Stai essenzialmente chiedendo informazioni sulla derivata materiale quando parli di una derivata totale rispetto al tempo.
Supponiamo che tu stia osservando la velocità dell'aria nella tua stanza. C'è una velocità diversa ovunque e cambia con il tempo, quindi
$$ v = v (x, y, z, t) $$
Quando prendi una derivata come
$$ \ frac {\ partial v} {\ partial t} $$
stai dicendo "Continuerò a campionare la velocità del vento esattamente nello stesso punto nella mia stanza, e scopri quanto velocemente cambia la velocità. "
Se, invece, prendi
$$ \ frac {\ textrm {d} v} {\ textrm {d} t} $$
stai ora dicendo: "continua a seguire un po 'd'aria in particolare e guarda quanto velocemente cambia la sua velocità (cioè trova la sua accelerazione)."
(nota : Marek ha fatto una bella precisazione sulla differenza tra questi due usi di $ t $ nei commenti a questa risposta.)
Sono correlati dalla regola della catena
$$ \ frac {\ textrm {d} v} {\ textrm {d} t} = \ frac {\ partial v} {\ partial t} + \ frac {\ partial v} {\ partial x} \ frac {\ textrm {d } x} {\ textrm {d} t} + \ frac {\ partial v} {\ partial y} \ frac {\ textrm {d} y} {\ textrm {d} t} + \ frac {\ partial v} {\ partial z} \ frac {\ textrm {d} z} {\ textrm {d} t} $$
Questo dice t ma se guardi una particella d'aria in particolare, la sua velocità cambia parzialmente perché l'intero campo di velocità sta cambiando. Ma anche se l'intero campo di velocità non cambiasse, la velocità della particella cambierebbe comunque perché si sposta in un nuovo punto e anche la velocità è diversa in quel punto.
Come altro esempio, diciamo qui è una formica che striscia su una collina. Ha un'altezza che è funzione della posizione bidimensionale
$$ h = h (x, y) $$
Se guardiamo $ \ partial h / \ partial x $, stiamo osservando la pendenza nella direzione x. Puoi trovarlo spostandoti un po 'nella direzione x mantenendo la stessa y, trovando la modifica in z e dividendo per quanto ti sei spostato.
D'altra parte, dato che stiamo seguendo la formica, potremmo voler sapere di quanto cambia la sua altezza quando si muove un po 'nella direzione x. Ma la formica sta viaggiando lungo il proprio percorso contorto, e quando si muove nella direzione x, finisce per cambiare anche la sua coordinata y.
La variazione totale dell'altezza della formica è la variazione di la sua altezza dovuta allo spostamento nella direzione x più il cambiamento dovuto allo spostamento nella direzione y. La distanza che la formica si muove nella direzione y a sua volta dipende dal movimento in direzione x. Quindi ora abbiamo
$$ \ frac {\ textrm {d} h} {\ textrm {d} x} = \ frac {\ partial h} {\ partial x} + \ frac {\ partial h} {\ partial y} \ frac {\ textrm {d} y} {\ textrm {d} x} $$
Sul lato destro dell'equazione, il primo termine corrisponde al cambiamento in altezza a causa del movimento nella direzione x. Il secondo termine è il cambiamento di altezza dovuto allo spostamento nella direzione y. La prima parte, $ \ partial h / \ partial y $ è il cambio di altezza dovuto al cambio di y, mentre la seconda parte, $ \ textrm {d} y / \ textrm {d} x $ descrive quanto y stesso effettivamente cambia quando cambi x e dipende dai particolari del movimento della formica.
Modifica Ora vedo che sei specificamente interessato all'equazione della meccanica quantistica
$$ \ frac {\ textrm {d}} {\ textrm {d} t} \ langle A \ rangle = - \ frac {\ imath} {\ hbar} \ langle [A, H] \ rangle + \ langle \ partial A / \ partial t \ rangle $$
Qui, $ \ langle \ partial A / \ partial t \ rangle $ è il valore atteso della derivata parziale dell'operatore $ A $ rispetto tempo. Ad esempio, se $ A $ è l'hamiltoniano di una particella in un campo elettrico dipendente dal tempo, tale operatore conterrebbe il tempo in modo esplicito. Iniziamo differenziando formalmente l'operatore stesso, quindi prendendo il valore di aspettativa.
D'altra parte $ \ langle A \ rangle $ è semplicemente una funzione del tempo a valore reale (se $ A $ è hermitiano) , quindi $ \ textrm {d} \ langle A \ rangle / \ textrm {d} t $ è la solita derivata di una funzione reale di una singola variabile.