Warum?

Hallo,

Der Begriff der "Anzahl" ist fuer unendliche Mengen voellig sinnlos. Das war
ja gerade der Grund, weshalb Cantor den "aufwaertskompatiblen" Begriff der
"Maechtigkeit" eingefuehrt hat.

Post by Ganzhinterseher
Warum haben Galilei und Cantor behauptet, es gäbe genau so viele Quadratzahlen wie natürliche Zahlen?

Das ist ungenau formuliert, da der Begriff der Anzahl (und damit auch des
"genauso viele") bei unendlichen Mengen sinnlos und nicht anwendbar ist.
Korrekterweise muesste man statt dessen davon sprechen, dass die Menge der
natuerlichen Zahlen und die Menge der Quadratzahlen gleichmaechtig sind
(OK, Galileo kannte den Begriff der Maechtigkeit noch nicht, deswegen ist
diese Ungenauigkeit bei ihm verzeihlich). Der Beweis der Gleichmaechtigkeit
ist trivial, denn die Abbildung von den natuerlichen Zahlen auf die Quadrat-
zahlen n -> n*n ist trivialerweise bijektiv.

Post by Ganzhinterseher
Warum hat Cantor eine Bijektion zwischen ℕ und Q behauptet, obwohl die Bijektion doch tatsächlich jedes Element betrifft und wegen der Eineindeutigkeit den obigen Beweisen klar widerspricht?

Da gibt es keinen Widerspruch. Es ist die Natuer unendlicher Mengen, dass es
(bei gleicher Maechtigkeit) sowohl bijektive als auch nicht bijektive Abbil-
dungen zwischen den Mengen geben kann. Oder anders ausgedrueckt: Eine Menge
ist dann unendlich, wenn sie gleichmaechtig zu eienr ihren echten Teilmengen
sein kann ("Dedekind-Unendlichkeit"). Und nein, das ist *KEIN* Widerspruch.

Post by Ganzhinterseher
Die Antwort ist einfach: Beide haben nicht erkannt, dass die tatsächlich verwendbaren Zahlen in jeder Menge dieselbe "Mächtigkeit" besitzen, nämlich potentiell unendlich viele sind, während die stets übrig bleibenden Restmengen dunkler Zahlen sehr unterschiedliche Größen besitzen. Beide haben zwar begonnen, tatsächlich die ersten Paare der Abbildung anzugeben, sind dann aber mit einem einfachen "und so weiter" verblieben. Formeln wie f(x) = 2x scheinen ja auch alle Elemente der jeweiligen Menge zu umfassen.

Warum blubbern SIE so einen unsaeglichen Schwachsinn daheer, wenn SIE doch
das Thema noch nicht einmal im Ansatz begriffen haben? Um es mit Dieter Nuhr
zu sagen "Wenn man keine Ahnung hat, einfach mal die Klappe halten".

Post by Ganzhinterseher
Warum behaupten viele aber trotzdem auch heute noch, dass eine Abbildung zwischen _allen_ Elementen der beteiligten Mengen wie P, ℕ oder Q stattfindet, also tatsächlich eine Bijektion zwischen diesen unendlichen Mengen vorliegt?

Das Kriterium fuer gleichmaechtigkeit lautet nicht etwa "jede Abbildung
zwischen den Mengen ist bijektiv" sondern "es gibt eine bijektive Abbildung
zwischen den Mengen". Ja, das ist ein Unterschied. Nein, es ist kein Wider-
spruch, wenn es sowohl bijektive als auch nicht bijektive Abbildungen
zwischen den Mengen gibt: bei unendlichen Mengen ist das sogar *immer*
der Fall, dass es sowohl bijektive als auch nit bijektive Abbildungen
zwischen gleichmaechtigen Mengen gibt, auch wenn SIE das nicht begreifen.

Tschuess,
Juergen Ilse (***@usenet-verwaltung.de)

Ganzhinterseher

2021-01-08 11:53:47 UTC

Post by Juergen Ilse
Hallo,

Der Begriff der "Anzahl" ist fuer unendliche Mengen voellig sinnlos.

Durchaus nicht. Das ist eine Schutzbehauptung, die leicht als falsch nachweisbar ist. Man hat in der klassischen Mathematik nämlich den Begriff des Grenzwertes eingeführt. Damit kann man sehr leicht zeigen, dass aus dem für jedes Intervall [0, n] mit zunehmender Größe immer besser geltenden Verhältnis von 2 zu 1 für natürliche und gerade Zahlen der Grenzwert 2 zu 1 folgt. Das ist ein mathematischer Beweis dafür, dass keine Bijektion zwischen natürlichen Zahlen und geraden Zahlen existieren kann, denn es gibt genau doppelt so viele natürliche Zahlen.

Post by Juergen Ilse
Das war
ja gerade der Grund, weshalb Cantor den "aufwaertskompatiblen" Begriff der
"Maechtigkeit" eingefuehrt hat.

Dieser Grund entfällt, wie ich oben gezeigt habe.

Post by Ganzhinterseher
Warum haben Galilei und Cantor behauptet, es gäbe genau so viele Quadratzahlen wie natürliche Zahlen?

Das ist ungenau formuliert, da der Begriff der Anzahl (und damit auch des
"genauso viele") bei unendlichen Mengen sinnlos und nicht anwendbar ist.

Das ist eine Schutzbehauptung, die ich oben als falsch nachgewiesen habe.

Post by Juergen Ilse
Korrekterweise muesste man statt dessen davon sprechen, dass die Menge der
natuerlichen Zahlen und die Menge der Quadratzahlen gleichmaechtig sind
(OK, Galileo kannte den Begriff der Maechtigkeit noch nicht, deswegen ist
diese Ungenauigkeit bei ihm verzeihlich).

Das war keine Ungenauigkeit, sondern eine genau formulierte Behauptung. Sie findet sich auch bei Cantor, wenn auch unter "Mächtigkeit" verborgen. Denn die Annahme der Existenz aller Zahlen und die Behauptung einer Bijektion führen genau dorthin. Eine Bijektion zeigt, dass genau so viele Elemente in der ersten Menge wie in der zweiten existieren. Nur weil es zu offensichtlich falsch ist, "vergisst" man gern die zugrundeliegende eins-zu-eins Präzision.

Post by Juergen Ilse
Der Beweis der Gleichmaechtigkeit
ist trivial, denn die Abbildung von den natuerlichen Zahlen auf die Quadrat-
zahlen n -> n*n ist trivialerweise bijektiv.

Und ebenso trivialerweise kann sie nur definierbare Zahlen betreffen.

Da gibt es keinen Widerspruch.

Doch, denn wenn tatsächlich eine Bijektion möglich wäre, dann würde jede injektive Abbildung auch surjektiv sein.

Post by Juergen Ilse
Oder anders ausgedrueckt: Eine Menge
ist dann unendlich, wenn sie gleichmaechtig zu eienr ihren echten Teilmengen
sein kann ("Dedekind-Unendlichkeit"). Und nein, das ist *KEIN* Widerspruch.

Selbstverständlich ist das ein Widerspruch. Wenn aktual unendlich viele Paare tatsächlich existierten, dann könnte man jeweils zwei Partner austauschen und damit für _jede_ Kombination eine Bijektion beibehalten. Wenn aktual unendlich tatsächlich möglich wäre, dann könnte man aktual unendlich viele Vertauschungen vornehmen und die Brüche in natürlicher Reihenfolge nach Größe aufzählen.

Das ist natürlich ein Widerspruch. Aber wie ich oben zeigte, gibt es durchaus eine mathematische Definition von Gleichzahligkeit oder Ungleichzahligkeit, zum Beispiel für gerade und ganze Zahlen. Mit dieser Definition, also mit der klassischen Mathematik, liegt Cantors Theorie klar im Widerspruch.

Die Frage bleibt unbeantwortet: Warum behaupten viele heute noch, dass eine Abbildung zwischen _allen_ Elementen der beteiligten Mengen wie P, ℕ oder Q stattfindet, also tatsächlich eine Bijektion zwischen diesen unendlichen Mengen vorliegt?

Gruß, WM

Juergen Ilse

2021-01-08 13:58:06 UTC

Hallo,

Post by Juergen Ilse
Der Begriff der "Anzahl" ist fuer unendliche Mengen voellig sinnlos.

Durchaus nicht.

Doch.

Post by Ganzhinterseher
Das ist eine Schutzbehauptung, die leicht als falsch nachweisbar ist.

Es ist weder eine Schutzbehauptung, noch "als falsch nachweisbar".

Post by Ganzhinterseher
Man hat in der klassischen Mathematik nämlich den Begriff des Grenzwertes eingeführt. Damit kann man sehr leicht zeigen, dass aus dem für jedes Intervall [0, n] mit zunehmender Größe immer besser geltenden Verhältnis von 2 zu 1 für natürliche und gerade Zahlen der Grenzwert 2 zu 1 folgt. Das ist ein mathematischer Beweis dafür, dass keine Bijektion zwischen natürlichen Zahlen und geraden Zahlen existieren kann, denn es gibt genau doppelt so viele natürliche Zahlen.

Es ist trivial, zu zeigen, dass die Menge der geraden natuerlichen Zahlen
und die Menge der natuerlichen Zahlen gleichmaechtig sind. Man betrachte die
Abbildung n -> 2*n fuer alle n element |N. Diese Abbildung ist offensichtlich
bijektiv, denn es jede Zahl hat ein Bild, jede gerade Zahl hat ein Urbild und
fuer 2 verschiedene natuerliche Zahlen n1 und n2 sind 2*n1 und 2*n2 ganz
offensichtlich auch unterschiedlich.

Post by Juergen Ilse
Das war
ja gerade der Grund, weshalb Cantor den "aufwaertskompatiblen" Begriff der
"Maechtigkeit" eingefuehrt hat.

Dieser Grund entfällt, wie ich oben gezeigt habe.

Gezeigt haben SIE mathematische Flachpfeife ueberhaupt nichts (ausser IHREM
kompletten Unverstaendnis der Mathematik).

Post by Ganzhinterseher
Warum haben Galilei und Cantor behauptet, es gäbe genau so viele Quadratzahlen wie natürliche Zahlen?

Das ist ungenau formuliert, da der Begriff der Anzahl (und damit auch des
"genauso viele") bei unendlichen Mengen sinnlos und nicht anwendbar ist.

Das ist eine Schutzbehauptung, die ich oben als falsch nachgewiesen habe.

Nachgewiesen haben SIE ausschliesslich IHRE komplette Unfaehigkeit, Mathematik
auch nur ansatzweise zu verstehen.

Das war keine Ungenauigkeit, sondern eine genau formulierte Behauptung. Sie findet sich auch bei Cantor, wenn auch unter "Mächtigkeit" verborgen.

antor benutzt den Begriff der Maechtigkeit, weil der Begriff der "Anzahl"
fuer unendliche Mengen voellig sinnlos ist, da bei unendlichen Mengen die
"Dedeking-Unendlichkeit" vorliegt, d.h. eine "Dedekind-unendliche Menge"
kann zu einer ihrer *echten* Teilmengen gleichmaechtig sein.

Post by Ganzhinterseher
Denn die Annahme der Existenz aller Zahlen und die Behauptung einer Bijektion führen genau dorthin. Eine Bijektion zeigt, dass genau so viele Elemente in der ersten Menge wie in der zweiten existieren.

Es zeigt "Gleichmaechtigkeit" weil "gleich viele" suggeriert die (falsche)
Aussage. man koenne alle Elemente einer unendlichen Menge in einem sequen-
tiellen und abbrechendcen Prozess "durchzaehlen", aber genau das ist bei
unendlichen Mengen eben *nicht* der Fall, da der Prozess niemals terminieren
wuerde.

Post by Ganzhinterseher
Nur weil es zu offensichtlich falsch ist, "vergisst" man gern die zugrundeliegende eins-zu-eins Präzision.

Das was SIE als "eins-zu-ein-Praezision" bezeichnen, ist eine fuer unendliche
Mengen nicht existierende Wahnvorstellung IHRERseits. DDeshalb heisst es im
Kriterium fuer Gleichmaechtigkeit "es gibt eine Bijektion" und nicht etwa die
(unerfuellbare) Aussage "*JEDE* Abbildung zwischen gleichmaechtigen Mengen
ist bijektiv" ...

Post by Juergen Ilse
Der Beweis der Gleichmaechtigkeit
ist trivial, denn die Abbildung von den natuerlichen Zahlen auf die Quadrat-
zahlen n -> n*n ist trivialerweise bijektiv.

Und ebenso trivialerweise kann sie nur definierbare Zahlen betreffen.

*JEDE* natuerliche Zahl ist definierbar, auch wenn SIE zu daemlich sind, um
das zu begreifen. Haetten SIE "Dedekind-Unendlichmkeit" verstanden, koennte
das moeglicherweise auch IHRE "Quantorenlegasthenie" mildern, aber leider
sind SIE davon Lichtjahre weit entfernt.

Da gibt es keinen Widerspruch.

Doch,

Nein.

Post by Ganzhinterseher
denn wenn tatsächlich eine Bijektion möglich wäre, dann würde jede
injektive Abbildung auch surjektiv sein.

Nein. SIE haben schon wieder den von Cantor festgelegten Begriff der
Maechtigkeit komplett verfaelscht. Gleichmaechtig" heisst *es* *gibt*
eine Bijektion zwischen den Mengen und keienswegs "*JEDE* Abbildung
zwischen den Mengen sind bisjektiv. Letzteres ist fuer alle *ENDLICHEN*
Mengen gegeben, fuer unendliche Mengen aber *NIEMALS*.

Selbstverständlich ist das ein Widerspruch.

Dann *BEWEISEN* SIE den Widerspruch (Nein, Behauptung ist *KEIN* Beweis,
bei einem Beweis muss sich die Aussage auf Axciome zurueckfuehren lassen).

Post by Ganzhinterseher
Die Frage bleibt unbeantwortet: Warum behaupten viele heute noch, dass
eine Abbildung zwischen _allen_ Elementen der beteiligten Mengen wie P,
ℕ oder Q stattfindet, also tatsächlich eine Bijektion zwischen diesen
unendlichen Mengen vorliegt?

Schon wieder IHRE daemliche Formulierung. Nein, nicht *JEDE* Abbildung
zwischen den Mengen ist bijektiv (das ist fuer "Gleichmaechtigkeit" auch
nicht notwendig. fuer Gleichmaechtigkeit reicht es aus, wenn es *EINE*
Bijektion zwischen den Mengen gibt). IHRE Unfaehigkeit das zu begreifen
erinnert an IHRE "Quantorenlegasthenie": In der Definition der Gleich-
maechtigkeit wird der Existenzquantor "es gibt" verwendet, in IHRER
*verfaelschten* Version benutzen SIE den Allquantor, der selbstverstaendlich
eine voellig andere Bedeutung hat.

Tschuess,
Juergen Ilse (***@usenet-verwaltung.de)

Ganzhinterseher

2021-01-08 19:55:49 UTC

Post by Juergen Ilse
Es ist trivial, zu zeigen, dass die Menge der geraden natuerlichen Zahlen
und die Menge der natuerlichen Zahlen gleichmaechtig sind.

Sie besitzen aber nicht gleiche Anzahlen, sondern die natürlichen Zahlen besitzen die doppelte Anzahl der positiven geraden Zahlen.

Post by Juergen Ilse
Das was SIE als "eins-zu-ein-Praezision" bezeichnen, ist eine fuer unendliche
Mengen nicht existierend

Richtig. Deshalb sollte man dort nicht von Bijektion sprechen.

Post by Juergen Ilse
*JEDE* natuerliche Zahl ist definierbar,

Jede definierte natürliche Zahl besitzt ℵo Nachfolger. Entnimmt man alle definierbaren natürlichen Zahlen aus ℕ, so bleiben diese ℵo Nachfolger zurück. Falls das zu schwer verständlich ist, betrachte das Intervall (0, 1/n).

Entnimmt man dagegen ohne weitere Definition der einzelnen Zahlen diese alle, so bleibt nichts zurück, denn ℕ \ ℕ ist leer, ebenso wie (0, 1] \ (0, 1]. Diesen Unterschied sollte eigentlich jeder begreifen können.

Gruß, WM

Juergen Ilse

2021-01-09 08:06:56 UTC

Hallo,

Post by Juergen Ilse
Es ist trivial, zu zeigen, dass die Menge der geraden natuerlichen Zahlen
und die Menge der natuerlichen Zahlen gleichmaechtig sind.

Sie besitzen aber nicht gleiche Anzahlen, sondern die natürlichen Zahlen besitzen die doppelte Anzahl der positiven geraden Zahlen.

Der Begriff der "Anzahl" ist bei unendlichen Mengen sinnlos. Wenn SIE das
mnicht begreifen, sollten SIE sich nicht zu Dinfen aeussedrn, fuer die SIE
erwiesenermassen zu daemlich sind.

Post by Juergen Ilse
Das was SIE als "eins-zu-ein-Praezision" bezeichnen, ist eine fuer unendliche
Mengen nicht existierend

Richtig. Deshalb sollte man dort nicht von Bijektion sprechen.

Natuerlich kann man von Bijektion sprechen, man kann die Bijektion sogar
*beweisen*, indem man die Annahme, es gaebe ein Element der Bildmenge ohne
ein Urbild auf einen Widerspruch fuehrt und die Annahme, dass es zwei
Elemente der Urmenge mit dem selben Bild ebenfalls auf einen Widerspruch
fuehrt. Gelingt beides, ist damit die Bijektivitaet bewiesen.

Post by Juergen Ilse
*JEDE* natuerliche Zahl ist definierbar,

Schwachsinn. IHRE schwachsinnigen Vorstellungen ueber Unendlichkeit sind
mit den ueblichen Axiomen der Mathematik nicht vereinbar.

Tschuess,
Juergen Ilse (***@usenet-verwaltung.de)

Ganzhinterseher

2021-01-09 09:35:11 UTC

Post by Juergen Ilse
*JEDE* natuerliche Zahl ist definierbar,

Schwachsinn.
mit den ueblichen Axiomen der Mathematik nicht vereinbar.

Jeder unvoreingenommene Mathematiker könnte erkennen: Wenn man definierbare Stammbrüche von (0, 1] subtrahiert, dann bleiben immer unendliche viele übrig (0, 1/n). Wenn man alle Stammbrüche von (0, 1] subtrahiert, dann bleibt keiner übrig. Also sind die meisten Stammbrüche nicht definierbar. Ist Dein Hirn wirklich so schwer geschädigt, dass Du diesen einfachen Zusammenhang nicht erkennen kannst?

Gruß, WM

Carlos Naplos

2021-01-08 14:01:00 UTC

Post by Ganzhinterseher
Doch, denn wenn tatsächlich eine Bijektion möglich wäre, dann würde jede injektive Abbildung auch surjektiv sein.

Von ℕ nach ℕ ist tatsächlich eine Bijektion möglich. (Z.B. n -> n)

Ist dann jede injektive Abbildung von ℕ nach ℕ auch surjektiv?

Wenn die Abbildung von ℕ nach ℕ mit n -> n + 1 injektiv wäre, dann würde
sie, Deiner obigen Behauptung gemäß, auch surjektiv sein.

Ist sie aber nicht. (Denn 0 hat kein Urbild.)
Also kann sie nicht injektiv sein.

Könntest Du zwei verschiedene natürliche Zahlen nennen, die den gleichen
Nachfolger haben?

Gruß CN

Ganzhinterseher

2021-01-08 19:42:53 UTC

Post by Ganzhinterseher
Doch, denn wenn tatsächlich eine Bijektion möglich wäre, dann würde jede injektive Abbildung auch surjektiv sein.

Von ℕ nach ℕ ist tatsächlich eine Bijektion möglich. (Z.B. n -> n)

Das scheint leider so und hat sehr viel Verwirrung gestiftet.

Post by Carlos Naplos
Ist dann jede injektive Abbildung von ℕ nach ℕ auch surjektiv?

Wäre nur eine bijektive Abbildung möglich, so wären alle injecziven Abbildungen surjektiv und umgekehrt alle surjektiven Abbildungen injektiv, denn man hätte dann ja genau dieselbe Anzahl von Elementen in beiden Mengen.

Post by Carlos Naplos
Wenn die Abbildung von ℕ nach ℕ mit n -> n + 1 injektiv wäre, dann würde
sie, Deiner obigen Behauptung gemäß, auch surjektiv sein.

Sie ist aber weder das eine noch das andere.

Post by Carlos Naplos
Ist sie aber nicht. (Denn 0 hat kein Urbild.)
Also kann sie nicht injektiv sein.
Könntest Du zwei verschiedene natürliche Zahlen nennen, die den gleichen
Nachfolger haben?

Ich kann unendlich viele natürliche Zahlen nachweisen, die nicht in der Abbildung sind.

Wenn Du alle identifizierbaren Zahlen aus ℕ entfernst, dann bleiben immer noch ℵo Zahlen drin, denn bekanntlich ist es ein Satz der Mengenlehre, dass auf jede natürliche Zahl noch ℵo natürliche Zahlen folgen. Die kannst Du also nicht entfernen.

Wenn Du aber alle natürlichen Zahlen aus ℕ entfernst, indem Du nicht nur identifizierte Zahlen wählst, sondern einfach sagst: Ich entferne ℕ, dann sind wegen ℕ \ ℕ = { } alle weg, also auch die ℵo Zahlen, die Du durch gezielte Entfernung identifizierter Zahlen nicht erreichst.

Folglich sind dies keine identifizierbaren Zahlen. Folglich können sie auch nicht in einer Bijektion auftreten.

Gruß, WM

Carlos Naplos

2021-01-08 23:11:22 UTC

Post by Ganzhinterseher
Doch, denn wenn tatsächlich eine Bijektion möglich wäre, dann würde jede injektive Abbildung auch surjektiv sein.

Von ℕ nach ℕ ist tatsächlich eine Bijektion möglich. (Z.B. n -> n)

Das scheint leider so und hat sehr viel Verwirrung gestiftet.

Wieso "scheint"? Ist id: ℕ -> ℕ nicht bijektiv?
Bei wem hat das Verwirrung gestiftet?
(Ich habe den Verdacht, es bereitet Dir klammheimlich Freude, Verwirrung
zu stiften.)

Post by Carlos Naplos
Ist dann jede injektive Abbildung von ℕ nach ℕ auch surjektiv?

Das ist trivial:
Wäre "nur eine bijektive Abbildung möglich" - ich interpretiere das mal
als "existierte nur eine bijektive Abbildung" - , dann wäre diese und,
weil es nur diese gäbe, wären alle injektiv und surjektiv.

Post by Carlos Naplos
Wenn die Abbildung von ℕ nach ℕ mit n -> n + 1 injektiv wäre, dann würde
sie, Deiner obigen Behauptung gemäß, auch surjektiv sein.

Sie ist aber weder das eine noch das andere.

Bei "nicht surjektiv" stimme ich zu.
Für die von Dir bestrittene Injektivität hätte ich gerne ein
Gegenbeispiel, also zwei verschiedene natürliche Zahlen, die den
gleichen Nachfolger haben.

Post by Carlos Naplos
Ist sie aber nicht. (Denn 0 hat kein Urbild.)
Also kann sie nicht injektiv sein.
Könntest Du zwei verschiedene natürliche Zahlen nennen, die den gleichen
Nachfolger haben?

Ich kann unendlich viele natürliche Zahlen nachweisen, die nicht in der Abbildung sind.

Ich weiß nicht, was Du mit "nicht in der Abbildung sind" meinst, tut
aber auch nichts zur Sache.

Um die Nicht-Injektivität einer Abbildung, hier der Nachfolgerabbildung,
zu beweisen, sind zwei verschiedene Elemente der Definitionsmenge
anzugeben, die das gleiche Bild, hier den gleichen Nachfolger haben.

Aber mal im Ernst:
Bist Du tatsächlich der Meinung, die Abbildung ℕ -> ℕ mit n -> n + 1 sei
nicht injektiv?

Gruß CN

Ganzhinterseher

2021-01-09 09:22:49 UTC

Post by Ganzhinterseher
Doch, denn wenn tatsächlich eine Bijektion möglich wäre, dann würde jede injektive Abbildung auch surjektiv sein.

Von ℕ nach ℕ ist tatsächlich eine Bijektion möglich. (Z.B. n -> n)

Das scheint leider so und hat sehr viel Verwirrung gestiftet.

Wieso "scheint"? Ist id: ℕ -> ℕ nicht bijektiv?

Nein.

Post by Carlos Naplos
Bei wem hat das Verwirrung gestiftet?

Bei der großen Mehrheit der Mathematiker, insbesondere bei den Autoren und Lesern von Bourbakis Werken.

Post by Carlos Naplos
(Ich habe den Verdacht, es bereitet Dir klammheimlich Freude, Verwirrung
zu stiften.)

Nein, ich möchte diese Verwirrung aufklären.

Post by Carlos Naplos
Ist dann jede injektive Abbildung von ℕ nach ℕ auch surjektiv?

Wäre nur eine bijektive Abbildung möglich, so wären alle injektiven Abbildungen surjektiv und umgekehrt alle surjektiven Abbildungen injektiv, denn man hätte dann ja genau dieselbe Anzahl von Elementen in beiden Mengen.

Wäre "nur eine bijektive Abbildung möglich" - ich interpretiere das mal
als "existierte nur eine bijektive Abbildung"

Ich meinte folgendes: Wenn es zwischen zwei Mengen irgendeine wirklich bijektive Abbildung gibt (und nicht nur eine Cantorsche), dann beweist diese, dass die Mengen genau dieselbe Zahl von Elementen besitzen. Dann führt jeder Partnertausch abermals zu einer Bijektion. Jede surjektive Abbildung ist injektiv und jede injektive Abbildung ist surjektiv. Wie sollten durch Partnertausch plötzlich freie Valenzen entstehen? Wenn Bijektionen zwischen unendlichen Mengen möglich wären, dann könnten auch unendliche Untermengen partnertauschen, ohne die Bijektion zu beschädigen.

Also strikte Mathematik: Wenn eine Bijektion existiert, dann ist überhaupt keine andere injektive Abbildung möglich.

Post by Carlos Naplos
Könntest Du zwei verschiedene natürliche Zahlen nennen, die den gleichen
Nachfolger haben?

Ich kann unendlich viele natürliche Zahlen nachweisen, die nicht in der Abbildung sind.

Ich weiß nicht, was Du mit "nicht in der Abbildung sind" meinst, tut
aber auch nichts zur Sache.

Doch, das ist der entscheidende Aspekt. Was Du als "natürliche Zahl" bezeichnest, ist eine natürliche Zahl, die Du identifizieren kannst und auf die unendlich viele natürliche Zahlen folgen, von denen Du unendlich viele nicht identifizieren kannst, denn dann bliebe nichts mehr übrig. Aber alle natürlichen Zahlen, die Du identifizieren kannst und die deswegen in einer Abbildung auftreten können, erschöpfen die Menge ℕ nicht, denn auf alle folgen ja noch unendlich viele, also die meisten. Diese kommen in keiner Abbildung vor, sind aber vorhanden.

Post by Carlos Naplos
Um die Nicht-Injektivität einer Abbildung, hier der Nachfolgerabbildung,
zu beweisen, sind zwei verschiedene Elemente der Definitionsmenge
anzugeben, die das gleiche Bild, hier den gleichen Nachfolger haben.
Bist Du tatsächlich der Meinung, die Abbildung ℕ -> ℕ mit n -> n + 1 sei
nicht injektiv?

Es gibt keine Abbildung ℕ --> ℕ. Die müsste man beweisen können, indem man jedes beliebige Paar identifiziert. Kann man aber nicht, denn auf _jedes_ gepaarte n folgen noch unendlich viele, die nicht gepaart werden können, weil sie nicht identifizierbar sind. Sie existieren aber, denn ℕ \ ℕ ist leer, da verschwinden also unendlich viele dunkle Zahlen, die durch Subtraktion identifizierter Zahlen niemals verschwinden.

Gruß, WM

Ulrich Diez

2021-02-06 13:51:20 UTC

[...]

Post by Ganzhinterseher
Warum haben Galilei und Cantor behauptet, es gäbe genau so viele Quadratzahlen wie natürliche Zahlen?

Um Verwirrung zu stiften frage ich mal nach:

Ist die Aussage "Die Menge der Quadratzahlen ist eine echte Teilmenge der zu
ihr gleichmächtigen Menge der natürlichen Zahlen." korrekt?

Ulrich

Helmut Richter

2021-02-06 14:54:58 UTC

Post by Ulrich Diez
Ist die Aussage "Die Menge der Quadratzahlen ist eine echte Teilmenge der zu
ihr gleichmächtigen Menge der natürlichen Zahlen." korrekt?

Mit anderen Worten: Die Menge der natürlichen Zahlen ist unendlich, denn
genau das ist die Definition: zu einer echten Teilmenge gleichmächtig.

Und diese Definition ist auch sehr anschaulich: wenn ich ein Element
wegnehme, sind es immer noch gleich viele wie vorher, aber sie bilden
trotzdem eine echte Teilmenge.

Meistens hat WM Schwierigkeiten mit Aussagen der Mathematik, die er
mangels Umgang mit mathematischen Sachverhalten als unanschaulich
empfindet, und oft zu Recht, denn manches ist wirklich unanschaulich.
Aber diese Charakterisierung von Unendlichkeit ist sehr anschaulich, auch
Laien vermittelbar und dabei in Übereinstimmung mit der Mathematik.

--
Helmut Richter

Ganzhinterseher

2021-02-06 16:34:13 UTC

Post by Ulrich Diez
Ist die Aussage "Die Menge der Quadratzahlen ist eine echte Teilmenge der zu
ihr gleichmächtigen Menge der natürlichen Zahlen." korrekt?

Mit anderen Worten: Die Menge der natürlichen Zahlen ist unendlich, denn
genau das ist die Definition: zu einer echten Teilmenge gleichmächtig.

Diese Definition geht auf Dedekind zurück, der bekanntlich das potentiell Unendliche verteidigt hat (Dir ist das wohl unbekannt) und von Cantor quasi eingefangen wurde. Für diesen Fall ist es auch in Ordnung.

Post by Helmut Richter
Und diese Definition ist auch sehr anschaulich: wenn ich ein Element
wegnehme, sind es immer noch gleich viele wie vorher,

Ja, denn fast alle kann man nicht einzeln wegnehmen. Deswegen kann man sie auch nicht einzeln abbilden.

Post by Helmut Richter
aber sie bilden
trotzdem eine echte Teilmenge.

Natürlich. Aber keine, die in Bijektion mit der Menge steht.

Die Mathematik gibt da nur eine einzige, präzise und unwiderlegbare Antwort:
Lim_{n→∞} |{2k | k ∈ ℕ} ∩ [0, n]| / |{k | k ∈ ℕ} ∩ [0, n]| = 1/2.
Und jeder "Gegenbeweis" ist falsch, und jedes "andere Maß" ist Unsinn.

Gruß, WM

Ganzhinterseher

2021-02-06 16:26:41 UTC

Post by Ulrich Diez
[...]

Post by Ganzhinterseher
Warum haben Galilei und Cantor behauptet, es gäbe genau so viele Quadratzahlen wie natürliche Zahlen?

Ist die Aussage "Die Menge der Quadratzahlen ist eine echte Teilmenge der zu
ihr gleichmächtigen Menge der natürlichen Zahlen." korrekt?

Am einfachsten und klarsten ist die Aussage zu den geraden Zahlen zu formulieren: Es gibt genau halb so viele gerade natürliche Zahlen wie natürlichen Zahlen. Also ist eine Bijektion ausgeschlossen - jedenfalls nach der naiven Definition, wonach genau ein Tänzer genau eine Tänzerin hat und umgekehrt und kein Tänzer und keine Tänzerin übrigbleiben. Alles Walzer. Und wenn man sich andere Definitionen ausdenkt, um das Versagen Cantors und seiner Nachfolger zu kaschieren, dann sind diese Definitionen nicht geeignet, das Versagen Cantors und seiner Nachfolger zu kaschieren.

Das ist Mathematik:
Lim_{n→∞} |{2k | k ∈ ℕ} ∩ [0, n]| / |{k | k ∈ ℕ} ∩ [0, n]| = 1/2.
Und jeder "Gegenbeweis" ist falsch, und jedes "andere Maß" ist Unsinn.

Gruß, WM

Ralf Goertz

2021-02-07 11:37:31 UTC

Am Sat, 6 Feb 2021 08:26:41 -0800 (PST)

Post by Ganzhinterseher
Am einfachsten und klarsten ist die Aussage zu den geraden Zahlen zu
formulieren: Es gibt genau halb so viele gerade natürliche Zahlen wie
natürlichen Zahlen. Also ist eine Bijektion ausgeschlossen -
jedenfalls nach der naiven Definition, wonach genau ein Tänzer genau
eine Tänzerin hat und umgekehrt und kein Tänzer und keine Tänzerin
übrigbleiben.

Am einfachsten und klarsten finden die natürlichen Tänzer jeweils eine
eigene gerade Tänzerin, indem sie das Set cleverer, aber dennoch naiver
Münzen benutzen, auf deren einen (und zwar blauen) Seite eine natürliche
Zahl und auf deren roten Rückseite das Doppelte dieser Zahl steht. Dazu
greift sich jeder Tänzer die Münze, auf deren blauen Seite seine eigene
Nummer steht. (Alle Tänzer haben eine eindeutige, mit blauer Leuchtfarbe
auf ihr Trikot geschriebene natürliche Zahl stehen.) Dann dreht er die
Münze um und fordert die Tänzerin mit der in roter Leuchtfarbe auf ihr
Kleid geschriebenen (geraden) Nummer auf, die er auf der anderen (roten)
Seite seiner Münze findet. Nach einem ersten Tänzchen sind die Männer
müde und gehen von der Tanzfläche. Die Tänzerinnen haben aber noch nicht
genug und wollen noch einer Runde mit demselben Partner. Wegen der etwas
schummrigen Beleuchtung können sie die Gesichter ihrer Tanzpartner nicht
genau erkennen. Sie entdecken aber die achtlos auf dem Boden
zurückgelassenen Münzen. Jede Tänzerin hebt diejenige Münze auf, die
ihre eigene Zahl zeigt. Einem glücklichen Zufall ist es zu verdanken,
dass alle Münzen mit der roten Seite nach oben auf dem Boden liegen.
Das Umdrehen und Betrachten der blauen Seite führt zunächst zu etwas
Verwirrung, denn die Hälfte der Tänzerinnen sehen nun plötzlich die
ihnen unbekannten ungeraden Zahlen auftauchen. Die Verwirrung hält aber
nur kurz an und eilig greifen sich die Tänzerinnen jeweils den Partner
mit der entsprechenden blauen Nummer. Die Musik setzt ein und der Tanz
beginnt von neuem.

Um wie viele Tänzerinnen, Tänzer und Münzen es sich in dieser Geschichte
gehandelt hat, ist nicht überliefert. Manche munkeln, es mögen sogar
unendlich viele gewesen sein. Bekannt ist nur, dass jeder Tänzer genau
zweimal getanzt hat, und zwar jeweils mit derselben Tänzerin. Auch diese
haben genau zweimal getanzt und dabei ebensowenig den Partner gewechselt
(letzeres soll angeblich schon aus den Angaben davor folgen). Manche
meinen daraus schließen zu können, dass es genauso viele Tänzer wie
Tänzerinnen gegeben haben muss. Andere bezweifeln das, sie meinen, man
könne das nicht sagen, weil sich die Damen ja auch hätten absprechen
und wegen der Abwechslung statt den Tänzer mit der korrekten Zahl auch
den mit der Zahl eins drüber hätten auffordern können. Sollte es dann
eine Tänzerin geben, die nur einmal getanzt hat, weil sie keinen Partner
mehr finden konnte, dann ließe sich die Gesamtzahl der Tänzerinnen und
Tänzer ganz leicht auf dem Kleid eben dieser Dame ablesen, wenn es aber
keine solche Tänzerin gab, dann muss es offenbar weniger Tänzer als
Tänzerinnen gegeben haben, denn der Tänzer 1 hätte keine Partnerin im
zweiten Tanz gehabt. Einig waren sich aber alle, dass dieser Fall nur
hätte eintreten können, wenn es jweils unendlich viele Tänzer und
Tänzerinnen gegeben hat. Es ist übrigens nichts darüber bekannt, dass
beim Umdrehen der Münzen unter diesen Zuwächse oder Verluste zu
verzeichnen gewesen wären. Man könne durch ihre schiere Existenz daraus
schließen, so meinen einige Verwegene, dass die cleveren Münzen damit
beweisen würden, dass sie die natürlichen und die geraden Zahlen in eine
sogenannte Bijektion bringen könnten. Auch den Einwand mancher
Kleingläubigen, die sagen, dass nach dem Umdrehen einer jeden Münze es
ja immer noch unendlich viele nicht umgedrehte Münzen gibt, lassen sie
nicht gelten, da das Umdrehen quasi instantan vonstatten gegangen sein
kann, da niemand auf irgend etwas gewartet hat, bevor er oder sie die
eigene Münze umgedreht hat. Man zeigte sich sogar verwundert darüber,
wie man etwa auf die Idee kommen könnte, eine Münze nach der anderen
umdrehen zu müssen, schließlich sollte das Umdrehen der einen Münze
keine Auswirkungen darauf haben, welche Zahl sich beim Umdrehen einer
anderen Münze zeigen würde. Eine Münze war übrigens etwas zerkratzt und
ihre rote Seite war im Dunkeln nicht zu erkennen. Nein, auch im hellen
war die Zahl nicht mehr identifizierbar. Niemand schloss daraus, dass es
diese Zahl nicht (mehr) gibt. Viele Tänzerinnen halfen mit, diese Zahl
wieder hinzuschreiben, sie konnten sie mit Hilfe der blauen Seite
reproduzieren. Jede der Helferinnen übernahm eine Ziffer. Alle waren
sich einig, dass es in jedem Fall nur endlich viele Helferinnen waren.

(Aus: Vom Hundertsten ins Tausendste)

Ganzhinterseher

2021-02-07 17:43:51 UTC

Post by Ralf Goertz
Am Sat, 6 Feb 2021 08:26:41 -0800 (PST)

Natürlich wird wieder die potentielle Unendlichkeit angeführt um die Leser anzuführen, wie immer, wenn das aktual Unendliche sich als unhaltbar erweist.

Hier hingegen helfen keine Täuschungsversuche: Das Intervall (0, 1/n) enthält ℵo Stammbrüche, die dort beharrlich verbleiben, wie viele man auch einzeln herausnimmt oder markiert oder abbildet. Sie bleiben unerschütterlich nicht herausgenommen, markiert oder abgebildet. So ist das nun mal mit der potentiellen Unendlichkeit.

Aber wenn man sich nicht scheut, alle auf einmal anzupacken, dann kann man sie (zwar nicht einzeln herausnehmen oder abbilden, aber) als Kollektiv herausnehmen.

Leider behaupten Matheologen, dass man damit auch Abbildungen veranstalten könne. Das ist falsch, denn dann müsste man ja individualisieren, was man, wie sogar Matheologen erkennen, nicht individualisieren kann.

Gruß, WM

H0Iger SchuIz

2021-02-07 12:39:32 UTC

Post by Ganzhinterseher
jedenfalls nach der naiven Definition

Ja, das ist genau der Knackpunkt. Man muss irgendwann mal erwachsne
werden und sich von seinen naiven Vorstellungen lösen,

Ein ganz ein kleines Bisschen Abstraktionsvermögen braucht man für
Mathematik halt schon.

Schön, dass der Herr Prefosser in letzter Zeit die Mängel seiner
"Argumentation" benennt.

hs

Juergen Ilse

2021-02-06 20:53:43 UTC

Hallo,

Post by Ulrich Diez
Ist die Aussage "Die Menge der Quadratzahlen ist eine echte Teilmenge der zu
ihr gleichmächtigen Menge der natürlichen Zahlen." korrekt?

Ja, auch wenn der "von ganz hinten gar nix Versteher" dem heftigst wider-
sprechen wuerde ...

Tschuess,
Juergen Ilse (***@usenet-verwaltung.de)

Mostowski Collapse

2021-01-09 13:24:23 UTC

Schlechter Jahresstart. Schon der erste Satz zeugt von Ignoranz.
Betrachtet man die Bijektion n |-> pn, dann |P| = |N|.

Oder möchten sie über asymptotische Dichte sprechen?
Wenn ja, was genau Ihre offenen Fragen die das Augsburg

Crank Institut nicht versteht?

Post by Ganzhinterseher
Es gibt weniger Primzahlen P als natürliche Zahlen ℕ
Diese Frage bleibt unbeantwortet.

Ganzhinterseher

2021-01-10 12:18:42 UTC

Post by Mostowski Collapse
Betrachtet man die Bijektion n |-> pn, dann |P| = |N|.

Es gibt keine Bijektion zwischen unendlichen Mengen.

Post by Mostowski Collapse
Oder möchten sie über asymptotische Dichte sprechen?

Die maßgebliche Theorie zur Messung von Zahlenmengen ist die Mathematik. Deren Maß ist die asymptotische Dichte. Da Cantor's Maß davon abweicht, ist es zu verwerfen.

Post by Mostowski Collapse
Wenn ja, was genau Ihre offenen Fragen

Wie konnte es geschehen, dass eine so offenkundig im Widerspruch zur Mathematik stehende Theorie akzeptiert wurde? Ist die Grundlage aller Wissenschaften tatsächlich eine Theorie, die behauptet, es gäbe genau so viele Brüche in (0, 1) wie in (1, oo) und es gäbe in einem Quark genau so viele Punkte wie im ganzen Universum? Einen solchen Glaubensprüfstein gibt es keiner sonstigen Religion - und sei sie noch so unglaubhaft.

Gruß, WM

Helmut Richter

2021-01-10 12:48:54 UTC

Post by Mostowski Collapse
Betrachtet man die Bijektion n |-> pn, dann |P| = |N|.

Es gibt keine Bijektion zwischen unendlichen Mengen.

Post by Mostowski Collapse
Oder möchten sie über asymptotische Dichte sprechen?

Die maßgebliche Theorie zur Messung von Zahlenmengen ist die Mathematik. Deren Maß ist die asymptotische Dichte. Da Cantor's Maß davon abweicht, ist es zu verwerfen.

Post by Mostowski Collapse
Wenn ja, was genau Ihre offenen Fragen

Wie konnte es geschehen, dass eine so offenkundig im Widerspruch zur
Mathematik stehende Theorie akzeptiert wurde?

Weil Mathematik nicht eine Sammlung von anschaulichen Vorstellungen ist,
bei der im Falle von unterschiedlichen Vorstellungen die des erhabenen
Meisters WM den Ausschlag gibt.

Post by Ganzhinterseher
Ist die Grundlage aller
Wissenschaften tatsächlich eine Theorie, die behauptet, es gäbe genau so
viele Brüche in (0, 1) wie in (1, oo) und es gäbe in einem Quark genau
so viele Punkte wie im ganzen Universum? Einen solchen Glaubensprüfstein
gibt es keiner sonstigen Religion - und sei sie noch so unglaubhaft.

Ich finde das recht anschaulich: hier sieht man mit einem Blick, dass es
zu jedem Bruch in der einen Menge einen in der anderen gibt und umgekehrt.
Hat man 12 Ziegen und 12 Kohlköpfe, so dass jede einen zu fressen bekommt,
dann sind es gleich viele. Dein Gegenargument, dass eine Ziege viel größer
ist als ein Kohlkopf, mag bei dir die Anschauung wecken, dass die 12
Ziegen viel mehr sind (und die Waage wirds bestätigen), spielt aber für
die Anzahl keine Rolle.

--
Helmut Richter

Ganzhinterseher

2021-01-10 13:28:55 UTC

Post by Ganzhinterseher
Wie konnte es geschehen, dass eine so offenkundig im Widerspruch zur
Mathematik stehende Theorie akzeptiert wurde?

Weil Mathematik nicht eine Sammlung von anschaulichen Vorstellungen ist,
bei der im Falle von unterschiedlichen Vorstellungen die des erhabenen
Meisters WM den Ausschlag gibt.

Wenn ein Maß für so unterschiedliche Mengen wie |N, |Q, |R(*) immer dasselbe Resultat ergibt, dann taugt dieses Maß nichts, und man muss es verwerfen, anstatt die Kontraintuitivität dieses Maßes und die eigene Glaubensfestigkeit zu preisen.

(*) Wenn |R eine Menge ist, so müssen sich ihre Elemente unterscheiden lassen. Das ist mit unendlichen Ziffernfolgen nicht möglich, da diese Unterscheidung stets an endlicher Stelle erfolgt und somit nicht überabzählbar viele Zahlen liefern kann. Da überdies jede Zahl eine endliche Definition besitzt (auch jede transzendente), kann man sie genau so abzählen wie die natürlichen Zahlen. Das heißt, man zählt potentiell unendlich viele und kommt dann ins Rutschen, weit vor dem Ziel. Deswegen besitzen alle unendlichen Mengen nach Cantor scheinbar dieselbe Zahl von Elementen.

Post by Ganzhinterseher
Einen solchen Glaubensprüfstein
gibt es keiner sonstigen Religion - und sei sie noch so unglaubhaft.

Ich finde das recht anschaulich: hier sieht man mit einem Blick, dass es
zu jedem Bruch in der einen Menge einen in der anderen gibt und umgekehrt.

Für die Punkte ist es aber falsch, denn es gibt im Universum nicht nur ein Quark, sondern viele, und jedes besitzt aus Symmetriegründen denselben Anspruch auf "so viele Punkte wie alle anderen zusammen haben". Das Maß ist also falsch oder zumindest unendlich ungenau.

Post by Helmut Richter
Hat man 12 Ziegen und 12 Kohlköpfe, so dass jede einen zu fressen bekommt,
dann sind es gleich viele. Dein Gegenargument, dass eine Ziege viel größer
ist als ein Kohlkopf

Da hast Du etwas falsch verstanden, oder behauptest es jedenfalls in bekannter Matheologenmanier. Du solltest lieber einmal darüber nachdenken, dass die Unterscheidbarkeit von Ziffernfolgen an endlichen Stellen stattfinden muss und somit nur abzählbar viele reelle Zahlen unterscheidbar sein können.

Gruß, WM

Rudolf Sponsel

2021-01-09 13:44:25 UTC

Post by Ganzhinterseher
Es gibt weniger Primzahlen P als natürliche Zahlen ℕ, weniger natürliche Zahlen ℕ als Brüche Q. Das ist leicht zu beweisen. P ist echte Untermenge von ℕ, ℕ ist echte Untermenge von Q. Oder auch so: In jedem endlichen Intervall [0, n] liegen mehr natürliche Zahlen als Primzahlen, mehr Brüche als natürliche Zahlen.
Warum haben Galilei und Cantor behauptet, es gäbe genau so viele Quadratzahlen wie natürliche Zahlen? Warum hat Cantor eine Bijektion zwischen ℕ und Q behauptet, obwohl die Bijektion doch tatsächlich jedes Element betrifft und wegen der Eineindeutigkeit den obigen Beweisen klar widerspricht?
Die Antwort ist einfach: Beide haben nicht erkannt, dass die tatsächlich verwendbaren Zahlen in jeder Menge dieselbe "Mächtigkeit" besitzen, nämlich potentiell unendlich viele sind, während die stets übrig bleibenden Restmengen dunkler Zahlen sehr unterschiedliche Größen besitzen. Beide haben zwar begonnen, tatsächlich die ersten Paare der Abbildung anzugeben, sind dann aber mit einem einfachen "und so weiter" verblieben. Formeln wie f(x) = 2x scheinen ja auch alle Elemente der jeweiligen Menge zu umfassen.
Warum behaupten viele aber trotzdem auch heute noch, dass eine Abbildung zwischen _allen_ Elementen der beteiligten Mengen wie P, ℕ oder Q stattfindet, also tatsächlich eine Bijektion zwischen diesen unendlichen Mengen vorliegt?
Diese Frage bleibt unbeantwortet. Aber sie hat bestimmt nichts mit Mathematik zu tun.
Gruß, WM

Wie und was man zählt ist so unklar wie "gleichmächtig" "usw." oder
"...", "unendlich". So betrachtet sehr vernünftige und grundlegende Fragen.

Gruß:RS

GGMarco

2021-01-20 11:30:45 UTC

Post by Ganzhinterseher
Diese Frage bleibt unbeantwortet. Aber sie hat bestimmt nichts mit Mathematik zu tun.

Das könnte man als non sequitur nehmen.

Trotzdem der Rat: Mach mal Urlaub in Hilberts Hotel und beobachte, wie unendlich viele Busse mit unendlich vielen neuen Gästen auf die Zimmer verteilt werden, obwohl das Hotel schon voll belegt ist. :-)

Gruss, Marco

Rainer Rosenthal

2021-01-20 13:14:24 UTC

Post by Ganzhinterseher
Diese Frage bleibt unbeantwortet. Aber sie hat bestimmt nichts mit Mathematik zu tun.

Das könnte man als non sequitur nehmen.
Trotzdem der Rat: Mach mal Urlaub in Hilberts Hotel und beobachte, wie unendlich viele Busse mit unendlich vielen neuen Gästen auf die Zimmer verteilt werden, obwohl das Hotel schon voll belegt ist. :-)
Gruss, Marco

Geht nicht. Da hat er Hausverbot.

Gruß,
RR

Adolf Göbel

2021-01-20 21:07:28 UTC

Post by Rainer Rosenthal

Post by Ganzhinterseher
Diese Frage bleibt unbeantwortet. Aber sie hat bestimmt nichts mit Mathematik zu tun.

Das könnte man als non sequitur nehmen.
Trotzdem der Rat: Mach mal Urlaub in Hilberts Hotel und beobachte, wie unendlich viele Busse mit unendlich vielen neuen Gästen auf die Zimmer verteilt werden, obwohl das Hotel schon voll belegt ist. :-)
Gruss, Marco

Geht nicht. Da hat er Hausverbot.
Gruß,
RR

Quatsch, er wäre da sehr willkommen. Allerdings hat er
sich auf dem Weg dahin verirrt und ist nun für immer
auf der hoffnungslosen Suche

Grüße
Adi

Ganzhinterseher

2021-01-21 09:07:54 UTC

Post by Ganzhinterseher
Diese Frage bleibt unbeantwortet. Aber sie hat bestimmt nichts mit Mathematik zu tun.

Das könnte man als non sequitur nehmen.

Ist es auch. Aber mengenlehremäßig würde ein Sequitur benötigt. Denn wenn man in jedem Intervall (n, n+2] zwei natürliche Zahlen und nur eine gerade Zahl hat, dann ist das ganz klar ein 2:1 für die natürlichen Zahlen. Nach Mengenlehre müsste außerhalb des von diesen Intervallen überdeckten Bereichs noch etwas folgen, das den geraden Zahlen die Chance zum 1:1-Ausgleich ermöglicht. Es folgt aber nichts. Das mathematisch unanzweifelbare Ergebnis

Lim_{n--> oo} |N ∩ [0, n]| / |E ∩ [0, n]| = 2

widerlegt schlagend die Grundlage der Mengenlehre.

Post by GGMarco
Trotzdem der Rat: Mach mal Urlaub in Hilberts Hotel und beobachte, wie unendlich viele Busse mit unendlich vielen neuen Gästen auf die Zimmer verteilt werden, obwohl das Hotel schon voll belegt ist. :-)

Das ist einfach der Tatsache geschuldet, dass hier potentielle Unendlichkeit angewandt wird. Dass dies nichts mit Mengenlehre zu tun hat, wird klar, wenn der neue Gast im Louvre die Mona Lisa geklaut hat und sie dem aus Zimmer 1 ausziehenden Gast weitergibt, um nicht erwischt zu werden. Natürlich will dieser Gast auch nicht als Hehler dastehen, und gibt sie dem aus seinem Zimmer ausziehenden Gast weiter. Und so weiter. Schließlich ist die Mona Lisa völlig verschwunden, draußen wie drinnen. Hilberts Hotel, angewandt auf die vollendete Unendlichkeit der Mengenlehre. ist also inkonsistenter Unsinn.

Gruß, WM

Michael Klemm

2021-01-21 11:28:20 UTC

Post by Ganzhinterseher
Diese Frage bleibt unbeantwortet. Aber sie hat bestimmt nichts mit Mathematik zu tun.

Das könnte man als non sequitur nehmen.

Nur für natürliche Zahlen unter dieser Einschränkung aber nicht für natürliche Zahlen allgemein.

Gruß
Michael

Post by Ganzhinterseher
Nach Mengenlehre müsste außerhalb des von diesen Intervallen überdeckten Bereichs noch etwas folgen, das den geraden Zahlen die Chance zum 1:1-Ausgleich ermöglicht. Es folgt aber nichts. Das mathematisch unanzweifelbare Ergebnis
Lim_{n--> oo} |N ∩ [0, n]| / |E ∩ [0, n]| = 2
widerlegt schlagend die Grundlage der Mengenlehre.

Juergen Ilse

2021-01-21 12:03:56 UTC

Hallo,

Post by Ganzhinterseher
Ist es auch. Aber mengenlehremäßig würde ein Sequitur benötigt. Denn wenn man in jedem Intervall (n, n+2] zwei natürliche Zahlen und nur eine gerade Zahl hat, dann ist das ganz klar ein 2:1 für die natürlichen Zahlen. Nach Mengenlehre müsste außerhalb des von diesen Intervallen überdeckten Bereichs noch etwas folgen, das den geraden Zahlen die Chance zum 1:1-Ausgleich ermöglicht. Es folgt aber nichts. Das mathematisch unanzweifelbare Ergebnis
Lim_{n--> oo} |N ∩ [0, n]| / |E ∩ [0, n]| = 2
widerlegt schlagend die Grundlage der Mengenlehre.

SIE sind einfach zu daemlich fuer jegliche Art von Mathematik. Sonst wuerden
SIE begreifen, weshalb und wie denn Cantor den Begriff der Maechtigkeit ein-
gefuehrt hat.

Post by Ganzhinterseher
Das ist einfach der Tatsache geschuldet, dass hier potentielle Unendlichkeit angewandt wird.

Bloedsinn! Da wird nichts "potentielles Geblubber" angewandt, da wird ein-
fach die Definition der Unendlichkeit verwendet (z.B. Dedekind-Unendlicchkeit:
Eine Menge ist unendlich, wenn sie gleichmaechtig zu einer ihrer echten Teil-
mengen ist). Solch einen Bloedsinn wie "potentiell unendliche Mengen" benoetigt
man dafuer ueberhaupt nicht.

Post by Ganzhinterseher
Dass dies nichts mit Mengenlehre zu tun hat,

... erkennt jeder, der auch nur etwas von Mathematik verstanden hat, wozu
SIE leider *nicht* gehoeren ...

Tschuess,
Juergen Ilse (***@usenet-verwaltung.de)
PS: zu IHREM Beispiel mit der Mona Lisa: Laesst der Gast das Bild in seinem
Zimmer oder nimmt er es mit? Oder uebergibt er es an einen anderen Gast?
Da *alle* Gaeste gleichzeitig umziehen (Sachen zusammen packen, dann alle
gleichzeitig vor die Tuer treten, alle gleichzeitig ein Zimmer weitergehen,
alle gleichzeitig in ihr neues Zimmer eintreten), ist in jedem dieser Faelle
die neue Position des Bildes eindeutig bestimmt, denn es kann auf diese
Methode nicht "unendlich oft weitergegeben" werden.

Jens Kallup

2021-01-21 14:05:39 UTC

Post by Juergen Ilse
SIE sind einfach zu daemlich fuer jegliche Art von Mathematik. Sonst wuerden
SIE begreifen, weshalb und wie denn Cantor den Begriff der Maechtigkeit ein-
gefuehrt hat.

tschuldige, wenn ich mich da hier einmische.
Aber vor kurzem hatte ich einen Artikel gelesen,
Das oo unterschiedlich Groß sein Können.

man geht Heute von 7 oo aus, wobei sich die
Gelehrten bei der 8. oo streiten, weil das über
den Horizont vom menschlichen geht, und unpassend
in die Mathematik passt.

hier mal was:

Gruß, Jens

Christian Gollwitzer

2021-01-21 17:08:44 UTC

Post by Jens Kallup

Post by Juergen Ilse
SIE sind einfach zu daemlich fuer jegliche Art von Mathematik. Sonst wuerden
SIE begreifen, weshalb und wie denn Cantor den Begriff der
Maechtigkeit ein-
gefuehrt hat.

man geht Heute von 7 oo aus, wobei sich die
Gelehrten bei der 8. oo streiten, weil das über
den Horizont vom menschlichen geht, und unpassend
in die Mathematik passt.

Du kannst sicher sein, dass schon die erste Unendlichkeit (aleph_0) über
den geistigen Horizont von WM geht, was er immer wieder kundtut und zum
Beweis nimmt, dass sie nicht existiere.

Christian

Jens Kallup

2021-01-21 19:21:25 UTC

Post by Christian Gollwitzer
Du kannst sicher sein, dass schon die erste Unendlichkeit (aleph_0) über
den geistigen Horizont von WM geht, was er immer wieder kundtut und zum
Beweis nimmt, dass sie nicht existiere.

Er ist, tja wie soll ich's sagen, irgendwie christlich oder katholisch,
oder sonst was mit dem Göttern, belastet.
Gerade in Augsburg ist es ja kein weiter Weg nach Bayern, wo die Kirche
ja noch so celebriert wird.

Ich mein, das mit den Gott kann ja jeder für sich ausmachen.
Aber das mit Mathematik zu verbinden ist echt eine Kunst.
Unter google findet man viel über "göttliche Geometrie".

Unbestritten gehe ich ja auch von "etwas Höheren" aus, das die ganzen
mathematischen und physikalischen Dinge zusammen hält.
Aber dann immer in kleinen Schritten; was hat die Nachfolge-Generation
davon, wenn es nichts mehr zu erforschen gibt?

Und was Cantor betrifft, so bin ich der Meinung, das die Zitate des
Herrn WM irgendwie ungeeignet sind.
Gut, man kann vieles verwenden, aber gerade Jetzt ist ja viel Neues
hinzu gekommen.
- neue Rechtschreibung: so wird "Klassen" nicht mehr mit C geschrieben
und und und...

Das schöne ist ja, das die legislative hier in Deutschland das Zitieren
erlaubt. Allerdings mit Quellenangabe.
Und wahrlich, WM sein Buch mag ja toll sein, aber irgend wie zu sehr
zitatiert.
So müssen viele Sachverhalte erst in andere Literatur nachgeschlagen
werden. Aber das kann ja auch bilden, das nicht einfach abgeschrieben
wird.
Den kommentarlosen Spruch, der hier folgen würde, den verkneife ich mir
mal ...

Im diesen Sinne,
Euer Schreiberling Jens

Ganzhinterseher

2021-01-22 15:47:29 UTC

Post by Jens Kallup
Aber vor kurzem hatte ich einen Artikel gelesen,
Das oo unterschiedlich Groß sein Können.

Das ist falsch. oo ist keine Zahl, sondern bezeichnet die potentielle Unendlichkeit, also das "immer weiter so". Es ist eine Richtung, und da kann nichts größer oder kleiner sein.

Gruß, WM

Ralf Bader

2021-01-22 17:19:34 UTC

Post by Jens Kallup
Aber vor kurzem hatte ich einen Artikel gelesen,
Das oo unterschiedlich Groß sein Können.

Das ist falsch. oo ist keine Zahl, sondern bezeichnet die potentielle Unendlichkeit, also das "immer weiter so". Es ist eine Richtung, und da kann nichts größer oder kleiner sein.
Gruß, WM

Mückenheim, Sie faseln idiotischen Blödsinn daher.

Ganzhinterseher

2021-01-25 09:49:37 UTC

Post by Ralf Bader
Mückenheim, Sie faseln idiotischen Blödsinn daher.

Neue Ideen haben es immer schwer, sich in gewöhnlichen Köpfen auszubreiten. Schon Newton wurde vorgeworfen, die höhere Differentialrechnung nicht verstanden zu haben.

Gruß, WM

Michael Klemm

2021-01-25 12:16:56 UTC

Post by Ralf Bader
Mückenheim, Sie faseln idiotischen Blödsinn daher.

Neue Ideen haben es immer schwer, sich in gewöhnlichen Köpfen auszubreiten. Schon Newton wurde vorgeworfen, die höhere Differentialrechnung nicht verstanden zu haben.
Gruß, WM

Was kommt denn raus, wenn eine helle Zahl von einer dunklen abgezogen wird? Ist das höhere Differentialrechnung?

Gruß
Michael

Juergen Ilse

2021-01-25 17:49:50 UTC

Hallo,

Post by Michael Klemm
Was kommt denn raus, wenn eine helle Zahl von einer dunklen abgezogen wird? Ist das höhere Differentialrechnung?

Vermutlich aendert sie ihre Farbe von Schwarz zu dunkelgrau, aber da solltest
du dir wohl lieber vom "von ganz hinten gar nix versteher" erklaeren lasssen.

Tschuess,
Juergen Ilse (***@usenet-verwaltung.de)

Ralf Bader

2021-01-25 16:49:34 UTC

Post by Ralf Bader
Mückenheim, Sie faseln idiotischen Blödsinn daher.

Neue Ideen haben es immer schwer, sich in gewöhnlichen Köpfen
auszubreiten. Schon Newton wurde vorgeworfen, die höhere
Differentialrechnung nicht verstanden zu haben.
Gruß, WM

An der Idee, ein verkanntes Genie zu sein, weil man mit seinem
crackpotistischen Krampf nicht ankommt, ist nichts neu.

Ganzhinterseher

2021-01-25 18:36:12 UTC

Post by Ralf Bader

Post by Ganzhinterseher
Neue Ideen haben es immer schwer, sich in gewöhnlichen Köpfen
auszubreiten. Schon Newton wurde vorgeworfen, die höhere
Differentialrechnung nicht verstanden zu haben.

An der Idee, ein verkanntes Genie zu sein, weil man mit seinem
crackpotistischen Krampf nicht ankommt, ist nichts neu.

Wer nicht erkennt, dass genau halb so viele gerade natürliche Zahlen wie natürliche Zahlen existieren, steht außerhalb der Mathematik, denn dort beweist man

Lim_{n→∞} |G ∩ [0, n]| / |N ∩ [0, n]| = 1/2.

Wer es erkennt, aber trotzdem eine Bijektion zwischen G und N behauptet, deren Vorbedingung absolut genaue Gleichzahligkeit ist, ist inkonsquent. Dazu passt der Glaube
- dass jede Menge wohlgeordnet werden kann, obwohl |R nicht wohlgeordnet werden kann,
- dass eine abzählbare Menge nicht abgezählt werden kann,
- dass Gleichzahligkeit nicht Bedingung einer Bijektion ist, eine Bijektion aber Gleichzahligkeit beweist.

Man muss durchaus kein Genie sein und auch kein Psychologe, um dies alles zutreffend als eine Psychose klassifizieren zu können.

Gruß, WM

Python

2021-01-25 19:02:08 UTC

Post by Ralf Bader
Mückenheim, Sie faseln idiotischen Blödsinn daher.

Neue Ideen haben es immer schwer, sich in gewöhnlichen Köpfen
auszubreiten. Schon Newton wurde vorgeworfen, die höhere
Differentialrechnung nicht verstanden zu haben.

The Crackpot Index

https://math.ucr.edu/home/baez/crackpot.html

"40 points for comparing yourself to Galileo, suggesting that a
modern-day Inquisition is hard at work on your case, and so on."

Mostowski Collapse

2021-02-03 13:58:17 UTC

Hat WM das geschrieben?

Oder man bilde anstatt der natürlichen Zahlen die Primzahlen auf die Brüche
ab. Und schon wieder fehlt Surjektivität, jetzt in der anderen Richtung.

Jetzt verstehe ich warum Juergen Ilse darauf besteht, dass
ich das "Es gibt" nicht abkürze. Aber andererseits kann man
obigen Lapsus wohl nicht mir in die Schuhe schieben?

Was soll überhaupt Surjektivität in die andere Richtung genau heissen.
Es gibt doch nur eine Seite Surjektivität, die andere Seite ist
Injektivität. Hin und Her Surjektivität ergibt das eine Bijektion?

Nun eine Funktion ist immer LINKSTOTAL. D.h. die andere
Surjektivität sagt nicht viel aus. Diese Abbildung hier:

f : {0,1} -> {0}
f(x) = 0

Ist Hin und Her Surjektiv aber keine Bijektion zwischen
{0,1} und {0}.

Siehe auch:

Kapitel 2 Relationen
https://www.uni-konstanz.de/algo/lehre/ss08/mg/skript/kap2.pdf

Post by Ralf Bader
Mückenheim, Sie faseln idiotischen Blödsinn daher.

Neue Ideen haben es immer schwer, sich in gewöhnlichen Köpfen
auszubreiten. Schon Newton wurde vorgeworfen, die höhere
Differentialrechnung nicht verstanden zu haben.

The Crackpot Index
https://math.ucr.edu/home/baez/crackpot.html
"40 points for comparing yourself to Galileo, suggesting that a
modern-day Inquisition is hard at work on your case, and so on."

Ganzhinterseher

2021-02-03 21:24:20 UTC

Post by Mostowski Collapse
Was soll überhaupt Surjektivität in die andere Richtung genau heissen.
Es gibt doch nur eine Seite Surjektivität, die andere Seite ist
Injektivität.

Falsch. Die andere Seite wäre "ist keine Abbildung". Aber bei einer Bijektion kann man die Seiten vertauschen.

Post by Mostowski Collapse
Hin und Her Surjektivität ergibt das eine Bijektion?

Nein, aber eine Bijektion erlaubt die Vertauschung der Abbildungsrichtung.

Post by Mostowski Collapse
Nun eine Funktion ist immer LINKSTOTAL.

Eben. Deshalb hat Obiges nichts mit Injektivität zu tun.

Post by Mostowski Collapse
Kapitel 2 Relationen
https://www.uni-konstanz.de/algo/lehre/ss08/mg/skript/kap2.pdf

Siehe auch W. Mückenheim: "Mathematik für die ersten Semester", 4th ed., De Gruyter, Berlin (2015), Kap. 3 Relationen.

Gruß, WM

Mostowski Collapse

2021-02-04 09:35:33 UTC

Aber wenn man schon die Richtung vertauschen kann,
wieso funktioniert dann bei Ihnen nichts? Wo ist die
Widerlegung der Bijektion zwischen natürlichen Zahlen

und rationalen Zahlen? Wo ist der Zeuge dass im binären
Baum eine rationale Zahl fehlt die irgendwann definiert ist?
Hat sie die Maus von Cantor gefressen? Vielleicht unter

einem dunklen Nebel versteckt?

LoL

Post by Mostowski Collapse
Was soll überhaupt Surjektivität in die andere Richtung genau heissen.
Es gibt doch nur eine Seite Surjektivität, die andere Seite ist
Injektivität.

Falsch. Die andere Seite wäre "ist keine Abbildung". Aber bei einer Bijektion kann man die Seiten vertauschen.

Post by Mostowski Collapse
Hin und Her Surjektivität ergibt das eine Bijektion?

Nein, aber eine Bijektion erlaubt die Vertauschung der Abbildungsrichtung.

Post by Mostowski Collapse
Nun eine Funktion ist immer LINKSTOTAL.

Eben. Deshalb hat Obiges nichts mit Injektivität zu tun.

Post by Mostowski Collapse
Kapitel 2 Relationen
https://www.uni-konstanz.de/algo/lehre/ss08/mg/skript/kap2.pdf

Siehe auch W. Mückenheim: "Mathematik für die ersten Semester", 4th ed., De Gruyter, Berlin (2015), Kap. 3 Relationen.
Gruß, WM

Mostowski Collapse

2021-02-04 09:44:17 UTC

Dieser Satz von WM tut nichts zur Sache:
"Alles, was man bezeichnen kann hat mehr Nachfolger als Vorgänger?"

Es bezeugt nur, dass jede natürliche Zahl in
WMs Welt irgendwann definiert ist. Well
wenn man jetzt {1,..n} bezeichnen kann,

dann ist zwar N \ {1,..,n} "grösser" als {1,..,n}.
Aber früher oder später kann man auch n+1
bezeichnen. D.h. in WMs Welt bleibt immer

ein dunkler Rest N \ {1,..,n+1}, etc.. Aber für
die Elemente selber spielt das keine Rolle.
Jedes Element kommt irgendwann dran.

Darum meine Frage:

"Wo ist der Zeuge dass im binären Baum eine
rationale Zahl fehlt die >>irgendwann definiert<< ist?

LoL

Post by Mostowski Collapse
Aber wenn man schon die Richtung vertauschen kann,
wieso funktioniert dann bei Ihnen nichts? Wo ist die
Widerlegung der Bijektion zwischen natürlichen Zahlen
und rationalen Zahlen? Wo ist der Zeuge dass im binären
Baum eine rationale Zahl fehlt die irgendwann definiert ist?
Hat sie die Maus von Cantor gefressen? Vielleicht unter
einem dunklen Nebel versteckt?
LoL

Post by Mostowski Collapse
Was soll überhaupt Surjektivität in die andere Richtung genau heissen.
Es gibt doch nur eine Seite Surjektivität, die andere Seite ist
Injektivität.

Falsch. Die andere Seite wäre "ist keine Abbildung". Aber bei einer Bijektion kann man die Seiten vertauschen.

Post by Mostowski Collapse
Hin und Her Surjektivität ergibt das eine Bijektion?

Nein, aber eine Bijektion erlaubt die Vertauschung der Abbildungsrichtung.

Post by Mostowski Collapse
Nun eine Funktion ist immer LINKSTOTAL.

Eben. Deshalb hat Obiges nichts mit Injektivität zu tun.

Post by Mostowski Collapse
Kapitel 2 Relationen
https://www.uni-konstanz.de/algo/lehre/ss08/mg/skript/kap2.pdf

Siehe auch W. Mückenheim: "Mathematik für die ersten Semester", 4th ed., De Gruyter, Berlin (2015), Kap. 3 Relationen.
Gruß, WM

Ganzhinterseher

2021-02-04 16:31:17 UTC

Post by Mostowski Collapse
Jedes Element kommt irgendwann dran.

Nein. Man kann zwar alle entfernen, so dass keines übrig bleibt, indem man die ganze Menge entfernt. Man nennt das Crowddeleting oder Clouddeleting. Man kann aber niemals Elemente individuell entfernen, so dass keines übrig bleibt. Ist Dir dieser Unterschied verständlich?

Gruß, WM

Gus Gassmann

2021-02-04 18:38:32 UTC

Post by Mostowski Collapse
Jedes Element kommt irgendwann dran.

Es scheint, dass WM wieder mal den Unterschied zwischen lim {n->oo, card( [n,n+1,...] )} und card( lim{n->oo, [n,n+1,...] } ) nicht wahrhaben will. Ganz und gar nichts Neues also.

Ganzhinterseher

2021-02-05 10:41:44 UTC

Post by Mostowski Collapse
Jedes Element kommt irgendwann dran.

Es scheint, dass WM wieder mal den Unterschied zwischen lim {n->oo, card( [n,n+1,...] )} und card( lim{n->oo, [n,n+1,...] } ) nicht wahrhaben will.

Du solltest erst denken und dann schreiben. Wo kommt denn cardLim vor?

Es geht nur um einen ganz einfachen Sachverhalt: Man kann individuell Elemente entfernen und man kann Mengen von Elementen entfernen. Wenn man individuell Elemente entfernt, so bleibt immer etwas übrig. Wenn man Mengen entfernt, so kann man erreichen, dass nichts übrig bleibt.

Gruß, WM

Michael Klemm

2021-02-05 11:19:57 UTC

Post by Mostowski Collapse
Jedes Element kommt irgendwann dran.

Es scheint, dass WM wieder mal den Unterschied zwischen lim {n->oo, card( [n,n+1,...] )} und card( lim{n->oo, [n,n+1,...] } ) nicht wahrhaben will.

Auch einzelne natürliche Zahlen können nur als einelementige Mengen {{/0,{/0}...}} von IN abgezogen werden.

Gruß
Michael

Post by Ganzhinterseher
Wenn man individuell Elemente entfernt, so bleibt immer etwas übrig. Wenn man Mengen entfernt, so kann man erreichen, dass nichts übrig bleibt.
Gruß, WM

Ganzhinterseher

2021-02-06 09:52:28 UTC

Post by Michael Klemm

Post by Mostowski Collapse
Jedes Element kommt irgendwann dran.

Es scheint, dass WM wieder mal den Unterschied zwischen lim {n->oo, card( [n,n+1,...] )} und card( lim{n->oo, [n,n+1,...] } ) nicht wahrhaben will.

Auch einzelne natürliche Zahlen können nur als einelementige Mengen {{/0,{/0}...}} von IN abgezogen werden.

Selbstverständlich. Aber auf diese Weise kann man die Menge ℕ nicht erschöpfen. Dazu muss man ein Endsegment {n, n+1, n+2, ...} abziehen, das fast nur Zahlen enthält, die nicht als einelementige Mengen abgezogen werden können.

Gruß, WM

Juergen Ilse

2021-02-06 13:22:18 UTC

Hallo,

Post by Michael Klemm
Auch einzelne natürliche Zahlen können nur als einelementige Mengen {{/0,{/0}...}} von IN abgezogen werden.

Auch wenn SIE bei weitem zu daemlich sind, um es zu begreifen: Es gibt keine
natuerliche Zahl, die sich nicht "individuell aus |N entfernen" liesse, es
it aber unoeglich "unendlich oft" eine Teilmenge zu entfernen, und deswegen
ist es unmoeglich, eine unendliche Menge durch wiederholtes "entfernen
einzelner Elemete" zu "erschoepfen", und deswegen gibt es auch keine Not-
wendigkeit con "dunklen Zahlen", und die von IHNEN diesen angeblichen
dunklen Zahlen zugeschriebenen Eigenschaften ("koennen nicht ausgewaehlt
oder verglichen werden") sind keine Eigenschaften, die irgend eine Zahl in
der Mathematik haben koennte, Zumindest sind SIE unfaehig, ein widerspruchs-
freies Axiomensystem vorzulegen, dass solche Zahlen erlauben wuerde.
IHRE Formulierungen sind uebrigens mal wieder hoechst unmathematisch ...

Tschuess,
Juerggen Ilse (***@usenet-verwaltung.de)

Ganzhinterseher

2021-02-06 16:19:04 UTC

Es gibt keine
natuerliche Zahl, die sich nicht "individuell aus |N entfernen" liesse,

Das ist falsch, denn nach jedem Versuch bleiben noch unendlich viele darin

Post by Ganzhinterseher
es
it aber unoeglich "unendlich oft" eine Teilmenge zu entfernen

Genau. Deswegen kann man fast alle nicht einzeln entfernen. Es ist Fakt. Weshalb bestreitest Du es?

Post by Ganzhinterseher
, und deswegen
ist es unmoeglich, eine unendliche Menge durch wiederholtes "entfernen
einzelner Elemete" zu "erschoepfen"

Genau. Deswegen ist es sicher, dass nach jedem Versuch noch fast alle Elemente vorhanden sind.

Post by Ganzhinterseher
, und deswegen gibt es auch keine Not-
wendigkeit con "dunklen Zahlen", und die von IHNEN diesen angeblichen
dunklen Zahlen zugeschriebenen Eigenschaften ("koennen nicht ausgewaehlt
oder verglichen werden") sind keine Eigenschaften, die irgend eine Zahl in
der Mathematik haben koennte

Doch, es sind dies fast alle, nämlich alle diejenigen, die bei jedem Versuch übrig bleiben.

Post by Ganzhinterseher
, Zumindest sind SIE unfaehig, ein widerspruchs-
freies Axiomensystem vorzulegen, dass solche Zahlen erlauben wuerde.

Ich will sie ja auch gar nicht erlauben und würde sie bestimmt nicht erlauben, wenn ich die Befugnis hätte, darüber zu entscheiden. Ich stelle nur fest, dass jeder Versuch, Zahlen einzeln zu behandeln, aufzuzählen, zu entfernen oder was immer man sich einfallen lassen mag, zum Scheitern verurteilt ist. Eine aktual unendliche Menge bleibt immer übrig, wohingegen es niemals gelingt, mehr als einen verschwindenden Bruchteil zu erfassen.

Gruß, WM

Gus Gassmann

2021-02-06 15:20:56 UTC

Post by Ganzhinterseher
Du solltest erst denken und dann schreiben. Wo kommt denn cardLim vor?
Es geht nur um einen ganz einfachen Sachverhalt: Man kann individuell Elemente entfernen und man kann Mengen von Elementen entfernen. Wenn man individuell Elemente entfernt, so bleibt immer etwas übrig. Wenn man Mengen entfernt, so kann man erreichen, dass nichts übrig bleibt.

Wenn man "Mengen entfernt" so, dass "nichts übrig bleibt", muss zwangsweise zumindest eine dieser Mengen unendlich viele Element enthalten. Warum wohl?

Ganzhinterseher

2021-02-06 16:37:21 UTC

Post by Gus Gassmann

Wenn man "Mengen entfernt" so, dass "nichts übrig bleibt", muss zwangsweise zumindest eine dieser Mengen unendlich viele Element enthalten. Warum wohl?

Darum: Voraussetzung all des dunklen Zaubers ist die Cantorsche aktual unendliche Menge. Ohne die aktuale Unendlichkeit, gibt es keine dunklen Zahlen. Die sind in der potentiellen Unendlichkeit einfach nicht da. Sie werden ja nicht gebraucht, um etwas, das man nicht einzeln erschöpfen kann, zu unterfüttern.

Gruß, WM

Ganzhinterseher

2021-02-04 16:24:48 UTC

Post by Mostowski Collapse
Aber wenn man schon die Richtung vertauschen kann,
wieso funktioniert dann bei Ihnen nichts?

Bei Cantor funktioniert nichts, weil keine Bijektion vorliegt.

Post by Mostowski Collapse
Wo ist die
Widerlegung der Bijektion zwischen natürlichen Zahlen
und rationalen Zahlen?

Nochmal, ganz langsam, wenn möglich zum Mitdenken:

Jede natürliche Zahl n, die in einer Bijektion abgebildet werden kann, kann auch einzeln aus der Menge (n, n+1, n+2, ...) entfernt werden. Jede derartige Zahl lässt einen Rest (n+1, n+2, ...) übrig. Dieser Rest kann auch aus der Menge entfernt werden, so dass nichts übrig bleibt. Er besteht also aus natürlichen Zahlen. Fast alle Zahlen dieser Menge können aber nicht einzeln entfernt werden.

Post by Mostowski Collapse
Wo ist der Zeuge dass im binären
Baum eine rationale Zahl fehlt die irgendwann definiert ist?

Diese Zeugen schweigen, denn jeder Zeuge, der redet, kann eliminiert werden.

Gruß, WM

Roalto

2021-02-06 20:18:45 UTC

Ja, das ist es! Dunkle Zahlen in dunklen Nebeln. Eigentlich sind dunkle Zahlen sogenannte
"Schwarzlochzahlen", denn sie verhalten sich wie schwarze Löcher. Ihre Information für die
Welt ist verloren. Normale Zahlen, die den Schwarzlochzahlen zu nahe kommen, werden eingesaugt
und verschwinden dann ebenfalls. Ihre Information wird, wegen des Informationsparadoxons, auf der
Oberfläche der Schwarzlochzahlen verteilt, wie im holographischen Universum und bilden
die "Holographischen Zahlen". Das ist cool!

Viel Spass weiterhin
Roalto

Juergen Ilse

2021-02-06 21:05:50 UTC

Hallo,

Post by Roalto

Ja, das ist es! Dunkle Zahlen in dunklen Nebeln.

Eigentlich eher "dunkle Zahlen aus einem komplett verdunkeltwen Vwertand".
Wenn da auch nur ein fuenkchen Helligkeit in dem Verstand waere, wuerde er
nicht mit so etwas hirnrissigem wie "dunklen Zahlen" ankommen.

Tschuess,
Juergen Ilse (***@usenet-verwaltung.de)

Ganzhinterseher

2021-02-06 22:20:06 UTC

Post by Juergen Ilse
Wenn da auch nur ein fuenkchen Helligkeit in dem Verstand waere, wuerde er
nicht mit so etwas hirnrissigem wie "dunklen Zahlen" ankommen.

Du selbst hast doch gesagt, es sei "unmoeglich, eine unendliche Menge durch wiederholtes 'entfernen
einzelner Elemente' zu 'erschoepfen'. Also gibt es Elemente, die das Erschöpfen in jedem Falle verunmöglichen, weil sie sich nicht einzeln entfernen lassen. Weiter wird nichts behauptet. Dass sie trotzdem da sind, wird bewiesen, indem diese Zahlen kollektiv entfernt werden.

Gruß, WM

Juergen Ilse

2021-02-07 13:01:00 UTC

Hallo,

Post by Juergen Ilse
Wenn da auch nur ein fuenkchen Helligkeit in dem Verstand waere, wuerde er
nicht mit so etwas hirnrissigem wie "dunklen Zahlen" ankommen.

Du selbst hast doch gesagt, es sei "unmoeglich, eine unendliche Menge durch wiederholtes 'entfernen
einzelner Elemente' zu 'erschoepfen'.

Stimmt. Aber nicht, weil es Elemente geben wuerde, die man nicht einzeln
entfernen kann, sondern weil das ein sequentieller nicht endender Prozess
waere, und man deswegen *niemals* ans Ende kommen wuerde. SIE sind wirklich
*viel* zu daemlich fuer jegliche Art von Mathematik.

Post by Ganzhinterseher
Also gibt es Elemente, die das Erschöpfen in jedem Falle verunmöglichen,

Nein. Es gibt keine Moeglichkeit ans Ende eines nie endenden Prozesses zu
kommen, und deswegen funktioniert das nicht, obwohl das "entfernen" jeder
beliebigen einzelnen natuerlichen Zahl moeglich waere.

Tschuess,
Juergen Ilse (***@usenet-verwaltung.de)

Ganzhinterseher

2021-02-07 17:27:38 UTC

Post by Ganzhinterseher
es sei "unmoeglich, eine unendliche Menge durch wiederholtes 'entfernen
einzelner Elemente' zu 'erschoepfen'.

Stimmt. Aber nicht, weil es Elemente geben wuerde, die man nicht einzeln
entfernen kann,

Offenbar gibt es die, denn es ist ja unmöglich, alle einzeln entfernen.

Post by Juergen Ilse
Nein. Es gibt keine Moeglichkeit ans Ende eines nie endenden Prozesses zu
kommen,

Doch, die gibt es. Man muss lediglich darauf verzichten, die Elemente individuell zu entnehmen. Ein schönes Beispiel ist das Intervall (0, 1/n). Jeder individuell entfernte Stammbruch belässt unendlich viele Stammbrüche im Intervall. Diese können aber als ungegliederte dunkle Masse entfernt werden. Deine Aussage "Es gibt keine Moeglichkeit ans Ende eines nie endenden Prozesses zu kommen" ist also falsch. Richtig ist: Es gibt keine Möglichkeit, in definierbaren Schritten ans Ende zu kommen, zum Beispiel Abbildungen der Elemente bis zum Ende durchzuführen.

Post by Juergen Ilse
obwohl das "entfernen" jeder
beliebigen einzelnen natuerlichen Zahl moeglich waere.

Auch das ist falsch. Jeder Stammbruch, den Du *belieben* (oder sonstwie individuell behandeln) kannst, belässt unendlich viele Stammbrüche in der unmittelbaren Nähe der Null. Diese Menge kann man nicht beliebig verkleinern, denn sie besitzt die Kardinalzahl ℵo, enthält also fast alle Stammbrüche. Unabänderlich. Man kann sie jedoch entfernen, wenn man die ungegliederte dunkle Masse akzeptiert und entfernt.

Gruß, WM

Juergen Ilse

2021-02-08 16:24:22 UTC

Hallo,

Post by Ganzhinterseher
es sei "unmoeglich, eine unendliche Menge durch wiederholtes 'entfernen
einzelner Elemente' zu 'erschoepfen'.

Stimmt. Aber nicht, weil es Elemente geben wuerde, die man nicht einzeln
entfernen kann,

Offenbar gibt es die, denn es ist ja unmöglich, alle einzeln entfernen.

Nein, SIE Vollhonk, die gibt es *nicht*!

Post by Juergen Ilse
Nein. Es gibt keine Moeglichkeit ans Ende eines nie endenden Prozesses zu
kommen,

Doch, die gibt es.

Nein, die gibt es nicht, auch wenn SIE viel zu daemlich sind das zu begreifen.

Post by Ganzhinterseher
Man muss lediglich darauf verzichten, die Elemente individuell zu entnehmen.

Bloedsinn. Wenn man allerdings in einem Schritt so viel entnimmt, dass nur
noch endlich viel uebrig bleib t, ist der Prozess des "schrittweise wegnehmens"
ein nach endlich vielen Schritten terminierender Prozess, und den kann man
selbstverstaendlich zu Ende fuehren.

Post by Ganzhinterseher
Ein schönes Beispiel ist das Intervall (0, 1/n). Jeder individuell
entfernte Stammbruch belässt unendlich viele Stammbrüche im Intervall.

Das ist doch hier wieder das selbe wie bei den natuerlichen Zahlen (ja,
*genau* *das* *gleiche*). Aber SIE sind zu daemlich, um das einzusehen.

Post by Ganzhinterseher
Diese können aber als ungegliederte dunkle Masse entfernt werden.

Nicht "als dunkle Masse" sondern als "unendliche Menge", und nein, das sind
keine "dubklen" Zahlen, sondern ganz ormale Brueche (u.U. mit extrem grossem
Nenner).

Post by Ganzhinterseher
Deine Aussage "Es gibt keine Moeglichkeit ans Ende eines nie endenden Prozesses zu kommen" ist also falsch.

Nein, SIE mathematischer Vollidiot!. Durch ihr "den Rest in einem Schritt
entdernen" fassen SIE unendlich viele "Entfernungen von Einzelelementen"
zu einer einzigen "Entfernung einer unendlichen Menge" zusammen, und damit
ist die Zahl der Schritte endlich und der Prozess nicht mer "nicht termi-
nierend".
Dass SIEin Bezug auf Mathematik so gewaltig einen an der Waffel, dass man
IHNEN die Lehrbefugnis entziehen sollte, bevor noch jemand IHREN intellek-
tuellen Sondernuell aus Versehen fuer b<re Muenze nimmt.

Tschuess,
Juergen Ilse (***@usenet-verwaltung.de)

Ganzhinterseher

2021-02-08 22:34:50 UTC

Post by Juergen Ilse
Hallo,

Post by Ganzhinterseher
es sei "unmoeglich, eine unendliche Menge durch wiederholtes 'entfernen
einzelner Elemente' zu 'erschoepfen'.

Stimmt. Aber nicht, weil es Elemente geben wuerde, die man nicht einzeln
entfernen kann,

Offenbar gibt es die, denn es ist ja unmöglich, alle einzeln entfernen.

Nein,

Wenn es unmöglich ist, die Menge zu erschöpfen, dann muss dies durch Elemente verursacht werden, die sich nicht erschöpfen lassen.

Post by Juergen Ilse
Nein. Es gibt keine Moeglichkeit ans Ende eines nie endenden Prozesses zu
kommen,

Doch, die gibt es.

Nein, die gibt es nicht

Du kannst doch die restlichen Elemente einfach kollektiv entfernen.

Post by Ganzhinterseher
Man muss lediglich darauf verzichten, die Elemente individuell zu entnehmen.

Wenn man allerdings in einem Schritt so viel entnimmt, dass nur
noch endlich viel uebrig bleibt

Nein, man nimmt so viel, dass nichts mehr übrig bleibt. Um die menge der natürlichen Zahlen zu erschöpfen, entfernt man einfach die gesamte Menge, die noch übrig ist, nachdem man es Schritt für Schritt versucht hat.

Post by Juergen Ilse
ein nach endlich vielen Schritten terminierender Prozess, und den kann man
selbstverstaendlich zu Ende fuehren.

Er terminiert sogar nach einem Schritt. Der wird im allgemeinen durch "..." ausgedrückt:

1, 2, 3, 4, 5, 6, ...

Post by Ganzhinterseher
Ein schönes Beispiel ist das Intervall (0, 1/n). Jeder individuell
entfernte Stammbruch belässt unendlich viele Stammbrüche im Intervall.

Das ist doch hier wieder das selbe wie bei den natuerlichen Zahlen (ja,
*genau* *das* *gleiche*).

Richtig. Aber anstatt im wolkigen Unendlichen herumzufuhrwerken, kommt man and die gut erkennbare 0 und nimmt alles vor ihr liegende einfach weg. Täte man es schrittweise, so käme man wegen der linearen Ordnung an einen letzten Stammbruch. Es geht also nicht schrittweise. Aber es geht kollektiv, weil die dunklen Zahlen nicht identifizierbar sind, erfolgt kein letzter Schritt.

Post by Ganzhinterseher
Diese können aber als ungegliederte dunkle Masse entfernt werden.

Nicht "als dunkle Masse" sondern als "unendliche Menge", und nein, das sind
keine "dubklen" Zahlen, sondern ganz ormale Brueche (u.U. mit extrem grossem
Nenner).

Dann würde eine der letzte sein, denn wenn man bei der 0 ankommt, sind alle weg. Könnte man sie unterscheiden, wären sie nacheinander weggefallen. Das ist auch bei extrem großem Nenner nicht möglich.

Post by Ganzhinterseher
Deine Aussage "Es gibt keine Moeglichkeit ans Ende eines nie endenden Prozesses zu kommen" ist also falsch.

Durch ihr "den Rest in einem Schritt
entfernen" fassen SIE unendlich viele "Entfernungen von Einzelelementen"
zu einer einzigen "Entfernung einer unendlichen Menge" zusammen,

Anders geht es nicht. Bei der Null kommt man ja erst an, wenn alle Stammbrüche fortgenommen sind. Bei einzelnen Schritten in linearer Ordnung wäre da ein letzter.

Gruß, WM

Juergen Ilse

2021-02-08 22:44:45 UTC

Hallo,

Post by Juergen Ilse
Hallo,

Post by Ganzhinterseher
es sei "unmoeglich, eine unendliche Menge durch wiederholtes 'entfernen
einzelner Elemente' zu 'erschoepfen'.

Stimmt. Aber nicht, weil es Elemente geben wuerde, die man nicht einzeln
entfernen kann,

Offenbar gibt es die, denn es ist ja unmöglich, alle einzeln entfernen.

Nein,

Wenn es unmöglich ist, die Menge zu erschöpfen, dann muss dies durch Elemente verursacht werden, die sich nicht erschöpfen lassen.

Oh Mann! Wie daemlich kann ein einzelner Mensch nur sein?

Post by Juergen Ilse
Nein. Es gibt keine Moeglichkeit ans Ende eines nie endenden Prozesses zu
kommen,

Doch, die gibt es.

Nein, die gibt es nicht

Du kannst doch die restlichen Elemente einfach kollektiv entfernen.

Wenn man unendlich viele Schritte (mit jeweils entfernen eines einzelnen
Elements) durch einen einzigen Schritt (mit kollektivem entfernen von
unendlich vielen Elementen´in nur einem Schritt) wird aus einem Prozess
mit unendlich vielen Schritten (der *nicht* terminiert) ein Prozess mit
*endlich* vielen Schritten, der selbstverstaendlich terminiert (sofern
nach diesem einen Schritt nicht noch unendlich viele Elemente verbleiben).
Das sollte selbst einen Menschen mit mittlerem zweistelligen IQ nicht
ueberfordern. Ziehen SIE selbst IHRE Schlussfolgerung daraus, dass SIE
das nicht begreifen ...

Tschuess,
Juergen Ilse (***@usenet-verwaltung.de)

Ganzhinterseher

2021-02-09 10:34:32 UTC

Post by Juergen Ilse
Wenn man unendlich viele Schritte (mit jeweils entfernen eines einzelnen
Elements) durch einen einzigen Schritt (mit kollektivem entfernen von
unendlich vielen Elementen´in nur einem Schritt) wird aus einem Prozess
mit unendlich vielen Schritten (der *nicht* terminiert)

Sobald die 0 isoliert dasteht, hat der Prozess ein Ende gefunden. Dies ist durch kollektive Entfernung aller Stammbrüche möglich, durch sukzessive Entfernung der einzelnen Stammbrüche aber nicht.

Post by Juergen Ilse
Ziehen SIE selbst IHRE Schlussfolgerung daraus,

Es geht allein darum, zu begreifen, dass die schrittweise Entfernung der individuellen Stammbrüche die Null nicht isolieren kann, dies bei kollektiver Entfernung der nicht individualisierten Stammbrüche aber gelingt. Es geht also darum, Deine Behauptung, dass alle Stammbrüche individuell entfernt werden könnten, als falsch zu erkennen.

Gruß, WM

Ganzhinterseher

2021-02-06 22:12:11 UTC

Post by Roalto
Eigentlich sind dunkle Zahlen sogenannte
"Schwarzlochzahlen", denn sie verhalten sich wie schwarze Löcher. Ihre Information für die
Welt ist verloren. Normale Zahlen, die den Schwarzlochzahlen zu nahe kommen, werden eingesaugt
und verschwinden dann ebenfalls.

Falsch. Dunkle Zahlen, die den normalen zu nahe kommen, werden normalisiert. Trotzdem bleiben stets ℵo Zahlen dunkel, falls es ℵo Zahlen gibt.

Gruß, WM

Roalto

2021-02-07 16:28:19 UTC

Falsch. Dunkle Zahlen, die den normalen zu nahe kommen, werden normalisiert. Trotzdem bleiben stets ℵo Zahlen dunkel, falls es ℵo Zahlen gibt.
Gruß, WM

Oh, Erleuchteter. Dann werden "Schwarzlochzahlen" zu "Weisslochzahlen"? Vermittels welcher Art von Energie?
Eine neue Energie, "Mückenheim Strahlung"?

Viel Spass weiterhin
Roalto

Ganzhinterseher

2021-02-08 10:10:02 UTC

Post by Roalto

Falsch. Dunkle Zahlen, die den normalen zu nahe kommen, werden normalisiert. Trotzdem bleiben stets ℵo Zahlen dunkel, falls es ℵo Zahlen gibt.

Dann werden "Schwarzlochzahlen" zu "Weisslochzahlen"? Vermittels welcher Art von Energie?

Reversion von kTln2.

Jede natürliche Zahl, die individuell adressiert, von ℕ subtrahiert, gezählt oder abgebildet werden kann, gehört zu einem potentiell unendlichen Anfangssegment, auf das noch fast alle ℵo natürlichen Zahlen folgen, von denen ℵo nicht individuell adressiert, von ℕ subtrahiert, gezählt oder abgebildet werden können. Diese können aber kollektiv von ℕ subtrahiert werden, so dass nichts übrig bleibt. Also folgen nicht auf jede natürliche Zahl ℵo natürliche Zahlen, sondern nur auf jede, die individuell adressiert, von ℕ subtrahiert, gezählt oder in Abbildungen verwendet werden kann.

Und mehr bedarf's nicht.

Gruß, WM

Mostowski Collapse

2021-02-08 12:29:27 UTC

Wie erklären Sie denn dass gewisse Umkehrfunktionen
berechenbar sind, und gewisse nicht?

Was bedarf es denn da?

Post by Roalto

Falsch. Dunkle Zahlen, die den normalen zu nahe kommen, werden normalisiert. Trotzdem bleiben stets ℵo Zahlen dunkel, falls es ℵo Zahlen gibt.

Dann werden "Schwarzlochzahlen" zu "Weisslochzahlen"? Vermittels welcher Art von Energie?

Reversion von kTln2.
Jede natürliche Zahl, die individuell adressiert, von ℕ subtrahiert, gezählt oder abgebildet werden kann, gehört zu einem potentiell unendlichen Anfangssegment, auf das noch fast alle ℵo natürlichen Zahlen folgen, von denen ℵo nicht individuell adressiert, von ℕ subtrahiert, gezählt oder abgebildet werden können. Diese können aber kollektiv von ℕ subtrahiert werden, so dass nichts übrig bleibt. Also folgen nicht auf jede natürliche Zahl ℵo natürliche Zahlen, sondern nur auf jede, die individuell adressiert, von ℕ subtrahiert, gezählt oder in Abbildungen verwendet werden kann.
Und mehr bedarf's nicht.
Gruß, WM

Ganzhinterseher

2021-02-08 22:20:43 UTC

Post by Mostowski Collapse
Wie erklären Sie denn dass gewisse Umkehrfunktionen
berechenbar sind, und gewisse nicht?

Alle unendlichen Funktionen sind auf die Anfangsabschnitte beschränkt. Viele Berechner erkennen die fehlenden Teile nicht und meinen, dass ihre Berechungen alle natürlichen Zahlen beträfen. Das ist falsch.

Kannst Du im Folgenden einen Punkt finden, den Du nicht billigst? Dann bitte angeben.

Jede natürliche Zahl, die individuell adressiert, von ℕ subtrahiert, gezählt oder abgebildet werden kann, gehört zu einem potentiell unendlichen Anfangssegment, auf das noch fast alle ℵo natürlichen Zahlen folgen, von denen ℵo nicht individuell adressiert, von ℕ subtrahiert, gezählt oder abgebildet werden können. Diese können aber kollektiv von ℕ subtrahiert werden, so dass nichts übrig bleibt. Also folgen nicht auf jede natürliche Zahl ℵo natürliche Zahlen, sondern nur auf jede, die individuell adressiert, von ℕ subtrahiert, gezählt oder in Abbildungen verwendet werden kann.

Gruß, WM

Juergen Ilse

2021-01-24 02:39:07 UTC

Hallo,

Post by Jens Kallup

Post by Juergen Ilse
SIE sind einfach zu daemlich fuer jegliche Art von Mathematik. Sonst wuerden
SIE begreifen, weshalb und wie denn Cantor den Begriff der Maechtigkeit ein-
gefuehrt hat.

tschuldige, wenn ich mich da hier einmische.
Aber vor kurzem hatte ich einen Artikel gelesen,
Das oo unterschiedlich Groß sein Können.

Ja. So ist z.B. (von Cantor nachgewiesen) die Maechtigkeit der reellen Zahlen
groesser als die MAechtigkeit der natuerlichen Zahlen, waehrend die Maechtig-
keit der rationalen Zahlen (ebenfalls von Cantor vor langer Zeit gezeigt)
gleich der Maeechtigkeit der natuerlichen Zahlen ist. Man knn also eine
bisjektive Abbilldung von den natuerlichen Zahlen auf die rationalen Zahlen
konstruieren, aber es ist *unmoeglich* eine bijektie Abbildung von den
natuerlichen Zahlen auf die reellen Zahlen zu konstruieren: egal, wie man es
versucht, es wird *immer* mindestens eine reelle Zahl *nicht* bei dieser
Abbildung als Bild auftauchen.

Man kann nachweisen, dass die Potenzmenge einer Menge *immer* eine groessere
Maechtigkeit als die urspruengliche Menge hat. Die Potenzmenge der natuer-
lichen Zahlen (also die Menge aller Teilmengen der natuerlichen Zahlen) hat
eine groessere Maechtigkeit als die Menge der natuerlichen Zahlen (man kann
sogar zeigen, dass die Potenzmenge der natuerlichen Zahlen gleichmaechtig
zur Menge der reellen Zahlen ist). Da die Maechtigkeit einer Menge stets
kleiner als die Maechtigkeit ihrer Potenzmenge ist, folgt auch, dass es
unendlich viele unendliche Krdinalzahlen gibt, und nicht etwa nur 7 ...

Was bis vor kurzem untersucht wurde, w<r, ob es Kardinalzahlen ("Maechtig-
keiten von Mengen") zwischen aleoh0 (der Maechtigkeit der natuerlichen
Zahlen) ubd aleph1 (der Maechtigkeit der Potenzmenge der natuerlichen Zahlen)
geben kann. Wenn mich meine Erinnerung nicht taeuscht, wurde bewiesen, dass
es Maechtigkeiten zwischen aleph0 ud aleph1 geben kann, aber ich habe mich
mit dem Themabisher noch icht beschaeftigt.

Post by Jens Kallup
man geht Heute von 7 oo aus, wobei sich die
Gelehrten bei der 8. oo streiten, weil das über
den Horizont vom menschlichen geht, und unpassend
in die Mathematik passt.

Entschuldige, a ber da musst du etwas voellig in den falschen Hals bekommen
haben. So wie von dir hier angegeben ist es hanebuechener Unsinn.

Post by Jens Kallup
http://youtu.be/bGcIzRGU5sU

Herr Mueckenheim hat noch nicht einmal Hilberts Hotel begriffen ...
... Von Cantors Diagonalargumenten ganz zu schweigen. Statt dessen hat er
sich mit seiner Wahnvorstellung von "potentiell unendlichen Mengen" und
"dunklen Zahlen" einen Strohmann gebaut, um seine Unfaehigkeit zum begreifen
mathematischer Sachverhalte zu uebertuenschen ...

Tschuess,
Juergen Ilse (***@usenet-verwaltung.de)
PS: Zum Beweis, dass die Potenzmenge einer Menge immer eine groesssere
Maechtigkeit als die Menge selbst hat, nehmen wir einmal an, es gaebe
eine bijektive Abbildung von den natuerlichen Zahlen auf die Potenzmenge
der natuerlichen Zahlen. Die Potenzmenge der natuerlichen Zahlen ist die
Menge aller Teilmengen der natuerlichen Zahlem. Also ist bei dieser Abbildung
das Bild einer jeden natuerlichen Zahl eine Menge von natuerlichen Zahlen.
Sehen wir uns nun einmal an, welche natuerlichen Zahlen in ihrem Bild ent-
halten sind und welche nicht. Wir sehen uns nun die Menge *aller* natuer-
lichen Zahlen an, die nicht in ihrem Bild enthalten sind. Das ist zweifellos
auch eine Teilmenge der natuerlichen Zahlen. die grosse Frage ist nun aber:
ist die Zahl, deren Bild diese Teilmenge der natuerlichen Zahlen ist, in
der Menge enthalten oder nicht? Ist sie in der Menge enthalten, enthielte
diese Menge mindestens eine Zahl, die in ihrem Biild enthalten ist, was
aber nicht sein kann, weil diese Menge ja enau die Zahlen enthalten sollte
(und zwar alle, aber nur die), die nicht in ihrem Bild enthalten sind.
Also duerfte die Zahl, die auf diese Menge abgebildet wird, ni cht in dieser
Menge enthalten sein. Das kann aber ebenfalls nicht sein, da ja diese Menge
*alle* Zahlen enthalten sollte, die nicht element ihres Bildes sind.
Die einzig verbleibende Moeglichkeit ist, dass diese Menge *keiun* Urbild
hat, und damit die Abbildu g *nicht* bijektiv gewesen ist. Da dieses Argu-
ment fuer *jede* Abbildung der natuerlichen Zahlen auf die Potenzmenge der
natuerlichen Zahlen anwendbar ist, kann es keine bijektive Abbildung zwischen
der Menge der natuerlichen Zahlen und ihrer Potenzmenge geben. Die selbe
Argumentation laesst sich nun aber nicht nur auf die Menge der natuerlichen
Zahlen u d ihre Potenzmenge anwenden, sondern sogar auf *jede* *beliebige*
Menge und ihre Potenzmenge. Also ist fuer *jede* *beliebige* Menge deren
Potenzmege maechtiger als die ursruengliche Menge. Damit habe ich quasi ein
"Rezept" u unendlich viele verschiedene "Unendlichkeiten" (sprich "unendliche
Kardinalzahlen") zu erzeugen.

Ganzhinterseher

2021-01-24 14:58:27 UTC

Post by Juergen Ilse
Man knn also eine
bisjektive Abbilldung von den natuerlichen Zahlen auf die rationalen Zahlen
konstruieren,

Wäre die Abbildung bijektiv, dann wäre keine Konstruktion vonnöten. Man kann zwar den Anschein erwecken, aber man kann mathematisch zeigen, dass Bijektivität Gleichzahligkeit erfordert und dass zwei Mengen wie die der natürlichen und der Primzahlen nicht gleichzahlig sind.

Post by Juergen Ilse
Man kann nachweisen, dass die Potenzmenge einer Menge *immer* eine groessere
Maechtigkeit als die urspruengliche Menge hat.

Das kann man für endliche Mengen nachweisen und für unendliche Mengen glauben, wenn man nicht genug Mathematik versteht, um zu beweisen, dass unter Cantors Annahme dunkle Zahlen existieren. Zum Beispiel kann man nicht alle Stammbrüche einzeln, wie es für eine Bijektion erforderlich wäre, aus dem Intervall (0, 1/n) entnehmen. Es bleiben immer unendlich viele unentnommen.

Post by Juergen Ilse
Was bis vor kurzem untersucht wurde, w<r, ob es Kardinalzahlen ("Maechtig-
keiten von Mengen") zwischen aleoh0 (der Maechtigkeit der natuerlichen
Zahlen) ubd aleph1 (der Maechtigkeit der Potenzmenge der natuerlichen Zahlen)
geben kann. Wenn mich meine Erinnerung nicht taeuscht, wurde bewiesen, dass
es Maechtigkeiten zwischen aleph0 ud aleph1 geben kann, aber ich habe mich
mit dem Themabisher noch icht beschaeftigt.

Natürlich kann es geben, wenn man an ZFC glaubt.

Post by Juergen Ilse
Herr Mueckenheim hat noch nicht einmal Hilberts Hotel begriffen ...
... Von Cantors Diagonalargumenten ganz zu schweigen.

Hilberts Hotel würde Cantors Diagonalargument entkräften, denn jede Diagonalzahl könnte als neuer Gast in die abzählbare Menge eingegliedert werden.

Gruß, WM

Rainer Rosenthal

2021-01-25 13:51:27 UTC

Post by Ganzhinterseher
Hilberts Hotel würde Cantors Diagonalargument entkräften, denn jede Diagonalzahl könnte als neuer Gast in die abzählbare Menge eingegliedert werden.

Himmel hilf!
Hilberts Hotel ist Veranschaulichung der Tatsache 1 + unendlich =
unendlich. Kurz: 1 + X = X, wenn X unendlich.

Es genügt dazu bereits abzählbar unendlich.
Jetzt tritt wieder die faszinierende Logik unseres dsm-Gurus in
leuchtenden Farben zutage.

Aus Hilberts "1 + X = X, wenn X abzählbar unendlich" schließt er
messerscharf: da man in Cantors Liste jede Diagonalzahl schieben kann,
muss sie abzählbar unendlich sein.

Mit Verlaub: aus "wenn A dann B" darf nicht "wenn B dann A" geschlossen
werden. Exakt dieser Trugschluss liegt aber vor.
Aus "wenn X abzählbar unendlich, dann 1 + X = X" darf nicht geschlossen
werden "wenn 1 + X = X, dann X abzählbar unendlich".

Frohes Neues Jahr 2021,
RR

P.S. Man möge mir Formulierungen wie "Cantors Liste" und "Diagonalzahl
schieben" nachsehen. Ich benötige sie, um mich auf der Guru-Ebene
verständlich auszudrücken.

Ganzhinterseher

2021-01-25 15:13:44 UTC

Post by Rainer Rosenthal
Aus Hilberts "1 + X = X, wenn X abzählbar unendlich" schließt er
messerscharf: da man in Cantors Liste jede Diagonalzahl schieben kann,
muss sie abzählbar unendlich sein.

Wenn eine Zahl eingeschoben wird, so ist die Liste weiterhin abzählbar. Weshalb sollte man die Zahl nicht einschieben dürfen? Natürlich darf man. Weshalb hat man sie nicht gleich mit aufgelistet? Weil es sie noch nicht gab. Denn hätte es sie gegeben, man hätte sie aber nicht aufgelistet, so wäre klarer Betrug im Spiel. Das ist aber nicht der Fall. Nur Dummheit ist hier im Spiel.

Reelle Zahlen sind übrigens nicht durch unendlich Ziffernfolgen darstellbar, denn jede Definition benötigt ein Endsignal. Deswegen ist der ganze Listenzauber ohnehin Humbug.

Post by Rainer Rosenthal
Mit Verlaub: aus "wenn A dann B" darf nicht "wenn B dann A" geschlossen
werden. Exakt dieser Trugschluss liegt aber vor.

Nein. Damit hat's nichts zu tun. Wenn eine Liste abzählbar ist, dann ist auch die erweiterte Liste abzählbar. Und wenn die erweiterte Liste abzählbar ist, dann ist auch die ursprüngliche Liste abzählbar.

Post by Rainer Rosenthal
Aus "wenn X abzählbar unendlich, dann 1 + X = X" darf nicht geschlossen
werden "wenn 1 + X = X, dann X abzählbar unendlich".

Sofern X eine abzählbare Liste ist, darf genau das geschlossen werden.

Der Trick ist vielmehr, dass Cantor seine Liste abschließt und behauptet, es passe weiter nichts mehr hinein. Das ist ein Blendwerk, mit dem er seine Jünger nasführt. Es passen jederzeit unendlich viele weitere Einträge hinein, wie Hilberts Hotel zeigt. Cantors Argument beruht also auf einer willkürlich gesetzten Grenze, nach der nur er noch agieren darf.

Und in übrigen ist die Menge aller individuell definierbaren Zahlen abzählbar. Sofern also Mathematik in Rede steht, gibt es nichts Überabzählbares.

Hermann Weyl, who in 1930 became Hilbert's successor at the university of Göttingen, said: "The sequence of numbers which grows beyond any stage already reached by passing to the next number, is a manifold of possibilities open towards infinity; it remains forever in the status of creation, but is not a closed realm of things existing in themselves. That we blindly converted one into the other is the true source of our difficulties, including the antinomies – a source of more fundamental nature than Russell's vicious circle principle indicated. Brouwer opened our eyes and made us see how far classical mathematics, nourished by a belief in the 'absolute' that transcends all human possibilities of realization, goes beyond such statements as can claim real meaning and truth founded on evidence." [H. Weyl: "Levels of infinity: Selected writings on mathematics and philosophy", Peter Pesic (ed.), Dover Publications (2012) p. 141]

Paul Bernays, 1934-1939 Hilbert's co-author of "Grundlagen der Mathematik (Foundations of Mathematics)" said: "If we pursue the thought that each real number is defined by an arithmetical law, the idea of the totality of real numbers is no longer indispensable, and the axiom of choice is not at all evident." [P. Bernays: "On Platonism in mathematics" (1934) p. 7]

Kurt Schütte, 1933 Hilbert's last doctoral student, said: "If we define the real numbers in a strictly formal system, where only finite derivations and fixed symbols are permitted, then these real numbers can certainly be enumerated because the formulas and derivations on the basis of their constructive definition are countable." [K. Schütte: "Beweistheorie", Springer (1960)]

Even David Hilbert himself gave a remarkable summary after carefully scrutinizing the infinite: "Finally we will return to our original topic and draw the conclusions of all our investigations about the infinite. On balance the result is this: The infinite is nowhere realized; it is neither present in nature nor admissible as the foundation of our rational thinking – a remarkable harmony of being and thinking." [D. Hilbert: "Über das Unendliche", Mathematische Annalen 95 (1925) p. 190]

Gruß, WM

Ralf Bader

2021-01-25 17:21:03 UTC

Wenn eine Zahl eingeschoben wird, so ist die Liste weiterhin
abzählbar. Weshalb sollte man die Zahl nicht einschieben dürfen?

Diese Frage ist exakt so bescheuert wie die des Schwarzfahrers, warum er
sich jetzt nicht schnell noch ein Ticket kaufen dürfe, nachdem er vom
Kontrolleur ohne ein solches erwischt wurde. So oft, wie dieser Unsinn
nun schon durchgekaut wurde, bleibt eigentlich keine andere Möglichkeit,
als daß Sie tatsächlich zu blöde sind, das Diagonalargument auch nur
ansatzweise zu verstehen.

Helmut Richter

2021-01-25 18:22:51 UTC

Wenn eine Zahl eingeschoben wird, so ist die Liste weiterhin
abzählbar. Weshalb sollte man die Zahl nicht einschieben dürfen?

Diese Frage ist exakt so bescheuert wie die des Schwarzfahrers, warum er sich
jetzt nicht schnell noch ein Ticket kaufen dürfe, nachdem er vom Kontrolleur
ohne ein solches erwischt wurde.

Sehr genau auf den Punkt gebracht. Werd ich mir merken.

So oft, wie dieser Unsinn nun schon durchgekaut wurde, bleibt eigentlich
keine andere Möglichkeit, als daß Sie tatsächlich zu blöde sind, das
Diagonalargument auch nur ansatzweise zu verstehen.

So ist es.

--
Helmut Richter

Ganzhinterseher

2021-01-25 18:52:12 UTC

Post by Ganzhinterseher
Wenn eine Zahl eingeschoben wird, so ist die Liste weiterhin
abzählbar. Weshalb sollte man die Zahl nicht einschieben dürfen?

Diese Frage ist exakt so bescheuert wie die des Schwarzfahrers, warum er sich
jetzt nicht schnell noch ein Ticket kaufen dürfe, nachdem er vom Kontrolleur
ohne ein solches erwischt wurde.

Sehr genau auf den Punkt gebracht. Werd ich mir merken.

Passt ja auch zum Niveau eines Matheologen. Ist aber Unsinn, denn hier geht es nicht um ein Spiel mit zeitlicher Reihenfolge und cleverer Ausbremsung des Kontrahenten, sondern um eine Frage nach zeitlos existierenden Mengen.

Gruß, WM

Ganzhinterseher

2021-01-25 18:46:36 UTC

Post by Ralf Bader

Wenn eine Zahl eingeschoben wird, so ist die Liste weiterhin
abzählbar. Weshalb sollte man die Zahl nicht einschieben dürfen?

Diese Frage ist exakt so bescheuert wie die des Schwarzfahrers, warum er
sich jetzt nicht schnell noch ein Ticket kaufen dürfe, nachdem er vom
Kontrolleur ohne ein solches erwischt wurde.

Es geht hier nicht um eine zeitliche Abfolge wie zwischen Karte nicht kaufen und dann erwischt werden. Was soll dieses Geschwätz? Weißt Du es nicht besser? Hat man Dir diesen diese dämliche Falle tatsächlich so eingebrannt?

Es geht um zeitlos existierende oder eben nicht existierenden Zahlenmengen. Dabei darf es eben keine Rolle spielen, ob jemand Halt sagt und dann doch noch agiert.

Und im übrigen kann keine unendliche Ziffernfolge ohne erzeugende Formel eine Zahl definieren. Schon deswegen sollte ein Mathematiker die Falle erkennen. Aber offenbar herrscht hier Betriebsblindheit, so dass nur externe Denker zum richtigen Ergebnis gelangen können:

The ordinary diagonal Verfahren I believe to involve a patent confusion of the program and object aspects of the decimal fraction, which must be apparent to any who imagines himself actually carrying out the operations demanded in the proof. In fact, I find it difficult to understand how such a situation should have been capable of persisting in mathematics. [Percy W. Bridgman]

Gruß, WM

Ganzhinterseher

2021-01-22 15:43:40 UTC

Post by Juergen Ilse
Hallo,

Sonst wuerden
SIE begreifen, weshalb und wie denn Cantor den Begriff der Maechtigkeit ein-
gefuehrt hat.

Der Grund, weshalb und wie ist gleichgültig. Cantors Behauptung ist falsch, jedenfalls unter mathematischer Prämisse. Eine Bijektion erfordert Equinumerosität. Dass diese nicht für alle Mengen abzählbaren Mengen vorliegen kann, sollte jedem leicht ersichtlich sein.