section d'un solide par un plan

[cricri]

Tout plan coupe un solide selon un cercle.
Je suppose que l'on se place dans la cas où l'intersection n'est pas
vide ou réduite à un point.

Comment prouver que ce solide est une sphère?

[grossbaff]

Post by cricri
Tout plan coupe un solide selon un cercle.
Je suppose que l'on se place dans la cas où l'intersection n'est pas
vide ou réduite à un point.
Comment prouver que ce solide est une sphère
?

Soit je ne comprends pas bien, soit tu oublies qu'un cône a aussi une
section circulaire, ou elliptique selon l'orientation du plan ...

[denis feldmann]

Post by grossbaff

Post by cricri
Tout plan coupe un solide selon un cercle.
Je suppose que l'on se place dans la cas où l'intersection n'est pas
vide ou réduite à un point.
Comment prouver que ce solide est une sphère
?

Soit je ne comprends pas bien, soit tu oublies qu'un cône a aussi une
section circulaire, ou elliptique selon l'orientation du plan ...

Ou elliptique, justement... Il a dit "un cercle dans tous les cas non
vides"

[Babacio]

denis feldmann

Post by denis feldmann

Post by grossbaff

Post by cricri
Tout plan coupe un solide selon un cercle.
Je suppose que l'on se place dans la cas où l'intersection n'est
pas vide ou réduite à un point.
Comment prouver que ce solide est une sphère
?

Soit je ne comprends pas bien, soit tu oublies qu'un cône a aussi
une section circulaire, ou elliptique selon l'orientation du plan ...

Ou elliptique, justement... Il a dit "un cercle dans tous les cas non
vides"

Et puis un cône ça peut aussi donner une hyperbole, une parabole...
M'enfin les sections coniques !

[Frederic Baldit]

Post by Babacio
denis feldmann

Post by denis feldmann

Post by grossbaff

Post by cricri
Tout plan coupe un solide selon un cercle.
Je suppose que l'on se place dans la cas où l'intersection n'est
pas vide ou réduite à un point.
Comment prouver que ce solide est une sphère
?

Soit je ne comprends pas bien, soit tu oublies qu'un cône a aussi
une section circulaire, ou elliptique selon l'orientation du plan ...

Ou elliptique, justement... Il a dit "un cercle dans tous les cas non
vides"

Et puis un cône ça peut aussi donner une hyperbole, une parabole...
M'enfin les sections coniques !

Soit S le solide et P un plan qui coupe S selon un cercle C de rayon non
nul. Soit A un point de C et B le point de C diamétralement opposé, et soit
D la droite perpendiculaire à P passant par le milieu de [AB]. Soit P1 le
plan défini par D et (AB). L'intersection de P1 et S est un cercle C1
passant par A et B. Donc la médiatrice de [AB] contenue dans P1, qui est D,
contient un diamètre [EF] de C1.
En faisant tourner A sur C on fait tourner P1 autour de D (puisque D reste
inchangée). On obtient ainsi un ensemble de cercles de S qui doivent
contenir E et F (invariants par la rotation d'axe D). De plus la rotation
de A sur C ne change pas la médiatrice de [AB] qui est contenue dans P1
donc tous ces cercles ont un diamètre porté par D. Donc tous ces cercles
admettent [EF] comme diamètre.
La rotation de P1 autour de D décrivant tous l'espace, S est l'ensemble des
cercles de diamètre [EF]. C'est donc une sphère.

Il y a peut-être plus court et mieux écrit...

[Babacio]

Frederic Baldit

Post by Frederic Baldit
Soit S le solide et P un plan qui coupe S selon un cercle C de rayon non
nul. Soit A un point de C et B le point de C diamétralement opposé, et soit
D la droite perpendiculaire à P passant par le milieu de [AB]. Soit P1 le
plan défini par D et (AB). L'intersection de P1 et S est un cercle C1
passant par A et B. Donc la médiatrice de [AB] contenue dans P1, qui est D,
contient un diamètre [EF] de C1.
En faisant tourner A sur C on fait tourner P1 autour de D (puisque D reste
inchangée). On obtient ainsi un ensemble de cercles de S qui doivent
contenir E et F (invariants par la rotation d'axe D). De plus la rotation
de A sur C ne change pas la médiatrice de [AB] qui est contenue dans P1
donc tous ces cercles ont un diamètre porté par D. Donc tous ces cercles
admettent [EF] comme diamètre.
La rotation de P1 autour de D décrivant tous l'espace, S est l'ensemble des
cercles de diamètre [EF]. C'est donc une sphère.
Il y a peut-être plus court et mieux écrit...

J'en doute, c'est nickel, bravo.

[Olivier Miakinen]

Soit S le solide et P un plan [...]
La rotation de P1 autour de D décrivant tous l'espace, S est l'ensemble des
cercles de diamètre [EF]. C'est donc une sphère.

Très jolie démonstration.

[kurtz le pirate]

Post by Olivier Miakinen

Soit S le solide et P un plan [...]
La rotation de P1 autour de D décrivant tous l'espace, S est l'ensemble des
cercles de diamètre [EF]. C'est donc une sphère.

Très jolie démonstration.

oui, jolie démonstration, mais comme dit "grossbaff", l'intersection
d'un plan et d'un cône donne aussi un cercle si le la normale au plan
est parallèle à l'axe du cône.

?
klp

[Jean-Claude Arbaut]

Le 14/06/2005 19:20, dans

Post by kurtz le pirate

Post by Olivier Miakinen

Soit S le solide et P un plan [...]
La rotation de P1 autour de D décrivant tous l'espace, S est l'ensemble des
cercles de diamètre [EF]. C'est donc une sphère.

Très jolie démonstration.

oui, jolie démonstration, mais comme dit "grossbaff", l'intersection
d'un plan et d'un cône donne aussi un cercle si le la normale au plan
est parallèle à l'axe du cône.
?
klp

Cf réponse de Denis Feldmann, ou pour répéter les choses: on veut
que TOUS les plans coupent le solide selon un cercle, pas seulement
une famille de plans. Tu peux oublier tout ce qu'il y a après ton "si".

[Olivier Miakinen]

Post by kurtz le pirate
oui, jolie démonstration, mais comme dit "grossbaff", l'intersection
d'un plan et d'un cône donne aussi un cercle si le la normale au plan
est parallèle à l'axe du cône.

Seulement, comme indiqué par cricri et rappelé par Denis Feldmann,
l'énoncé dit que *tout* plan coupe ce solide selon un cercle pourvu que
l'intersection ne soit ni vide ni réduite à un point. Cela interdit donc
la solution du cône, et la preuve de Frédéric me semble parfaitement
valide dans ces conditions.

Post by kurtz le pirate
?

Cela répond à ton interrogation ?

[grossbaff]

Post by Olivier Miakinen
Seulement, comme indiqué par cricri et rappelé par Denis Feldmann,
l'énoncé dit que *tout* plan coupe ce solide selon un cercle pourvu que
l'intersection ne soit ni vide ni réduite à un point. Cela interdit donc
la solution du cône, et la preuve de Frédéric me semble parfaitement
valide dans ces conditions.

Exact, j'avais mal lu.

[Babacio]

kurtz le pirate

Post by kurtz le pirate
oui, jolie démonstration, mais comme dit "grossbaff", l'intersection
d'un plan et d'un cône donne aussi un cercle si le la normale au
plan est parallèle à l'axe du cône.

Allez, essaie d'appliquer la démonstration au cône, et trouve :

-- soit l'erreur dans la preuve ;
-- soit pourquoi le cône ne convient pas.

Une preuve, c'est quelque chose qui opère. C'est une bonne occasion de
le voir...

[Jean-Claude Arbaut]

Post by Babacio
Une preuve, c'est quelque chose qui opère.

Alors là pas d'accord: dès qu'on touche à l'axiome du choix,
il n'y a plus rien qui opère, on se retrouve avec des preuves
d'existence et aucun moyen de construction. Exemple: R est un Q-ev,
et d'après l'axiome du choix, tout e.v. admet une base. Et ben vas-y,
trouve-m'en une ! :-)

[Babacio]

Jean-Claude Arbaut

Post by Jean-Claude Arbaut

Post by Babacio
Une preuve, c'est quelque chose qui opère.

Alors là pas d'accord: dès qu'on touche à l'axiome du choix,
il n'y a plus rien qui opère, on se retrouve avec des preuves
d'existence et aucun moyen de construction. Exemple: R est un Q-ev,
et d'après l'axiome du choix, tout e.v. admet une base. Et ben vas-y,
trouve-m'en une ! :-)

Bouahahahahahahah ! (Rire démoniaque).

Ça fait des années que je hante ces lieux en hurlant des slogans
constructivistes à tous les vents, et tu viens me faire la leçon
là-dessus ? Par les mânes de Kronecker et Poincaré !

[Jean-Claude Arbaut]

Post by Babacio
Jean-Claude Arbaut

Post by Jean-Claude Arbaut

Post by Babacio
Une preuve, c'est quelque chose qui opère.

Alors là pas d'accord: dès qu'on touche à l'axiome du choix,
il n'y a plus rien qui opère, on se retrouve avec des preuves
d'existence et aucun moyen de construction. Exemple: R est un Q-ev,
et d'après l'axiome du choix, tout e.v. admet une base. Et ben vas-y,
trouve-m'en une ! :-)

Bouahahahahahahah ! (Rire démoniaque).
Ça fait des années que je hante ces lieux en hurlant des slogans
constructivistes à tous les vents, et tu viens me faire la leçon
là-dessus ? Par les mânes de Kronecker et Poincaré !

Oupsss, pardon, monsieur le fantôme ;-)

[Babacio]

Jean-Claude Arbaut

Post by Jean-Claude Arbaut

Post by Babacio

Post by Jean-Claude Arbaut
Alors là pas d'accord: dès qu'on touche à l'axiome du choix,
il n'y a plus rien qui opère, on se retrouve avec des preuves
d'existence et aucun moyen de construction. Exemple: R est un Q-ev,
et d'après l'axiome du choix, tout e.v. admet une base. Et ben vas-y,
trouve-m'en une ! :-)

Bouahahahahahahah ! (Rire démoniaque).
Ça fait des années que je hante ces lieux en hurlant des slogans
constructivistes à tous les vents, et tu viens me faire la leçon
là-dessus ? Par les mânes de Kronecker et Poincaré !

Oupsss, pardon, monsieur le fantôme ;-)

Ça ira pour cette fois. (bruits de chaîne et pas trainants)

[cricri]

Très belle démonstration. Je ne cherchais pas du tout de ce côté.
Merci beaucoup!

Post by Frederic Baldit
Soit S le solide et P un plan qui coupe S selon un cercle C de rayon non
nul. Soit A un point de C et B le point de C diamétralement opposé, et soit
D la droite perpendiculaire à P passant par le milieu de [AB]. Soit P1 le
plan défini par D et (AB). L'intersection de P1 et S est un cercle C1
passant par A et B. Donc la médiatrice de [AB] contenue dans P1, qui est D,
contient un diamètre [EF] de C1.
En faisant tourner A sur C on fait tourner P1 autour de D (puisque D reste
inchangée). On obtient ainsi un ensemble de cercles de S qui doivent
contenir E et F (invariants par la rotation d'axe D). De plus la rotation
de A sur C ne change pas la médiatrice de [AB] qui est contenue dans P1
donc tous ces cercles ont un diamètre porté par D. Donc tous ces cercles
admettent [EF] comme diamètre.
La rotation de P1 autour de D décrivant tous l'espace, S est l'ensemble des
cercles de diamètre [EF]. C'est donc une sphère.
Il y a peut-être plus court et mieux écrit...

[LeWiZ]

Je suis en train de me demander : existe-t-il d'autres classes de
solides que l'on peut caractériser simplement par leurs intersections
avec un plan ? Dans le même esprit, quelle est la classe des solides
dont l'intersection avec un plan est une conique ?

LeWiZ

[Babacio]

"LeWiZ"

Post by LeWiZ
Je suis en train de me demander : existe-t-il d'autres classes de
solides que l'on peut caractériser simplement par leurs intersections
avec un plan ? Dans le même esprit, quelle est la classe des solides
dont l'intersection avec un plan est une conique ?

J'aurais envie de dire que ce sont les quadriques, mais comme ça ça
n'a rien d'évident. Il doit y avoir un théorème à convoquer, et je ne
vois pas lequel. Mon cerveau mathématique fonctionne au ralenti, en ce
moment... je suis en train de tout oublier avec joie.

[Mehdi Tibouchi]

Post by Babacio
J'aurais envie de dire que ce sont les quadriques, mais comme ça ça
n'a rien d'évident.

Si l'on ne regarde que des surfaces algébriques lisses, en tout cas,
c'est vrai (génériquement, l'intersection d'une surface lisse de degré d
avec un plan, c'est une courbe lisse de degré d).

[Babacio]

Mehdi Tibouchi

Post by Mehdi Tibouchi

Post by Babacio
J'aurais envie de dire que ce sont les quadriques, mais comme ça ça
n'a rien d'évident.

Si l'on ne regarde que des surfaces algébriques lisses, en tout cas,
c'est vrai (génériquement, l'intersection d'une surface lisse de degré d
avec un plan, c'est une courbe lisse de degré d).

Euh, oui, je suis vraiment pas réveillé.

Bon, je suis sûr que les spécialistes trouveront un argument béton
pour expliquer que ça ne peut être qu'une surface algébrique lisse.

[LeWiZ]

Post by Mehdi Tibouchi

Post by Babacio
J'aurais envie de dire que ce sont les quadriques, mais comme ça ça
n'a rien d'évident.

Si l'on ne regarde que des surfaces algébriques lisses, en tout cas,
c'est vrai (génériquement, l'intersection d'une surface lisse de degré d
avec un plan, c'est une courbe lisse de degré d).

Dans une courbe lisse de degré d, toute intersection avec un plan est
une surface lisse de degré d. La démonstration est rapide.
Pouvez-vous m'indiquer comment on démontre la réciproque (une surface
dont toutes les intersections avec un plan sont des courbes lisses de
degré d est une surface lisse de degré d) ?

LeWiZ

[Jean-Claude Arbaut]

Le 15/06/2005 14:39, dans

Post by LeWiZ

Post by Mehdi Tibouchi

Post by Babacio
J'aurais envie de dire que ce sont les quadriques, mais comme ça ça
n'a rien d'évident.

Si l'on ne regarde que des surfaces algébriques lisses, en tout cas,
c'est vrai (génériquement, l'intersection d'une surface lisse de degré d
avec un plan, c'est une courbe lisse de degré d).

Dans une courbe lisse de degré d, toute intersection avec un plan est
une surface lisse de degré d. La démonstration est rapide.

Au plus d, non ? Si on prend y^2=x en 3D (cylindre parabolique, c'est bien
ça son nom), ben une intersection avec un plan peut être une droite.
idem pour un cône, et sûrement plein d'autres. Et un plan tangent à une
sphere n'iintersecte qu'en un point, etc...

Post by LeWiZ
Pouvez-vous m'indiquer comment on démontre la réciproque (une surface
dont toutes les intersections avec un plan sont des courbes lisses de
degré d est une surface lisse de degré d) ?
LeWiZ

[LeWiZ]

Oui, *au plus* d, c'est ce que je voulais dire. On accepte les formes
dégénérées.

LeWiZ

[Mehdi Tibouchi]

"LeWiZ" wrote in message

Post by LeWiZ
Dans une courbe lisse de degré d, toute intersection avec un plan est
une surface lisse de degré d. La démonstration est rapide.

Je suppose qu'il faut lire que « l'intersection d'une surface lisse de
degré d avec tout plan est une courbe de degré au plus d », c'est bien
ça ?

Ce que je dis, c'est que génériquement, c'est mieux que « au plus d »,
c'est exactement d. Dès lors, l'énoncé devient une équivalence (pour une
surface algébrique lisse, le degré, c'est pareil que le degré de
l'intersection avec un plan en position générale).

Il ne se cache pas grand-chose de très difficile derrière, sauf, si on en
a vraiment besoin, la lissité de l'intersection, qui n'est pas gratuite
(c'est le théorème de Bertini).

[LeWiZ]

Post by Mehdi Tibouchi

Post by Babacio
J'aurais envie de dire que ce sont les quadriques, mais comme ça ça
n'a rien d'évident.

Si l'on ne regarde que des surfaces algébriques lisses, en tout cas,
c'est vrai (génériquement, l'intersection d'une surface lisse de degré d
avec un plan, c'est une courbe lisse de degré d).

Dans une surface lisse de degré d, toute intersection avec un plan est
une courbe lisse de degré d. La démonstration est rapide.
Pouvez-vous m'indiquer comment on démontre la réciproque (une surface
dont toutes les intersections avec un plan sont des courbes lisses de
degré d est une surface lisse de degré d) ?

LeWiZ

[Gilles Robert]

Post by Babacio
"LeWiZ"

Post by LeWiZ
Je suis en train de me demander : existe-t-il d'autres classes de
solides que l'on peut caractériser simplement par leurs intersections
avec un plan ? Dans le même esprit, quelle est la classe des solides
dont l'intersection avec un plan est une conique ?

J'aurais envie de dire que ce sont les quadriques, mais comme ça ça
n'a rien d'évident. Il doit y avoir un théorème à convoquer, et je ne
vois pas lequel.

Le développement de Taylor à l'ordre 2 doit être exact en tout point.

[Maurice]

Post by cricri
Très belle démonstration. Je ne cherchais pas du tout de ce côté.
Merci beaucoup!

Oui. Dommage qu'elle soit fausse.
"...On obtient ainsi un ensemble de cercles de S qui doivent

Post by cricri

contenir E et F (invariants par la rotation d'axe D)."

Rien ne le prouve. Le plan P1 donne un cercle, comme indiqué. Changeons
un peu les notations et notons E(0)-F(0) son diamètre, porté par D.

Un autre plan P(phi), obtenu en faisant tourner P1 autour de D d'un
angle phi, donnera un autre cercle contenant A, B et avec un diamètre
E(phi)-F(phi) _porté_ par D. Mais rien ne prouve que E(phi)=E(0).

Soit I le milieu de AB. On peut très bien avoir mesure(E(phi)-I) variant
de 0 à l'infini pour phi parcourant un intervalle de longueur 2pi. Ou
n'importe quelle autre loi de variation.

Bien sûr le volume résultant, disons V, intersecté par un plan
"oblique", ne donnerait plus un cercle, mais justement, la tentative de
démonstration n'utilise pas de tels plans obliques. Par conséquent elle
est incapable d'éviter des volumes tels que V, qui ne sont pas des sphères.


Je propose plutôt une démarche constructive (à affiner/vérifier), à
partir de plans parallèles.
Etape 1
-------
Deux plans parallèles donnent deux cercles, sur lesquels on peut choisir
deux diamètres parallèles A1-A2 et B1-B2. Le plan contenant A1, A2, B1,
B2, coupe le solide selon un cercle qui contient ces quatre points. Donc
le quadrilatère correspondant est un trapèze symétrique : la droite
joignant les centres des cercles est perpendiculaire à A1-A2 et à B1-B2

Etape 2
-------
En prenant tous les plans parallèles aux précédents, en déduire que les
centres des cercles d'intersection sont alignés. Le solide est alors un
cylindre au sens large (corps avec symétrie de rotation autour d'un axe X1)

Etape 3
-------
Idem avec une autre famille de plans parallèles, par exemple
perpendiculaires aux précédents. => un autre axe de rotation X2.

Etape 4
-------
Montrer que X1 intersecte X2 en O. Intuitivement "évident", mais,
justement, pas forcément facile à vraiment démontrer. A partir de là, en
généralisant, on a un corps avec symétrie de rotation autour de tout axe
passant par O. On peut _maintenant_ prouver, éventuellement
analytiquement en considérant la distance à O d'un point quelconque, que
c'est une sphère.

Maurice Clerc

Post by cricri

Soit S le solide et P un plan qui coupe S selon un cercle C de rayon non
nul. Soit A un point de C et B le point de C diamétralement opposé, et
soit D la droite perpendiculaire à P passant par le milieu de [AB].
Soit P1 le
plan défini par D et (AB). L'intersection de P1 et S est un cercle C1
passant par A et B. Donc la médiatrice de [AB] contenue dans P1, qui est D,
contient un diamètre [EF] de C1.
En faisant tourner A sur C on fait tourner P1 autour de D (puisque D reste
inchangée). On obtient ainsi un ensemble de cercles de S qui doivent
contenir E et F (invariants par la rotation d'axe D). De plus la rotation
de A sur C ne change pas la médiatrice de [AB] qui est contenue dans P1
donc tous ces cercles ont un diamètre porté par D. Donc tous ces cercles
admettent [EF] comme diamètre.
La rotation de P1 autour de D décrivant tous l'espace, S est
l'ensemble des
cercles de diamètre [EF]. C'est donc une sphère.
Il y a peut-être plus court et mieux écrit...

[Jean-Claude Arbaut]

Post by Maurice

Post by cricri
Très belle démonstration. Je ne cherchais pas du tout de ce côté.
Merci beaucoup!

Oui. Dommage qu'elle soit fausse.
"...On obtient ainsi un ensemble de cercles de S qui doivent

Post by cricri

contenir E et F (invariants par la rotation d'axe D)."

Rien ne le prouve. Le plan P1 donne un cercle, comme indiqué. Changeons
un peu les notations et notons E(0)-F(0) son diamètre, porté par D.
Un autre plan P(phi), obtenu en faisant tourner P1 autour de D d'un
angle phi, donnera un autre cercle contenant A, B et avec un diamètre
E(phi)-F(phi) _porté_ par D. Mais rien ne prouve que E(phi)=E(0).

Sans blague ? Quatre points alignés sur une droite et qui seraient
cocycliques aussi ? Tu fais fort là !

Je te rappelle que D appartient à un plan (disons Q), et par
conséquent l'intersection de Q avec le solide est un cercle.

[denis feldmann]

Post by Maurice

Post by cricri
Très belle démonstration. Je ne cherchais pas du tout de ce côté.
Merci beaucoup!

Oui. Dommage qu'elle soit fausse.
"...On obtient ainsi un ensemble de cercles de S qui doivent

Post by cricri

Post by Frederic Baldit
contenir E et F (invariants par la rotation d'axe D)

Rien ne le prouve.

Ah bon ?? Pourtant , E et F sont sur S et sur D, donc dans le cercle
intersection de S et du plan P1 (tournant autour de D) et ce cercle
est de diamètre EF par symétrie...


Le plan P1 donne un cercle, comme indiqué. Changeons

Post by Maurice
un peu les notations et notons E(0)-F(0) son diamètre, porté par D.
Un autre plan P(phi), obtenu en faisant tourner P1 autour de D d'un
angle phi, donnera un autre cercle contenant A, B et avec un diamètre
E(phi)-F(phi) _porté_ par D. Mais rien ne prouve que E(phi)=E(0).

Bien sûr que si : ces points sont sur D et sur le cercle, donc...(voir
plus haut)

Post by Maurice
Soit I le milieu de AB. On peut très bien avoir mesure(E(phi)-I) variant
de 0 à l'infini pour phi parcourant un intervalle de longueur 2pi. Ou
n'importe quelle autre loi de variation.
Bien sûr le volume résultant, disons V, intersecté par un plan
"oblique", ne donnerait plus un cercle, mais justement, la tentative de
démonstration n'utilise pas de tels plans obliques.

Si, le plan orthogonal à D, et il suffit (ce qui, au passage, montre que
l'énoncé peut être considérablement affaibli)


Par conséquent elle

Post by Maurice
est incapable d'éviter des volumes tels que V, qui ne sont pas des sphères.

Donne un contre-exemple (S a pour intersection un cercle C0 avec le
plan P0, et un cercle dans tout plan P passant pas l' axe de symétrie
de C0e, et pourtant S n'est pas une sphère), et on t'écoutera avec
intérêt...

Post by Maurice
Je propose plutôt une démarche constructive (à affiner/vérifier), à
partir de plans parallèles.
Etape 1
-------
Deux plans parallèles donnent deux cercles, sur lesquels on peut choisir
deux diamètres parallèles A1-A2 et B1-B2. Le plan contenant A1, A2, B1,
B2, coupe le solide selon un cercle qui contient ces quatre points. Donc
le quadrilatère correspondant est un trapèze symétrique : la droite
joignant les centres des cercles est perpendiculaire à A1-A2 et à B1-B2
Etape 2
-------
En prenant tous les plans parallèles aux précédents, en déduire que les
centres des cercles d'intersection sont alignés. Le solide est alors un
cylindre au sens large (corps avec symétrie de rotation autour d'un axe X1)
Etape 3
-------
Idem avec une autre famille de plans parallèles, par exemple
perpendiculaires aux précédents. => un autre axe de rotation X2.
Etape 4
-------
Montrer que X1 intersecte X2 en O. Intuitivement "évident", mais,
justement, pas forcément facile à vraiment démontrer. A partir de là, en
généralisant, on a un corps avec symétrie de rotation autour de tout axe
passant par O. On peut _maintenant_ prouver, éventuellement
analytiquement en considérant la distance à O d'un point quelconque, que
c'est une sphère.
Maurice Clerc

Post by cricri

Post by Frederic Baldit
Soit S le solide et P un plan qui coupe S selon un cercle C de rayon non
nul. Soit A un point de C et B le point de C diamétralement opposé,
et soit D la droite perpendiculaire à P passant par le milieu de
[AB]. Soit P1 le
plan défini par D et (AB). L'intersection de P1 et S est un cercle C1
passant par A et B. Donc la médiatrice de [AB] contenue dans P1, qui est D,
contient un diamètre [EF] de C1.
En faisant tourner A sur C on fait tourner P1 autour de D (puisque D reste
inchangée). On obtient ainsi un ensemble de cercles de S qui doivent
contenir E et F (invariants par la rotation d'axe D). De plus la rotation
de A sur C ne change pas la médiatrice de [AB] qui est contenue dans P1
donc tous ces cercles ont un diamètre porté par D. Donc tous ces cercles
admettent [EF] comme diamètre.
La rotation de P1 autour de D décrivant tous l'espace, S est l'ensemble des
cercles de diamètre [EF]. C'est donc une sphère.
Il y a peut-être plus court et mieux écrit...

[Maurice]

Post by denis feldmann

Post by Maurice

Post by cricri
Très belle démonstration. Je ne cherchais pas du tout de ce côté.
Merci beaucoup!

Oui. Dommage qu'elle soit fausse.
"...On obtient ainsi un ensemble de cercles de S qui doivent

Post by cricri

Post by Frederic Baldit
contenir E et F (invariants par la rotation d'axe D)

Rien ne le prouve.

Ah bon ?? Pourtant , E et F sont sur S et sur D, donc dans le cercle
intersection de S et du plan P1 (tournant autour de D) et ce cercle
est de diamètre EF par symétrie...
Le plan P1 donne un cercle, comme indiqué. Changeons

Post by Maurice
un peu les notations et notons E(0)-F(0) son diamètre, porté par D.
Un autre plan P(phi), obtenu en faisant tourner P1 autour de D d'un
angle phi, donnera un autre cercle contenant A, B et avec un diamètre
E(phi)-F(phi) _porté_ par D. Mais rien ne prouve que E(phi)=E(0).

Bien sûr que si : ces points sont sur D et sur le cercle, donc...(voir
plus haut)

Post by Maurice
Soit I le milieu de AB. On peut très bien avoir mesure(E(phi)-I)
variant de 0 à l'infini pour phi parcourant un intervalle de longueur
2pi. Ou n'importe quelle autre loi de variation.
Bien sûr le volume résultant, disons V, intersecté par un plan
"oblique", ne donnerait plus un cercle, mais justement, la tentative
de démonstration n'utilise pas de tels plans obliques.

Si, le plan orthogonal à D, et il suffit (ce qui, au passage, montre que
l'énoncé peut être considérablement affaibli)
Par conséquent elle

Post by Maurice
est incapable d'éviter des volumes tels que V, qui ne sont pas des sphères.

Donne un contre-exemple (S a pour intersection un cercle C0 avec le
plan P0, et un cercle dans tout plan P passant pas l' axe de symétrie
de C0e, et pourtant S n'est pas une sphère), et on t'écoutera avec
intérêt...

Il y a une infinité de contre-exemples.

Prenons le milieu I de AB comme centre de coordonnées, le plan (x,y)
contenant le cercle C0, c'est-à-dire P0, et la droite D (axe de symétrie
de C0) comme axe z. Soit r=IA=IB.

Definissons une surface S en utilisant deux paramètres.

phi sur [0,2pi] (la rotation du plan vertical)
theta sur [0,2pi] (pour chaque cercle vertical)
Soit
h(phi)= <n'importe quoi non constant>, par exemple h(phi)=phi.

Posons
R=racine(r^r+h^h) (c'est le rayon du cercle "vertical")

La surface S est définie par l'ensemble des points M de coordonnées
(x,y,z) vérifiant :
x=R*cos(theta)*cos(phi)
y=R*cos(theta)*sin(phi)
z=R*sin(theta)+h

Une telle surface n'est pas une sphère parce que h n'est pas constant
(alors que le présupposé implicite faux de la tentative de démonstration
en discussion est justement qu'il est constant). J'imagine qu'avec un
logiciel adéquat il est facile de la visualiser.

Nous devons vérifier :
a) que l'intersection de (x,y) avec S est le cercle C0
b) que l'intersection avec S de tout plan contenant l'axe z est un cercle

Preuve de a)
-----------
C'est évident par construction, mais prouvons-le quand même analytiquement.

On a de toutes façons x^2 + y^2 = R^2*cos(theta)^2

L'intersection de S avec le plan (x,y) est donnée par z=0, c'est-à-dire
sin(theta)=-h/R
d'où, successivement
cos(theta)^2=1-h^2/r^2
x^2 + y^2 = R^2*(1-h^2/R^2)
= R^2 - h^2
= r^2
C'est bien le cercle de centre I, de rayon r.

Preuve de b)
-----------
Même remarque, c'est évident géométriquement, S a été construite pour
que ça marche. Prouvons-le analytiquement.

Un plan contenant l'axe z est entièrement défini par un angle ksi entre
0 et 2*pi. Ses équations paramétriques sont

x=a*cos(ksi)
y=a*sin(ksi)
z=b
avec ksi dans [0, 2*pi[, a dans [0, infini[, b dans [0, infini[

L'intersection d'un tel plan avec S donne :
a*cos(ksi)=R*cos(theta)*cos(phi)
a*sin(ksi)=R*cos(theta)*sin(phi)
b=R*sin(theta)+h

On en déduit en particulier
a^2=R^2*cos(theta)^2

cas cos(theta)>0
---------------
a=R*cos(theta)
cos(ksi)=cos(phi)
sin(ksi)=sin(phi)
=> phi=ksi=constante

cas cos(theta)<=0
-----
a=-R=cos(theta)
cos(ksi)=-cos(phi)
sin(ksi)=-sin(phi)
=> phi=ksi+pi si ksi<pi ou phi=ksi-pi si ksi>=pi
=> phi=constante

L'intersection d'un tel plan "vertical" avec S est donc trouvée en
considérant phi constant dans les équations paramétriques de S.

On a alors R=constante.

Soit J le point de coordonnées (0,0,h). Prenons un point M qui
appartiennent à la fois au plan et à S et calculons sa distance à J.
On a
x^2 + y^2 + (z-h)^2 = R^2*cos(theta)^2 + (R*sin(theta) + h - h)^2
= R^2*cos(theta)^2 + R^2*sin(theta)^2
= R^2

Cette distance est constante : c'est bien un cercle.

Maurice Clerc

Post by denis feldmann

Post by Maurice
Je propose plutôt une démarche constructive (à affiner/vérifier), à
partir de plans parallèles.
Etape 1
-------
Deux plans parallèles donnent deux cercles, sur lesquels on peut
choisir deux diamètres parallèles A1-A2 et B1-B2. Le plan contenant
A1, A2, B1, B2, coupe le solide selon un cercle qui contient ces
quatre points. Donc le quadrilatère correspondant est un trapèze
symétrique : la droite joignant les centres des cercles est
perpendiculaire à A1-A2 et à B1-B2
Etape 2
-------
En prenant tous les plans parallèles aux précédents, en déduire que
les centres des cercles d'intersection sont alignés. Le solide est
alors un cylindre au sens large (corps avec symétrie de rotation
autour d'un axe X1)
Etape 3
-------
Idem avec une autre famille de plans parallèles, par exemple
perpendiculaires aux précédents. => un autre axe de rotation X2.
Etape 4
-------
Montrer que X1 intersecte X2 en O. Intuitivement "évident", mais,
justement, pas forcément facile à vraiment démontrer. A partir de là,
en généralisant, on a un corps avec symétrie de rotation autour de
tout axe passant par O. On peut _maintenant_ prouver, éventuellement
analytiquement en considérant la distance à O d'un point quelconque,
que c'est une sphère.
Maurice Clerc

Post by cricri

Post by Frederic Baldit
Soit S le solide et P un plan qui coupe S selon un cercle C de rayon non
nul. Soit A un point de C et B le point de C diamétralement opposé,
et soit D la droite perpendiculaire à P passant par le milieu de
[AB]. Soit P1 le
plan défini par D et (AB). L'intersection de P1 et S est un cercle C1
passant par A et B. Donc la médiatrice de [AB] contenue dans P1, qui est D,
contient un diamètre [EF] de C1.
En faisant tourner A sur C on fait tourner P1 autour de D (puisque D reste
inchangée). On obtient ainsi un ensemble de cercles de S qui doivent
contenir E et F (invariants par la rotation d'axe D). De plus la rotation
de A sur C ne change pas la médiatrice de [AB] qui est contenue dans P1
donc tous ces cercles ont un diamètre porté par D. Donc tous ces cercles
admettent [EF] comme diamètre.
La rotation de P1 autour de D décrivant tous l'espace, S est l'ensemble des
cercles de diamètre [EF]. C'est donc une sphère.
Il y a peut-être plus court et mieux écrit...

[denis feldmann]

Post by Maurice

Post by denis feldmann

Post by Maurice

Post by cricri
Très belle démonstration. Je ne cherchais pas du tout de ce côté.
Merci beaucoup!

Oui. Dommage qu'elle soit fausse.
"...On obtient ainsi un ensemble de cercles de S qui doivent

Post by cricri

Post by Frederic Baldit
contenir E et F (invariants par la rotation d'axe D)

Rien ne le prouve.

Ah bon ?? Pourtant , E et F sont sur S et sur D, donc dans le cercle
intersection de S et du plan P1 (tournant autour de D) et ce cercle
est de diamètre EF par symétrie...
Le plan P1 donne un cercle, comme indiqué. Changeons

Post by Maurice
un peu les notations et notons E(0)-F(0) son diamètre, porté par D.
Un autre plan P(phi), obtenu en faisant tourner P1 autour de D d'un
angle phi, donnera un autre cercle contenant A, B et avec un diamètre
E(phi)-F(phi) _porté_ par D. Mais rien ne prouve que E(phi)=E(0).

Bien sûr que si : ces points sont sur D et sur le cercle, donc...(voir
plus haut)

Post by Maurice
Soit I le milieu de AB. On peut très bien avoir mesure(E(phi)-I)
variant de 0 à l'infini pour phi parcourant un intervalle de longueur
2pi. Ou n'importe quelle autre loi de variation.
Bien sûr le volume résultant, disons V, intersecté par un plan
"oblique", ne donnerait plus un cercle, mais justement, la tentative
de démonstration n'utilise pas de tels plans obliques.

Si, le plan orthogonal à D, et il suffit (ce qui, au passage, montre
que l'énoncé peut être considérablement affaibli)
Par conséquent elle

Post by Maurice
est incapable d'éviter des volumes tels que V, qui ne sont pas des sphères.

Donne un contre-exemple (S a pour intersection un cercle C0 avec le
plan P0, et un cercle dans tout plan P passant pas l' axe de symétrie
de C0e, et pourtant S n'est pas une sphère), et on t'écoutera avec
intérêt...

Il y a une infinité de contre-exemples.
Prenons le milieu I de AB comme centre de coordonnées, le plan (x,y)
contenant le cercle C0, c'est-à-dire P0, et la droite D (axe de symétrie
de C0) comme axe z. Soit r=IA=IB.
Definissons une surface S en utilisant deux paramètres.
phi sur [0,2pi] (la rotation du plan vertical)
theta sur [0,2pi] (pour chaque cercle vertical)
Soit
h(phi)= <n'importe quoi non constant>, par exemple h(phi)=phi.
Posons
R=racine(r^r+h^h) (c'est le rayon du cercle "vertical")
La surface S est définie par l'ensemble des points M de coordonnées
x=R*cos(theta)*cos(phi)
y=R*cos(theta)*sin(phi)
z=R*sin(theta)+h

+h(phi), je suppose

Post by Maurice
Une telle surface n'est pas une sphère parce que h n'est pas constant
(alors que le présupposé implicite faux de la tentative de démonstration
en discussion est justement qu'il est constant). J'imagine qu'avec un
logiciel adéquat il est facile de la visualiser.
a) que l'intersection de (x,y) avec S est le cercle C0
b) que l'intersection avec S de tout plan contenant l'axe z est un cercle

C'est là qu'on rigole : l'intersection avec l'axe Oz n'est pas réduite à
deux points, ce qui est curieux, vu que dans le plan vertical , on a un
cercle...

Post by Maurice
Preuve de a)
-----------
C'est évident par construction, mais prouvons-le quand même analytiquement.
On a de toutes façons x^2 + y^2 = R^2*cos(theta)^2
L'intersection de S avec le plan (x,y) est donnée par z=0, c'est-à-dire
sin(theta)=-h/R
d'où, successivement
cos(theta)^2=1-h^2/r^2
x^2 + y^2 = R^2*(1-h^2/R^2)
= R^2 - h^2
= r^2
C'est bien le cercle de centre I, de rayon r.
Preuve de b)
-----------
Même remarque, c'est évident géométriquement, S a été construite pour
que ça marche. Prouvons-le analytiquement.
Un plan contenant l'axe z est entièrement défini par un angle ksi entre
0 et 2*pi. Ses équations paramétriques sont
x=a*cos(ksi)
y=a*sin(ksi)
z=b
avec ksi dans [0, 2*pi[, a dans [0, infini[, b dans [0, infini[
a*cos(ksi)=R*cos(theta)*cos(phi)
a*sin(ksi)=R*cos(theta)*sin(phi)
b=R*sin(theta)+h
On en déduit en particulier
a^2=R^2*cos(theta)^2
cas cos(theta)>0
---------------
a=R*cos(theta)
cos(ksi)=cos(phi)
sin(ksi)=sin(phi)
=> phi=ksi=constante
cas cos(theta)<=0
-----
a=-R=cos(theta)
cos(ksi)=-cos(phi)
sin(ksi)=-sin(phi)
=> phi=ksi+pi si ksi<pi ou phi=ksi-pi si ksi>=pi
=> phi=constante
L'intersection d'un tel plan "vertical" avec S est donc trouvée en
considérant phi constant dans les équations paramétriques de S.
On a alors R=constante.
Soit J le point de coordonnées (0,0,h). Prenons un point M qui
appartiennent à la fois au plan et à S et calculons sa distance à J.
On a
x^2 + y^2 + (z-h)^2 = R^2*cos(theta)^2 + (R*sin(theta) + h - h)^2
= R^2*cos(theta)^2 + R^2*sin(theta)^2
= R^2
Cette distance est constante : c'est bien un cercle.

Sur l'axe Oz, ça marche pas bien....

Post by Maurice
Maurice Clerc

Post by denis feldmann

Post by Maurice
Je propose plutôt une démarche constructive (à affiner/vérifier), à
partir de plans parallèles.
Etape 1
-------
Deux plans parallèles donnent deux cercles, sur lesquels on peut
choisir deux diamètres parallèles A1-A2 et B1-B2. Le plan contenant
A1, A2, B1, B2, coupe le solide selon un cercle qui contient ces
quatre points. Donc le quadrilatère correspondant est un trapèze
symétrique : la droite joignant les centres des cercles est
perpendiculaire à A1-A2 et à B1-B2
Etape 2
-------
En prenant tous les plans parallèles aux précédents, en déduire que
les centres des cercles d'intersection sont alignés. Le solide est
alors un cylindre au sens large (corps avec symétrie de rotation
autour d'un axe X1)
Etape 3
-------
Idem avec une autre famille de plans parallèles, par exemple
perpendiculaires aux précédents. => un autre axe de rotation X2.
Etape 4
-------
Montrer que X1 intersecte X2 en O. Intuitivement "évident", mais,
justement, pas forcément facile à vraiment démontrer. A partir de là,
en généralisant, on a un corps avec symétrie de rotation autour de
tout axe passant par O. On peut _maintenant_ prouver, éventuellement
analytiquement en considérant la distance à O d'un point quelconque,
que c'est une sphère.
Maurice Clerc

Post by cricri

Post by Frederic Baldit
Soit S le solide et P un plan qui coupe S selon un cercle C de rayon non
nul. Soit A un point de C et B le point de C diamétralement opposé,
et soit D la droite perpendiculaire à P passant par le milieu de
[AB]. Soit P1 le
plan défini par D et (AB). L'intersection de P1 et S est un cercle C1
passant par A et B. Donc la médiatrice de [AB] contenue dans P1, qui est D,
contient un diamètre [EF] de C1.
En faisant tourner A sur C on fait tourner P1 autour de D (puisque D reste
inchangée). On obtient ainsi un ensemble de cercles de S qui doivent
contenir E et F (invariants par la rotation d'axe D). De plus la rotation
de A sur C ne change pas la médiatrice de [AB] qui est contenue dans P1
donc tous ces cercles ont un diamètre porté par D. Donc tous ces cercles
admettent [EF] comme diamètre.
La rotation de P1 autour de D décrivant tous l'espace, S est l'ensemble des
cercles de diamètre [EF]. C'est donc une sphère.
Il y a peut-être plus court et mieux écrit...

[Jean-Claude Arbaut]

Post by Maurice
Une telle surface n'est pas une sphère parce que h n'est pas constant
(alors que le présupposé implicite faux de la tentative de démonstration
en discussion est justement qu'il est constant).

Dis, tu pourrais lire les posts, quand même ! Ce "h" n'est pas supposé
constant, il l'est nécessairement. Sans ça il y a plus de deux points
de la surface sur D, et comment veux-tu qu'ils soient cocyclique ?
C'est pourtant nécessaire, puisque étant coplanaires (bah oui, sur une
même droite, donc...), il doivent être sur un cercle pour que l'hypothèse
de départ soit vérifiée. Et ce n'est pas une hypothèse de la démonstration,
c'est la définition de la propriété qui nous intéresse: La surface est telle
que TOUT plan la coupe selon un cercle, ça inclut les plans qui
contiennent D. C'est pas pour être méchant, mais ça devient lourd de redire
les mêmes choses de post en post.
Si ce que je viens de dire n'est pas clair, soit, on peut toujours arranger
ça.

[Jean-Claude Arbaut]

Post by Jean-Claude Arbaut

Post by Maurice
Une telle surface n'est pas une sphère parce que h n'est pas constant
(alors que le présupposé implicite faux de la tentative de démonstration
en discussion est justement qu'il est constant).

Dis, tu pourrais lire les posts, quand même ! Ce "h" n'est pas supposé
constant,

J'avais mal interprété: c'est pas du "h" qu'il s'agit ici :-) Oupsss.
Enfin ça ne change rien à l'argument essentiel: la droite D ne peut
contenir que 2 points de la surface. Et comme tout plan passant par D
contient aussi deux points du cercle C, ça fait 4, suffisament pour
définir un cercle, et c'est pas dur de voir qu'ils ont tous même rayon et
que [EF] est forcément un diamètre (car la médiatrice de deux point d'un
cercle contient un diamètre et D est cette médiatrice).
Cette démo est nickel de chez nickel, je
me demande comment le thread peut continuer aussi longtemps pour savoir
si elle est juste ou pas. Mais attention, j'encourage la discussion
en cas de doute raisonnable, pas question d'admettre bêtement parce que
"tout le monde dit que c'est vrai" :-)

[Hibernatus]

Maurice wrote:

[...]

Post by Maurice
Definissons une surface S en utilisant deux paramètres.
phi sur [0,2pi] (la rotation du plan vertical)
theta sur [0,2pi] (pour chaque cercle vertical)

[0,pi] pour l'un serait bien suffisant.

Post by Maurice
Soit
h(phi)= <n'importe quoi non constant>, par exemple h(phi)=phi.

Donc tu décales vers le "haut" (axe z) chaque cercle méridien.

Post by Maurice
Posons
R=racine(r^[2]+h^[2]) (c'est le rayon du cercle "vertical")

Donc tu imposes au cercle méridian un rayon
R(phi) = sqrt(r^2 + h(phi)^2).

On est bien d'accord que R dépend de phi, tout comme h, hein, et
qu'il ne faut pas implicitement présupposer (faussement) qu'ils sont
constants.

Post by Maurice
La surface S est définie par l'ensemble des points M de coordonnées
x=R*cos(theta)*cos(phi)
y=R*cos(theta)*sin(phi)
z=R*sin(theta)+h

Stop ici. Regardons l'intersection de cet object avec l'axe vertical
(x=y=0) :

a) R(phi) = 0 qui est impossible puisque R > r

b) cos(theta) = 0 => theta = pi/2 --> (0, 0, R(phi) + h(phi))

Donc on obtient toute une flopée de points, puisque
R(phi) + h(phi) = sqrt(r + h(phi)^2) + h(phi) n'est pas constant
(attention aux FPI !).

Donc l'intersection de cet objet avec les plans méridiens contient
bien un cercle, mais *n'est pas* un cercle.

Donc relire la *preuve* de Frederic Baldit, et comprendre son argument.

Hib.

[Maurice]

Mes pseudo contre-exemples sont grossièrement faux : je n'ai pas étudié
le cas cos(theta)=0.

A mettre en bonne place dans le bêtisier, donc.

Ou (non exclusif) dans la section artistique, comme générant de jolies
surfaces tordues.

Ils suggèrent aussi un énoncé un plus général. Quid si toute section par
un plan est un cercle _plus_ un segment de droite ?

Maurice

Post by Maurice

Post by denis feldmann

Post by Maurice

Post by cricri
Très belle démonstration. Je ne cherchais pas du tout de ce côté.
Merci beaucoup!

Oui. Dommage qu'elle soit fausse.
"...On obtient ainsi un ensemble de cercles de S qui doivent

Post by cricri

Post by Frederic Baldit
contenir E et F (invariants par la rotation d'axe D)

Rien ne le prouve.

Ah bon ?? Pourtant , E et F sont sur S et sur D, donc dans le cercle
intersection de S et du plan P1 (tournant autour de D) et ce cercle
est de diamètre EF par symétrie...
Le plan P1 donne un cercle, comme indiqué. Changeons

Post by Maurice
un peu les notations et notons E(0)-F(0) son diamètre, porté par D.
Un autre plan P(phi), obtenu en faisant tourner P1 autour de D d'un
angle phi, donnera un autre cercle contenant A, B et avec un diamètre
E(phi)-F(phi) _porté_ par D. Mais rien ne prouve que E(phi)=E(0).

Bien sûr que si : ces points sont sur D et sur le cercle, donc...(voir
plus haut)

Post by Maurice
Soit I le milieu de AB. On peut très bien avoir mesure(E(phi)-I)
variant de 0 à l'infini pour phi parcourant un intervalle de longueur
2pi. Ou n'importe quelle autre loi de variation.
Bien sûr le volume résultant, disons V, intersecté par un plan
"oblique", ne donnerait plus un cercle, mais justement, la tentative
de démonstration n'utilise pas de tels plans obliques.

Si, le plan orthogonal à D, et il suffit (ce qui, au passage, montre
que l'énoncé peut être considérablement affaibli)
Par conséquent elle

Post by Maurice
est incapable d'éviter des volumes tels que V, qui ne sont pas des sphères.

Donne un contre-exemple (S a pour intersection un cercle C0 avec le
plan P0, et un cercle dans tout plan P passant pas l' axe de symétrie
de C0e, et pourtant S n'est pas une sphère), et on t'écoutera avec
intérêt...

Il y a une infinité de contre-exemples.
Prenons le milieu I de AB comme centre de coordonnées, le plan (x,y)
contenant le cercle C0, c'est-à-dire P0, et la droite D (axe de symétrie
de C0) comme axe z. Soit r=IA=IB.
Definissons une surface S en utilisant deux paramètres.
phi sur [0,2pi] (la rotation du plan vertical)
theta sur [0,2pi] (pour chaque cercle vertical)
Soit
h(phi)= <n'importe quoi non constant>, par exemple h(phi)=phi.
Posons
R=racine(r^r+h^h) (c'est le rayon du cercle "vertical")
La surface S est définie par l'ensemble des points M de coordonnées
x=R*cos(theta)*cos(phi)
y=R*cos(theta)*sin(phi)
z=R*sin(theta)+h
Une telle surface n'est pas une sphère parce que h n'est pas constant
(alors que le présupposé implicite faux de la tentative de démonstration
en discussion est justement qu'il est constant). J'imagine qu'avec un
logiciel adéquat il est facile de la visualiser.
a) que l'intersection de (x,y) avec S est le cercle C0
b) que l'intersection avec S de tout plan contenant l'axe z est un cercle
Preuve de a)
-----------
C'est évident par construction, mais prouvons-le quand même analytiquement.
On a de toutes façons x^2 + y^2 = R^2*cos(theta)^2
L'intersection de S avec le plan (x,y) est donnée par z=0, c'est-à-dire
sin(theta)=-h/R
d'où, successivement
cos(theta)^2=1-h^2/r^2
x^2 + y^2 = R^2*(1-h^2/R^2)
= R^2 - h^2
= r^2
C'est bien le cercle de centre I, de rayon r.
Preuve de b)
-----------
Même remarque, c'est évident géométriquement, S a été construite pour
que ça marche. Prouvons-le analytiquement.
Un plan contenant l'axe z est entièrement défini par un angle ksi entre
0 et 2*pi. Ses équations paramétriques sont
x=a*cos(ksi)
y=a*sin(ksi)
z=b
avec ksi dans [0, 2*pi[, a dans [0, infini[, b dans [0, infini[
a*cos(ksi)=R*cos(theta)*cos(phi)
a*sin(ksi)=R*cos(theta)*sin(phi)
b=R*sin(theta)+h
On en déduit en particulier
a^2=R^2*cos(theta)^2
cas cos(theta)>0
---------------
a=R*cos(theta)
cos(ksi)=cos(phi)
sin(ksi)=sin(phi)
=> phi=ksi=constante
cas cos(theta)<=0
-----
a=-R=cos(theta)
cos(ksi)=-cos(phi)
sin(ksi)=-sin(phi)
=> phi=ksi+pi si ksi<pi ou phi=ksi-pi si ksi>=pi
=> phi=constante
L'intersection d'un tel plan "vertical" avec S est donc trouvée en
considérant phi constant dans les équations paramétriques de S.
On a alors R=constante.
Soit J le point de coordonnées (0,0,h). Prenons un point M qui
appartiennent à la fois au plan et à S et calculons sa distance à J.
On a
x^2 + y^2 + (z-h)^2 = R^2*cos(theta)^2 + (R*sin(theta) + h - h)^2
= R^2*cos(theta)^2 + R^2*sin(theta)^2
= R^2
Cette distance est constante : c'est bien un cercle.
Maurice Clerc

Post by denis feldmann

Post by Maurice
Je propose plutôt une démarche constructive (à affiner/vérifier), à
partir de plans parallèles.
Etape 1
-------
Deux plans parallèles donnent deux cercles, sur lesquels on peut
choisir deux diamètres parallèles A1-A2 et B1-B2. Le plan contenant
A1, A2, B1, B2, coupe le solide selon un cercle qui contient ces
quatre points. Donc le quadrilatère correspondant est un trapèze
symétrique : la droite joignant les centres des cercles est
perpendiculaire à A1-A2 et à B1-B2
Etape 2
-------
En prenant tous les plans parallèles aux précédents, en déduire que
les centres des cercles d'intersection sont alignés. Le solide est
alors un cylindre au sens large (corps avec symétrie de rotation
autour d'un axe X1)
Etape 3
-------
Idem avec une autre famille de plans parallèles, par exemple
perpendiculaires aux précédents. => un autre axe de rotation X2.
Etape 4
-------
Montrer que X1 intersecte X2 en O. Intuitivement "évident", mais,
justement, pas forcément facile à vraiment démontrer. A partir de là,
en généralisant, on a un corps avec symétrie de rotation autour de
tout axe passant par O. On peut _maintenant_ prouver, éventuellement
analytiquement en considérant la distance à O d'un point quelconque,
que c'est une sphère.
Maurice Clerc

Post by cricri

Post by Frederic Baldit
Soit S le solide et P un plan qui coupe S selon un cercle C de rayon non
nul. Soit A un point de C et B le point de C diamétralement opposé,
et soit D la droite perpendiculaire à P passant par le milieu de
[AB]. Soit P1 le
plan défini par D et (AB). L'intersection de P1 et S est un cercle C1
passant par A et B. Donc la médiatrice de [AB] contenue dans P1, qui est D,
contient un diamètre [EF] de C1.
En faisant tourner A sur C on fait tourner P1 autour de D (puisque D reste
inchangée). On obtient ainsi un ensemble de cercles de S qui doivent
contenir E et F (invariants par la rotation d'axe D). De plus la rotation
de A sur C ne change pas la médiatrice de [AB] qui est contenue dans P1
donc tous ces cercles ont un diamètre porté par D. Donc tous ces cercles
admettent [EF] comme diamètre.
La rotation de P1 autour de D décrivant tous l'espace, S est l'ensemble des
cercles de diamètre [EF]. C'est donc une sphère.
Il y a peut-être plus court et mieux écrit...

[denis feldmann]

Post by Maurice
Mes pseudo contre-exemples sont grossièrement faux : je n'ai pas étudié
le cas cos(theta)=0.
A mettre en bonne place dans le bêtisier, donc.
Ou (non exclusif) dans la section artistique, comme générant de jolies
surfaces tordues.
Ils suggèrent aussi un énoncé un plus général. Quid si toute section par
un plan est un cercle _plus_ un segment de droite ?

Tu veux sans doute dire un cercle *ou* un cercle plus un segment de
droite. Mais alors , une sphère va se former pour des raisons presque
analogues aux précédentes (sauf peut-être autour d'un axe exceptionnel),
et il restera en plus quelques segments non coplanaires, dont
l'itersection par un plan donnera des points isolés, en contradiction
avec l'hypothèse...

[Babacio]

Maurice

Post by Maurice
Il y a une infinité de contre-exemples.

Ah ah ah ! Grand farceur.

Post by Maurice
La surface S est définie par l'ensemble des points M de coordonnées
x=R*cos(theta)*cos(phi)
y=R*cos(theta)*sin(phi)
z=R*sin(theta)+h(phi) [ h non constante, h(phi)=phi]
Une telle surface n'est pas une sphère parce que h n'est pas constant
(alors que le présupposé implicite faux de la tentative de
démonstration en discussion est justement qu'il est
constant). J'imagine qu'avec un logiciel adéquat il est facile de la
visualiser.

Il n'y a pas un gros effort mental à faire pour visualiser la chose,
et voir que c'est « un morceau de coquille d'escargot ». Bref, une
surface avec un bord, mais surtout une infinité de points sur l'axe
Oz.

[Babacio]

Maurice

Post by Maurice

Post by cricri
Très belle démonstration. Je ne cherchais pas du tout de ce côté.
Merci beaucoup!

Oui. Dommage qu'elle soit fausse.
"...On obtient ainsi un ensemble de cercles de S qui doivent

Post by cricri

contenir E et F (invariants par la rotation d'axe D)."

Rien ne le prouve.

Je te le refais :

Le plan P par lequel on coupe contient D, donc il passe par E et F,
ainsi que le solide, donc l'intersection (qui est un cercle C_P)
contient E et F. Donc [EF] est une corde de ce cercle.

D'autre part ce plan P coupe en A' et B' le cercle de diamètre [AB]
qui est inclus dans le solide, donc le cercle C_P contient les point
A' et B' et [A'B'] est une corde de C_P. Comme D est la médiatrice de
[A'B'], [EF] est bien un diamètre de C_P.

Cette démonstration est correcte et elle est constructive.

[unknown]

On Tue, 14 Jun 2005 11:23:35 +0200, Frederic Baldit

Post by Frederic Baldit

Post by Babacio
denis feldmann

Post by denis feldmann

Post by grossbaff

Post by cricri
Tout plan coupe un solide selon un cercle.
Je suppose que l'on se place dans la cas où l'intersection n'est
pas vide ou réduite à un point.
Comment prouver que ce solide est une sphère
?

Soit je ne comprends pas bien, soit tu oublies qu'un cône a aussi
une section circulaire, ou elliptique selon l'orientation du plan ...

Ou elliptique, justement... Il a dit "un cercle dans tous les cas non
vides"

Et puis un cône ça peut aussi donner une hyperbole, une parabole...
M'enfin les sections coniques !

Soit S le solide et P un plan qui coupe S selon un cercle C de rayon non
nul. Soit A un point de C et B le point de C diamétralement opposé, et soit
D la droite perpendiculaire à P passant par le milieu de [AB]. Soit P1 le
plan défini par D et (AB). L'intersection de P1 et S est un cercle C1
passant par A et B. Donc la médiatrice de [AB] contenue dans P1, qui est D,
contient un diamètre [EF] de C1.
En faisant tourner A sur C on fait tourner P1 autour de D (puisque D reste
inchangée). On obtient ainsi un ensemble de cercles de S qui doivent
contenir E et F (invariants par la rotation d'axe D). De plus la rotation
de A sur C ne change pas la médiatrice de [AB] qui est contenue dans P1
donc tous ces cercles ont un diamètre porté par D. Donc tous ces cercles
admettent [EF] comme diamètre.
La rotation de P1 autour de D décrivant tous l'espace, S est l'ensemble des
cercles de diamètre [EF]. C'est donc une sphère.

Ok
mais j'aurai plutôt tendance à en déduire d'abord que la sphère de
diamètre [EF] est incluse dans le solide

et reste à vérifier que le solide se réduit à cette sphère :
sinon il y aurait un point U du solide pas sur cette sphère (de centre
O) et en considérant un plan passant par O et U
l'intersection du solide serait (au moins) un cercle (l'inter avec la
sphère) + le point U pas sur ce cercle, donc l'inter ne serait pas un
cercle, contradiction.
mais, bon c'est un détail par rapport à la démo

[Jean-Claude Arbaut]

Post by unknown
On Tue, 14 Jun 2005 11:23:35 +0200, Frederic Baldit

Post by Frederic Baldit

Post by Babacio
denis feldmann

Post by denis feldmann

Post by grossbaff

Post by cricri
Tout plan coupe un solide selon un cercle.
Je suppose que l'on se place dans la cas où l'intersection n'est
pas vide ou réduite à un point.
Comment prouver que ce solide est une sphère
?

Soit je ne comprends pas bien, soit tu oublies qu'un cône a aussi
une section circulaire, ou elliptique selon l'orientation du plan ...

Ou elliptique, justement... Il a dit "un cercle dans tous les cas non
vides"

Et puis un cône ça peut aussi donner une hyperbole, une parabole...
M'enfin les sections coniques !

Soit S le solide et P un plan qui coupe S selon un cercle C de rayon non
nul. Soit A un point de C et B le point de C diamétralement opposé, et soit
D la droite perpendiculaire à P passant par le milieu de [AB]. Soit P1 le
plan défini par D et (AB). L'intersection de P1 et S est un cercle C1
passant par A et B. Donc la médiatrice de [AB] contenue dans P1, qui est D,
contient un diamètre [EF] de C1.
En faisant tourner A sur C on fait tourner P1 autour de D (puisque D reste
inchangée). On obtient ainsi un ensemble de cercles de S qui doivent
contenir E et F (invariants par la rotation d'axe D). De plus la rotation
de A sur C ne change pas la médiatrice de [AB] qui est contenue dans P1
donc tous ces cercles ont un diamètre porté par D. Donc tous ces cercles
admettent [EF] comme diamètre.
La rotation de P1 autour de D décrivant tous l'espace, S est l'ensemble des
cercles de diamètre [EF]. C'est donc une sphère.

Ok
mais j'aurai plutôt tendance à en déduire d'abord que la sphère de
diamètre [EF] est incluse dans le solide

Les deux dernières lignes sont pourtant claires: la rotation du plan P1
parcourt l'espace, donc... où diable voulez-vous trouver d'autres points ?

Post by unknown
sinon il y aurait un point U du solide pas sur cette sphère (de centre
O) et en considérant un plan passant par O et U
l'intersection du solide serait (au moins) un cercle (l'inter avec la
sphère) + le point U pas sur ce cercle, donc l'inter ne serait pas un
cercle, contradiction.
mais, bon c'est un détail par rapport à la démo

C'est carrément superflu :-)

[ast]

"cricri" <***@yahoo.fr> a écrit dans le message de news: 42adfa22$0$25039$***@news.wanadoo.fr...
|Tout plan coupe un solide selon un cercle.
|Je suppose que l'on se place dans la cas où l'intersection n'est pas
|vide ou réduite à un point.

|Comment prouver que ce solide est une sphère?

Et si on remplace "Tout plan" par tous les plans parallèles
soit au plan P1, soit au plan, P1 et P2 étant 2 plan fixés et
non parallèles entre eux, est ce que ça marche encore ?

ast

[ast]

"cricri" <***@yahoo.fr> a écrit dans le message de news:

| Tout plan coupe un solide selon un cercle.
| Je suppose que l'on se place dans la cas où l'intersection n'est pas
| vide ou réduite à un point.

| Comment prouver que ce solide est une sphère?

Et si on remplace "tout plan" par tous les plans parallèles
soit au plan P1, soit au plan P2, P1 et P2 étant 2 plans fixés et
non parallèles entre eux, est ce que ça marche encore ?

ast

[Hibernatus]

Post by ast
| Tout plan coupe un solide selon un cercle.
| Je suppose que l'on se place dans la cas où l'intersection n'est pas
| vide ou réduite à un point.
| Comment prouver que ce solide est une sphère?
Et si on remplace "tout plan" par tous les plans parallèles
soit au plan P1, soit au plan P2, P1 et P2 étant 2 plans fixés et
non parallèles entre eux, est ce que ça marche encore ?
ast

Non.

Prends un cylindre dont la base est une ellipse avec rapport grand
axe/petit axe = sqrt(2) (excentricité = 1/sqrt(2), je crois).

P1 plan passant par le grand axe avec angle de 45° avec l'axe du
cylindre.

P2 plan perpendiculaire à P1.

Hib.

[ast]

"Hibernatus" <***@laposte.net> a écrit dans le message de news:
42af23bb$0$11694$***@news.wanadoo.fr...
| ast wrote:
| > "cricri" <***@yahoo.fr> a écrit dans le message de news:
| >
| > | Tout plan coupe un solide selon un cercle.
| > | Je suppose que l'on se place dans la cas où l'intersection n'est pas
| > | vide ou réduite à un point.
| >
| > | Comment prouver que ce solide est une sphère?
| >
| > Et si on remplace "tout plan" par tous les plans parallèles
| > soit au plan P1, soit au plan P2, P1 et P2 étant 2 plans fixés et
| > non parallèles entre eux, est ce que ça marche encore ?
| >
| > ast
| >
|
|
| Non.
|
| Prends un cylindre dont la base est une ellipse avec rapport grand
| axe/petit axe = sqrt(2) (excentricité = 1/sqrt(2), je crois).
|
| P1 plan passant par le grand axe avec angle de 45° avec l'axe du
| cylindre.
|
| P2 plan perpendiculaire à P1.
|
| Hib.

Effectivement, vous avez raison.

[Thompson & Thomson]

"cricri" <***@yahoo.fr> wrote

Tout plan coupe un solide selon un cercle.
Je suppose que l'on se place dans la cas où l'intersection n'est pas
vide ou réduite à un point.

Comment prouver que ce solide est une sphère?

====================================================

Tout plan?
N'importe quel plan?

Il est des solides (surfaces) dont les sections par une infinite de plans
sont des cercles.

Ces surfaces ce sont les cyclides, dont le cas le plus simple est le tore.

D'une facon generale les sections planes des cyclides sont de genre zero
(dont le cercle evidemment) ou de genre un (courbes elliptiques, exemple
ovales de Descartes).

[Jean-Claude Arbaut]

Post by cricri
Tout plan coupe un solide selon un cercle.
Je suppose que l'on se place dans la cas où l'intersection n'est pas
vide ou réduite à un point.
Comment prouver que ce solide est une sphère?
====================================================
Tout plan?
N'importe quel plan?

TOUT PLAN DE L'ESPACE ! C'est quand même évident non ?

Quant à la démo, elle est superbe et traîne depuis une semaine.
Grand merci à Frédéric Baldit.

Post by cricri
Il est des solides (surfaces) dont les sections par une infinite de plans
sont des cercles.
Ces surfaces ce sont les cyclides, dont le cas le plus simple est le tore.
D'une facon generale les sections planes des cyclides sont de genre zero
(dont le cercle evidemment) ou de genre un (courbes elliptiques, exemple
ovales de Descartes).

Elle est tarte, celle-là ! Je suis pas été longtemps à l'école, alors je
sais pas ce que c'est que le genre, mais si tu arrives à trouver plus de 2
plans qui coupent un tore suivant un cercle, je te paye le Champagne ! :-)

[Olivier Miakinen]

Post by Jean-Claude Arbaut

Post by Thompson & Thomson
Ces surfaces ce sont les cyclides, dont le cas le plus simple est le tore.
D'une facon generale les sections planes des cyclides sont de genre zero
(dont le cercle evidemment) ou de genre un (courbes elliptiques, exemple
ovales de Descartes).

Elle est tarte, celle-là ! Je suis pas été longtemps à l'école, alors je
sais pas ce que c'est que le genre, mais si tu arrives à trouver plus de 2
plans qui coupent un tore suivant un cercle, je te paye le Champagne ! :-)

Haha... Il m'a fallu plusieurs longues secondes d'intense réflexion
avant de trouver où se trouvaient ces deux plans !

[Thompson & Thomson]

Post by Jean-Claude Arbaut

Post by Thompson & Thomson
Tout plan?
N'importe quel plan?

TOUT PLAN DE L'ESPACE ! C'est quand même évident non ?
Quant à la démo, elle est superbe et traîne depuis une semaine..

Visiblement tu ne comprends pas l'humour.

Les cyclides sont des surfaces peu connues maintenant des matheux
non-geometres mais en CAO on les apprecie.
Au fait mm les matheux les aime, cf. surfaces et hypersurfaces de Dupin, le
bouquin de Cecil en particulier.

Post by Jean-Claude Arbaut
Grand merci à Frédéric Baldit.

Mmoui, bien sur et a Euclide surtout. ;-)

Post by Jean-Claude Arbaut

Post by Thompson & Thomson
Il est des solides (surfaces) dont les sections par une infinite de plans
sont des cercles.
Ces surfaces ce sont les cyclides, dont le cas le plus simple est le tore.
D'une facon generale les sections planes des cyclides sont de genre zero
(dont le cercle evidemment) ou de genre un (courbes elliptiques, exemple
ovales de Descartes).

Elle est tarte, celle-là ! Je suis pas été longtemps à l'école [sic],

alors je

Post by Jean-Claude Arbaut
sais pas ce que c'est que le genre, mais si tu arrives à trouver plus de 2
plans qui coupent un tore suivant un cercle, je te paye le Champagne ! :-)

Si je pouvais te faire un petit dessin, le genre tu pigerais tout de suite.

Mais laisse tomber les sarcasmes et aboule le champagne, Mumm Cordon Rouge,
vite.

Il y a pour le tore une ***triple infinite*** de ces plans.

1. les plans contenant l'axe du tore

2. les plans perpendiculaires a cet axe

3. enfin les plans contenant les cercles appeles "Cercles d' Yvon
Villarceau" et comme manifestement tu ne sais pas ce que c'est va vite
regarder sur Google ou mieux le bouquin de Berger par exemple (&). Et comme
pour les precedents il y a 2 cercles de Villarceau par plan.

Si tu as un programme de geometrie ou de CAO pour faire joujou les cercles
de Villarceau sont tres amusants a etudier et assez peu connus par le commun
des mortels, la preuve.

Tu vois tu etais parti pour m'engueuler et je t'apprends quelque chose.

Je suis bon prince, hein, va je laisse tomber les infinites, mais meme dans
ce cas il n'y a donc pas 2 plans comme tu le dis mais bien 3.

Ca marche mon champagne, oui ou non?
J'aime pas attendre, si il n'y a pas de Cordon Rouge du Veuve Cliquot.
C'est encore meilleur et plus cher j'espere.

(&) ou mieux suivant Berger visiter le Musee de l'Oeuvre Notre Dame a
Strasbourg et y regarder de pres un certain escalier helicoidal je crois, je
n'ai pas le bouquin sous les yeux.

[Gilles Robert]

Post by Thompson & Thomson

Post by Jean-Claude Arbaut
si tu arrives à trouver plus de 2
plans qui coupent un tore suivant un cercle, je te paye le Champagne ! :-)

Si je pouvais te faire un petit dessin, le genre tu pigerais tout de suite.
Mais laisse tomber les sarcasmes et aboule le champagne, Mumm Cordon Rouge,
vite.

Laisse tomber. Pour la plupart des plans, l'intersection est formée de
*deux* cercles.

[denis feldmann]

Post by Thompson & Thomson

Post by Jean-Claude Arbaut

Post by Thompson & Thomson
Tout plan?
N'importe quel plan?

TOUT PLAN DE L'ESPACE ! C'est quand même évident non ?
Quant à la démo, elle est superbe et traîne depuis une semaine..

Visiblement tu ne comprends pas l'humour.
Les cyclides sont des surfaces peu connues maintenant des matheux
non-geometres mais en CAO on les apprecie.
Au fait mm les matheux les aime, cf. surfaces et hypersurfaces de Dupin, le
bouquin de Cecil en particulier.

Post by Jean-Claude Arbaut
Grand merci à Frédéric Baldit.

Mmoui, bien sur et a Euclide surtout. ;-)

Post by Jean-Claude Arbaut

Post by Thompson & Thomson
Il est des solides (surfaces) dont les sections par une infinite de

plans

Post by Jean-Claude Arbaut

Post by Thompson & Thomson
sont des cercles.
Ces surfaces ce sont les cyclides, dont le cas le plus simple est le

tore.

Post by Jean-Claude Arbaut

Post by Thompson & Thomson
D'une facon generale les sections planes des cyclides sont de genre zero
(dont le cercle evidemment) ou de genre un (courbes elliptiques, exemple
ovales de Descartes).

Elle est tarte, celle-là ! Je suis pas été longtemps à l'école [sic],

alors je

Post by Jean-Claude Arbaut
sais pas ce que c'est que le genre, mais si tu arrives à trouver plus de 2
plans qui coupent un tore suivant un cercle, je te paye le Champagne ! :-)

Si je pouvais te faire un petit dessin, le genre tu pigerais tout de suite.
Mais laisse tomber les sarcasmes et aboule le champagne, Mumm Cordon Rouge,
vite.

Le monsieur a dit : suivant *un* cercle

Donc, désolé, tu ne boiras rien (sinon la tasse)

Post by Thompson & Thomson
Il y a pour le tore une ***triple infinite*** de ces plans.
1. les plans contenant l'axe du tore
2. les plans perpendiculaires a cet axe
3. enfin les plans contenant les cercles appeles "Cercles d' Yvon
Villarceau" et comme manifestement tu ne sais pas ce que c'est

On se moque, on se moque, et on se rend ridicule. Beaucoup de gens sur
ce forum sont au courant


va vite

Post by Thompson & Thomson
regarder sur Google ou mieux le bouquin de Berger par exemple (&). Et comme
pour les precedents il y a 2 cercles de Villarceau par plan.

Au fait, tu sais le démntrer simplement ? Sinon, va voir la belle démo
de mon ancien prof de maths sup :

http://perso.wanadoo.fr/denis.feldmann/PDF/cercles.pdf

Post by Thompson & Thomson
Si tu as un programme de geometrie ou de CAO pour faire joujou les cercles
de Villarceau sont tres amusants a etudier et assez peu connus par le commun
des mortels, la preuve.
Tu vois tu etais parti pour m'engueuler et je t'apprends quelque chose.

Peut-être... Va savoir...

Post by Thompson & Thomson
Je suis bon prince, hein, va je laisse tomber les infinites, mais meme dans
ce cas il n'y a donc pas 2 plans comme tu le dis mais bien 3.
Ca marche mon champagne, oui ou non?

Non...

Post by Thompson & Thomson
J'aime pas attendre, si il n'y a pas de Cordon Rouge du Veuve Cliquot.
C'est encore meilleur et plus cher j'espere.

Essaie du Cristal Roederer, si c'est pour snober. Mais les meilleurs
champagnes sont pas forcément les plus chers...

Post by Thompson & Thomson
(&) ou mieux suivant Berger visiter le Musee de l'Oeuvre Notre Dame a
Strasbourg et y regarder de pres un certain escalier helicoidal je crois, je
n'ai pas le bouquin sous les yeux.

[Thompson & Thomson]

Au fait, tu sais le démontrer simplement ? Sinon, va voir la belle démo

Simplement? Je le fais betement et mechamment en calculant l'equation de
l'intersection du plan et du tore, c'est une quartique evidemment et si on
cherche les conditions d'une eventuelle factorisation on tombe sur les
cercles le plan bitangent et les cercles d'Yvonne Villarceau.

Au fait ces cercles tu les trouve suffisamment curieux pour en parler toi.

Avec Maple c'est pas bien long mais evidemment moins subtil que celle de ton
prof.

http://perso.wanadoo.fr/denis.feldmann/PDF/cercles.pdf

C'est une demonstration bien dans l'esprtit de Darboux.

Du reste Darboux a ecrit un article intitule "Sur les Sections du Tore" dans
sa jeunesse, vers 1860 mais il n'est pas disponible sur l"internet ou pas
encore mais je compte le trouver a la bliotheque publique de notre ville.

Essaie du Cristal Roederer, si c'est pour snober. Mais les meilleurs
champagnes sont pas forcément les plus chers...

Merci du renseignement mais je ne saurais pas faire la difference entre un
champagne, bon ou mauvais, cher ou bon marche et de la Clairette de Die ou
de l'Asti Spumante.

Manque d'entrainement, je n'ai pasdu en boire depuis plus de 10 ans.

[h***@gmail.com]

Elle est chaude cette démo et m'a l'air intéressante. Mais
connaissez-vous la démo qui prouve l'équivalence entre les ellipses
sections de cones et les ellipses du jardiniers (somme des distances
des points de l'ellipse à deux points fixes = cst)? Elle est vraiment
élégante et utilise deux sphères seulement. Le cone est évidemment
de révolution.

[denis feldmann]

Post by h***@gmail.com
Elle est chaude cette démo et m'a l'air intéressante. Mais
connaissez-vous la démo qui prouve l'équivalence entre les ellipses
sections de cones et les ellipses du jardiniers (somme des distances
des points de l'ellipse à deux points fixes = cst)? Elle est vraiment
élégante et utilise deux sphères seulement. Le cone est évidemment
de révolution.

Oui, bien sûr. C'est le théorème de Dandelin. Il y en a eu une jolie
présentation graphique dans un vieux Pour la Science ; en voici une
autre présentation pas trop sale
http://www.clowder.net/hop/Dandelin/Dandelin.html

[Jean-Claude Arbaut]

Post by h***@gmail.com
Elle est chaude cette démo et m'a l'air intéressante. Mais
connaissez-vous la démo qui prouve l'équivalence entre les ellipses
sections de cones et les ellipses du jardiniers (somme des distances
des points de l'ellipse à deux points fixes = cst)? Elle est vraiment
élégante et utilise deux sphères seulement.

On peut aussi faire ça dans le plan.

Post by h***@gmail.com
Le cone est évidemment de révolution.

Tu en connais un autre ? ;-) Al là là, la révolution du cône...

[Jean-Claude Arbaut]

Post by Jean-Claude Arbaut

Post by h***@gmail.com
Elle est chaude cette démo et m'a l'air intéressante. Mais
connaissez-vous la démo qui prouve l'équivalence entre les ellipses
sections de cones et les ellipses du jardiniers (somme des distances
des points de l'ellipse à deux points fixes = cst)? Elle est vraiment
élégante et utilise deux sphères seulement.

On peut aussi faire ça dans le plan.

Enfin, en supposant qu'on a déjà prouvé l'équivalence avec autre chose,
j'étais pas fûté, là !

Post by Jean-Claude Arbaut

Post by h***@gmail.com
Le cone est évidemment de révolution.

Tu en connais un autre ? ;-) Al là là, la révolution du cône...

[denis feldmann]

Post by Jean-Claude Arbaut

Post by Jean-Claude Arbaut

Post by h***@gmail.com
Elle est chaude cette démo et m'a l'air intéressante. Mais
connaissez-vous la démo qui prouve l'équivalence entre les ellipses
sections de cones et les ellipses du jardiniers (somme des distances
des points de l'ellipse à deux points fixes = cst)? Elle est vraiment
élégante et utilise deux sphères seulement.

On peut aussi faire ça dans le plan.

Enfin, en supposant qu'on a déjà prouvé l'équivalence avec autre chose,
j'étais pas fûté, là !

Post by Jean-Claude Arbaut

Post by h***@gmail.com
Le cone est évidemment de révolution.

Tu en connais un autre ? ;-) Al là là, la révolution du cône...

Ben oui, y'en a d'autres... Un cône, c'est la réunion des droites
passant par un point fixe et coupant une courbe plane (suffisament
régulière), dont le plan ne contient pas le point...

[Jean-Claude Arbaut]

Post by denis feldmann
Ben oui, y'en a d'autres... Un cône, c'est la réunion des droites
passant par un point fixe et coupant une courbe plane (suffisament
régulière), dont le plan ne contient pas le point...

Ah, là j'ai encore brillé par mon inculture... J'ai déjà rencontré ce genre
de surface, mais j'ignorais qu'on leur donnait ce nom, ou alors j'ai oublié,
ce qui serait pire :-)