt sein als in (*) vorkommen.

Gruß, WM
h***@gmail.com
2020-09-30 11:57:19 UTC
Permalink
Post by Ganzhinterseher
Post by h***@gmail.com
Post by Ganzhinterseher
Wenn
∀n ∈ ℕ: [1/n, 1] =/= (0, 1] (*)
und
U_(n ∈ ℕ) [1/n, 1] = (0, 1] (**)
beides gilt, dann müssen in (**) mehr Intervalle vereinigt sein als in (*). Welche sind das? In (*) sind doch schon alle.
Du hast wirklich nicht mehr alle Tassen im Schrank. Wieviele Intervalle denkst, werden in (*) vereinigt? Ich seh da keine Vereinigung, du etwa?
Wenn ... beides gilt, dann müssen in (**) mehr Intervalle vereinigt sein als in (*) vorkommen.
Das ist natuerlich immer noch falsch. Von Grenzwerten, unendlichen Summen, unendlichen Vereinigungen, und ueberhaupt allem, was mit Unedlichkeit zusammenhaengst, hast du offensichtlich keinen Schimmer.
Ganzhinterseher
2020-09-30 18:31:51 UTC
Permalink
Post by h***@gmail.com
Post by Ganzhinterseher
Post by Ganzhinterseher
Wenn
∀n ∈ ℕ: [1/n, 1] =/= (0, 1] (*)
und
U_(n ∈ ℕ) [1/n, 1] = (0, 1] (**)
beides gilt, dann müssen in (**) mehr Intervalle vereinigt sein als in (*) vorkommen.
Das ist natuerlich immer noch falsch.
Es ist deswegen richtig, weil in beiden Fällen dieselben Vereinigungen stattfinden: Jedes Intervall enthält die Vereinigung aller seiner Vorgänger.
Post by h***@gmail.com
Von Grenzwerten, unendlichen Summen, unendlichen Vereinigungen,
Das ist hier beides identisch. Deswegen habe ich dieses Beispiel gewählt.

Gruß, WM
h***@gmail.com
2020-09-30 18:50:04 UTC
Permalink
Post by Ganzhinterseher
Post by h***@gmail.com
Post by Ganzhinterseher
Post by Ganzhinterseher
Wenn
∀n ∈ ℕ: [1/n, 1] =/= (0, 1] (*)
und
U_(n ∈ ℕ) [1/n, 1] = (0, 1] (**)
beides gilt, dann müssen in (**) mehr Intervalle vereinigt sein als in (*) vorkommen.
Das ist natuerlich immer noch falsch.
Es ist deswegen richtig, weil in beiden Fällen dieselben Vereinigungen stattfinden: Jedes Intervall enthält die Vereinigung aller seiner Vorgänger.
Schoen. Dann ist also

∀n ∈ ℕ: U_(k ∈ ℕ: k <= n) [1/n, 1] = [1/n, 1] =/= (0,1] (*')

Das ist immer noch himmelweit entfernt von

U_(n ∈ ℕ) [1/n, 1] = (0, 1] (**)

Als kleiner Hinweis: In (*') sieht man Vereinigungen ueber endliche Mengen, in (**) geht die Vereinigung ueber eine unendliche Menge. Das erfordert eine Grenzwertbetrachtung. Aber das kapierst du sowieso nicht mehr.
Me
2020-09-29 20:40:10 UTC
Permalink
Allen Intervallen [1/n, oo) fehlen unendlich viele positive Punkte. Aber der
Vereinigung dieser Intervalle fehlt kein einziger. Ich verstehe nicht, wie
man diesen Satz behaupten kann.
Dann denken Sie einfach mal DARÜBER nach:

Für _jedes_ x e (0, oo), also _jedes_ x e IR+, gibt es ein n e IN mit 1/n < x, also ein n e IN, so dass x e [1/n, oo) ist.

Mit anderen Worten, jeder Punkt aus IR+ ist in mindestens einem Intervall der Form [1/n, oo) (mit n e IN) enthalten. Also "fehlt in der Vereinigung aller Intervalle kein einziger Punkt aus IR+".

Was ist daran so schwer zu verstehen?
Me
2020-09-29 14:54:43 UTC
Permalink
Post by Ganzhinterseher
Post by Me
[...] Wenn dort stets welche fehlen, dann kommen sie auch in der
Vereinigung nicht vor.
Welches Element in (0, 1] ist den _nicht_ in mindestens einem Intervall
der Form [1/n, 1] (mit n e IN) enthalten?
[...]
Es fehlen die Elemente, die dichter an 0 liegen als alle Elemente
[mückenfizierbarer] Intervalle. Und das sind unendlich viele.
Das mag schon sein, aber /mückenfizierbare/ Intervalle interessieren hier nicht. Die Frage war:

| Welches Element in (0, 1] ist den _nicht_ in mindestens einem Intervall
| der Form [1/n, 1] (mit n e IN) enthalten?"

Falls die Frage Ihnen nicht präzise genug ist, hier etwas präziser gefragt:

Für welches Element x in (0, 1] gibt es _kein_ n e IN,
so dass x e [1/n, 1] ist?

Antwort: Es gibt kein solches Element in (0, 1].

DENN ES GILT:

Für alle x in (0, 1] gibt es ein n e IN, so dass x e [1/n, 1] ist.

Ein Beweis für diese Aussage wurde Ihnen hier schon gefühlte 100-mal gegeben.

Hinweis: Für jedes x e (0, 1], also jedes x e IR mit 0 < x <= 1, gibt es ein n e IN mit 0 < 1/n < x, also ein n e IN, so dass x e [1/n, 1] ist.

Siehe: https://en.wikipedia.org/wiki/Archimedean_property#Ordered_fields
Ganzhinterseher
2020-09-29 21:04:22 UTC
Permalink
Post by Me
Für welches Element x in (0, 1] gibt es _kein_ n e IN,
so dass x e [1/n, 1] ist?
Antwort: Es gibt kein solches Element in (0, 1].
Es gibt sogar unendlich viele solche reellen Zahlen x. Das korrespondiert zu den unendlich vielen noch undefinierten und größtenteils niemals definierten Stammbrüchen.
Post by Me
Für alle x in (0, 1] gibt es ein n e IN, so dass x e [1/n, 1] ist.
Für alle x, die man angeben kann, gilt das. Aber für unendlich viele gilt es nicht, denn ∀n ∈ ℕ_def: [1/n, 1] =/= (0, 1]
Post by Me
Ein Beweis für diese Aussage wurde Ihnen hier schon gefühlte 100-mal gegeben.
Hinweis: Für jedes x e (0, 1], also jedes x e IR mit 0 < x <= 1,
das man angeben kann
Post by Me
gibt es ein n e IN mit 0 < 1/n < x, also ein n e IN, so dass x e [1/n, 1] ist.
Trotzdem gilt

∀n ∈ ℕ_def: [1/n, 1] =/= (0, 1]
U_(n ∈ ℕ_def) [1/n, 1] =/= (0, 1]
U_(n ∈ ℕ) [1/n, 1] = (0, 1]

Gruß, WM
Me
2020-09-29 21:25:39 UTC
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Post by Ganzhinterseher
Für welches Element x in (0, 1] gibt es _kein_ n e IN, so dass
x e [1/n, 1] ist?
Antwort: Es gibt kein solches Element in (0, 1].
Es gibt sogar unendlich viele solche reellen Zahlen x.
Echt jetzt?

WER hätte das gedacht, wo doch gilt, dass

es für ALLE x in (0, 1] ein n e IN gibt, so dass x e [1/n, 1] ist.

Hinweis: Für jedes x e (0, 1], also jedes x e IR mit 0 < x <= 1, gibt es ein n e IN mit 1/n < x, also ein n e IN, so dass x e [1/n, 1] ist.

Siehe: https://en.wikipedia.org/wiki/Archimedean_property#Ordered_fields
Post by Ganzhinterseher
für unendlich viele [x] gilt es nicht.
Das sind schon bemerkenswerte Sachverhalte, die da in Ihrer Wahnwelt gelten, Mückenheim. Nur haben diese / hat diese nichts mit Mathematik zu tun.
Post by Ganzhinterseher
Trotzdem gilt
U_(n ∈ ℕ) [1/n, 1] = (0, 1]
Ach, jetzt gilt es plötzlich DOCH?

Ja, Sie haben schon Recht, Herr Professor Mückenheim:

"Was kümmert mich mein (törichtes) Geschwätz von gestern?"

(Konrad Adenauer)

Tatsächlich sagte er:

"Was kümmert mich mein Geschwätz von gestern, nichts hindert
mich daran weiser zu werden."
Me
2020-09-29 22:05:09 UTC
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Post by Me
Post by Ganzhinterseher
Trotzdem gilt
U_(n ∈ ℕ) [1/n, 1] = (0, 1]
Ach, jetzt gilt es plötzlich DOCH?
"Was kümmert mich mein Geschwätz von gestern?"
(Konrad Adenauer)
Ich möchte in diesem Zusammenhang noch einmal an das initiale Post in diesem Thread erinnern:

==============================================================

Herr Mückenheim vertritt die Meinung, dass

U{[1/(n+1),1/n] : n e IN} = (0,1]

nicht gelten kann:

"Obviously impossible."

(W. Mückenheim, sci.math)

Hier sein Beweis dafür:

"Würden die Intervalle mit rationalen Endpunkten alle außer 0 darstellen
[...], dann lägen zwei rationale Punkte unmittelbar zusammen. Wir sagen
auch: sie berühren sich. Das ist unmöglich. Dieser Beweis ist Mathematik."

(W. Mückenheim, de.sci.mathematik)

==============================================================
h***@gmail.com
2020-09-24 20:19:46 UTC
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Post by Ganzhinterseher
Post by Me
Ich warte auf den Beweis der Behauptung, dass
[0, 1] \ U{[1/(n+1),1/n] : n e IN} = {0}
Wenn die Wegnahme aller Intervalle [1/n, 1/(n-1)) nur den Nullpunkt, aber keine positive reelle Zahl übrig lässt, dann kann offenbar keine kleinere positive reelle Zahl existieren. Es ist ja nichts mehr übrig.
Post by Me
En e IN: ~Ex e IR+: 0 < x < 1/n
impliziert.
Die Existenz einer solchen natürlichen Zahl kann man nicht direkt beweisen, da sie dunkel ist. Beweis: alle nicht dunklen Zahlen lassen mehr als den Nullpunkt übrig.
Sehr gut geschlossen: Dunkle Zahlen existieren. Deshalb gibt es dunkle Zahlen. Hervorragend, Herr Professor. Bravo! Nur weiter so!
Ganzhinterseher
2020-09-24 20:42:16 UTC
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Post by h***@gmail.com
Post by Ganzhinterseher
Die Existenz einer solchen natürlichen Zahl kann man nicht direkt beweisen, da sie dunkel ist. Beweis: alle nicht dunklen Zahlen lassen mehr als den Nullpunkt übrig.
Sehr gut geschlossen: Dunkle Zahlen existieren. Deshalb gibt es dunkle Zahlen.
Nein. Der Schluss lautet: Für jede definierbare Zahl n ist 1/n weit vom Nullpunkt entfernt und alle definierbaren Intervalle [1/n, 1/(n-1)) reichen nicht hin, um die 0 zu isolieren.

Gruß, WM
Me
2020-09-25 01:06:17 UTC
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Für jede [Mückenheim-]Zahl n ist 1/n weit vom Nullpunkt entfernt und alle
[Mückenheim-]Intervalle [1/n, 1/(n-1)) reichen nicht hin, um die 0 zu
isolieren.
Das mag schon sein, Mückenheim. Nur interessieren wir uns hier weder für Mückenheim-Zahlen, noch Mückenheim-Intervalle, sondern nur für natürliche Zahlen n und reelle Intervalle der "Form" [1/n, 1/(n-1)) (wo n eine natürliche Zahl > 1 ist).

Wie weit ist eigentlich in der Mückenmatik "weit entfernt" entfernt? Mehr als 1 km?

In der Mathematik begnügt man sich mit der Feststellung, dass einerseits 1/n zwar immer (also für jedes n e IN) > also 0 ist, andererseits aber für jedes (noch so kleine) epsilon > 0 ein n e IN existiert, so dass 1/n < epsilon ist.

Daher kommen die Glieder der Folge (1/n)_(n e IN) der 0 "beliebig nahe" (wie man so sagt).

Des weiteren überdecken die Intervalle [1/n, 1/(n-1)) (mit n e IN\{1}) natürlich das Intervall (0, 1). Eben WEIL es zu jedem x e IR, 0 < x < 1 ein n e IN gibt, so dass x e [1/n, 1/(n-1)) ist. Die 0 jedoch ist für kein n e IN in [1/n, 1/(n-1)). D. h. [0, 1) wird von den Intervallen NICHT überdeckt. (mit anderen Worten, die (unendlich vielen) Intervalle "[1/n, 1/(n-1)) reichen [...] hin, um die 0 zu isolieren" (Mückensprech).

Ein vollständiger Beweis wurde hier schon einige Male gepostet, Mückenheim. (Studieren Sie ihn, lernen Sie etwas.)
Ganzhinterseher
2020-09-25 13:45:23 UTC
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Post by Me
Daher kommen die Glieder der Folge (1/n)_(n e IN) der 0 "beliebig nahe" (wie man so sagt).
Aber die definierbaren 1/n lassen immer unendlich viele Punkte übrig. Beliebig nahe ist niemals 0.
Post by Me
Des weiteren überdecken die Intervalle [1/n, 1/(n-1)) (mit n e IN\{1}) natürlich das Intervall (0, 1). Eben WEIL es zu jedem x e IR, 0 < x < 1 ein n e IN gibt, so dass x e [1/n, 1/(n-1)) ist.
Nein, diese Folgerung ist falsch. Jedes beliebig nahe x lässt unendlich viele Punkte zwischen sich und 0 übrig. Deswegen wird nicht das Intervall (0, 1] entfernt.
Post by Me
Die 0 jedoch ist für kein n e IN in [1/n, 1/(n-1)).
Aber von den dunklen n wird erwartet, dass sie jeden Punkt nördlich der Null entfernen, also einen haarscharfen Schnitt zustandebringen, so dass kein irrationaler Punkt mehr dazwischen Platz hat.
Post by Me
Ein vollständiger Beweis wurde hier schon einige Male gepostet,
Ich hoffe, dass Du den Unterschied zwischen "beliebig nahe kommen" und berühren verstanden hast.

Gruß, WM
h***@gmail.com
2020-09-25 14:03:42 UTC
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Post by Ganzhinterseher
Post by Me
Daher kommen die Glieder der Folge (1/n)_(n e IN) der 0 "beliebig nahe" (wie man so sagt).
Aber die definierbaren 1/n lassen immer unendlich viele Punkte übrig. Beliebig nahe ist niemals 0.
Das hat auch niemand behauptet, und genausowenig glaubt es irgend jemand, ausser anscheinend der grosse Herr Professor.
Post by Ganzhinterseher
Post by Me
Des weiteren überdecken die Intervalle [1/n, 1/(n-1)) (mit n e IN\{1}) natürlich das Intervall (0, 1). Eben WEIL es zu jedem x e IR, 0 < x < 1 ein n e IN gibt, so dass x e [1/n, 1/(n-1)) ist.
Nein, diese Folgerung ist falsch. Jedes beliebig nahe x lässt unendlich viele Punkte zwischen sich und 0 übrig. Deswegen wird nicht das Intervall (0, 1] entfernt.
Das hast du aber auch schon anders gewusst. Altersdemenz - offensichtlich!
Ganzhinterseher
2020-09-25 18:35:08 UTC
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Post by h***@gmail.com
Post by Ganzhinterseher
Post by Me
Daher kommen die Glieder der Folge (1/n)_(n e IN) der 0 "beliebig nahe" (wie man so sagt).
Aber die definierbaren 1/n lassen immer unendlich viele Punkte übrig. Beliebig nahe ist niemals 0.
Das hat auch niemand behauptet
Doch, denn sonst wäre auch die Vereinigung aller nicht das Intervall (0, 1].

Gruß, WM
Me
2020-09-25 21:33:15 UTC
Permalink
Post by Ganzhinterseher
die Glieder der Folge (1/n)_(n e IN) kommen der 0 "beliebig nahe"
Aber [...] beliebig nahe ist niemals 0.
Das hat auch niemand behauptet
Doch,
Nein. Jedenfalls NIEMAND AUSSER IHNEN, Mückenheim.
Post by Ganzhinterseher
denn sonst wäre auch die Vereinigung aller nicht das Intervall (0, 1].
Das ist nun IHRE BEHAUPTUNG und sie ist FALSCH.

Warum behaupten Sie eigentlich ständig Dinge, die Sie nicht nur nicht beweisen können, sondern die zudem auch noch nachweisbar FALSCH sind?

Witzig ist, dass "die Vereinigung aller das Intervall (0, 1] ist", eben WEIL die Glieder der Folge (1/n)_(n e IN) der 0 "beliebig nahe" kommen.
Ganzhinterseher
2020-09-26 11:39:47 UTC
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die Glieder der Folge (1/n)_(n e IN) kommen der 0 "beliebig nahe"
Aber [...] beliebig nahe ist niemals 0.
Das hat auch niemand behauptet
Doch,
Nein.
Ohne diese Eigenschaft, kann nicht das gesamte Intervall (0, 1] überdeckt werden.

Gruß, WM
h***@gmail.com
2020-09-26 11:50:59 UTC
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Post by Ganzhinterseher
die Glieder der Folge (1/n)_(n e IN) kommen der 0 "beliebig nahe"
Aber [...] beliebig nahe ist niemals 0.
Das hat auch niemand behauptet
Doch,
Nein.
Ohne diese Eigenschaft, kann nicht das gesamte Intervall (0, 1] überdeckt werden.
Ohne welche Eigenschaft? Dass 1/n = 0 sein muss falls n dunkel genug ist? Oh grosser Herr Professor, falls eine Zahl x gleich 0 ist, dann ist das Intervall [x,b] = [0,b]. Das heisst, eine Vereinigung, die [x,b] einschliesst, kann niemals (0,1] ergeben sondern (unter Umstaenden) [0,1]. Oder ist das die Definition von "Beruehren", die heute Morgen gilt?
Ganzhinterseher
2020-09-26 12:27:20 UTC
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Post by h***@gmail.com
Post by Ganzhinterseher
die Glieder der Folge (1/n)_(n e IN) kommen der 0 "beliebig nahe"
Aber [...] beliebig nahe ist niemals 0.
Das hat auch niemand behauptet
Doch,
Nein.
Ohne diese Eigenschaft, kann nicht das gesamte Intervall (0, 1] überdeckt werden.
Ohne welche Eigenschaft?
Ohne die Eigenschaft, der Null so nahe zu kommen, dass kein Punkt mehr dazwischen passt. Aus epsilons ist das nicht zu fo
Post by h***@gmail.com
Dass 1/n = 0 sein muss falls n dunkel genug ist?
Nein, dass die Vereinigung dieser Intervall keinen Punkt zwischen sich und 0 lässt.
Post by h***@gmail.com
Oh grosser Herr Professor, falls eine Zahl x gleich 0 ist, dann ist das Intervall [x,b] = [0,b]. Das heisst, eine Vereinigung, die [x,b] einschliesst, kann niemals (0,1] ergeben
Ich sagte auch nicht, dass 1/n = 0 möglich ist, aber nach Mengenlehre ist die Vereinigung aller Intervalle (0, 1], d.h., dass keine positive Zahl kleiner als mindestens ein Intervallende existiert.

Wie gesagt, für definierbare n gilt das nicht. Aber diese können auch nicht das Intervall (0, 1] überdecken, sondern für jedes beliebig kleine positive epsilon lediglich (eps, 1].

Gruß, WM
h***@gmail.com
2020-09-26 13:55:29 UTC
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Post by Ganzhinterseher
Post by h***@gmail.com
Post by Ganzhinterseher
die Glieder der Folge (1/n)_(n e IN) kommen der 0 "beliebig nahe"
Aber [...] beliebig nahe ist niemals 0.
Das hat auch niemand behauptet
Doch,
Nein.
Ohne diese Eigenschaft, kann nicht das gesamte Intervall (0, 1] überdeckt werden.
Ohne welche Eigenschaft?
Ohne die Eigenschaft, der Null so nahe zu kommen, dass kein Punkt mehr dazwischen passt. Aus epsilons ist das nicht zu fo
Post by h***@gmail.com
Dass 1/n = 0 sein muss falls n dunkel genug ist?
Nein, dass die Vereinigung dieser Intervall keinen Punkt zwischen sich und 0 lässt.
Post by h***@gmail.com
Oh grosser Herr Professor, falls eine Zahl x gleich 0 ist, dann ist das Intervall [x,b] = [0,b]. Das heisst, eine Vereinigung, die [x,b] einschliesst, kann niemals (0,1] ergeben
Ich sagte auch nicht, dass 1/n = 0 möglich ist, aber nach Mengenlehre ist die Vereinigung aller Intervalle (0, 1], d.h., dass keine positive Zahl kleiner als mindestens ein Intervallende existiert.
Wie gesagt, für definierbare n gilt das nicht. Aber diese können auch nicht das Intervall (0, 1] überdecken, sondern für jedes beliebig kleine positive epsilon lediglich (eps, 1].
Nachdem alle natuerlichen Zahlen nicht nur definierbar, sondern auch definiert sind, hast du selbstverstaendlich Unrecht.

Im Uebrigen hatten wir vereinbart, anstatt "definierbar" den Begriff "instantiiert" zu verwenden. Der ist zwar genauso irrelevant in ZFC, aber zumindest kommt er der Wirklichkeit naeher. Aber dein Gedaechtnis laesst anscheinend im gleiche Masse nach wie deine kognitiven Faehigkeiten.
Ganzhinterseher
2020-09-26 16:21:27 UTC
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Post by h***@gmail.com
Post by Ganzhinterseher
Ich sagte auch nicht, dass 1/n = 0 möglich ist, aber nach Mengenlehre ist die Vereinigung aller Intervalle (0, 1], d.h., dass keine positive Zahl kleiner als mindestens ein Intervallende existiert.
Wie gesagt, für definierbare n gilt das nicht. Aber diese können auch nicht das Intervall (0, 1] überdecken, sondern für jedes beliebig kleine positive epsilon lediglich (eps, 1].
Nachdem alle natuerlichen Zahlen nicht nur definierbar, sondern auch definiert sind, hast du selbstverstaendlich Unrecht.
Es geht nicht um die Definition der Menge, sondern um die individuelle Definition jeder einzelnen Zahl, zum Beispiel durch eine Ziffernfolge.
Post by h***@gmail.com
Im Uebrigen hatten wir vereinbart, anstatt "definierbar" den Begriff "instantiiert" zu verwenden.
Da Du der einzige bist, der dieses Wort wählte, ich aber allgemein verstanden werden möchte, bleibe ich bei "individuell definierbar".
Post by h***@gmail.com
Der ist zwar genauso irrelevant in ZFC, aber zumindest kommt er der Wirklichkeit naeher.
So? Leuchtet Dir wenigstens ein Schimmer dieser Wirklichkeit in Hirn? Bist Du noch nicht ganz verloren? "Instantiiert" beschreibt diese Wirklichkeit genau so gut. Alle individuell definierbaren Zahlen gehören zu Intervallen, die (0, 1] nicht vollständig überdecken. Das ist so offensichtlich, dass außer einigen Matheologen jeder es erkennt.

Gruß, WM
h***@gmail.com
2020-09-26 16:44:26 UTC
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Post by Ganzhinterseher
Post by h***@gmail.com
Post by Ganzhinterseher
Ich sagte auch nicht, dass 1/n = 0 möglich ist, aber nach Mengenlehre ist die Vereinigung aller Intervalle (0, 1], d.h., dass keine positive Zahl kleiner als mindestens ein Intervallende existiert.
Wie gesagt, für definierbare n gilt das nicht. Aber diese können auch
^^^^^^^^^^^^

nicht das Intervall (0, 1] überdecken, sondern für jedes beliebig kleine positive epsilon lediglich (eps, 1].
Post by Ganzhinterseher
Post by h***@gmail.com
Nachdem alle natuerlichen Zahlen nicht nur definierbar, sondern auch definiert sind, hast du selbstverstaendlich Unrecht.
Es geht nicht um die Definition der Menge, sondern um die individuelle Definition jeder einzelnen Zahl, zum Beispiel durch eine Ziffernfolge.
Post by h***@gmail.com
Im Uebrigen hatten wir vereinbart, anstatt "definierbar" den Begriff "instantiiert" zu verwenden.
Da Du der einzige bist, der dieses Wort wählte, ich aber allgemein verstanden werden möchte, bleibe ich bei "individuell definierbar".
Du mieser Wichser. Natuerlich bleibst du nicht bei "individuell definierbar", sondern laesst das "individuell" konsequent weg, wie zum Beispiel oben markiert. Es ist aber voellig unerheblich, wie du diese Zahlen charakterisierst, weil "individuell definierbar" natuerlich nicht in ZFC vorkommt.
Me
2020-09-26 16:47:07 UTC
Permalink
Post by Ganzhinterseher
Es geht nicht um die Definition der Menge, sondern um die individuelle
Definition jeder einzelnen Zahl, zum Beispiel durch eine Ziffernfolge.
Und warum soll das in irgend einer Form relevant sein, Mückenheim?

Hinweis:
An e IN: Am e IN: n + m = m + n
oder
An e IN: Em e IN: m > n
oder
An e IN: U{{n} : n e IN}

oder ... oder ... oder ...

gelten, OHNE dass dabei in irgend einer relevant ist, ob gewisse "Zahlen" nun "definiert" worden sind, oder nicht.

Letzteres ist allenfalls relevant, wenn man Aussagen über KONKRETE natürliche Zahlen treffen möchte, wie z. B.

1 + 2 = 3 ,

oder konkrete "Zahlen" (also Zahlzeichen für Zahlen) in den Aussagen auftreten, wie z. B. in

card({IN, IR}) = 2 ,

etc. Dabei lässt sich das bekanntlich auch vermeiden: Es ist wesentlich, dass in solchen Aussagen, die DEFINIERTEN Ausdrücke (Zahlzeichen) eliminiert werden können.

So kann man obige Aussagen auch so formulieren:

{{}} + {{}, {{}}} = {{}, {{}}, {{}, {{}}}} ,

card({IN, IR}) = {{}, {{}}} .

Und selbst die Verwendung der "{}" lässt sich vermeiden.

Noch eine letzte Anmerkung: Wäre es tatsächlich "mathematisch relevant", nat. Zahlen vorher zu "definieren" (also jeweils explizit mit einem Namen zu versehen und diese "Zuweisung" explizit hinzuschreiben), dann könnte man GAR KEINE allgemeinen Aussagen treffen, die ALLE nat. Zahlen betreffen, also Aussagen wie

An e IN Am e IN: n + m = m + n .

Wie dumm kann man eigentlich sein, Mückenheim?

Hat man Ihnen nie die Bedeutung von VARIABLEN beigebracht?
Me
2020-09-26 16:27:28 UTC
Permalink
Post by h***@gmail.com
Nachdem alle natuerlichen Zahlen nicht nur definierbar, sondern auch
definiert sind, <etc>
Wenn wir unter dem Mückenheimschen "Definieren" verstehen, eine natürliche Zahl explizit (_also durch Hinschreiben_), mit einen Namen zu "versehen", dann würde ich sagen, dass zwar alle natürlichen Zahlen (prinzipiell) /definierbar/, aber eben nur jeweils endliche viele (in einem bestimmten Kontext) (explizit) /definiert/ (worden) sind.

Natürlich ist das in keinster Weise relevant, wenn es um _allgemeine_ mathematische (also z. B. arithmetische oder mengentheoretische) Aussagen geht.

An e IN: ...n...

gilt oder gilt nicht, ganz egal ob ich irgendwelche der Zahlen in IN "definiert" habe oder nicht.

Andererseits setzt natürlich eine Behauptung wie

1 + 2 = 3 (*)

voraus, dass die Konstanten "1", "3", "3" definiert (worden) sind (falls sie nicht undefinierte Grundbegriffe der Theorie sind, in der wir arbeiten). Z. B. so:

1 := s(0)
2 := s(1)
3 := s(2) .

Damit lässt sich (*) im Kontext der Peano-Axiome sogar beweisen.
Post by h***@gmail.com
Im Uebrigen hatten wir vereinbart, anstatt "definierbar"
Ich glaube, Du meinst hier "definiert", nein? :-P
Post by h***@gmail.com
den Begriff "instantiiert" zu verwenden. Der ist zwar genauso irrelevant
in ZFC, aber zumindest kommt er der Wirklichkeit naeher. [...]
Ja, das klingt auch nicht schlecht. Aber man müsste wohl auch hier etwas genauer erklären, was damit genau gemeint ist.
h***@gmail.com
2020-09-26 16:39:47 UTC
Permalink
Post by Me
Post by h***@gmail.com
Nachdem alle natuerlichen Zahlen nicht nur definierbar, sondern auch
definiert sind, <etc>
Wenn wir unter dem Mückenheimschen "Definieren" verstehen, eine natürliche Zahl explizit (_also durch Hinschreiben_), mit einen Namen zu "versehen", dann würde ich sagen, dass zwar alle natürlichen Zahlen (prinzipiell) /definierbar/, aber eben nur jeweils endliche viele (in einem bestimmten Kontext) (explizit) /definiert/ (worden) sind.
Natürlich ist das in keinster Weise relevant, wenn es um _allgemeine_ mathematische (also z. B. arithmetische oder mengentheoretische) Aussagen geht.
An e IN: ...n...
gilt oder gilt nicht, ganz egal ob ich irgendwelche der Zahlen in IN "definiert" habe oder nicht.
Andererseits setzt natürlich eine Behauptung wie
1 + 2 = 3 (*)
1 := s(0)
2 := s(1)
3 := s(2) .
Damit lässt sich (*) im Kontext der Peano-Axiome sogar beweisen.
Post by h***@gmail.com
Im Uebrigen hatten wir vereinbart, anstatt "definierbar"
Ich glaube, Du meinst hier "definiert", nein? :-P
Post by h***@gmail.com
den Begriff "instantiiert" zu verwenden. Der ist zwar genauso irrelevant
in ZFC, aber zumindest kommt er der Wirklichkeit naeher. [...]
Ja, das klingt auch nicht schlecht. Aber man müsste wohl auch hier etwas genauer erklären, was damit genau gemeint ist.
Ich verwahre mich nur gegen Mueckenheims Verwendung des Begriffs "definiert" oder "definierbar", was er, soweit ich mich erinnere, in der Vergangenheit als synonym behandelte. Die natuerlichen Zahlen sind durch die Peanoaxiome definiert, und jede anderweitige Verwendung des Begriffs "definiert" ist in diesem Kontext unzulaessig.
Ganzhinterseher
2020-09-26 16:57:43 UTC
Permalink
Post by h***@gmail.com
Ich verwahre mich nur gegen Mueckenheims Verwendung des Begriffs "definiert" oder "definierbar", was er, soweit ich mich erinnere, in der Vergangenheit als synonym behandelte.
Nein. Die definierten Zahlen bilden eine potentiell unendliche Menge.
Die nicht definierten Zahlen sind also nicht fixiert. Undefinierte Zahlen können definiert werden.

Aber es bleiben immer unendlich viele Zahlen undefiniert. Also gibt es unendlich viele niemals definierte oder kurz undefinierbare Zahlen.

Gruß, WM
Me
2020-09-26 17:05:04 UTC
Permalink
Post by Ganzhinterseher
Also gibt es unendlich viele niemals definierte oder kurz undefinierbare
Zahlen.
Ah, wenn eine Frucht also noch nie von einem Menschen gegessen wurde (und nie gegessen werden wird), ist sie in der Mückenheimschen Wahnwelt nicht /essbar/?
Ganzhinterseher
2020-09-26 17:39:13 UTC
Permalink
Post by Ganzhinterseher
Also gibt es unendlich viele niemals definierte oder kurz undefinierbare
Zahlen.
Ah, wenn eine Frucht also noch nie von einem Menschen gegessen wurde (und nie gegessen werden wird), ist sie nicht /essbar/?
Richtig. Nicht essbar bedeutet hier, dass sie nicht gegessen werden kann. Es bedeutet nicht, dass sie giftig wäre.

Aber das ist ein nichtlineares Beispiel und kann leicht Verwirrung stiften. Bleiben wir lieber bei der Vereinigung der [1/n, 1/(n-1)] für n = 2, 3, 4, ..., die angeblich (0, 1] ist. Stimmt es, dass jeder positive Punkt damit überdeckt ist, also auch ein Punkt, zwischen dem und 0 kein weiterer Punkt liegt?

Welches Intervall der Form [1/n, 1/(n-1)] überdeckt diesen Punkt? Kannst Du es definieren?

Gruß, WM
Me
2020-09-26 18:48:23 UTC
Permalink
Post by Ganzhinterseher
Post by Me
Post by Ganzhinterseher
Also gibt es unendlich viele niemals definierte oder kurz undefinierbare
Zahlen.
Ah, wenn eine Frucht also noch nie von einem Menschen gegessen wurde (und
nie gegessen werden wird), ist sie nicht /essbar/?
Richtig. Nicht essbar bedeutet hier, dass sie nicht gegessen werden kann.
Du redest so viel Scheiße, dass man keine Lust mehr hat darauf einzugehen.

EOD
Roalto
2020-09-27 09:42:56 UTC
Permalink
Post by Ganzhinterseher
Post by Ganzhinterseher
Also gibt es unendlich viele niemals definierte oder kurz undefinierbare
Zahlen.
Ah, wenn eine Frucht also noch nie von einem Menschen gegessen wurde (und nie gegessen werden wird), ist sie nicht /essbar/?
Richtig. Nicht essbar bedeutet hier, dass sie nicht gegessen werden kann. Es bedeutet nicht, dass sie giftig wäre.
Aber das ist ein nichtlineares Beispiel und kann leicht Verwirrung stiften. Bleiben wir lieber bei der Vereinigung der [1/n, 1/(n-1)] für n = 2, 3, 4, ..., die angeblich (0, 1] ist. Stimmt es, dass jeder positive Punkt damit überdeckt ist, also auch ein Punkt, zwischen dem und 0 kein weiterer Punkt liegt?
Oh, Erleuchteter, was ist daran nichtlinear? Verwirrung vielleicht bei dir?
Viel Spass weiterhin
Roalto
Post by Ganzhinterseher
Welches Intervall der Form [1/n, 1/(n-1)] überdeckt diesen Punkt? Kannst Du es definieren?
[0,1]
Post by Ganzhinterseher
Gruß, WM
Andreas Leitgeb
2020-09-27 10:25:04 UTC
Permalink
Post by Ganzhinterseher
Bleiben wir lieber bei der Vereinigung der [1/n, 1/(n-1)]
für n = 2, 3, 4, ..., die angeblich (0, 1] ist.
Stimmt es, dass jeder positive Punkt damit überdeckt ist,
ja.
Post by Ganzhinterseher
also auch ein Punkt, zwischen dem und 0 kein weiterer Punkt liegt?
Der einzige solche Punkt ist 0 selber, der zählt aber nicht
als "positiv" und ist deswegen oben nicht berücksichtigt.

PS: nein, die 0 hat keinen "ersten Nachbarn", weder rational
noch irrational. Dein Ansatz, zwischen irgendeiner Zahl der
Form 1/n und der 0 genau nur noch *die eine* obligatorische
irrationale Zahl (die ja stets zwischen zwei rationalen Zahlen
existiert) vorzufinden, ist Unsinn. Wo auch immer du diese eine
irrationale Zahl vermutest, liegen auch noch unendlich viele
weitere rationale und irrationale Zahlen dazwischen, und von
denen wird wiederum eine jede noch von späteren Stammbrüchen
unterboten, von denen aber wiederum jede ihrerseits unendlich
viele rationale und irrationale Zahlen zwischen sich und der
0 hat.
Ganzhinterseher
2020-09-28 19:21:48 UTC
Permalink
Post by Andreas Leitgeb
PS: nein, die 0 hat keinen "ersten Nachbarn", weder rational
noch irrational.
Das ist sicher richtig. Aber: Wenn zu jedem Intervall [1/n, 1/(n-1)] für n = 2, 3, 4, ... eine irrationale Zahl existiert, die kleiner als der Endpunkt 1/n ist, dann lässt jedes solche Intervall einen endlichen Abstand eps zu 0.
Post by Andreas Leitgeb
Dein Ansatz, zwischen irgendeiner Zahl der
Form 1/n und der 0 genau nur noch *die eine* obligatorische
irrationale Zahl (die ja stets zwischen zwei rationalen Zahlen
existiert) vorzufinden, ist Unsinn.
Wo hätte ich diesen Ansatz gemacht?
Post by Andreas Leitgeb
Wo auch immer du diese eine
irrationale Zahl vermutest, liegen auch noch unendlich viele
weitere rationale und irrationale Zahlen dazwischen, und von
denen wird wiederum eine jede noch von späteren Stammbrüchen
unterboten, von denen aber wiederum jede ihrerseits unendlich
viele rationale und irrationale Zahlen zwischen sich und der
0 hat.
Richtig. Alles richtig. Kein Intervall reicht an die 0 heran.

Aber: Die Vereinigung der Intervalle ist (0, 1]. Enthält die Vereinigung Punkte, die nicht in mindestens einem Intervall vorkommen? Ist das mit ZFC verträglich?

Gruß, WM
Juergen Ilse
2020-09-28 20:20:35 UTC
Permalink
Hallo,
Post by Ganzhinterseher
Post by Andreas Leitgeb
PS: nein, die 0 hat keinen "ersten Nachbarn", weder rational
noch irrational.
Das ist sicher richtig. Aber: Wenn zu jedem Intervall [1/n, 1/(n-1)] für n = 2, 3, 4, ... eine irrationale Zahl existiert, die kleiner als der Endpunkt 1/n ist, dann lässt jedes solche Intervall einen endlichen Abstand eps zu 0.
Korrekt.Fuer die Vereinigung aller dieser Intervalle trifft das aber nicht
mehr zu. Ja, das ist so, und das geht nur deshalb, weil es unendlich viele
intervalle sind.
oDer Beweis wurde hier schon sooft genannt und von IHNEN ignoriert, dass man
nur zu dem einen Schluss kommen kann: SIE sind einfach zu daemlich fuer
echte Mathematik.

Tschuess,
Juegen Ilse (***@usenet-verwaltung.de)
Ganzhinterseher
2020-09-29 10:02:58 UTC
Permalink
Post by Ganzhinterseher
Wenn zu jedem Intervall [1/n, 1/(n-1)] für n = 2, 3, 4, ... eine irrationale Zahl existiert, die kleiner als der Endpunkt 1/n ist, dann lässt jedes solche Intervall einen endlichen Abstand eps zu 0.
Korrekt.Fuer die Vereinigung aller dieser Intervalle trifft das aber nicht
mehr zu. Ja, das ist so, und das geht nur deshalb, weil es unendlich viele
intervalle sind.
∀n ∈ ℕ, also für alle *unendlich* vielen Intervalle trifft es zu, dass eine kleinere, nicht überdeckte irrationale Zahl existiert, die natürlich auch kleiner als die vorhergehenden Endpunkte ist und somit kleiner als alle Endpunkte ist.

Gruß, WM
Roalto
2020-09-29 10:14:41 UTC
Permalink
Post by Ganzhinterseher
Post by Ganzhinterseher
Wenn zu jedem Intervall [1/n, 1/(n-1)] für n = 2, 3, 4, ... eine irrationale Zahl existiert, die kleiner als der Endpunkt 1/n ist, dann lässt jedes solche Intervall einen endlichen Abstand eps zu 0.
Korrekt.Fuer die Vereinigung aller dieser Intervalle trifft das aber nicht
mehr zu. Ja, das ist so, und das geht nur deshalb, weil es unendlich viele
intervalle sind.
∀n ∈ ℕ, also für alle *unendlich* vielen Intervalle trifft es zu, dass eine kleinere, nicht überdeckte irrationale Zahl existiert, die natürlich auch kleiner als die vorhergehenden Endpunkte ist und somit kleiner als alle Endpunkte ist.
Gruß, WM
Oh, Erleuchteter, betrachte doch mal diese Intervalle [1/(n*sqrt(2)),1/((n-1)*sqrt(2))]. Ist dann die kleinste Zahl Irrational? Was ist mit [1/(n+2),1/(n+1)]?
Fragen über Fragen und nur dümmliche Antworten!

Viel Spass weiterhin
Roalto
Andreas Leitgeb
2020-09-30 13:15:59 UTC
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Post by Ganzhinterseher
∀n ∈ ℕ, also für alle *unendlich* vielen Intervalle trifft es zu, dass eine
kleinere, nicht überdeckte irrationale Zahl existiert, die natürlich auch
kleiner als die vorhergehenden Endpunkte ist
Das "Problem" ist, dass diese "kleinere, nicht überdeckte, irrationale
Zahl" nicht einfach so existiert, sondern nur in Abhängigkeit von n
ausgesucht werden kann ...
Post by Ganzhinterseher
und somit kleiner als alle Endpunkte ist.
... und deswegen auch lediglich kleiner als alle 1/n' mit n' <= n, für
jenes n, für das das eps ausgesucht wurde. Eventuell auch noch für
ein paar weitere n'' > n, aber jedenfalls nur endlich viele solche n''

Um die Quantoren vertauschen zu können, dürfte das eps aber eben gar
nicht von n abhängig sein. Ein solches, von n unabhängiges eps>0
existiert aber nicht.
Ganzhinterseher
2020-09-30 17:26:28 UTC
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Post by Andreas Leitgeb
Post by Ganzhinterseher
∀n ∈ ℕ, also für alle *unendlich* vielen Intervalle trifft es zu, dass eine
kleinere, nicht überdeckte irrationale Zahl existiert, die natürlich auch
kleiner als die vorhergehenden Endpunkte ist
Das "Problem" ist, dass diese "kleinere, nicht überdeckte, irrationale
Zahl" nicht einfach so existiert, sondern nur in Abhängigkeit von n
ausgesucht werden kann ...
Das, was in der Vereingung ist, U_(n ∈ ℕ) [1/n, 1] = (0, 1]

kommt nicht vollständig unter

∀n ∈ ℕ: [1/n, 1] =/= (0, 1]

vor. Das ist unabhängig von n.
Post by Andreas Leitgeb
Post by Ganzhinterseher
und somit kleiner als alle Endpunkte ist.
Natürlich lässt sich die exakte Grenze nicht feststellen, aber fest und unabänderlich steht: es fehlen unendlich viele Stammbrüche.
Post by Andreas Leitgeb
... und deswegen auch lediglich kleiner als alle 1/n' mit n' <= n, für
jenes n, für das das eps ausgesucht wurde. Eventuell auch noch für
ein paar weitere n'' > n, aber jedenfalls nur endlich viele solche n''
Es fehlen stets unendlich viele Stammbrüche.
Es werden keine Quantoren vertauscht, sondern es wird lediglich die Frage gestellt: Was verursacht den Unterschied in der Vereinigung aller Intervalle (0, 1] und den unter dem Allquantor auftretenden Intervallen, wo immer unendlich viele Stammbrüche fehlen?

Gruß, WM
Andreas Leitgeb
2020-09-29 09:14:52 UTC
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Post by Ganzhinterseher
Post by Andreas Leitgeb
PS: nein, die 0 hat keinen "ersten Nachbarn", weder rational
noch irrational.
Das ist sicher richtig.
Aber: Wenn zu jedem Intervall [1/n, 1/(n-1)] für n = 2, 3, 4, ...
eine irrationale Zahl existiert, die kleiner als der Endpunkt 1/n ist,
dann lässt jedes solche Intervall einen endlichen Abstand eps zu 0.
Stelle es dir wie ein ewiges Katz' und Maus spiel vor:

Egal ob wir n mit 42 oder mit 10^10^10^42 beginnen lassen, die Situation
ist immer dieselbe:
a) zwischen 1/n und 0 liegen noch unendlich viele weitere Zahlen,
nennen wir eine davon "eps", also ist eps < 1/n .
b) Zu dem eps gibt es eine natürliche Zahl n', sodass 1/n' < eps ist.
c) nehme das n' aus b) als das neue n und setze bei a) fort.

Das hat kein Ende. Es ist daher nicht sinnvoll zu überlegen, ob nun das 1/n
oder das eps das letzte Wort hat - keines davon hat es. Das einzige, das
wir wissen, ist die Nicht-existenz eines eps > 0 unter dem dann nur noch
die 0 wäre, und die Nicht-existenz eines n, zu dem es kein eps < 1/n gäbe.

Dieses Wissen reicht aber, um sagen zu können, dass (0,1] die Vereinigung
der Intervalle [1/n,1/(n-1)], n>1, n e |N ist:
Die Vereinigung kann nicht die 0 enthalten, da diese ja in keinem der
Intervalle enthalten ist.
Jeder Versuch, die Vereinigung als (eps,1] anzusetzen, scheitert, da wir
wissen, dass es kein dafür geeignetes eps > 0 gibt, für das (eps,1]
nicht "fast alle" Stammbrüche aussen vor lassen würde.
Me
2020-09-29 09:45:44 UTC
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Das hat kein Ende. [...]
Interessant, dass Du das erwähnst. Nach langem Hin und Her hat jemand auf sci.logic in einem Post an WM geschrieben:

"You are having difficulties with _not ending_."

Ich schließe mich dieser Meinung an. (Vgl. mit Ralfs Hinweis auf Mückenheims "Unendlichkeits-Dyskalkulie").
Ganzhinterseher
2020-09-29 10:18:53 UTC
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Post by Andreas Leitgeb
Das hat kein Ende.
Das wäre potentielle Unendlichkeit. Aber laut Mengenlehre erzielt die Vereinigung aller Versager [1/n, 1] den vollen Erfolg (0, 1].

Das steht im Widerspruch zu den Axiomen über Extensionalität und Vereinigung.
Post by Andreas Leitgeb
Es ist daher nicht sinnvoll zu überlegen, ob nun das 1/n
oder das eps das letzte Wort hat - keines davon hat es.
Es gibt keine letztes Wort. Deswegen ist übrigens auch keine Irrationalzahl durch eine Ziffernfolge definierbare und 0,999... ist lediglich eine Ziffernfolge mit dem Grenzwert 1, aber nicht gleich 1.
Post by Andreas Leitgeb
Das einzige, das
wir wissen, ist die Nicht-existenz eines eps > 0 unter dem dann nur noch
die 0 wäre, und die Nicht-existenz eines n, zu dem es kein eps < 1/n gäbe.
Das ist ja auch für die potentielle Unendlichkeit kein Problem, aber für die Behauptung U[1/n, 1] = (0, 1].
Post by Andreas Leitgeb
Dieses Wissen reicht aber, um sagen zu können, dass (0,1] die Vereinigung
Nein, das würde erfordern, dass die Vereinigung Punkte enthält, die in keinem Intervalle vorkommen, denn da fehlen in jedem der vereinigten Intervalle unendlich viele Punkte.
Post by Andreas Leitgeb
Die Vereinigung kann nicht die 0 enthalten, da diese ja in keinem der
Intervalle enthalten ist.
Richtig.
Post by Andreas Leitgeb
Jeder Versuch, die Vereinigung als (eps,1] anzusetzen, scheitert, da wir
wissen, dass es kein dafür geeignetes eps > 0 gibt, für das (eps,1]
nicht "fast alle" Stammbrüche aussen vor lassen würde.
Das liegt daran, dass dieses eps keine Konstante, sondern durch die potentielle Unendlichkeit erzeugt ist.

Du bist immer noch nicht davon überzeugt, dass die größte Zahl n und die kleinste Zahl 1/n variabel sind?

Die weite Reise, welche Herbart seiner "wandelbaren Grenze" vorschreibt, ist eingestandenermaßen nicht auf einen endlichen Weg beschränkt; so muß denn ihr Weg ein unendlicher, und zwar, weil er seinerseits nichts Wandelndes, sondern überall fest ist, ein aktualunendlicher Weg sein. (Cantor)

Das ist falsch. Es muss kein Weg vorhanden sein, wo man entlang geht. (Stichwort Rakete, die Cantor noch nicht kannte.) Es kann keiner vorhanden sein. Der Widerspruch
∀n ∈ ℕ: [1/n, 1] =/= (0, 1] und U[1/n, 1] = (0, 1] zeigt das in eklatanter Weise.

Gruß, WM
Me
2020-09-29 10:56:26 UTC
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Post by Ganzhinterseher
Post by Andreas Leitgeb
Das hat kein Ende.
Das wäre potentielle Unendlichkeit.
Nein, das ist _aktualle_ Unendlichkeit (weil hier kein Prozess beschrieben wird, sondern ein "statischer Sachverhalt").

Potentielle Unendlichkeit wäre z. B.: "immer endlich", aber "unbegrenzt vergrößerbar".
Post by Ganzhinterseher
laut Mengenlehre [ist] die Vereinigung aller [Intervalle] [1/n, 1]
[gleich] (0, 1].
So ist es.
Post by Ganzhinterseher
Das steht im Widerspruch zu den Axiomen über Extensionalität und Vereinigung.
Nö.

IM GEGENTEIL: Das FOLGT logisch (u.a.) aus diesen Axiomen (und ein paar Definitionen).

Ich denke, ein entsprechender Beweis wurde hier schon einige Male gepostet. Vermutlich sind Sie einfach zu blöde, um einen mengentheoretischen Beweis als solchen zu erkennen (von "verstehen" wollen wir gar nicht erst reden).
Post by Ganzhinterseher
Post by Andreas Leitgeb
0,999... ist [...] nicht gleich 1.
Doch, doch. Es gilt:

0.999... = 1 .

Siehe: https://de.wikipedia.org/wiki/0,999...
und: https://en.wikipedia.org/wiki/0.999...
Post by Ganzhinterseher
Post by Andreas Leitgeb
Dieses Wissen reicht aber, um sagen zu können, dass (0,1] die Vereinigung
der Intervalle [1/n,1/(n-1)], n>1, n e IN ist
Jep.
Post by Ganzhinterseher
Nein,
Doch, doch.
Post by Ganzhinterseher
das würde erfordern, dass die Vereinigung Punkte enthält, die in keinem
Intervalle vorkommen
Nö, das würde es nicht erfordern.
Post by Ganzhinterseher
da fehlen in jedem der vereinigten Intervalle unendlich viele Punkte.
Richtig. Aber nicht immer dieselben.
Post by Ganzhinterseher
Post by Andreas Leitgeb
Jeder Versuch, die Vereinigung als (eps,1]
mit eps > 0
Post by Ganzhinterseher
Post by Andreas Leitgeb
anzusetzen, scheitert, da [....] es kein [...] eps > 0 gibt, für das
(eps,1] nicht "fast alle" Stammbrüche außen vor lassen würde.
Das liegt daran <blubber>
Es ist so.
Post by Ganzhinterseher
∀n ∈ ℕ: [1/n, 1] =/= (0, 1]
und
U{[1/n, 1] : n e IN} = (0, 1]
Genau!

Haben Sie eigentlich jemals (wenigstens VERSUCHT, eine mengentheoretische Aussage (wie z. B. U{[1/n, 1] : n e IN} = (0, 1]) zu beweisen, Mückenheim? Tatsächlich wäre das das Verständnis dieser dich etwas "abstrakten" Sachverhalte fordern.

Fragen Sie doch mal Ihre Studenten, vielleicht ist da ja jemand dabei, der das kann?
Me
2020-09-29 11:02:53 UTC
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Post by Ganzhinterseher
Post by Andreas Leitgeb
Das hat kein Ende.
Das wäre potentielle Unendlichkeit.
Nein, das ist _aktualle_ Unendlichkeit (weil hier kein Prozess beschrieben wird, sondern ein "statischer Sachverhalt").

Potentielle Unendlichkeit wäre z. B.: "immer endlich", aber "unbegrenzt vergrößerbar".
Post by Ganzhinterseher
laut Mengenlehre [ist] die Vereinigung aller [Intervalle] [1/n, 1]
[gleich] (0, 1].
So ist es.
Post by Ganzhinterseher
Das steht im Widerspruch zu den Axiomen über Extensionalität und Vereinigung.
Nö.

IM GEGENTEIL: Das FOLGT logisch (u.a.) aus diesen Axiomen (und ein paar Definitionen).

Ich denke, ein entsprechender Beweis wurde hier schon einige Male gepostet. Vermutlich sind Sie einfach zu blöde, um einen mengentheoretischen Beweis als solchen zu erkennen (von "verstehen" wollen wir hier gar nicht erst reden).
Post by Ganzhinterseher
Post by Andreas Leitgeb
0,999... ist [...] nicht gleich 1.
Doch, doch. Es gilt:

0.999... = 1 .

Siehe: https://de.wikipedia.org/wiki/0,999...
und: https://en.wikipedia.org/wiki/0.999...
Post by Ganzhinterseher
Post by Andreas Leitgeb
Dieses Wissen reicht aber, um sagen zu können, dass (0,1] die Vereinigung
der Intervalle [1/n,1/(n-1)], n>1, n e IN ist
Jep.
Post by Ganzhinterseher
Nein,
Doch, doch.
Post by Ganzhinterseher
das würde erfordern, dass die Vereinigung Punkte enthält, die in keinem
Intervalle vorkommen
Nö, das würde es nicht erfordern.
Post by Ganzhinterseher
da fehlen in jedem der vereinigten Intervalle unendlich viele Punkte.
Richtig. Aber nicht immer dieselben.
Post by Ganzhinterseher
Post by Andreas Leitgeb
Jeder Versuch, die Vereinigung als (eps,1]
mit eps > 0
Post by Ganzhinterseher
Post by Andreas Leitgeb
anzusetzen, scheitert, da [....] es kein [...] eps > 0 gibt, für das
(eps,1] nicht "fast alle" Stammbrüche außen vor lassen würde.
Das liegt daran <blubber>
Es ist so.
Post by Ganzhinterseher
An e IN: [1/n, 1] =/= (0, 1]
und
U{[1/n, 1] : n e IN} = (0, 1]
Genau!

Haben Sie eigentlich jemals (wenigstens) VERSUCHT, eine mengentheoretische Aussage (wie z. B. U{[1/n, 1] : n e IN} = (0, 1]) zu beweisen, Mückenheim? Tatsächlich würde das m. E. das Verständnis dieser doch etwas "abstrakten" Sachverhalte fördern.

Fragen Sie doch mal Ihre Studenten, vielleicht ist da ja jemand dabei, der das kann?
Ganzhinterseher
2020-09-29 11:20:03 UTC
Permalink
Post by Ganzhinterseher
An e IN: [1/n, 1] =/= (0, 1]
und
U{[1/n, 1] : n e IN} = (0, 1]
Haben Sie eigentlich jemals (wenigstens) VERSUCHT, eine mengentheoretische Aussage (wie z. B. U{[1/n, 1] : n e IN} = (0, 1]) zu beweisen
Da diese Aussage bekannt und bewiesen ist, wäre ein weiterer Beweis sinnlos. Doch kann ich beweisen, dass diese Aussage falsch ist, was die Inkonsistenz der Mengenlehre zeigt - jedenfalls bei Ausschluss dunkler Zahlen.

Wenn für alle unendlich vielen definierbaren natürlichen Zahlen die erste Aussage gilt, dann kann die zweite nicht ebenfalls gelten, denn das Argument dafür lautet ja, dass jede endliche Menge nicht ausreicht. Jede definierbare endliche Zahl gehört aber zu einem definierbaren endlichen Anfangsabschnitt. Das uuuuunendliche danach, ist eben leider nicht definierbar.

Gruß, WM
Roalto
2020-09-29 12:39:25 UTC
Permalink
Post by Ganzhinterseher
Post by Ganzhinterseher
An e IN: [1/n, 1] =/= (0, 1]
und
U{[1/n, 1] : n e IN} = (0, 1]
Haben Sie eigentlich jemals (wenigstens) VERSUCHT, eine mengentheoretische Aussage (wie z. B. U{[1/n, 1] : n e IN} = (0, 1]) zu beweisen
Da diese Aussage bekannt und bewiesen ist, wäre ein weiterer Beweis sinnlos. Doch kann ich beweisen, dass diese Aussage falsch ist, was die Inkonsistenz der Mengenlehre zeigt - jedenfalls bei Ausschluss dunkler Zahlen.
Oh, Erleuchteter, nichts mehr auf der Pfanne? Müssen jetzt wieder dunkle Zahlen herhalten? Wie erbärmlich!!
Viel Spass weiterhin
Roalto
Post by Ganzhinterseher
Wenn für alle unendlich vielen definierbaren natürlichen Zahlen die erste Aussage gilt, dann kann die zweite nicht ebenfalls gelten, denn das Argument dafür lautet ja, dass jede endliche Menge nicht ausreicht. Jede definierbare endliche Zahl gehört aber zu einem definierbaren endlichen Anfangsabschnitt. Das uuuuunendliche danach, ist eben leider nicht definierbar.
Gruß, WM
Juergen Ilse
2020-09-27 17:06:12 UTC
Permalink
Hallo,
Post by Ganzhinterseher
Post by Ganzhinterseher
Also gibt es unendlich viele niemals definierte oder kurz undefinierbare
Zahlen.
Ah, wenn eine Frucht also noch nie von einem Menschen gegessen wurde (und nie gegessen werden wird), ist sie nicht /essbar/?
Richtig. Nicht essbar bedeutet hier, dass sie nicht gegessen werden kann. Es bedeutet nicht, dass sie giftig wäre.
Eigerntlich haben SIE mit dieser Bemerkung die Existenz von "aktualer
Unendlichkeit" bewiesen, denn nach dieser Bemerkung mudd IHRE mathematische
Unfaehigkeit zweifellos "aktual unendlich" sein ...
Post by Ganzhinterseher
Aber das ist ein nichtlineares Beispiel und kann leicht Verwirrung stiften. Bleiben wir lieber bei der Vereinigung der [1/n, 1/(n-1)] für n = 2, 3, 4, ..., die angeblich (0, 1] ist.
Nicht nur angeblich sondern beweisbar.
Post by Ganzhinterseher
Stimmt es, dass jeder positive Punkt damit überdeckt ist, also auch ein Punkt, zwischen dem und 0 kein weiterer Punkt liegt?
Es git keinen solchen Punkt, da fuer jede positive (und daher von 0 ver-
shciedene) Zahl eps die Differenz zwischen 0 und eps halbiert (durch 2
geteilt) werden kann, und die so erhaltene Zahl einem Punkt auf dem Zahlen-
strahl der nicht negativen reellen Zahlen entspricht, der zwischen eps und
0 liegt ...
Post by Ganzhinterseher
Welches Intervall der Form [1/n, 1/(n-1)] überdeckt diesen Punkt?
Da ein solcher Punkt nicht existiert, eruebrigt sich diese Frage. Sie ist
komplett unsinnig.

Tschuess,
Juergen Ilse (***@usenet-verwaltung.de)
Roalto
2020-09-27 18:55:55 UTC
Permalink
Post by Ganzhinterseher
Post by Ganzhinterseher
Also gibt es unendlich viele niemals definierte oder kurz undefinierbare
Zahlen.
Ah, wenn eine Frucht also noch nie von einem Menschen gegessen wurde (und nie gegessen werden wird), ist sie nicht /essbar/?
Richtig. Nicht essbar bedeutet hier, dass sie nicht gegessen werden kann. Es bedeutet nicht, dass sie giftig wäre.
Aber das ist ein nichtlineares Beispiel und kann leicht Verwirrung stiften. Bleiben wir lieber bei der Vereinigung der [1/n, 1/(n-1)] für n = 2, 3, 4, ..., die angeblich (0, 1] ist. Stimmt es, dass jeder positive Punkt damit überdeckt ist, also auch ein Punkt, zwischen dem und 0 kein weiterer Punkt liegt?
Welches Intervall der Form [1/n, 1/(n-1)] überdeckt diesen Punkt? Kannst Du es definieren?
Gruß, WM
Oh, Erleuchteter, ich hab noch ein paar Fragen. Kann eine dunkle Zahl Grenzwert einer hellen Zahlenfolge sein? Gibt es gemischte Zahlenfolgen, also dunkleTeile und helle Teile
in einer Zahlenfolge? Gilt das auch für Häufungspunkte, oder nur für Grenzwerte? Fragen über Fragen!

Viel Spass weiterhin
Roalto
Ganzhinterseher
2020-09-28 19:25:34 UTC
Permalink
Post by Roalto
Kann eine dunkle Zahl Grenzwert einer hellen Zahlenfolge sein?
Nein. Der Grenzwert einer Folge definierter Zahlen ist definiert.
Post by Roalto
Gibt es gemischte Zahlenfolgen, also dunkleTeile und helle Teile
in einer Zahlenfolge?
Sicherlich. Betrachte nur die Folge 1, 2, 3, ... in den reellen Zahlen. Zwischen den natürlichen Zahlen liegen ganz viele dunkle.

Gruß, WM
Me
2020-09-26 17:00:23 UTC
Permalink
Post by h***@gmail.com
Ich verwahre mich nur gegen Mueckenheims Verwendung des Begriffs "definiert"
oder "definierbar",
Verständlich. Da er selbst kaum sage kann, was er damit eigentlich meint.
Post by h***@gmail.com
was er, soweit ich mich erinnere, in der Vergangenheit als synonym
behandelte.
Ja, das kommt noch dazu. Mückenheim geht offenbar davon aus, dass alles was _essbar_ ist damit auch schon _gegessen_ ist/wurde.
Post by h***@gmail.com
Die natuerlichen Zahlen sind durch die Peanoaxiome definiert, und
Das wiederum würde *ich* z. B. auch nicht sagen wollen. Ich würde vorziehen zu sagen, dass die Peano-Axiome die nat. Zahlen "charakterisieren". (Aber da die entsprechenden Modelle isomorph sind, wird man wohl auch von "definiert" sprechen können.)
Ganzhinterseher
2020-09-26 16:54:01 UTC
Permalink
Post by Me
Post by h***@gmail.com
Nachdem alle natuerlichen Zahlen nicht nur definierbar, sondern auch
definiert sind, <etc>
Wenn wir unter dem Mückenheimschen "Definieren" verstehen, eine natürliche Zahl explizit (_also durch Hinschreiben_), mit einen Namen zu "versehen", dann würde ich sagen, dass zwar alle natürlichen Zahlen (prinzipiell) /definierbar/, aber eben nur jeweils endliche viele (in einem bestimmten Kontext) (explizit) /definiert/ (worden) sind.
Da dies für jeden Kontext gilt, können wir sagen, dass in jedem Kontext nur endlich viele Zahlen definierbar sind. Die übrigen aleph_0 Zahlen sind also in jedem Kontext undefinierbar.

Gruß, WM
Me
2020-09-26 18:52:46 UTC
Permalink
Da <blubber>
Da es keine unendlichen natürlichen Zahlen gibt, ist JEDE natürliche Zahl (prinzipiell) /definierbar/.

Du bist einfach zu blöde für Mathematik, Mückenheim.
Juergen Ilse
2020-09-26 01:25:21 UTC
Permalink
Hallo,
Post by Ganzhinterseher
Doch, denn sonst wäre auch die Vereinigung aller nicht das Intervall (0, 1].
Voelliger Schwachsinn. Die Folge a(n)=1/n ist eine Nullfolge,oder wollen
SIE das etwa bestreiten? Wenn das eine Nullfolge ist, bedeutet das (so ist
die Definition einer Nullfolge): Fuer alle epsilon > 0 gibt es ein n0 element
|N mit n>n0 -> a(n)=1/n < epsilon. Da das fuer *jedes* epsilon groesser 0 gilt,
liegt jedes epsilon > 0 in einem Intervall der Form [1/n;1/(n-1)] mit n>1.
Daraus folgt unmittelbar, dass die Vereinigung aller Intervalle dieser Form
gleich demhalboffenen Intervall ]0;1] sein muss.

Tschuess,
Juergen Ilse (***@usenet-verwaltung.de)
Ganzhinterseher
2020-09-26 11:44:25 UTC
Permalink
Post by Juergen Ilse
Hallo,
Post by Ganzhinterseher
Doch, denn sonst wäre auch die Vereinigung aller nicht das Intervall (0, 1].
Die Folge a(n)=1/n ist eine Nullfolge,oder wollen
SIE das etwa bestreiten?
Nein, aber der Grenzwert wird von individuell definierbaren Folgengliedern nicht erreicht.
Post by Juergen Ilse
Wenn das eine Nullfolge ist, bedeutet das (so ist
die Definition einer Nullfolge): Fuer alle epsilon > 0 gibt es ein n0 element
|N mit n>n0 -> a(n)=1/n < epsilon. Da das fuer *jedes* epsilon groesser 0 gilt,
liegt jedes epsilon > 0 in einem Intervall der Form [1/n;1/(n-1)] mit n>1.
Daraus folgt unmittelbar, dass die Vereinigung aller Intervalle dieser Form
gleich demhalboffenen Intervall ]0;1] sein muss.
Nein, das folgt eben nicht. Denn jedes eps lässt not unendlich viele Punkte zwischen 1/n und 0 übrig.

Der Grenzwert wird allenfalls von dunklen Folgengliedern erreicht. Deswegen können die individuell definierbaren Intervall nicht (0, 1] überdecken. Versuche doch einfach, diese Aussage zu widerlegen.

Gruß, WM
Roalto
2020-09-27 09:19:56 UTC
Permalink
Post by Ganzhinterseher
Post by Juergen Ilse
Hallo,
Post by Ganzhinterseher
Doch, denn sonst wäre auch die Vereinigung aller nicht das Intervall (0, 1].
Die Folge a(n)=1/n ist eine Nullfolge,oder wollen
SIE das etwa bestreiten?
Nein, aber der Grenzwert wird von individuell definierbaren Folgengliedern nicht erreicht.
Post by Juergen Ilse
Wenn das eine Nullfolge ist, bedeutet das (so ist
die Definition einer Nullfolge): Fuer alle epsilon > 0 gibt es ein n0 element
|N mit n>n0 -> a(n)=1/n < epsilon. Da das fuer *jedes* epsilon groesser 0 gilt,
liegt jedes epsilon > 0 in einem Intervall der Form [1/n;1/(n-1)] mit n>1.
Daraus folgt unmittelbar, dass die Vereinigung aller Intervalle dieser Form
gleich demhalboffenen Intervall ]0;1] sein muss.
Nein, das folgt eben nicht. Denn jedes eps lässt not unendlich viele Punkte zwischen 1/n und 0 übrig.
Der Grenzwert wird allenfalls von dunklen Folgengliedern erreicht. Deswegen können die individuell definierbaren Intervall nicht (0, 1] überdecken. Versuche doch einfach, diese Aussage zu widerlegen.
Gruß, WM
Oh, Erleuchteter, ist denn der Grenzwert dunkel? Kann eine helle Zahl ein Grenzwert dunkler Zahlenfolgen sein? Wie soll das gehen?

Viel Spass weiterhin
Roalto
Juergen Ilse
2020-09-27 17:37:15 UTC
Permalink
Hallo,
Post by Ganzhinterseher
Post by Juergen Ilse
Post by Ganzhinterseher
Doch, denn sonst wäre auch die Vereinigung aller nicht das Intervall (0, 1].
Die Folge a(n)=1/n ist eine Nullfolge,oder wollen
SIE das etwa bestreiten?
Nein, aber der Grenzwert wird von individuell definierbaren Folgengliedern nicht erreicht.
Der Grenzwert wird von keinem Folgenglied erreicht. Es hat hier auch noch
nie jeman etwas anderes behauptet.
Post by Ganzhinterseher
Post by Juergen Ilse
Wenn das eine Nullfolge ist, bedeutet das (so ist
die Definition einer Nullfolge): Fuer alle epsilon > 0 gibt es ein n0 element
|N mit n>n0 -> a(n)=1/n < epsilon. Da das fuer *jedes* epsilon groesser 0 gilt,
liegt jedes epsilon > 0 in einem Intervall der Form [1/n;1/(n-1)] mit n>1.
Daraus folgt unmittelbar, dass die Vereinigung aller Intervalle dieser Form
gleich demhalboffenen Intervall ]0;1] sein muss.
Nein, das folgt eben nicht. Denn jedes eps lässt not unendlich viele Punkte zwischen 1/n und 0 übrig.
SIE sind einfach voellig unfaehig, um Mathematik auch nur im Ansatz zu
begreifen. SIE sind einfach viel zu daemlich dazu.
Post by Ganzhinterseher
Der Grenzwert wird allenfalls von dunklen Folgengliedern erreicht.
Nein, der Grenzwert wird von gar keinem Folgenglied erreicht, denn ein
Folgenglied dieser Folge, dass ihn erreicht waere der "Kehrwert der 0",
und dass der in einer widerspruchsfreien Mathematik nicht existieren kann,
kann man sogar jedem Grundschueler erklaeren.
Post by Ganzhinterseher
Deswegen können die individuell definierbaren Intervall nicht (0, 1] überdecken. Versuche doch einfach, diese Aussage zu widerlegen.
Der Beweis waere voellig trivial, aber SIE sind viel zu daemlich, um das
zu begreifen. Zum Beweis zeigt man fuer eine beliebige reelle Zahl eps
groesser 0, dass es ein n element |N gibt, so dass 1/n kleiner eps ist.
Das folgt ganz einfach aus der Definition des Begriffs Nullfolge und der
Tatsachen dass die Folge a(n)=1/n eine Nullfolge ist (letzteres haben
SIE ja bereits zugegeben). Da das fuer jede beliebige reelle Zahl groesser
0 gilt, kann es keine reelle Zahl groesser 0 geben, die nicht in mindestens
einem Intervall der Form [1/n;1] liegt, Und damit d$kann es auch keine geben,
die nicht in der Vereinigung all dieser Intervalle liegt.

Tschuess,
Juergen Ilse (***@usenet-verwaltung.de)
Ganzhinterseher
2020-09-28 19:39:18 UTC
Permalink
Post by Juergen Ilse
Nein, der Grenzwert wird von gar keinem Folgenglied erreicht,
Wie ist es denn aber möglich, dass 0,999... = 1 ist?

Gruß, WM
Me
2020-09-25 21:27:43 UTC
Permalink
Post by Me
Daher kommen die Glieder der Folge (1/n)_(n e IN) der 0 "beliebig nahe"
(wie man so sagt).
[...] Beliebig nahe ist niemals 0.
Hat das hier wer behauptet? (Hinweis: NEIN!)
Post by Me
Des weiteren überdecken die Intervalle [1/n, 1/(n-1)) (mit n e IN\{1})
natürlich das Intervall (0, 1). Eben WEIL es zu jedem x e IR, 0 < x < 1
ein n e IN gibt, so dass x e [1/n, 1/(n-1)) ist.
Nein
Ja.

Hinweis: Man kann zeigen, dass "zu jedem x e IR, 0 < x < 1 gibt es ein n e IN gibt, so dass x e [1/n, 1/(n-1)) gilt" die die Behauptung impliziert.

Siehe: https://de.wikipedia.org/wiki/%C3%9Cberdeckung_(Mathematik)#%C3%9Cberdeckung
<Schwachsinn gelöscht>
Post by Me
Die 0 jedoch ist für kein n e IN in [1/n, 1/(n-1)).
Aber [...] jeden Punkt nördlich der Null
Ja, ja, schon klar, Mückenheim. Meinte Sie "nördlich des Äquators"?
Post by Me
Ein vollständiger Beweis wurde hier schon einige Male gepostet,
Aber sie kennen sicher den Spruch: You can drag the horse to the water, but you can not force it to drink!
Me
2020-09-24 19:21:11 UTC
Permalink
Aber [die Mückeneheim-]Zahlen lassen bei Entfernung weit mehr als nur den
Nullpunkt übrig.
Das kann schon sein, aber darum geht es hier nicht. Sie hatten ja die Aussage

U{[1/(n+1),1/n] : n e IN} = (0,1]

bezweifelt, Mückenheim: "Obviously impossible".

Ihr dazugehöriger "Beweisversuch"

"Würden die Intervalle mit rationalen Endpunkten alle außer 0 darstellen
[...], dann lägen zwei rationale Punkte unmittelbar zusammen. Wir sagen
auch: sie berühren sich. Das ist unmöglich. Dieser Beweis ist Mathematik."

(W. Mückenheim, de.sci.mathematik)

war offenbar ein Schuss in den Ofen. (Die Begründung für Ihr "dann" oben konnten Sie ja nicht geben.)

Zuletzt ging es um Ihre (neue) Behauptung, dass aus

[0, 1] \ U{[1/(n+1),1/n] : n e IN} = {0}

En e IN: ~Ex e IR+: 0 < x < 1/n

folgen würde.
wenn nur noch der Nullpunkt übrig bleibt,
Was ja der Fall ist, denn es gilt

[0, 1] \ U{[1/(n+1),1/n] : n e IN} = {0}
dann ist bewiesen,
Eben nicht! DAHER frage ich ja nach dem entsprechenden Beweis. Kapieren Sie eigentlich GAR NICHTS mehr, Mückenheim?
dass er mit einem rationalen Intervallendpunkt touchierte
En e IN: ~Ex e IR+: 0 < x < 1/n .

Nochmal. Es geht hier um einen Beweis Ihrer Behauptung:

Wenn [0, 1] \ U{[1/(n+1),1/n] : n e IN} = {0} ist,
dann gilt: En e IN: ~Ex e IR+: 0 < x < 1/n .

Bitte beweisen Sie das mal.

Hinweis: Eine reine Behauptung ist kein Beweis.
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