Rainer Rosenthal
2020-05-03 19:54:20 UTC
Damit(*) wird etwas als möglich bewiesen, das ich schon vor
Cantors abzählbare Folge enthält nicht alle Elemente der
Menge der rationalen Zahlen.
Ist das nicht ein schönes Ergebnis?
Zweifellos. Ich möchte es gerne prüfen.Cantors abzählbare Folge enthält nicht alle Elemente der
Menge der rationalen Zahlen.
Ist das nicht ein schönes Ergebnis?
Es wäre schön, wenn ich mir die Beweisführung oder ersatzweise die zum
Ergebnis führenden Gedankengänge nicht aus verschiedenen Postings
zusammensuchen müsste.
Bist Du so freundlich, dazu etwas zusammenhängend hier aufzuschreiben?
Denn mir erscheint da nichts zauberhaft an der Zickzackaufzählung.
# \Z
# N\ 1 2 3 4 5 6 ...
# --+-------------------------------------------
# 1 | 1/1 2/1 3/1 4/1 5/1 6/1 ...
# |
# 2 | 1/2 2/2 3/2 4/2 5/2 6/2 ...
# |
# 3 | 1/3 2/3 3/3 4/3 5/3 6/3 ...
# |
# 4 | 1/4 2/4 3/4 4/4 5/4 6/4 ...
# |
# 5 | 1/5 2/5 3/5 4/5 5/5 6/5 ...
# |
# 6 | 1/6 2/6 3/6 4/6 5/6 6/6 ...
# |
# .......
#
Man geht bei der Zickzack-Aufzählung von der Ecke links oben alle
Antidiagonalen ab, die durch Z+N = const. gegeben sind.
Nach 1/1 kommt die Antidiagonale mit Z+N=3: 1/2, 2/1.
Dann Z+N=4: 1/3, 2/2, 3/1.
Dann Z+N=5: 1/4, 2/3, 3/2, 4/1.
Usw.
Die Aufzählung beginnt also so:
1/1, 1/2, 2/1, 1/3, 2/2, 3/1, 1/4, 2/3, 3/2, 4/1, ...
Wenn man sich daran stört, dass manche Rationalzahl dabei doppelt
gezählt wird, wie z.B. 1/1 = 2/2 oder 1/2 = 2/4, dann lässt man bereits
vorhandene Zahlen einfach weg. Die schlankere Aufzählung ohne Doppelte
beginnt so: 1/1, 1/2, 2/1, 1/3, 3/1, 1/4, 2/3, 3/2, 4/1, ...
Es ist auch Geschmacksache, ob man die Antidiagonalen wirklich im
Zickzack durchläuft oder so, wie ich es vorgeführt habe, von links unten
nach rechts oben.
Es kann dabei keine rationale Zahl unberücksichtigt bleiben, denn sie
hat die Form m/n und liegt daher auf der Antidiagonalen Z+N = m+n. Haben
m und n einen gemeinsamen Teiler, dann liegt die rationale Zahl auch
schon auf einer Antidiagonalen mit kleinerem Z+N. Da keine Antidiagonale
ausgelassen wird, wird also auch keine rationale Zahl ausgelassen.
Wenn ich es recht verstanden habe, hat Dir das Diskutieren über
Umordnungen unendlicher Mengen
den Schlüssel zum Verständnis gegeben, dass bei der genannten (oder
einer äquivalenten) Aufzählung "etwas verloren gehen kann". Inwiefern?
Wie kannst Du das Gelernte hier anwenden?
Und bitte noch etwas: ist an meiner naiven Erzählung oben etwas
auszusetzen? Habe ich da etwas geschrieben, was auf einer unzulässigen
Annahme beruht? Oder ist es einfach so, dass ich da zwar was
Einleuchtendes und Korrektes geschrieben habe, dass Du aber klipp und
klar nachweisen kannst, dass das Resultat "meiner" Überlegung unmöglich
stimmen kann? Mit /unmöglich/ meine ich wirklich *unmöglich* und nicht
/verblüffend/, /paradox/ oder /vollkommen verrückt/.
Verblüffend ist es natürlich, dass die rationalen Zahlen dicht liegen im
Intervall [0,3] und es daher so scheinen will, als ließe sich das
Intervall [0,3] lückenlos mit Intervallen der Länge 1/2^n (n=0,1,2,...)
bedecken. Man muss ja nur, so könnte man meinen, auf die rationale Zahl
mit Nummer n (in der Aufzählung) ein Intervall der Länge 1/2^n legen.
Gemeinerweise ist aber die Gesamtlänge aller dieser Intervalle 1/2^0 +
1/2^1 + 1/2^2 = 1 + 1/2 + 1/4 + ... = 2. Und es ist wahrlich paradox,
sich vorzustellen, man könne aus lauter Stückchen mit Gesamtlänge 2 eine
Gesamtlänge 3 zusammenstückeln. Noch dazu, wo die Stückchen nicht einmal
überlappungsfrei verwendet werden.
Aber wie gesagt: das ist paradox. Unmöglich ist die Deckel-Verteilung
mit Deckeln der Länge 1/2^n über Rationalzahl r(n) nicht. Man muss aber
einsehen, dass keine Lückenlosigkeit vorliegen kann. Und das ist
wirklich gemein: Lücken kann ich dabei auch nicht zeigen :-)
Umgangssprachlich ist man hier definitiv am Ende: Keine Lücken und keine
Lückenlosigkeit - starker Tobak!
Gruß,
Rainer Rosenthal
***@web.de
(*) gemeint ist das Verschwinden der Mona Lisa
https://groups.google.com/d/msg/de.sci.mathematik/hcJdrc_wvRw/WX5OfrxzAAAJ