Post by robbyAh! enfin un problème intéressant.
qui relève plutôt de fr.sci.maths ( en copie ) que de fr.sci.physique
Considérons les matrices réelles rectangulaires M, et soit tM leur
transposée. Existe-t-il de telles matrices telles que les matrices carrées
tM M et M tM
soient simultanément diagonales? Si oui, comment les construire?
Noter déjà que si M n'est pas carrée tM.M et M.tM sont bien carrées mais n'ont pas la même dimension et donc pas le
même nombre de valeurs propres
De plus tM.M et M.tM sont symétriques
Ça simplifie bien la diagonalisation.
Prenez une matrice 3X2 on aura seulement quatre équations quadratiques pour 6 coefficients pour avoir les deux matrices
produit diagonales.
Si la matrice M est
(a,b,c)
(d,e,f) les
produits sont
(a²+b²+c² ad+be+cf)
(da+eb+fc d²+e²+f²)
(a²+d² ab+de ac+df)
(ba+de b²+e² bc+ef)
(ca+fd cb+fe c²+f²)
pour avoir des matrices diagonales,
ad+be+cf = 0 ab+de=0 ac+df=0 bc+ef=0
On peut fixer deux paramètres, les quatre autres sont alors déterminés.
Si M est une matrice pXq les équations correspondantes sont
au nombre de (p²-p)/2 et (q²-q)/2 pour pq coefficients
Pour que qu'il y ait une solution non triviale il faut que
(p²+q² -p-q)< 2pq ou p²-2pq +q² < p+q ou (p-q)²< p+q
Cette condition n'est pas toujours réalisée par exemple p=5 q=2 p-q=3 et p+q=7 3²>7 alors que p=5 q=3 2²<8 c'est possible.
J'espère ne pas m'être trompé.
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Quand on veut tuer son chien ces temps-ci, on dit qu'il est impair.