Quelle était la notion de limite utilisée par Newton?

Question

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J'ai lu que la notion de limite est devenue rigoureuse deux siècles après la découverte du calcul

Qu'est-ce que Newton avait en tête concernant la notion de limite?

Answer 1

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Newton avait en fait un concept assez explicite de limite, il l'a exposé dans la section 1 du livre 1 des Principes immédiatement après les définitions et les axiomes ou lois du mouvement. Il n'a pas utilisé le mot réel `` limite '' mais le concept est clairement présent dans ses `` premier et dernier ratios '', qui par ses explications se révèlent être des limites de rapports de différences finies, qui sont abordées comme la variable pertinente contrôlant la taille à la fois du numérateur et du dénominateur diminue à zéro («évanescent») ou, lorsqu'il est considéré à l'envers, augmente à partir de zéro («naissant»). Cette question n'est pas passée sans préavis dans la littérature. Une étude de Bruce Pourciau (2001), dans Historia Mathematica 28, 18-30, examine et discute la compréhension de Newton du concept de limite à travers une étude de certaines preuves apparaissant dans les Principia , avec un accent sur les parties du Livre 1, section 1.

(Quand je reviendrai à mes sources, je suis loin de la base pour le moment, je mettrai en ligne des références à la Principia dans son anglais traduction de 1729 qui est une bonne source et est en ligne libre de droit d'auteur, et d'autres sources citées ici. Pour l'instant, on peut noter que le livre 1 de la traduction de 1729 est en ligne dans The Mathematical Principles of Natural Philosophy, vol.1 de 2, et la discussion et l'explication de Newton sur les méthodes-limites s'étend de la page 41 à la page 56.)

Newton a expliqué entre autres qu'il s'est appuyé sur des limites pour justifier ses méthodes parce que les méthodes de les anciens par reductio ad absurdum (ou épuisement) étaient trop longs, et la méthode des `` indivisibles '' était trop rude, bien qu'il ait ajouté que `` par la présente la sa ma chose est exécutée comme par la méthode des indivisibles ». Quand Newton a écrit, le précurseur des méthodes «infinitésimales» qui était peut-être le plus connu était le travail très critiqué des années 1640 sur les «indivisibles» de Bonaventura Cavalieri. Newton considérait clairement que ces méthodes n'étaient pas bien justifiées, d'où son recours aux limites.

Il y a d'autres éléments qui contribuent à une réponse à la question actuelle dans Pourquoi le calcul manque-t-il dans les Principes de Newton?, (réponse en un mot, il ne manque pas, et la réponse fournit également des sources en détail sur les méthodes et les explications de Newton), et dans les descriptions d'attaques sur le calcul dans Michel Rolle a-t-il dit que le calcul est "une collection d'erreurs ingénieuses"?. Les attaques des méthodes de calcul en France à partir de 1700 environ par Michel Rolle ont été défendues par Pierre Varignon puis par Joseph Saurin, et la défense de Varignon est particulièrement pertinente ici parce qu'il s'est appuyé sur le livre 1 section 1 des Principia pour fournir la justification qui ne semblait pas disponible ailleurs. Leibniz, pour sa part, aurait été généralement respectueux de la justification de Newton en termes de limites.

Answer 2

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La section 1 du livre 1 de Principia s'ouvre sur un lemme qui peut nous sembler presque moderne:

" Quantités, et les ratios de les quantités, qui en tout temps fini convergent continuellement vers l'égalité, et avant la fin de ce temps s'approchent plus l'une de l'autre que par une différence donnée, deviennent finalement égales ".

Mais une seconde réflexion soulève des doutes. Premièrement, c'est un lemme , pas une définition de limite. On suppose que la signification de «convergent continuellement» et «approche» est déjà comprise, le lemme est censé en tirer une propriété . Deuxièmement, il parle de «quantités». On parle aussi de quantités et de leurs limites. Mais Newton ne peut sûrement pas se référer à notre notion de fonctions qui attribuent des valeurs à des arguments apparus pour la première fois dans l'œuvre de Dirichlet du XIXe siècle. Ou même aux «expressions analytiques» figurant dans les manuels du 18e siècle d'Euler. Enfin, Newton n'a même pas notre idée d'une ligne réelle assemblée à partir de points servant d'arguments et de valeurs, le continuum arithmétique de Weierstrass, Dedekind et Cantor. La ligne du 17ème siècle est toujours euclidienne / aristotélicienne, avec des points comme marques simplement externes.

Il devient plus clair que les limites de Newton, quelles qu'elles soient, ne peuvent pas être modernes, ses primitifs sont différents, il travaille en un système différent de concepts mathématiques. Il pourrait y avoir un sens dans lequel l'opinion de Porciau selon laquelle Newton " a été le premier à présenter un argument epsilon " est justifiée, mais cela serait similaire au sens dans lequel Eudoxus a été le premier à travailler avec les coupes Dedekind. Cela signifie seulement que certaines de leurs manipulations peuvent être imitées de près par celles modernes, et nous acceptons d'ignorer la signification de ce qui est manipulé. Et qu'il existe une chaîne évolutive reliant les uns aux autres.

Quelles sont alors les «quantités» de Newton? On trouve une description explicite dans sa Quadrature de courbes (1692):

" Je ne considère pas ici les grandeurs mathématiques comme composées de parties extrêmement petites, mais comme générées par un mouvement continu. Les lignes sont décrites, et en décrivant sont générées, non par une apposition de parties, mais par un mouvement continu des points. Les surfaces sont générées par le mouvement des lignes, les solides par le mouvement des surfaces, les angles par la rotation de leurs jambes, le temps par un flux continu, et ainsi dans le reste. Ces genèses sont fondées sur la nature et sont chaque jour vu dans le mouvement des corps ".

Maintenant, il devient clair d'où vient la compréhension présumée de" convergent continuellement "et" approche ". Newton prend l'idée de mouvement comme donnée intuitivement , les limites avec leurs propriétés sont alors fondées sur elle. Dans le Scholium du Lemme XI de la même section, Newton fait explicitement appel à l'idée intuitive de vitesse instantanée pour justifier l'existence de limites, par exemple. Et dans le lemme 2 du livre 2, il parle de "genita", " quantités que je considère ici comme variables et indéterminées, et croissantes ou décroissantes, pour ainsi dire, par un mouvement ou un flux perpétuel ".

Cette conception des limites, et du calcul en général, reposant sur l'intuition donnée du mouvement et ses propriétés observées, a été appelée cinématique . Il a des racines dans certaines œuvres d'Archimède, comme On Spirals, où il semble s'appuyer sur quelque chose comme le parallélogramme des vitesses pour dessiner des tangentes. Le professeur de Newton, Barrow, a donné une conférence sur Archimède, et la conception cinématique des courbes est explicite dans ses Conférences géométriques, que Newton a aidé à préparer pour la publication, voir Boyer's History of Calculus, p.189. Mais dans les premières années, Newton a également utilisé des manipulations avec des infinitésimaux, héritées de Barrow de Fermat, qu'il a plus tard jugées répréhensibles. Je devrais donc être d’accord avec l’évaluation de Ferraro dans Quelques aspects mathématiques des Principes de Newton:

" En effet, Newton ne définit pas les termes« limite »et« rapport ultime »: ces termes ont pour lui un sens intuitif clair ... En effet, je pense que le concept de Newton de rapport premier et ultime peut être réduit au concept moderne de limites: il est vrai que Newton a une idée claire de ce que signifie «approcher une limite» [est], mais ce n’est qu’une idée intuitive et non mathématique qui est entièrement différente de la notion moderne, mathématique concept de limite. "

En effet, l'aspect" mécanique "du calcul de Newton a été explicitement critiqué au 18ème siècle, comme" étranger "aux mathématiques pures, par D'Alambert et l'Huillier, entre autres. Une étude complète des conceptions mathématiques du XVIIe siècle est Les modèles de pensée mathématique de Whiteside à la fin du XVIIe siècle (p.374ff sur Newton spécifiquement), sur Principia voir aussi ses Principes mathématiques sous-jacents aux Principia Mathematica de Newton. Arthur dans Leery Bedfellows: Newton et Leibnizon, le statut des infinitésimaux met en contraste la conception cinématique du calcul de Newton avec celle de Leibniz, y compris une discussion détaillée des "quantités" et du lemme 1, et les changements entre les premiers et les derniers travaux . Sur les destins ultérieurs de la conception cinématique, développée par McLaurin et encore plus que visible chez Cauchy (malgré son assimilation commune à Weierstrass, ses «variables» ne sont pas sans rappeler les «quantités» de Newton) voir le livre de Grabiner, Origins of Cauchy's Rigorous Calculus.

Answer 3

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Newton n'avait pas le concept rigoureux de limite comme dans $ \ epsilon / N $ et $ \ epsilon / \ formules delta $ . Au lieu de cela, il avait une vague idée de la limite en terme de mouvement et utilisa la notion d'infinitésimal pour calculer les dérivées et les intégrales. Par exemple, calculer le dérivé de $ y = x ^ 2 $ est comme $$ \ dot {y} = \ frac {\ Delta y} {\ Delta x} = \ frac {(x + \ Delta x) ^ 2-x ^ 2} {\ Delta x} = 2x + \ Delta x = 2x $$ (Newton utilisé $ \ dot {x} $ pour le dérivé et plus tard Leibniz amélioré en $ \ frac {dy} {dx} $ ). Dans la dernière étape, $ \ Delta x = 0 $ , mais dans $ \ frac {\ Delta y} {\ Delta x} $ , $ \ Delta x $ ne peut pas être $ 0 $ pour $ \ frac0 {0} $ n'a aucun sens. Cela signifie que $ \ Delta x $ (infinitésimal) est parfois égal à zéro et parfois non, un fait que Newton ne pouvait pas expliquer. Leibniz ne connaissait pas non plus la solution. Cependant, ce défaut de l'infinitésimal a été largement ignoré car la puissante méthode de calcul a résolu tant de problèmes importants que l'humanité n'a même jamais rêvé auparavant.

L'explication rigoureuse de l'infinitésimal à travers la notion de limite (sous forme de $ \ epsilon / N $ et $ \ epsilon / \ delta $ ), cependant, ne fut achevée que deux cents ans après Newton, grâce aux travaux de Cauchy et Weierstrass au 19ème siècle. Il est donc exagéré de dire que Newton connaissait la notion exacte de limite et le traitement rigoureux de l'infinitésimal. Cependant, Newton doit être crédité pour son invention du calcul par l'infinitésimal. De même, il est encore une fois exagéré de dire que des personnes comme Cavalieri ou même Archimède avaient inventé le calcul avant Newton.