Welke wiskundige ontwikkelingen / ontdekkingen zorgden ervoor dat imaginaire getallen in die tijd (18e eeuw) geaccepteerd werden?

Question

view on stackexchange narkive permalink

In een Wiki-artikel over imaginaire getallen werd beweerd dat "het gebruik van imaginaire getallen niet algemeen werd geaccepteerd totdat het werk van Leonhard Euler (1707-1783) en Carl Friedrich Gauss (1777-1855) ). "

Wat motiveerde de bijdragen van Euler en Gauss aan de theorie van imaginaire getallen? Ik weet bijvoorbeeld dat Euler de formule heeft geproduceerd die later tot de stelling van DeMoivre heeft geleid, maar ik begrijp niet helemaal waarom. En hun levens overlapten elkaar nauwelijks, dus waarom nam niemand 'tussendoor' het 'stokje' van Euler naar Gauss op? 2x2) coördinatensysteem, dat parallel loopt met het vlak waarop ook imaginaire getallen zijn getekend. Dit kan een geval zijn geweest van een "toevallige" bijdrage.)

Answer 1

view on stackexchange narkive permalink

Het eerste serieuze gebruik van complexe getallen is het vinden van de wortels van kwadratische, kubieke en kwartische polynomen. Cardano toonde in zijn Ars Magna (1545) voor het eerst aan dat kwadratische vergelijkingen (formeel) complexe wortels kunnen hebben, hoewel hij ze niet zo noemde; hij zei dat ze "even subtiel als [ze] nutteloos waren". In Bombelli's algebra-tekst (1572) ontwikkelde hij de regels van complexe rekenkunde en toonde hij aan dat Cardano's formule voor het kubieke tot echte oplossingen kon leiden, ook al waren tussenresultaten denkbeeldig. Overigens is mij bij meerdere gelegenheden verteld dat de notatie $ i = \ sqrt {-1} $ alleen is ontwikkeld om te waken tegen de veelgemaakte fout ' bewijzen ' $$ (\ sqrt {-1}) ^ 2 = \ sqrt {(- 1) ^ 2} = \ sqrt {1} = 1 $$

Een belangrijk inzicht dat werd verkregen in het begin van de 18e eeuw is de diepe verbinding tussen complexe getallen en geometrie. Er werd opgemerkt dat $ i $ kan worden gebruikt om veel trigonometrische identiteiten te vereenvoudigen, en in 1748 ontdekte Euler zijn beroemde en prachtige formule $$ e ^ {it} = \ cos t + i \ sin t $$ (De afleiding was nogal verschillend van degene die gewoonlijk wordt gepresenteerd in de huidige studieboeken; zie dit artikel in de serie Hoe Euler het deed .)

De conceptie van een complex getal als een punt in het vlak is een andere ontdekking die het vermelden waard is. Deze constructie werd al gebruikt door Wessel in 1799, en werd onafhankelijk herontdekt door Argand, maar het werd pas echt populair toen Gauss zijn verhandeling over complexe getallen publiceerde. Dit boek bevat ook veel van de moderne notatie en terminologie die wordt gebruikt bij complexe analyse.

Answer 2

view on stackexchange narkive permalink

Gewoon om Danu's antwoord aan te vullen. Sommige mensen gebruikten complexe getallen sinds de 16e eeuw, maar de WIJDE acceptatie kwam later (aan het einde van de 18e eeuw) toen verschillende mensen (Argand, Vessel, Gauss) de geometrische interpretatie ontdekten.

Dit was blijkbaar een cruciale stap. Toch werden ze niet universeel erkend. Ze zeggen dat zelfs Chebyshev ze nooit heeft gebruikt.

Een andere gebeurtenis die significant zou kunnen zijn: in het begin van de 19e eeuw begonnen natuurkundigen ze te gebruiken (Fresnel).

Answer 3

view on stackexchange narkive permalink

Afgezien van de noodzaak bij de berekening van wortels van kubische veeltermen, is er nog een andere, meer fundamentele rol die complexe getallen spelen in veeltermvergelijkingen, die pas in de 17e eeuw begon te worden gewaardeerd. Deze rol wordt uitgedrukt door de fundamentele stelling van de algebra , die zegt dat elke niet-constante veeltermvergelijking ten minste één wortel heeft, als we complexe getallen als wortels toestaan. dat wil zeggen, als $ a_0, a_1, \ ldots, a_n $ reële getallen zijn, dat ten minste een van $ a_1, a_2, \ ldots, a_n $ niet nul is, dan is de vergelijking \ begin {vergelijking} \ label {e: polynoom-x-0} p (x) = a_nx ^ n + a_ {n- 1} x ^ {n-1} + \ ldots + a_1x + a_0 = 0, \ end {equation} heeft een oplossing, op voorwaarde dat $ x $ complexe waarden kan hebben. Als $ a_1 = a_2 = \ ldots = a_n = 0 $ , dan wordt de vergelijking $ p (x) = 0 $ $ a_0 = 0 $, die geen (complexe) oplossing heeft als $ a_0 \ neq0 $. dus de voorwaarde dat tenminste één van $ a_1, a_2, \ ldots , a_n $ is niet nul (dwz $ p (x) $ is niet constant) is eenvoudig om dit triviale geval uit te sluiten. van algebra is wonderbaarlijk omdat complexe getallen zijn ontworpen om elke kwadratische vergelijking op te lossen, en het is a priori denkbaar dat we een nieuw soort 'getal' moeten introduceren elke keer dat we de graad van een veeltermvergelijking verhogen De eerste formulering van de fundamentele stelling van de algebra werd gegeven door Albert Girard (1595-1632) in 1629, hoewel hij niet probeerde een bewijs te bewijzen. Inderdaad, rigoureuze bewijzen van deze stelling verschenen pas in het begin van de 19e eeuw, wat overigens markeert het begin van een tijdperk waarin het bestaan ​​en het nut van complexe getallen algemeen aanvaard werden.

Alle twijfels over het bestaan ​​en het belang van complexe getallen werden volledig weggenomen na de ontwikkeling van complexe analyse , ook bekend als functietheorie . De aanvankelijke motivatie voor het bestuderen van functies van een complexe variabele was om ze te gebruiken om echte definitieve integralen te berekenen (of te vereenvoudigen), en de baanbrekende werken in deze richting werden gedaan door Euler en Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) rond 1760-1780; hun onderzoek werd later in de jaren 1810 opgepakt door Augustin Louis Cauchy (1789-1857), die zich tegen 1821 realiseerde dat complexe functies hebben een rijke eigen theorie. Gauss kwam al in 1811 tot hetzelfde inzicht en speelde een belangrijke rol bij het populariseren van complexe getallen, maar hij droeg niet direct bij aan de ontwikkeling van complexe analyse. dus ongeveer tussen 1820-1850, Cauchy ontwikkelde in zijn eentje alle basisresultaten van complexe analyse, misschien met uitzondering van de Laurent-reeks, die voor het eerst verscheen in een paper van Pierre Alphonse Laurent (1813-1854) in 1843.