Giochino matematico.

[martello]

E vecchio ma lo ripresento.

Trovare un numero intero in base 10 che ruotato diventi il doppio.
Per rotazione si intende lo spostamento della cifra meno significativa
alla posizione più significativa.

[Giovanni]

Post by martello
E vecchio ma lo ripresento.
Trovare un numero intero in base 10 che ruotato diventi il doppio.
Per rotazione si intende lo spostamento della cifra meno significativa
alla posizione più significativa.

Bello, lo conosco.
Anni fa pubblicai un post a proposito.
Ricordo che c'era un algoritmo carino per produrre tale numero.
Conosco qualcuno che è espertissimo, anzi,
direi ossessionato dalla base 10.
Chi meglio di lui ... :-)))))

[martello]

Post by Giovanni

Post by martello
Trovare un numero intero in base 10 che ruotato diventi il doppio.
Per rotazione si intende lo spostamento della cifra meno significativa
alla posizione più significativa.

Bello, lo conosco.
Anni fa pubblicai un post a proposito.
Ricordo che c'era un algoritmo carino per produrre tale numero.

Allora la tua risposta è ammessa solo se nessun altro risponde :-)

Post by Giovanni
Conosco qualcuno che è espertissimo, anzi,
direi ossessionato dalla base 10.
Chi meglio di lui ... :-)))))

Hai voglia ... :-)

[Bruno Campanini]

Post by martello
E vecchio ma lo ripresento.
Trovare un numero intero in base 10 che ruotato diventi il doppio.
Per rotazione si intende lo spostamento della cifra meno significativa alla
posizione più significativa.

Quel 10 sta per base dieci o per base due?

Bruno

[martello]

Post by Bruno Campanini
Quel 10 sta per base dieci o per base due?

dieci

[r***@gmail.com]

Post by martello
E vecchio ma lo ripresento.
Trovare un numero intero in base 10 che ruotato diventi il doppio.
Per rotazione si intende lo spostamento della cifra meno significativa
alla posizione più significativa.

fammi capire :

Per es 124 diventa 421 ? Oppure 412 ?

[Karma Explorer]

Post by r***@gmail.com

Post by martello
E vecchio ma lo ripresento.
Trovare un numero intero in base 10 che ruotato diventi il doppio.
Per rotazione si intende lo spostamento della cifra meno significativa
alla posizione più significativa.

Per es 124 diventa 421 ? Oppure 412 ?

Io avevo capito la seconda che hai detto: 12345 -> 51234

In questo caso, mi sembra che il problema sia determinare
A, B tali che 2*(A*10+B) = B*10ⁿ+A, ossia 19A=B*(10ⁿ - 2)
con A, B naturali, 1<=B<=9 e dove n è il numero di cifre di A

Ma non ho trovato nulla, per cui quasi sicuramente mi sono
sbagliato ... :-(

[martello]

Post by Karma Explorer
Io avevo capito la seconda che hai detto: 12345 -> 51234

Esatto.

Post by Karma Explorer
In questo caso, mi sembra che il problema sia determinare
A, B tali che 2*(A*10+B) = B*10ⁿ+A, ossia 19A=B*(10ⁿ - 2)
con A, B naturali, 1<=B<=9 e dove n è il numero di cifre di A

Direi che è giusto però con 3 incognite ed una equazione la strada è in
salita.

Post by Karma Explorer
Ma non ho trovato nulla, per cui quasi sicuramente mi sono
sbagliato ... :-(

Tu sei un informatico e sicuramente sei tentato di fare un programmino
che lavora per tentativi.

Non è la strada giusta ... niente programmi ... solo carta e penna. :-)

[Paolo Russo]

[martello:]

Post by martello
Tu sei un informatico e sicuramente sei tentato di fare un programmino
che lavora per tentativi.
Non è la strada giusta ... niente programmi ... solo carta e penna. :-)

Tu togli il sale dalla vita. :-)
105263157894736842 dovrebbe essere il piu' piccolo.
Piu' in generale 52631578947368421*n con n da 2 a 9 per
trovare tutti quelli di 18 cifre. Non ho cercato le
eventuali soluzioni di 37 o piu' cifre.
Ho usato solo carta e penna (anzi, un text editor),
giuro.

Ciao
Paolo Russo

[Paolo Russo]

[Paolo Russo:]

Post by Paolo Russo
Non ho cercato le
eventuali soluzioni di 37 o piu' cifre.

Pardon, 36 o piu' cifre.

Ciao
Paolo Russo

[martello]

Post by Paolo Russo

Post by martello
Tu sei un informatico e sicuramente sei tentato di fare un programmino
che lavora per tentativi.
Non è la strada giusta ... niente programmi ... solo carta e penna. :-)

Tu togli il sale dalla vita. :-)
105263157894736842 dovrebbe essere il piu' piccolo.

Esatto!

Post by Paolo Russo
Piu' in generale 52631578947368421*n con n da 2 a 9 per
trovare tutti quelli di 18 cifre.

Su questo punto devo fare alcune pensate ... che non ha ancora fatto.
Non sono sicuro se la cifra meno significativa è maggiore di 4 si arrivi
ad un risultato.
Beh ... senza tante pensate basta provarci :-)
Forse si arriva a quelli con più cifre.

Post by Paolo Russo
Ho usato solo carta e penna (anzi, un text editor)

Anche perché con un calcolatore per arrivare a 18 cifre decimali ci
vuole una parola intera >= 64 bit.
Sicuramente qualche compilatore moderno utilizza tutti i 64 bit per i
numeri interi ma io (ignorantello) non ne conosco.
In ogni caso credo che i tempi restino inaccettabili anche per un PC
moderno.

[ngs]

Post by martello
Anche perché con un calcolatore per arrivare a 18 cifre decimali ci
vuole una parola intera >= 64 bit.
Sicuramente qualche compilatore moderno utilizza tutti i 64 bit per i
numeri interi ma io (ignorantello) non ne conosco.

Un calcolatore è Turing Completo, quindi puoi fare tutti i calcoli che
vuoi. Vuoi numeri con infinite cifre? Usa un linguaggio tipo Python o
Julia, oppure scarica o scrivi una libreria per farlo.

Kiuhnm

[martello]

Post by ngs

Post by martello
Anche perché con un calcolatore per arrivare a 18 cifre decimali ci
vuole una parola intera >= 64 bit.
Sicuramente qualche compilatore moderno utilizza tutti i 64 bit per i
numeri interi ma io (ignorantello) non ne conosco.

Un calcolatore è Turing Completo, quindi puoi fare tutti i calcoli che
vuoi. Vuoi numeri con infinite cifre? Usa un linguaggio tipo Python o
Julia, oppure scarica o scrivi una libreria per farlo.

Conosco e ho usato python.
Non sapevo che si potessero fare calcoli con numeri interi di lunghezza
qualsiasi quindi grazie per l'informazione.
Per il problema in questione se uno non sa a priori quale è la lunghezza
del numero da trattare sicuramente può fare tentativi infruttuosi con un
linguaggio di programmazione e impattare nel problema della lunghezza
limitata del numero intero.

[Karma Explorer]

Post by martello
Anche perché con un calcolatore per arrivare a 18 cifre
decimali ci vuole una parola intera >= 64 bit.

Beh, no. Puoi usare bc, un tool command line dove puoi fissare a piacere
la precisione. Ci sono librerie simili per quasi tutti i linguaggi di
programmazione. Su linux lo trovi di default.

Per win:
https://embedeo.org/ws/command_line/bc_dc_calculator_windows/

Post by martello
In ogni caso credo che i tempi restino inaccettabili anche per un PC > moderno.

Con la formula 19A=B*(10ⁿ - 2) limiti parecchio i casi perché
B=1,2,...9 e n è un semplice contatore da 1 a quanto vuoi.
Dopo di che sono accettabili quelli per cui B*(10ⁿ-2) mod 19 = 0

Il metodo era giusto ma mi ero arreso troppo presto!
Il seguente loop stampa solo il valore BCDEFA
Vedo che le sequenze si ripetono...

bc

bc 1.06.95
Copyright 1991-1994, 1997, 1998, 2000, 2004, 2006 Free Software
Foundation, Inc.
This is free software with ABSOLUTELY NO WARRANTY.
For details type `warranty'.

for (n=5; n<=72; n++) {
for (b=1; b<10; b++) {
if ((10^n - 2)*b % 19 == 0) b*10^n + (10^n - 2)*b / 19
}
}

105263157894736842
210526315789473684
315789473684210526
421052631578947368
526315789473684210
631578947368421052
736842105263157894
842105263157894736
947368421052631578
105263157894736842105263157894736842
210526315789473684210526315789473684
315789473684210526315789473684210526
421052631578947368421052631578947368
526315789473684210526315789473684210
631578947368421052631578947368421052
736842105263157894736842105263157894
842105263157894736842105263157894736
947368421052631578947368421052631578
105263157894736842105263157894736842105263157894736842
210526315789473684210526315789473684210526315789473684
315789473684210526315789473684210526315789473684210526
421052631578947368421052631578947368421052631578947368
526315789473684210526315789473684210526315789473684210
631578947368421052631578947368421052631578947368421052
736842105263157894736842105263157894736842105263157894
842105263157894736842105263157894736842105263157894736
947368421052631578947368421052631578947368421052631578
105263157894736842105263157894736842105263157894736842105263157894736842
210526315789473684210526315789473684210526315789473684210526315789473684
315789473684210526315789473684210526315789473684210526315789473684210526
421052631578947368421052631578947368421052631578947368421052631578947368
526315789473684210526315789473684210526315789473684210526315789473684210
631578947368421052631578947368421052631578947368421052631578947368421052
736842105263157894736842105263157894736842105263157894736842105263157894
842105263157894736842105263157894736842105263157894736842105263157894736
947368421052631578947368421052631578947368421052631578947368421052631578

[Karma Explorer]

Post by Karma Explorer
Il metodo era giusto ma mi ero arreso troppo presto!
Il seguente loop stampa solo il valore BCDEFA

Solo ABCDEF, ovviamente.

[martello]

Post by Karma Explorer

Post by martello
Anche perché con un calcolatore per arrivare a 18 cifre
decimali ci vuole una parola intera >= 64 bit.

Beh, no. Puoi usare bc, un tool command line dove puoi fissare a piacere
la precisione. Ci sono librerie simili per quasi tutti i linguaggi di
programmazione. Su linux lo trovi di default.
https://embedeo.org/ws/command_line/bc_dc_calculator_windows/

Post by martello
In ogni caso credo che i tempi restino inaccettabili anche per un PC

Post by martello
moderno.

Con la formula 19A=B*(10ⁿ - 2) limiti parecchio i casi perché
B=1,2,...9 e n è un semplice contatore da 1 a quanto vuoi.
Dopo di che sono accettabili quelli per cui B*(10ⁿ-2) mod 19 = 0

Ok, ovviamente mi hai convinto ... ritiro quanto ho detto sulla ricerca
tramite programma.
Non sapevo dell'esistenza di librerie con numero qualsiasi di bit ed in
effetti la lunghezza del numero è evidente dato l'esponente 'n'.

Post by Karma Explorer
105263157894736842
210526315789473684
315789473684210526
421052631578947368
526315789473684210
631578947368421052
736842105263157894
842105263157894736
947368421052631578

Ok ... quindi le uniche cifre meno significative non utilizzabili sono
come ovvio lo '0' e l'1' (come nella TNP).
Così mi evito ragionamenti inutili.

[martello]

Post by Paolo Russo
105263157894736842
210526315789473684
315789473684210526
421052631578947368
526315789473684210
631578947368421052
736842105263157894
842105263157894736
947368421052631578

C'è qualcosa che non mi torna.
Tutti quelli che hanno una cifra maggiore di 4 al più significativo non
possono essere raddoppiati senza avere un riporto.

[martello]

Post by martello

Post by Paolo Russo
105263157894736842
210526315789473684
315789473684210526
421052631578947368
526315789473684210
631578947368421052
736842105263157894
842105263157894736
947368421052631578

C'è qualcosa che non mi torna.
Tutti quelli che hanno una cifra maggiore di 4 al più significativo non
possono essere raddoppiati senza avere un riporto.

Dovrebbero essere questi se non ho sbagliato (facendo ruotare il pattern).

105263157894736842
157894736842105263
210526315789473684
263157894736842105
315789473684210526
368421052631578947
421052631578947368
473684210526315789

Sono escluse le cifre meno significative pari a 0 e 1

[Karma Explorer]

Post by martello

Post by Paolo Russo
105263157894736842
210526315789473684
315789473684210526
421052631578947368
526315789473684210
631578947368421052
736842105263157894
842105263157894736
947368421052631578

C'è qualcosa che non mi torna.
Tutti quelli che hanno una cifra maggiore di 4 al più significativo non
possono essere raddoppiati senza avere un riporto.

Ho scritto male io.
Il loop stampa il valore ruotato.

105263157894736842 = 2 * _52631578947368421 <<<
210526315789473684 = 2 * 105263157894736842
315789473684210526 = 2 * 157894736842105263
421052631578947368 = 2 * 210526315789473684
526315789473684210 = 2 * 263157894736842105
631578947368421052 = 2 * 315789473684210526
736842105263157894 = 2 * 368421052631578947
842105263157894736 = 2 * 421052631578947368
947368421052631578 = 2 * 473684210526315789

[martello]

Post by Karma Explorer

Post by martello

Post by Paolo Russo
105263157894736842
210526315789473684
315789473684210526
421052631578947368
526315789473684210
631578947368421052
736842105263157894
842105263157894736
947368421052631578

C'è qualcosa che non mi torna.
Tutti quelli che hanno una cifra maggiore di 4 al più significativo
non possono essere raddoppiati senza avere un riporto.

Ho scritto male io.
Il loop stampa il valore ruotato.
105263157894736842 = 2 * _52631578947368421 <<<
210526315789473684 = 2 * 105263157894736842
315789473684210526 = 2 * 157894736842105263
421052631578947368 = 2 * 210526315789473684
526315789473684210 = 2 * 263157894736842105
631578947368421052 = 2 * 315789473684210526
736842105263157894 = 2 * 368421052631578947
842105263157894736 = 2 * 421052631578947368
947368421052631578 = 2 * 473684210526315789

Ok ... il primo escluso per ovvi motivi.

Ma il metodo manuale non ti interessa?
O hai già capito?

[Karma Explorer]

Post by martello
Ma il metodo manuale non ti interessa?
O hai già capito?

L'ho trovato ma non ci sarei mai arrivato.

[Pangloss]

Post by martello
...
Ma il metodo manuale non ti interessa?

Grazie "martello" per questo bel problema, che non conoscevo.
Evviva il metodo manuale! :-)
Bastano pochi semplici passaggi per trovare la soluzione generale richiesta:

n = c*[ 10*[10^(17+18k) - 2]/19 + 1] c=1,2...9 k in N

La soluzione piu' piccola e' ovviamente:

n = 10*[10^17 - 2]/19

Il "metodo manuale" e' sempre di gran lunga piu' elegante e generale di qualsiasi
metodo basato sulla forza bruta del computer.
Ad es. un vecchio problema proposto da Fermat, tradotto dal linguaggio geometrico
a quello algebrico consiste nel risolvere per interi positivi il sistema:

a + b = c^2
a^2 + b^2 = d^4

Non provateci, la soluzione "manuale" e' alquanto complicata (ma fattibile).
Sarei davvero assai sorpreso se qualcuno qui su ism riuscisse a risolvere tale
sistema con la forza bruta del suo computer.

[Pangloss]

...

EC: n = 10*[10^17 - 2]/19 + 1

[Karma Explorer]

Post by Pangloss
Grazie "martello" per questo bel problema, che non conoscevo.
Evviva il metodo manuale!:-)

Credo che per "metodo manuale" intendesse questo:

Che è comunque geniale.

[martello]

Post by Karma Explorer
http://youtu.be/1lHDCAIsyb8

Esatto.

[Splenetico]

Post by Karma Explorer

Post by r***@gmail.com

Post by martello
E vecchio ma lo ripresento.
Trovare un numero intero in base 10 che ruotato diventi il doppio.
Per rotazione si intende lo spostamento della cifra meno significativa
alla posizione più significativa.

Per es 124 diventa 421 ? Oppure 412 ?

Io avevo capito la seconda che hai detto: 12345 -> 51234
In questo caso, mi sembra che il problema sia determinare
A, B tali che 2*(A*10+B) = B*10ⁿ+A, ossia 19A=B*(10ⁿ - 2)
con A, B naturali, 1<=B<=9 e dove n è il numero di cifre di A
Ma non ho trovato nulla, per cui quasi sicuramente mi sono
sbagliato ... :-(

L'errore è B*10ⁿ+A. Dovrebbe essere B*10^(n-1)+A.

[Karma Explorer]

Post by Splenetico
L'errore è B*10ⁿ+A. Dovrebbe essere B*10^(n-1)+A.

intendevo la lunghezza del prefisso A e non dell'intero numero.

1234 = 123*10 + 4 = 1230 + 4
4123 = 4*10^3 + 123 = 4000 + 123

n è il numero di cifre di "123" e non dell'intero numero.

[Karma Explorer]

Post by Karma Explorer

Post by Splenetico
L'errore è B*10ⁿ+A. Dovrebbe essere B*10^(n-1)+A.

intendevo la lunghezza del prefisso A e non dell'intero numero.
1234 = 123*10 + 4 = 1230 + 4
4123 = 4*10^3 + 123 = 4000 + 123
n è il numero di cifre di "123" e non dell'intero numero.

( l'errore è stato arrendersi troppo presto !!! )

[martello]

Post by r***@gmail.com

Post by martello
Trovare un numero intero in base 10 che ruotato diventi il doppio.
Per rotazione si intende lo spostamento della cifra meno significativa
alla posizione più significativa.

Per es 124 diventa 421 ? Oppure 412 ?

412

[ngs]

Post by martello
E vecchio ma lo ripresento.
Trovare un numero intero in base 10 che ruotato diventi il doppio.
Per rotazione si intende lo spostamento della cifra meno significativa
alla posizione più significativa.

Siano
x il numero cercato
a la sua cifra meno significativa
n il numero di cifre significative di x
Allora
(x-a)/10 + a 10^(n-1) = 2x ==>
x = (10^n - 1)/19 a
Il primo n è chiaramente 18 visto che
10^18 = 1 (mod 19)
per il piccolo teorema di Fermat.
E' chiaro che 10^18 - 1 ha 17 cifre significative quindi il più piccolo
x avrà a=2 e sarà 2(10^18 - 1) / 19.

Post by martello

x = 2*(10**18 - 1) // 19
x

105263157894736842

Post by martello

2*x

210526315789473684

Dato che 2x, 3x, ..., 9x hanno 18 cifre, sono tutti soluzioni.
Inoltre
10^n = 1 (19)
quindi
10^(18+m) = 10^m
da cui segue che l'insieme delle soluzioni è n = 18h, h >= 1.
Notiamo anche che
(10^36 - 1)/19 = (10^18 - 1)/19 (10^18 + 1)
= x 10^18 + x

Post by martello

(10**18 - 1) // 19

52631578947368421

Post by martello

(10**36 - 1) // 19

52631578947368421052631578947368421
Le cifre si ripetono ciclicamente!

In definitiva le soluzioni sono tutte e solo della forma
k (10^(18h) - 1)/19
con k in {2,3,...,9} e h >= 1.

Semplice codice non ottimizzato (copio-incollo, spero funzioni):
import math

def check(x):
n = math.ceil(math.log(x, 10))
a = x % 10
x_rot = x // 10 + a * 10**(n-1)
return x_rot == 2*x

def f(max_num, do_checks=True):
count = 1
ok = ''
for h in range(1, max_num):
x = (10**(18*h) - 1) // 19
for k in range(2, 10):
kx = k * x
if count > max_num:
return
if do_checks:
ok = '[OK]' if check(kx) else '[ERROR!]'
print(f' x_{count} = {kx}')
print(f'2x_{count} = {2*kx} {ok}\n')
count += 1
<<<

Kiuhnm

[martello]

Post by martello
E vecchio ma lo ripresento.
Trovare un numero intero in base 10 che ruotato diventi il doppio.
Per rotazione si intende lo spostamento della cifra meno significativa
alla posizione più significativa.

Siano
  x il numero cercato
  a la sua cifra meno significativa
  n il numero di cifre significative di x
Allora
  (x-a)/10 + a 10^(n-1) = 2x ==>
  x = (10^n - 1)/19 a
Il primo n è chiaramente 18 visto che
  10^18 = 1 (mod 19)
per il piccolo teorema di Fermat.

Beh complimenti ... ovviamente io non ho fatto in questo modo anche
perché da buon ignorante non conoscevo il piccolo teorema di Fermat.

[Bruno Campanini]

Post by ngs

Post by martello
E vecchio ma lo ripresento.
Trovare un numero intero in base 10 che ruotato diventi il doppio.
Per rotazione si intende lo spostamento della cifra meno significativa alla
posizione più significativa.

Siano
x il numero cercato
a la sua cifra meno significativa
n il numero di cifre significative di x
Allora
(x-a)/10 + a 10^(n-1) = 2x ==>

Da qui partendo si può anche porre:

(x-a)/10 + a 10^(n-1) = k x
da cui
10^n - 1
x = a --------
10 k - 1

Valori ammessi:
k,n = {2,18 3,28 4,36}
k <= a <= 9
h >= 1

Es:
a = 8 k = 4 h = 1 n = 36 h

x = 205128205128205128205128205128205128

820512820512820512820512820512820512
------------------------------------ = 4
x

Bruno

[Pangloss]

Post by Paolo Russo
.....

(10**18 - 1) // 19

52631578947368421

(10**36 - 1) // 19

52631578947368421052631578947368421
Le cifre si ripetono ciclicamente!
In definitiva le soluzioni sono tutte e solo della forma
k (10^(18h) - 1)/19
con k in {2,3,...,9} e h >= 1.

Aggiungo un'osservazione che potrebbe essere interessante.
Con qualche ulteriore sviluppo della teoria algebrica e' facile dimostrare che
le soluzioni cercate devono essere multipli k del periodo del numero 1/19:

1/19 = 0.[052631578947368421]

Il periodo proprio ha 18 cifre, i periodi impropri ne hanno 18*h.
In definitiva le soluzioni sono tutte e solo della forma
k*[periodo] con k in {2,3,...,9} e h >= 1.

[ngs]

Post by Pangloss

Post by Paolo Russo
.....

(10**18 - 1) // 19

52631578947368421

(10**36 - 1) // 19

52631578947368421052631578947368421
Le cifre si ripetono ciclicamente!
In definitiva le soluzioni sono tutte e solo della forma
k (10^(18h) - 1)/19
con k in {2,3,...,9} e h >= 1.

Aggiungo un'osservazione che potrebbe essere interessante.
Con qualche ulteriore sviluppo della teoria algebrica e' facile dimostrare che
1/19 = 0.[052631578947368421]
Il periodo proprio ha 18 cifre, i periodi impropri ne hanno 18*h.
In definitiva le soluzioni sono tutte e solo della forma
k*[periodo] con k in {2,3,...,9} e h >= 1.

Sì, gira e rigira siamo sempre lì. Vedi il mio ultimo post in "Giochino
matematico 2" che è strettamente legato a quanto dici.

Kiuhnm