Ecco la risposta del libro.
Considera un confine tra due media come l'aereo $ y = 0 $. Disegna un anello rettangolare di lato $ \ delta x $ e $ \ delta y $. Avere un campo E su entrambi i lati del confine che sia parallelo al confine nella direzione $ x $. Il campo E è $ E_1 $ nel mezzo 1 e $ E_2 $ nel mezzo 2.
Ora usa la forma integrale della legge di Faraday. $$ \ oint {\ bf E} \ cdot d {\ bf l} = - \ int \ frac {\ partial {\ bf B}} {\ partial t} \ cdot d {\ bf S} $$$$ E_1 \ delta x - E_2 \ delta x = - \ frac {\ partial {\ bf B}} {\ partial t} \ delta x \ delta y. $$ Ma ora puoi lasciare che $ \ delta y $ si riduca a zero e trovi che $ E_2 = E_1 $. cioè la componente del campo E che è parallela all'interfaccia deve essere la stessa immediatamente su entrambi i lati del confine.
Ora il confine deve essere definito dal piano $ y = 0 $, il punto di incidenza essere $ {\ bf r} = 0 $ e fare in modo che un'onda incidente vi si avvicini nella forma $ E = E_i \ exp [i ({\ omega_i t - \ bf k_i} \ cdot {\ bf r})] \ hat { \ bf k} \ times \ hat {\ bf r} $, dove $ \ hat {\ bf k} $ è un vettore unitario nella direzione del vettore d'onda $ {\ bf k_i} $ e $ \ omega_i $ è la frequenza angolare.
L'onda incidente impatta a $ {\ bf r} = 0 $ e parte della luce viene trasmessa e parte riflessa. I raggi incidenti, riflessi e trasmessi sono tutti sullo stesso piano e poiché, come mostrato sopra, le componenti parallele devono essere le stesse su entrambi i lati del confine possiamo scrivere. $$ E_i \ exp (i \ omega_i t) \ cos \ theta_i + E_r \ exp (i \ omega_r t) \ cos \ theta_r = E_t \ exp (i \ omega_t t) \ cos \ theta_t, $$ dove $ \ theta_i $ ecc sono gli angoli di incidenza, riflessione, trasmissione; e $ \ omega_r $ e $ \ omega_t $ sono le frequenze delle onde riflesse e trasmesse.
Ma questa relazione deve essere vera per tutti i valori di $ t $. L'unico modo in cui questo può essere organizzato è se $ \ omega_i = \ omega_r = \ omega_t $. Quindi la frequenza della luce rimane invariata mentre passa nel mezzo.
Ho scelto una scorciatoia qui per ottenere il risultato richiesto. Di solito, quando si esegue questa dimostrazione si definisce una geometria in modo che l'onda colpisca in vari punti lungo l'interfaccia e quindi questo significa che gli argomenti degli esponenziali sembrano $ (\ omega_i t -k_i x \ sin \ theta_i) $, $ ( \ omega_r t -k_rx \ sin \ theta_r) $ e $ (\ omega_t t -k_tx \ sin \ theta_t) $, dove $ x $ è una coordinata lungo il confine. Richiedendo che questi argomenti siano uguali per tutti i $ x, t $ fornisce anche la legge di riflessione ($ \ theta_i = \ theta_r $) e la legge di rifrazione di Snell; $ \ sin \ theta_t / \ sin \ theta_i = k_i / k_t $, e se $ \ omega_t = \ omega_i $ e $ \ omega / k = c / n $, allora $ \ sin \ theta_t / \ sin \ theta_i = n_i / n_t $.