Warum ist die Erde keine Kugel?

Question

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Wir haben alle in der Schule gelernt, dass die Erde eine Kugel ist. Tatsächlich handelt es sich eher um eine leicht abgeflachte Kugel - ein abgeflachtes Rotationsellipsoid, auch abgeflachtes Sphäroid genannt. Dies ist eine Ellipse, die um ihre kürzere Achse gedreht wird. Was sind die physikalischen Gründe für dieses Phänomen?

Answer 1

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Normalerweise besteht die natürliche Schwerkraft in Abwesenheit einer Rotation darin, die Erde in Form einer Kugel zusammenzuziehen.

Die Erde wölbt sich jedoch tatsächlich am Äquator und der Durchmesser über die Die Äquatorialebene ist 42,72 km größer als der Durchmesser von Pol zu Pol.

Dies ist auf die Rotation der Erde zurückzuführen.

Wie wir im obigen Bild sehen können, scheint sich die sich drehende Scheibe an den Punkten auf der Scheibe zu wölben, die am weitesten von der Rotationsachse entfernt sind.

Damit die Partikel der Scheibe in der Umlaufbahn bleiben, muss eine nach innen gerichtete Kraft vorhanden sein, die als Zentripetalkraft bezeichnet wird und gegeben ist durch:

$$ F = \ frac {mv ^ 2} {r}, $$

wobei $ F $ die Kraft ist, $ m $ die Masse des rotierenden Körpers ist, $ v $ die Geschwindigkeit ist und $ r $ die ist Teilchenradius von der Rotationsachse.

Wenn sich die Scheibe mit einer bestimmten Winkelgeschwindigkeit dreht, beispielsweise $ \ omega $, dann ist die Tangentialgeschwindigkeit $ v $ durch $ v = \ omega r gegeben $.

Daher ist

$$ F = m \ omega ^ 2r $$

Je größer der Radius des Partikels ist, desto mehr Kraft ist erforderlich

Daher werden Partikel auf der Erde in der Nähe des Äquators, die am weitesten von der Rotationsachse entfernt sind, nach außen prallen, da sie eine größere Kraft nach innen benötigen, um ihre Umlaufbahn aufrechtzuerhalten.

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Zusätzliche Details für mehr mathematische Kenntnisse, nachdem mathjax aktiviert ist:

Die Nettokraft auf ein Objekt, das sich um den Äquator mit einem Radius $ r $ um einen Planeten mit dreht Eine Gravitationskraft von $ \ frac {Gm_1m_2} {r ^ 2} $ ist die Zentripetalkraft, die gegeben ist durch

$$ F_ {net} = \ frac {Gm_1m_2} {r ^ 2} - N = m \ omega ^ 2r, $$ wobei $ N $ die Normalkraft ist.

Das Neuanordnen der obigen Gleichung ergibt:

$$ N = \ frac {Gm_1m_2} {r ^ 2} - m \ omega ^ 2r $$

Die Normalkraft ist hier die wahrgenommene Abwärtskraft, die ein rotierender Körper beobachtet. Die Gleichung zeigt, dass die wahrgenommene Abwärtskraft aufgrund der Zentripetalbewegung verringert wird. Das typische Beispiel, um dies zu veranschaulichen, ist das Auftreten der Schwerkraft 0 in einem Satelliten, der die Erde umkreist, da in dieser Situation die Zentripetalkraft genau durch die Gravitationskraft ausgeglichen wird. Auf der Erde ist die Zentripetalkraft jedoch viel geringer als die Gravitationskraft, sodass wir fast den gesamten Beitrag von $ mg $ wahrnehmen.

Nun werden wir untersuchen, wie sich die wahrgenommene Gravitationskraft in verschiedenen Breitengraden unterscheidet. $ \ Theta $ sei der Breitengradwinkel. Sei $ F_G $ die Schwerkraft.

In der Vektornotation nehmen wir die $ j $ -Richtung parallel zur Rotationsachse und die $ i $ -Richtung senkrecht zur Achse

In Abwesenheit der Erdrotation ist

$$ F_G = N = (- \ frac {Gm_1m_2} {r ^ 2} \ cos \ theta) \ tilde {i} + (- \ frac {Gm_1m_2} {r ^ 2} \ sin \ theta) \ tilde {j} $$

Es ist leicht zu erkennen, dass die obige Gleichung die wahrgenommene Schwerkraft in darstellt das Fehlen von Rotation. Jetzt wirkt die Zentripetalkraft nur in i-Richtung, da sie senkrecht zur Rotationsachse wirkt.

Wenn $ R_ {rot} $ der Rotationsradius ist, ist die Zentripetalkraft $ m_1 \ omega ^ 2R_ {rot} $, was für einen Breitengrad von $ \ theta $ $ m_1 \ omega ^ 2r \ cos {\ theta} $

$$ N = (- \ entspricht frac {Gm_1m_2} {r ^ 2} + m_1 \ omega ^ 2r) \ cos {\ theta} \ tilde {i} + (- \ frac {Gm_1m_2} {r ^ 2}) \ sin {\ theta} \ tilde { j} $$

Durch Vergleichen dieser Gleichung mit dem zuvor gezeigten Fall ohne Rotation wird deutlich, dass mit zunehmendem $ \ theta $ (Breitengradwinkel) der Effekt der Rotation auf die wahrgenommene Schwerkraft vernachlässigbar wird, da der einzige Unterschied liegt in der $ x $ -Komponente nähert sich $ \ cos \ theta $ 0, während sich $ \ theta $ dem 90-Grad-Breitengrad nähert. Es ist jedoch auch zu sehen, dass bei Annäherung von Theta an 0 in der Nähe des Äquators die $ x $ -Komponente der Schwerkraft infolge der Erdrotation verringert wird. Daher können wir sehen, dass die Größe von $ N $ am Äquator etwas geringer ist als an den Polen. Die verringerte scheinbare Anziehungskraft hier führt zu einer leichten Ausbeulung der Erde am Äquator , da die Erde ursprünglich nicht so starr war wie heute (siehe andere Antwort).

Answer 2

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Eigentlich gibt es zwei Gründe, warum die Erde keine Kugel ist:

1. die Erde dreht sich und dreht sich schon lange
2. die Erde nicht Perfekt starr, kann es sogar als viskose Flüssigkeit auf langen Zeitskalen betrachtet werden.
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Wenn sich die Erde nicht drehen würde, wäre es eine Kugel. Wenn die Erde erst vor kurzem angefangen hätte, sich zu drehen, wäre es wäre nicht im Gleichgewicht, also wahrscheinlich nicht das Ellipsoid der Revolution, mit dem wir vertraut sind. Last but not least, wenn die Erde vollkommen starr wäre, würde sie durch keinen Prozess, einschließlich Rotation, deformiert werden und somit immer noch ihre ursprüngliche Form haben

Wir können davon ausgehen, dass die Erde an jedem Punkt eine Flüssigkeit im hydrostatischen Gleichgewicht ist (dh eine Flüssigkeit in Ruhe), wobei sowohl die Wirkung der Schwerkraft als auch die Zentrifugalkraft (Pseudo) aufgrund der Rotation berücksichtigt werden. Wenn wir dann unter dieser Bedingung nach der Form der Erdoberfläche suchen, ist die Lösung ein Rotationsellipsoid. Es ist sehr nahe an der tatsächlichen Erdoberfläche, was ein guter Beweis dafür ist, dass unsere anfängliche Annahme - rotierende Flüssigkeit im hydrostatischen Gleichgewicht - für eine lange Zeitspanne vernünftig ist.

Die Untersuchung dieser Frage bezieht sich auf die berühmte Clairauts Gleichung aus dem Namen des berühmten französischen Wissenschaftlers, der Ende des 18. Jahrhunderts die Abhandlung Théorie de la figure de la terre veröffentlichte.

NB: Wenn wir nur das erklären Die Ausbuchtung am Äquator bezieht sich auf die Wirkung der zentrifugalen Pseudokraft und ignoriert das Problem des hydrostatischen Gleichgewichts. Wir sollten daraus schließen, dass der polare Radius mit oder ohne Drehung der gleiche ist. Es ist jedoch kleiner: ungefähr 6357 km gegenüber 6371 km für eine kugelförmige Erde mit gleichem Volumen.

Answer 3

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Dass die Erde ungefähr ein abgeflachter Sphäroid ist, lässt sich am besten durch Energie erklären.

Legen Sie einen Marmor in eine Schüssel. Egal wo Sie es platzieren, es wird irgendwann am Boden der Schüssel zur Ruhe kommen. Dies ist die Position, die die Gesamtenergie des Marmors unter der Bedingung minimiert, dass er sich in der Schüssel befindet. Hängen Sie eine Kette zwischen zwei Pfosten auf. Wenn die Kette zur Ruhe kommt, nimmt sie eine bekannte Form an, die einer Oberleitungskurve. Dies ist die Form, die die Energie der Kette minimiert, unter der Bedingung, dass sie zwischen den beiden Pfosten aufgehängt wird.

Wenn Sie den Marmor vom Boden weg platzieren, rollt er eine Weile herum, bevor er zu kommt sich ausruhen. Wenn Sie die Kette von ihrer Oberleitungsform wegziehen, schwingt sie eine Weile hin und her, bevor sie in dieser stabilen Form zur Ruhe kommt. Der außermittige Marmor und die Kette außerhalb der Ebene haben größere potentielle Energien als in ihrer stabilen Konfiguration. Wenn möglich, wird die Natur versuchen, die gesamte potentielle Energie zu minimieren. Dies ist eine Folge des zweiten Hauptsatzes der Thermodynamik.

Im Fall der Erde ist diese minimale Energiekonfiguration eine Oberfläche, über die die Summe der potentiellen Gravitations- und Zentrifugalenergien konstant ist. Etwas, das die Erde von dieser Äquipotentialoberfläche abweichen lässt, führt zu einer Erhöhung dieser potentiellen Energie. Die Erde wird sich schließlich wieder auf diese minimale Energiekonfiguration einstellen. Diese Äquipotentialfläche wäre ein abgeflachter Sphäroid, wenn es keine Dichteschwankungen wie dicke und leichte kontinentale Kruste an einer Stelle, dünne und dichte ozeanische Kruste an einer anderen Stelle gäbe

In Bezug auf die Kraft ist die Größe, die wir g i> nennen, der Gradient der potentiellen Gravitations- und Zentrifugalenergien (insbesondere $ \ vec g = - \ nabla \ Phi $). Da die Erdoberfläche sehr nahe an einer Äquipotentialfläche liegt und diese Oberfläche wiederum sehr nahe an einem abgeflachten Sphäroid liegt, ist die Gravitation an den Polen notwendigerweise etwas höher als am Äquator.

Dies Die Gravitationskraft ist an Stellen, an denen die Oberfläche von der Äquipotentialfläche abweicht, nicht normal zur Oberfläche. Die tangentiale Komponente der Gravitationskraft führt zu Stellen, an denen Wasser bergab fließt, und zu Spannungen und Dehnungen auf der Erdoberfläche. Die möglichen Reaktionen auf diese Tangentialkräfte sind Erosion, Überschwemmungen und manchmal sogar Erdbeben, die die Erde schließlich wieder in ihre Gleichgewichtsform bringen.

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Update: Warum ist dies das richtige Bild?

Aufgrund anderer Kommentare verstehen einige Leute nicht, warum Energie statt Kraft der richtige Weg ist, um dieses Problem zu betrachten, oder wie der zweite Hauptsatz der Thermodynamik ins Spiel kommt.

Es gibt verschiedene Möglichkeiten, den zweiten Hauptsatz der Thermodynamik anzugeben. Zum einen tendiert ein System zu einem Zustand, der seine Entropie maximiert. Setzen Sie beispielsweise zwei Blöcke mit zwei unterschiedlichen Temperaturen in Kontakt miteinander. Der kühlere Block wird wärmer und der wärmere Block wird kühler, bis beide Blöcke dank des zweiten Hauptsatzes der Thermodynamik die gleiche Temperatur haben. Diese gleichmäßige Temperatur ist der Zustand, der die Entropie dieses Zwei-Block-Systems maximiert.

Diese beiden Blöcke haben nur Wärmeenergie. Was ist mit einem System mit mechanischer Energie ungleich Null? Reibung wird fast zwangsläufig kinetische Energie aus dem System verbrauchen. Diese Reibung bedeutet, dass die mechanische Energie des Systems abnimmt, bis sie ein globales Minimum erreicht, falls vorhanden. Für einen rotierenden, dissipativen, selbstgravitierenden Körper existiert dieses globale Minimum und es ist eine (mehr oder weniger) abgeflachte Sphäroidform.