Post by r***@gmail.comhttp://www.ripmat.it/pdf/Algebra%20astratta.pdf
non riesco (proprio non riesco) a capire che c'entrano
quei cavolo di tre bicchieri coi gruppi !
1. I bicchieri non fanno parte del gruppo
2. Il gruppo contiene le azioni che si possono eseguire sui bicchieri
3. Sia G il gruppo delle azioni sui bicchieri
4. La composizione pq di due azioni p e q è l'azione ottenuta eseguendo
prima q e poi p
5. Infatti si ha (pq)(bicchieri) = p(q(bicchieri)), cioè i bicchieri
vengono "trasformati" prima da q e poi da p.
6. Se delle azioni p e q sono in G, allora lo sono anche le azione pq e qp.
7. Se il gruppo è abeliano (o commutativo), per def., pq = qp, ma non è
questo il nostro caso
8. Ogni gruppo contiene l'azione neutra 'e' che non fa nulla, cioè pe =
ep = p, per ogni p. ['e' lascia cioè i bicchieri come sono]
9. Tutte le azioni p hanno un'azione inversa p^{-1}
10. Nel nostro caso ogni azione è l'inversa di sé stessa perché
eseguendola due volte di seguito ripristina la situazione iniziale
11. In altre parole, nel nostro caso, /qq = e/, cioè q = q^{-1}, per ogni q.
12. p e q sono uguali se e solo se p(bicchieri) = q(bicchieri).
13. G ha 4 azioni: e, u, v, w. Con lieve abuso di notazione, diciamo che
G = {e, u, v, w}.
14. Se p, q sono in G, allora anche pq e qp lo sono.
15. In altre parole, comporre le azioni di G non crea nuove azioni
16. Identifichiamo le 4 azioni
16a. Indico i bicchieri con x,y,z e X,Y,Z
16b. Passare dalla lettera minuscola a quella maiuscola (o viceversa)
indica "capovolgimento" di bicchiere.
16c. Se x è rivolto in giù, allora X è rivolto in su.
16d. Se x è rivolto in su, allora X è rivolto in giù.
16e. Il bicchiere è sempre indicato dalla posizione
16f. Per es. xyy significa che secondo e il terzo bicchiere hanno lo
stesso "verso" (giù o su)
16e. Azione neutra: e(xyz) = xyz
16f. Azione u: scegliamo quella tale che u(xyz) = XYz
16g. Come previsto, uu(xyz) = u(XYz) = xyz
16h. Azione v: scegliamo v(xyz) = xYZ
16i. Proviamo a comporre u con v:
uv(xyz) = u(xYZ) = XyZ
16j. uv è diversa da u o v quindi l'aggiungiamo alla lista delle azioni
16k. Azione w = uv, cioè w(xyz) = XyZ
16l. Ci sono altre azioni?
uuv = v (uu = e)
uvv = u (vv = e)
uvu(xyz) = uv(XYz) = xYZ = v(xyz)
vuv(xyz) = v(XyZ) = XYz = u(xyz)
Pare non ve ne siano
16m. Ricapitolando, G ha 4 azioni:
e: e(xyz) = xyz
u: u(xyz) = XYz
v: v(xyz) = xYZ
w: w(xyz) = XyZ
17. Nota che gli elementi del gruppo sono le azioni sui bicchieri e non
la configurazione risultante dalle azioni
18. In altre parole, le azioni non sono del tipo "metti il primo
bicchiere in su" o "metti il primo bicchiere in giù", ma "cambia il
verso del primo bicchiere"
19. Questo significa che le azioni sono valide per ogni configurazione
iniziale, nel senso che la loro definizione non dipende da essa
20. Le configurazioni possibili di bicchieri sono 2^3 = 8, ma le azioni
del gruppo soltanto 4.
21. Partendo da una configurazione possiamo raggiungere solo altre 4
configurazioni (4 ricontando quella di partenza)
22. Questa è l'idea del "gioco di prestigio" presentato
23. Partendo da 010 si può solo arrivare a 100, 001, 111
24. Sappiamo già che combinare le 4 azioni non dà nuove azioni e quindi
non porta a nuove configurazioni
25. Arrivati a 111, rovesciando il bicchiere centrale, si ottiene 101
26. Applicando le 4 azioni a partire da 101 si ottiene 101, 011, 110,
000, che sono proprio le 4 configurazioni che non riuscivamo a raggiungere.
27. Sia t tale che t(xyz) = xYz.
28. Allora inserendo t in G e combinandola con le azioni già presenti,
si arriva a G2 = {e,u,v,w,t,tu,tv,tw}
29. G è un sottogruppo di G2
30. Esercizio di verifica. Completa la seguente tabella:
e: e(xyz) = xyz
u: u(xyz) = XYz
v: v(xyz) = xYZ
w: w(xyz) = XyZ
t: t(xyz) =
tu: tu(xyz) =
tv: tv(xyz) =
tw: tw(xyz) =
31. Se salti l'esercizio ti tolgo il saluto.
Ho fatto 30 quindi posso fare anche 31. Guarda che non scherzo!
Kiuhnm