What is the difference?

[t***@gmail.com]

It is possible for every n ∈ |N to enumerate the first n rational numbers q1, q2, q3, ..., qn – for instance like Cantor did it. Set theorists claim that this proves the possibility of enumerating all rational numbers, i.e., listing them as a sequence.

It is possible for every n ∈ |N to well-order these first n rational numbers q1, q2, q3, ..., qn by size. Set theorists do not claim that this proves the possibility of well-ordering all rational numbers by size.

What is the difference? Nothing. If for every n ∈ |N all rational numbers q1, q2, q3, ..., qn can be put in a well-order by size then for every n ∈ |N there is nothing left that could be enumerated but not be put in a well-order by size.

Regards, WM

[Andreas Leitgeb]

Post by t***@gmail.com
It is possible for every n ∈ |N to enumerate the first n rational
numbers q1, q2, q3, ..., qn – for instance like Cantor did it.
Set theorists claim that this proves the possibility of enumerating
all rational numbers, i.e., listing them as a sequence.

That's just one of those wrong "propter hoc" arguments.

That you can list *all* rational numbers as a sequence is true,
but it is *not* derived as *a consequence* of being just allowed
to do so "up to n for every n."

Thanks, WM, for spelling out your doubts. That's the way towards
resolving misconceptions.

[Andreas Leitgeb]

Post by Andreas Leitgeb

Post by t***@gmail.com
It is possible for every n ∈ |N to enumerate the first n rational
numbers q1, q2, q3, ..., qn – for instance like Cantor did it.
Set theorists claim that this proves the possibility of enumerating
all rational numbers, i.e., listing them as a sequence.

That's just one of those wrong "propter hoc" arguments.
That you can list *all* rational numbers as a sequence is true,
but it is *not* derived as *a consequence* of being just allowed
to do so "up to n for every n."
Thanks, WM, for spelling out your doubts. That's the way towards
resolving misconceptions.

Übrigens, ist dein falsches "propter hoc" gut vergleichbar mit
dem folgenden:

WMatiker behaupten, dass weil 5 < 20 ist und 4 < 20 ist, dass
deswegen auch (4+5=) 9 < 20 ist. Aber es gilt ja auch 15 < 20
und 14 < 20 ! Und dennoch ist (15+14=) 29 offenbar nicht < 20 ...

[WM]

Post by Andreas Leitgeb

Post by t***@gmail.com
It is possible for every n ∈ |N to enumerate the first n rational
numbers q1, q2, q3, ..., qn – for instance like Cantor did it.
Set theorists claim that this proves the possibility of enumerating
all rational numbers, i.e., listing them as a sequence.

That's just one of those wrong "propter hoc" arguments.
That you can list *all* rational numbers as a sequence is true,

Who said so? How was it proved?

Post by Andreas Leitgeb
but it is *not* derived as *a consequence* of being just allowed
to do so "up to n for every n."

Cantor did so. But perhaps you have more recent information? Please share.

Regards, WM

[WM]

Post by Andreas Leitgeb
That you can list *all* rational numbers as a sequence is true,
but it is *not* derived as *a consequence* of being just allowed
to do so "up to n for every n."

Nun, Andreas, noch keine Antwort auf meine Frage gefunden? Zur Erinnerung: Wie wird bewiesen, dass alle rationalen Zahlen abgezählt werden können, ohne auf die Abzählung jedes finiten Anfangsabschnittes zurückzugreifen? Hinweis: Das hat auch noch niemand sonst beantworten können.

Gruß, WM

[Helmut Richter]

Post by WM

Post by Andreas Leitgeb
That you can list *all* rational numbers as a sequence is true,
but it is *not* derived as *a consequence* of being just allowed
to do so "up to n for every n."

Wie wird bewiesen, dass alle rationalen Zahlen abgezählt werden können,
ohne auf die Abzählung jedes finiten Anfangsabschnittes zurückzugreifen?
Hinweis: Das hat auch noch niemand sonst beantworten können.

Um diese Frage beantworten zu können, müsste man zunächst definieren, was in
diesem Zusammenhang "zurückgreifen" bedeuten soll. Dass die Funktion, die
jeder rationalen Zahl eine Nummer zuordnet, rekursiv definiert ist – über
das hinaus, dass ja die Operationen auf den natürlichen Zahlen auch rekursiv
definiert sind? Lässt man über die Grundrechenarten hinaus rekursive
Definitionen von Funktionen auf den natürlichen Zahlen zu, geht es
sicher. Wenn nicht, muss man definieren, welche man zulässt und welche
nicht. Da bin ich gespannt, ob es dir gelingt, die Aufgabe eindeutug so zu
spezifizieren, dass man von einer Lösung entscheiden kann, ob sie der
Aufgabe entspricht. Wie gesagt, "greift zurück" ist wischi-waschi.

--
Helmut Richter

[WM]

Post by Helmut Richter

Post by WM

Post by Andreas Leitgeb
That you can list *all* rational numbers as a sequence is true,
but it is *not* derived as *a consequence* of being just allowed
to do so "up to n for every n."

Wie wird bewiesen, dass alle rationalen Zahlen abgezählt werden können,
ohne auf die Abzählung jedes finiten Anfangsabschnittes zurückzugreifen?
Hinweis: Das hat auch noch niemand sonst beantworten können.

Um diese Frage beantworten zu können, müsste man zunächst definieren, was in
diesem Zusammenhang "zurückgreifen" bedeuten soll.

Es soll bedeuten, dass man, wie schon Cantor es tat, zeigt dass jede rationale Zahl nummeriert werden kann, dass also jeder Anfangsabschnitt 1, 2, 3, ..., n eine endliche Untermenge von Q nummeriert. Das kann man allgemein zeigen, zum Beispiel mit einer geschlossenen Formel, aber das Ergebnis ist dasselbe wie bei Cantor's handgemachtem Beispiel: Jede endliche Untermenge von Q lässt sich ebenfalls nach Größe wohlordenen. Der Schluss auf die unendliche Menge Q ist daher bezüglich Nummerierung genauso gerechtfertigt wie bezüglich Wohlordnung nach Größe. Und letzterer ist offensichtlich falsch.

Gruß, WM

[Andreas Leitgeb]

Post by WM

Post by Andreas Leitgeb
That you can list *all* rational numbers as a sequence is true,
but it is *not* derived as *a consequence* of being just allowed
to do so "up to n for every n."

Nun, Andreas, noch keine Antwort auf meine Frage gefunden?
Zur Erinnerung: Wie wird bewiesen, dass alle rationalen Zahlen
abgezählt werden können, ohne auf die Abzählung jedes finiten
Anfangsabschnittes zurückzugreifen?

In der Mengentheorie gibt es keinen Begriff für reales "Abzählen"
der rationalen Zahlen. Es gibt lediglich die Definition, dass eine
Menge (z.B. die der rationalen Zahlen) "abzählbar unendlich" ist,
wenn es eine Bijektion zwischen dieser Menge und jener der natürlichen
Zahlen gibt.
Etwas leichter nachzuweisen, und dennoch äquivalent ist es zu zeigen,
dass es sowohl eine injektive als auch eine surjektive Funktion gibt,
die jeweils von der bettrachteten Menge auf die natürlichen abbildet.
Erstere lässt sich für |Q aus den Bruch-Darstellungen ableiten.
Zweitere (für |Q) daraus, dass die Menge der natürlichen Zahlen eine
Teilmenge der Menge der rationalen ist.

Irgendwelche partiellen "Abzählungen" endlicher Teilbereiche kommen
da nicht vor.

Ich wollte dich nicht zu früh spoilern. Ich hätte dir die Chance
geben wollen, selber draufzukommen. Immerhin enthält die Antwort
nichts, was dir nicht schon oft erklärt worden wäre.

Post by WM
Hinweis: Das hat auch noch niemand sonst beantworten können.

Wenn man sich zu sehr auf Abzähl-*Vorgänge* versteift, dann nicht.

Und falls du mich jetzt dafür auslachen willst, weil ich dich mal
wieder bei deinen Formulierungen "abholen" wollte, dann werd ich
dir diesen Spaß einfach mal gönnen.

[WM]

Post by Andreas Leitgeb

Post by WM

Post by Andreas Leitgeb
That you can list *all* rational numbers as a sequence is true,
but it is *not* derived as *a consequence* of being just allowed
to do so "up to n for every n."

Nun, Andreas, noch keine Antwort auf meine Frage gefunden?
Zur Erinnerung: Wie wird bewiesen, dass alle rationalen Zahlen
abgezählt werden können, ohne auf die Abzählung jedes finiten
Anfangsabschnittes zurückzugreifen?

In der Mengentheorie gibt es keinen Begriff für reales "Abzählen"
der rationalen Zahlen. Es gibt lediglich die Definition, dass eine
Menge (z.B. die der rationalen Zahlen) "abzählbar unendlich" ist,
wenn es eine Bijektion zwischen dieser Menge und jener der natürlichen
Zahlen gibt.

Entscheidend ist, dass der "Beweis" stets nur endliche Mengen betrifft.

Post by Andreas Leitgeb
Etwas leichter nachzuweisen, und dennoch äquivalent ist es zu zeigen,
dass es sowohl eine injektive als auch eine surjektive Funktion gibt,
die jeweils von der bettrachteten Menge auf die natürlichen abbildet.
Erstere lässt sich für |Q aus den Bruch-Darstellungen ableiten.
Zweitere (für |Q) daraus, dass die Menge der natürlichen Zahlen eine
Teilmenge der Menge der rationalen ist.

Es kommen immer nur endliche Anfangsabschnitte vor, sowohl beim "Beweis" der Injektivität als auch beim "Beweis" der Surjektivität.

Post by Andreas Leitgeb
Irgendwelche partiellen "Abzählungen" endlicher Teilbereiche kommen
da nicht vor.

Nur solche kommen vor, zum Beispiel bei Cantor

1/1, 1/2, 2/1, 1/3, 3/1, 1/4, 2/3, 3/2, 4/1, 1/5, 5/1, 1/6, ...

Post by Andreas Leitgeb

Post by WM
Hinweis: Das hat auch noch niemand sonst beantworten können.

Wenn man sich zu sehr auf Abzähl-*Vorgänge* versteift, dann nicht.

Auch das, was Du bisher berichtet hast, geht nicht über endliche Teilmengen hinaus. Denn jedes n in |N gehört zu einer endlichen Teilmenge. Das ist nun einmal so.

Gruß, WM

[Andreas Leitgeb]

Post by WM

Post by Andreas Leitgeb
In der Mengentheorie gibt es keinen Begriff für reales "Abzählen"
der rationalen Zahlen. Es gibt lediglich die Definition, dass eine
Menge (z.B. die der rationalen Zahlen) "abzählbar unendlich" ist,
wenn es eine Bijektion zwischen dieser Menge und jener der natürlichen
Zahlen gibt.

Entscheidend ist, dass der "Beweis" stets nur endliche Mengen betrifft.

Fürs Verständnis des Beweises wäre wohl Verständnis der Quantoren
von Vorteil... Insbesondere, dass eine mit "für alle q in |Q gilt"
eingeleitete Aussage eben für jedes Element q von |Q gilt, ohne
extra Beachtung weiterer, in der Aussage unbeteiligter, endlicher
Teilmengen, in denen so ein q halt auch drinnen sein dürfte.

[t***@gmail.com]

Post by Andreas Leitgeb

Post by WM
Entscheidend ist, dass der "Beweis" stets nur endliche Mengen betrifft.

Fürs Verständnis des Beweises wäre wohl Verständnis der Quantoren
von Vorteil...

Es geht aber gar nicht ums Verständnis des "Beweises" sondern um seine Validität. Zu behaupten, dass etwas für alles gilt, ist mit Quantoren leicht. Es zu beweisen ist dagegen schwer. Insbesonderem wenn jeder "Beweis" denselben Weg nimmt wie ein "Beweis" für ein leichter als Nonsense erkennbares Resultat.

Post by Andreas Leitgeb
Insbesondere, dass eine mit "für alle q in |Q gilt"
eingeleitete Aussage eben für jedes Element q von |Q gilt, ohne
extra Beachtung weiterer, in der Aussage unbeteiligter, endlicher
Teilmengen, in denen so ein q halt auch drinnen sein dürfte.

Tatsächlich, wenn auch unbeachtet oder sogar bewusst negiert, existieren diese endlichen Teilmengen aber nun einmal. Es sind genau dieselben wie im "Beweis" der Wohlordbarkeit von Q nach Größe der Element.

Gruß, WM

[b***@gmail.com]

Ein Beweis hat keine äussere Validität, nur eine innere
Validität, ausgehend von den Beweisen. Es ist ganz
einfach ein formaler Beweis (in FOL):

T |- A

Hat die Validitätsbedeutung:

T |= A

Was so viel heisst:
Für alle Modelle M die die Axiome T erfüllen, ist auch
das therem A erfüllt. Oder mit mathematischen Symbolen,
forall M (M[T]=1 => M[A]=1).

D.h. wenn dir etwas an dem Beweis nicht gefällt, was
mit den Axiomen T zu tun hat, z.B. das Unendenlichkeits
Axiom von ZFC, dann ist es müssig darüber zu

streiten ob der Beweis richtig oder falsch ist. Der
Beweis kann dann immernoch richtig sein, logisch fehlerfrei,
aber er würde dann halt Modelle berücksichtigen,

die nicht vom Betrachter akzeptiert sind, dem ein
gewisses Axiom nicht gefällt. Ich meine man kann ja
von Glück reden, dass die Situation mit dem WM Troll so

einfach ist. Ein Axiom das vom WM Troll nicht akzeptiert
ist, ist ganz klar das Unendenlichkeits Axiom von ZFC.
Der WM Troll versucht das Axiom zu widerlegen,

via seinerseits falsche Beweise, aber so werden Axiome
nicht hinterfragt, indem man falsche Beweise fabriziert.

Post by t***@gmail.com

Post by Andreas Leitgeb

Post by WM
Entscheidend ist, dass der "Beweis" stets nur endliche Mengen betrifft.

Fürs Verständnis des Beweises wäre wohl Verständnis der Quantoren
von Vorteil...

Es geht aber gar nicht ums Verständnis des "Beweises" sondern um seine Validität. Zu behaupten, dass etwas für alles gilt, ist mit Quantoren leicht. Es zu beweisen ist dagegen schwer. Insbesonderem wenn jeder "Beweis" denselben Weg nimmt wie ein "Beweis" für ein leichter als Nonsense erkennbares Resultat.

Post by Andreas Leitgeb
Insbesondere, dass eine mit "für alle q in |Q gilt"
eingeleitete Aussage eben für jedes Element q von |Q gilt, ohne
extra Beachtung weiterer, in der Aussage unbeteiligter, endlicher
Teilmengen, in denen so ein q halt auch drinnen sein dürfte.

Tatsächlich, wenn auch unbeachtet oder sogar bewusst negiert, existieren diese endlichen Teilmengen aber nun einmal. Es sind genau dieselben wie im "Beweis" der Wohlordbarkeit von Q nach Größe der Element.
Gruß, WM

[b***@gmail.com]

Ein typischer falscher Beweis vom WM Idiot ist die
annahme dass gewisse Eigenschaften sich von einer
Folge S1,S2,... auf deren Summe Union Sn ableiten

lassen. Beliebtes Beispiel bei WM Idiot ist der
Begriff "endlich". Der überlebt bei WM Idiot selbst-
verständlich alle möglichen Limites,

ähnliches gilt für den Begriff "unendlich abzählbar".
Aber ein schönes Beispiel für den Unsinn den WM Idiot
konstant treibt, wäre ein Beweis dass N endlich ist:

Beweis:
Jedes initiale Segment {0,..,n-1} ist endlich,
und da N die Sammlung aller diese Segmente ist, ist
N auch endlich.

Nur belässt WM Idiot es nicht bei diesem Schwachsinn
alleine. Als nächste folgt dann meistens, ergo gibt
es die unendliche Menge N nicht.

Post by b***@gmail.com
Ein Beweis hat keine äussere Validität, nur eine innere
Validität, ausgehend von den Beweisen. Es ist ganz
T |- A
T |= A
Für alle Modelle M die die Axiome T erfüllen, ist auch
das therem A erfüllt. Oder mit mathematischen Symbolen,
forall M (M[T]=1 => M[A]=1).
D.h. wenn dir etwas an dem Beweis nicht gefällt, was
mit den Axiomen T zu tun hat, z.B. das Unendenlichkeits
Axiom von ZFC, dann ist es müssig darüber zu
streiten ob der Beweis richtig oder falsch ist. Der
Beweis kann dann immernoch richtig sein, logisch fehlerfrei,
aber er würde dann halt Modelle berücksichtigen,
die nicht vom Betrachter akzeptiert sind, dem ein
gewisses Axiom nicht gefällt. Ich meine man kann ja
von Glück reden, dass die Situation mit dem WM Troll so
einfach ist. Ein Axiom das vom WM Troll nicht akzeptiert
ist, ist ganz klar das Unendenlichkeits Axiom von ZFC.
Der WM Troll versucht das Axiom zu widerlegen,
via seinerseits falsche Beweise, aber so werden Axiome
nicht hinterfragt, indem man falsche Beweise fabriziert.

Post by t***@gmail.com

Post by Andreas Leitgeb

Post by WM
Entscheidend ist, dass der "Beweis" stets nur endliche Mengen betrifft.

Fürs Verständnis des Beweises wäre wohl Verständnis der Quantoren
von Vorteil...

Es geht aber gar nicht ums Verständnis des "Beweises" sondern um seine Validität. Zu behaupten, dass etwas für alles gilt, ist mit Quantoren leicht. Es zu beweisen ist dagegen schwer. Insbesonderem wenn jeder "Beweis" denselben Weg nimmt wie ein "Beweis" für ein leichter als Nonsense erkennbares Resultat.

Post by Andreas Leitgeb
Insbesondere, dass eine mit "für alle q in |Q gilt"
eingeleitete Aussage eben für jedes Element q von |Q gilt, ohne
extra Beachtung weiterer, in der Aussage unbeteiligter, endlicher
Teilmengen, in denen so ein q halt auch drinnen sein dürfte.

Tatsächlich, wenn auch unbeachtet oder sogar bewusst negiert, existieren diese endlichen Teilmengen aber nun einmal. Es sind genau dieselben wie im "Beweis" der Wohlordbarkeit von Q nach Größe der Element.
Gruß, WM

[Andreas Leitgeb]

Post by t***@gmail.com

Post by Andreas Leitgeb
Fürs Verständnis des Beweises wäre wohl Verständnis der Quantoren
von Vorteil...

Es geht aber gar nicht ums Verständnis des "Beweises" sondern um seine
Validität.

Als ob WM solche Beweise ohne Verständnis der Quantoren irgendwie
sinnvoll beurteilen könnte...

Post by t***@gmail.com
Insbesonderem wenn jeder "Beweis" denselben Weg nimmt wie ein
"Beweis" für ein leichter als Nonsense erkennbares Resultat.

Das "leichter als Nonsense erkennbare Resultat" in diesem
Kontext ist die Wohlordbarkeit von Q *der Größe nach*, und
nun tatsächlich leicht als Nonsense erkennbar.

Was jedoch rein WM's Unverständnis entsprungen ist, ist die
Behauptung, dass sein bewusster Nonsense-Beweis "denselben Weg"
eingeschlagen hätte, wie z.B. einer der mathematisch akzeptierten
Abzählbarkeitsbeweise für |Q.

Da sind seinem Laienauge offenbar "subtile" Unterschiede entgangen.

[t***@gmail.com]

Post by Andreas Leitgeb

Post by t***@gmail.com
Insbesonderem wenn jeder "Beweis" denselben Weg nimmt wie ein
"Beweis" für ein leichter als Nonsense erkennbares Resultat.

Das "leichter als Nonsense erkennbare Resultat" in diesem
Kontext ist die Wohlordbarkeit von Q *der Größe nach*, und
nun tatsächlich leicht als Nonsense erkennbar.

Richtig. Das weniger leicht erkennbare Nonsense-Resultat ist die Abzählbarkeit von Q. Aber da beides auf gleiche Weise bewiesen wird, sollte doch Hoffnung auf die Erkenntnis bestehen, dass Quantoren im Wesentlichen nur Köpfe von Toren vernageln.

Post by Andreas Leitgeb
Was jedoch rein WM's Unverständnis entsprungen ist, ist die
Behauptung, dass sein bewusster Nonsense-Beweis "denselben Weg"
eingeschlagen hätte, wie z.B. einer der mathematisch akzeptierten
Abzählbarkeitsbeweise für |Q.

Du hattest angegeben, einen Beweis führen zu können, *not* derived as *a consequence* of being just allowed to do so "up to n for every n."

Bisher ist davon nichts außer Deinem festen Glauben an Quantoren erkennbar. Ob sie anwendbar sind, soll jedoch erst geprüft werden, nicht vorausgesetzt.

Gruß, WM

[Andreas Leitgeb]

Post by t***@gmail.com
Aber da beides auf gleiche Weise bewiesen wird,

Irrtum - oder vorsätzliche Falschaussage...

Post by t***@gmail.com

Post by Andreas Leitgeb
Was jedoch rein WM's Unverständnis entsprungen ist, ist die
Behauptung, dass sein bewusster Nonsense-Beweis "denselben Weg"
eingeschlagen hätte, wie z.B. einer der mathematisch akzeptierten
Abzählbarkeitsbeweise für |Q.

Du hattest angegeben, einen Beweis führen zu können, *not* derived
as *a consequence* of being just allowed to do so "up to n for every n."

Das habe ich auch getan... naja zumindest skizziert, aber er hat es ja
ohnehin nicht einmal im Ansatz verstanden:

" > Etwas leichter nachzuweisen, und dennoch äquivalent ist es zu zeigen,
" > dass es sowohl eine injektive als auch eine surjektive Funktion gibt,
" > die jeweils von der betrachteten Menge auf die natürlichen abbildet.
" > Erstere lässt sich für |Q aus den Bruch-Darstellungen ableiten.
" > Zweitere (für |Q) daraus, dass die Menge der natürlichen Zahlen eine
" > Teilmenge der Menge der rationalen ist.

Dazu kam dann WM's Antwort:
" Es kommen immer nur endliche Anfangsabschnitte vor, sowohl beim "Beweis"
" der Injektivität als auch beim "Beweis" der Surjektivität.

Für WM ist ja bereits "|N c |Q" ausschließlich eine *Konsequenz* von
Aussagen über endliche Anfangsabschnitte... weil /für ihn/ ja auch
Quantoren (mithilfe derer die Teilmengenbeziehung definiert ist) nur
über endliche "Anfangsabschnitte" quantifizieren, oder so irgendwie.

Es ist, als würde man mit einer Taube Schach spielen...

[t***@gmail.com]

Post by Andreas Leitgeb

Post by t***@gmail.com
Aber da beides auf gleiche Weise bewiesen wird,

Irrtum - oder vorsätzliche Falschaussage...

Post by t***@gmail.com

Post by Andreas Leitgeb
Was jedoch rein WM's Unverständnis entsprungen ist, ist die
Behauptung, dass sein bewusster Nonsense-Beweis "denselben Weg"
eingeschlagen hätte, wie z.B. einer der mathematisch akzeptierten
Abzählbarkeitsbeweise für |Q.

Du hattest angegeben, einen Beweis führen zu können, *not* derived
as *a consequence* of being just allowed to do so "up to n for every n."

Das habe ich auch getan... naja zumindest skizziert,

Nein, Du hast Deinen Glauben offenbart. Weiter nichts. Alles, was Du hast, ist eine Zahl, die zu einem verschwindend kleinen Anfangsabschnitt gehört - verglichen mit den unendlich vielen Zahlen, die noch fehlen.

Gruß, WM

[Andreas Leitgeb]

Post by t***@gmail.com
Alles, was Du hast, ist eine Zahl, die zu einem verschwindend kleinen
Anfangsabschnitt gehört - verglichen mit den unendlich vielen Zahlen,
die noch fehlen.

Wenn ich eine Aussage über Quitten mache, etwa, dass jede Quitte eine
Frucht ist, dann brauch ich dazu nicht alle Quitten einzeln zu überprüfen.
Ich bezieh mich nur auf die Eigenschaften, die bereits Voraussetzung
dafür sind, dass irgendein Ding überhaupt eine Quitte ist.

Ebenso kann ich Aussagen über "jede" rationale Zahl q treffen, und
dabei davon ausgehen, dass q gewisse Eigenschaften hat, wie eben
dass sie als Bruch mit einer ganzen Zahl "oben" und einer natürlichen
Zahl "unten" darstellbar ist, weil das nun mal eine Eigenschaft
rationaler Zahlen ist.

Kannst du zumindest soweit folgen?

[Klaus Loeffler]

Post by Andreas Leitgeb

Post by t***@gmail.com
Alles, was Du hast, ist eine Zahl, die zu einem verschwindend kleinen
Anfangsabschnitt gehört - verglichen mit den unendlich vielen Zahlen,
die noch fehlen.

Wenn ich eine Aussage über Quitten mache, etwa, dass jede Quitte eine
Frucht ist, dann brauch ich dazu nicht alle Quitten einzeln zu überprüfen.
Ich bezieh mich nur auf die Eigenschaften, die bereits Voraussetzung
dafür sind, dass irgendein Ding überhaupt eine Quitte ist.
Ebenso kann ich Aussagen über "jede" rationale Zahl q treffen, und
dabei davon ausgehen, dass q gewisse Eigenschaften hat, wie eben
dass sie als Bruch mit einer ganzen Zahl "oben" und einer natürlichen
Zahl "unten" darstellbar ist, weil das nun mal eine Eigenschaft
rationaler Zahlen ist.
Kannst du zumindest soweit folgen?

Nein, kann er nicht, wie in Diskussionen der letzten Jahrzehnte
nachzulesen ist. Für WM besteht zwischen "für jedes x gilt E(x)", was
immer nur das einzelne Element betrifft, und "für alle x \in M gilt
E(x)", wobei die Gesamtheit gemeint ist, ein nur für ihn und ausgewählte
Mathematiker nachvollziehbarer wesentlicher Unterschied.

Klaus-R.

[Christian Gollwitzer]

Post by Klaus Loeffler

Post by Andreas Leitgeb
Ebenso kann ich Aussagen über "jede" rationale Zahl q treffen, und
dabei davon ausgehen, dass q gewisse Eigenschaften hat, wie eben
dass sie als Bruch mit einer ganzen Zahl "oben" und einer natürlichen
Zahl "unten" darstellbar ist, weil das nun mal eine Eigenschaft
rationaler Zahlen ist.
Kannst du zumindest soweit folgen?

Nein, kann er nicht, wie in Diskussionen der letzten Jahrzehnte
nachzulesen ist. Für WM besteht zwischen "für jedes x gilt E(x)", was
immer nur das einzelne Element betrifft, und "für alle x \in M gilt
E(x)", wobei die Gesamtheit gemeint ist, ein nur für ihn und ausgewählte
Mathematiker nachvollziehbarer wesentlicher Unterschied.

Wobei die Menge der Auserwählten eine ziemlich geringe Mächtigkeit
hat... ob Sponsel mit seinen alle_j, alle_n etc. Quantoren dazugehört
oder nicht, ist mir nie ganz klar geworden.

Christian

[t***@gmail.com]

Post by Christian Gollwitzer

Post by Klaus Loeffler
Für WM besteht zwischen "für jedes x gilt E(x)", was
immer nur das einzelne Element betrifft, und "für alle x \in M gilt
E(x)", wobei die Gesamtheit gemeint ist, ein nur für ihn und ausgewählte
Mathematiker nachvollziehbarer wesentlicher Unterschied.

Zum Beispiel dieser: Jedes Element von |N gehört zu einem endlichen Anfangsabschnitt. Alle Elemente von |N gehören nicht zu einem endlichen Anfangsabschnitt.

Post by Christian Gollwitzer
Wobei die Menge der Auserwählten eine ziemlich geringe Mächtigkeit
hat...

Das wäre fatal für die Mathematik. Ich hoffe doch, dass zumindest 10 % aller Mathematiker den oben genannten Unterschied verstehen können.

Gruß, WM

[Ralf Bader]

Post by t***@gmail.com

Post by Christian Gollwitzer

Post by Klaus Loeffler
Für WM besteht zwischen "für jedes x gilt E(x)", was
immer nur das einzelne Element betrifft, und "für alle x \in M gilt
E(x)", wobei die Gesamtheit gemeint ist, ein nur für ihn und
ausgewählte Mathematiker nachvollziehbarer wesentlicher Unterschied.

Zum Beispiel dieser: Jedes Element von |N gehört zu einem endlichen
Anfangsabschnitt. Alle Elemente von |N gehören nicht zu einem endlichen
Anfangsabschnitt.

Das sind umgangssprachliche Sätze, die zunächst einmal eine grammatikalische
Struktur haben, mit Subjekt, Prädikat usw. In den Subjekten sind
quantifikatorische und denotatorische (objektbenennende) Funktionen in
unklarer Weise vermischt. Keiner der Sätze hat eine zweifelsfrei eindeutige
Bedeutung. Um hier die nötige Klarheit zu schaffen, macht man die Quantoren
explizit. Das ist eine Leistung, die wohl Frege zuzuschreiben ist und für
die er berechtigterweise als der bedeutendste Logiker seit Aristoteles
gilt.

Post by t***@gmail.com

Post by Christian Gollwitzer
Wobei die Menge der Auserwählten eine ziemlich geringe Mächtigkeit
hat...

Das wäre fatal für die Mathematik. Ich hoffe doch, dass zumindest 10 %
aller Mathematiker den oben genannten Unterschied verstehen können.

Verstehen, was nichts mit gutheßen zu tun hat, können Ihren Schwachsinn alle
Mathematiker, und wer ihn nicht als solchen erkennen kann, ist keiner.

[t***@gmail.com]

Post by Andreas Leitgeb

Post by t***@gmail.com
Alles, was Du hast, ist eine Zahl, die zu einem verschwindend kleinen
Anfangsabschnitt gehört - verglichen mit den unendlich vielen Zahlen,
die noch fehlen.

Wenn ich eine Aussage über Quitten mache, etwa, dass jede Quitte eine
Frucht ist, dann brauch ich dazu nicht alle Quitten einzeln zu überprüfen.

Richtig, denn per Definition besitzt jede Quitte die Eigenschaften einer Quitte.

Post by Andreas Leitgeb
Ebenso kann ich Aussagen über "jede" rationale Zahl q treffen, und
dabei davon ausgehen, dass q gewisse Eigenschaften hat, wie eben
dass sie als Bruch mit einer ganzen Zahl "oben" und einer natürlichen
Zahl "unten" darstellbar ist, weil das nun mal eine Eigenschaft
rationaler Zahlen ist.

So ist es.

Hier geht es aber darum,
(1) aus der Abzählbarkeit jeder endlichen Menge auf die Abzählbarkeit der unendlichen Menge zu schließen und
(2) aus der Wohlordbarkeit nach Größe jeder endlichen Menge nicht auf die Wohlordbarkeit nach Größe der unendlichen Menge zu schließen.

Dass tatsächlich von Teilmengen auf die Menge geschlossen wird, gibt Cantor noch zu:

Zwei geordnete Mengen M und N nennen wir "ähnlich", wenn sie sich gegenseitig eindeutig einander so zuordnen lassen, daß wenn m1 und m2 irgend zwei Elemente von M, n1 und n2 die entsprechenden Elemente von N sind, alsdann immer die Rangbeziehung von m1 zu m2 innerhalb M dieselbe ist wie die von n1 zu n2 innerhalb N. Eine solche Zuordnung ähnlicher Mengen nennen wir eine "Abbildung" derselben aufeinander. Dabei entspricht jeder Teilmenge M1 von M (die offenbar auch als geordnete Menge erscheint) eine ihr ähnliche Teilmenge N1 von N. [Cantor, p. 297]

Gruß, WM

[H0Iger SchuIz]

Post by t***@gmail.com
(1) aus der Abzählbarkeit jeder endliche
n Menge auf die Abzählbarkeit der unendl
ichen Menge zu schließen und

Nein, so macht man das nicht. Abzählbarkeit ist anders definiert. Da
kommen keine endlichen Teilmengen vor. Der Prefosser scheint immer noch
über das Niveau Abzählreim nich hinauszukommen, wenn er abzählbar hört.

Sein grobes Missverständnis aber kein Problem der Mathematik und
insbesondere kein Widerspruch.

hs

[Diedrich Ehlerding]

Post by t***@gmail.com
Hier geht es aber darum,
(1) aus der Abzählbarkeit jeder endlichen Menge auf die Abzählbarkeit der unendlichen Menge zu schließen und

Nein, es geht darum, eine Bijektion zwischen zwei Mengen zu finden.
Findet man eine Bijektion zwishen N und irgendeiner anderen unendlichen
Menge, dann ist letztere abzählar.

Post by t***@gmail.com
(2) aus der Wohlordbarkeit nach Größe jeder endlichen Menge nicht auf die Wohlordbarkeit nach Größe der unendlichen Menge zu schließen.
Zwei geordnete Mengen M und N nennen wir "ähnlich", wenn sie sich gegenseitig eindeutig einander so zuordnen lassen, daß wenn m1 und m2 irgend zwei Elemente von M, n1 und n2 die entsprechenden Elemente von N sind, alsdann immer die Rangbeziehung von m1 zu m2 innerhalb M dieselbe ist wie die von n1 zu n2 innerhalb N. Eine solche Zuordnung ähnlicher Mengen nennen wir eine "Abbildung" derselben aufeinander. Dabei entspricht jeder Teilmenge M1 von M (die offenbar auch als geordnete Menge erscheint) eine ihr ähnliche Teilmenge N1

Nun redest du aber über ganz etws andees. Dieser Begriff der
"Ähnlichkeit" heißt üblicherweise "Homomorphismus". Eine Bijektion von
Mengen ist nicht notendigerweise auch ein Homo- bzw. Isomorphismus
bezüglich der auf diesen Mengen definierten Operationen und Relationen.
Die Bijektion reicht aus für die Gleichheit der Kardinalzahlen. Niemand
behauptet, dass die bekannten Abzählungen der rationnalen Zahlen die
übliche arithmetische Ordnungsrelation der natürlichen Zahlen auf eine
gleichartige Ordnung der rationalen Zahlen abbildest.

[t***@gmail.com]

Post by Diedrich Ehlerding

Post by t***@gmail.com
Hier geht es aber darum,
(1) aus der Abzählbarkeit jeder endlichen Menge auf die Abzählbarkeit der unendlichen Menge zu schließen und

Nein, es geht darum, eine Bijektion zwischen zwei Mengen zu finden.
Findet man eine Bijektion zwishen N und irgendeiner anderen unendlichen
Menge, dann ist letztere abzählar.

Und niemand findet mehr als die Korrespondenz endlicher Anfangsabschnitte wie
1, 2, 3, ..., n und q1, q2, q3, ..., qn.

Post by Diedrich Ehlerding

Post by t***@gmail.com
(2) aus der Wohlordbarkeit nach Größe jeder endlichen Menge nicht auf die Wohlordbarkeit nach Größe der unendlichen Menge zu schließen.
Zwei geordnete Mengen M und N nennen wir "ähnlich", wenn sie sich gegenseitig eindeutig einander so zuordnen lassen, daß wenn m1 und m2 irgend zwei Elemente von M, n1 und n2 die entsprechenden Elemente von N sind, alsdann immer die Rangbeziehung von m1 zu m2 innerhalb M dieselbe ist wie die von n1 zu n2 innerhalb N. Eine solche Zuordnung ähnlicher Mengen nennen wir eine "Abbildung" derselben aufeinander. Dabei entspricht jeder Teilmenge M1 von M (die offenbar auch als geordnete Menge erscheint) eine ihr ähnliche Teilmenge N1

Nun redest du aber über ganz etwas andees.

Nein. Die geordneten Mengen |N und Q, die in Cantor's (und jeder anderen) Bijektion auftreten, sind genau so beschaffen.

Post by Diedrich Ehlerding
Eine Bijektion von
Mengen ist nicht notendigerweise auch ein Homo- bzw. Isomorphismus
bezüglich der auf diesen Mengen definierten Operationen und Relationen.

Das hat auch niemand behauptet.

Gruß, WM

[Andreas Leitgeb]

Post by t***@gmail.com
Und niemand findet mehr als die Korrespondenz endlicher
Anfangsabschnitte wie 1, 2, 3, ..., n und q1, q2, q3, ..., qn.

Soso. Von den Quitten wären demnach also auch nur irgendwelche
endlichen "Anfangsabschnitte" als Früchte zu bezeichnen?

[Ralf Bader]

Post by t***@gmail.com

Post by Andreas Leitgeb

Post by t***@gmail.com
Alles, was Du hast, ist eine Zahl, die zu einem verschwindend kleinen
Anfangsabschnitt gehört - verglichen mit den unendlich vielen Zahlen,
die noch fehlen.

Wenn ich eine Aussage über Quitten mache, etwa, dass jede Quitte eine
Frucht ist, dann brauch ich dazu nicht alle Quitten einzeln zu überprüfen.

Richtig, denn per Definition besitzt jede Quitte die Eigenschaften einer Quitte.

Post by Andreas Leitgeb
Ebenso kann ich Aussagen über "jede" rationale Zahl q treffen, und
dabei davon ausgehen, dass q gewisse Eigenschaften hat, wie eben
dass sie als Bruch mit einer ganzen Zahl "oben" und einer natürlichen
Zahl "unten" darstellbar ist, weil das nun mal eine Eigenschaft
rationaler Zahlen ist.

So ist es.
Hier geht es aber darum,
(1) aus der Abzählbarkeit jeder endlichen Menge auf die Abzählbarkeit der
unendlichen Menge zu schließen und (2) aus der Wohlordbarkeit nach Größe
jeder endlichen Menge nicht auf die Wohlordbarkeit nach Größe der
unendlichen Menge zu schließen.
Zwei geordnete Mengen M und N nennen wir "ähnlich", wenn sie sich
gegenseitig eindeutig einander so zuordnen lassen, daß wenn m1 und m2
irgend zwei Elemente von M, n1 und n2 die entsprechenden Elemente von N
sind, alsdann immer die Rangbeziehung von m1 zu m2 innerhalb M dieselbe
ist wie die von n1 zu n2 innerhalb N. Eine solche Zuordnung ähnlicher
Mengen nennen wir eine "Abbildung" derselben aufeinander. Dabei entspricht
jeder Teilmenge M1 von M (die offenbar auch als geordnete Menge erscheint)
eine ihr ähnliche Teilmenge N1 von N. [Cantor, p. 297]
Gruß, WM

Mückenheim, Sie sind zu blöd, um zu verstehen, was Cantor da schreibt. In
dem Absatz geht es um Allgemeinheiten über geordnete Mengen, und
insbesondere darum, daß Einschränkunegn ordnungserhaltender Abbildungen
f:M->N auf Teilmengen von M ebenfalls ordnungserhaltend sind, faktisch eine
Trivialität. Das hat nichts damit zu tun, daß da irgendwie von den
Teilmengen auf die Gesamtmenge geschlossen würde. Wie üblich steht nicht
das da, was Sie in Ihrem Wahn herauslesen wollen.

[Andreas Leitgeb]

Post by t***@gmail.com

Post by Andreas Leitgeb
Wenn ich eine Aussage über Quitten mache, etwa, dass jede Quitte eine
Frucht ist, dann brauch ich dazu nicht alle Quitten einzeln zu überprüfen.

Richtig, denn per Definition besitzt jede Quitte die Eigenschaften einer Quitte.

Gut.

Post by t***@gmail.com

Post by Andreas Leitgeb
Ebenso kann ich Aussagen über "jede" rationale Zahl q treffen, und
dabei davon ausgehen, dass q gewisse Eigenschaften hat, wie eben
dass sie als Bruch mit einer ganzen Zahl "oben" und einer natürlichen
Zahl "unten" darstellbar ist, weil das nun mal eine Eigenschaft
rationaler Zahlen ist.

So ist es.

Sehr gut.

Es ist also eine inhärente Eigenschaft jeder rationalen Zahl, dass
sie als ein Bruch p/q geschrieben werden kann, wobei p eine ganze
Zahl ist, und q eine natürliche Zahl.

Somit kann man sich z.B. eine beliebige Formel mit 2 Variablen aus
den Fingern saugen, und deren Wert nach Einsetzen von p und q für
die Variablen wird dann ebenfalls eine auf der Definition von |Q
und eben der Formel beruhende Eigenschaft jeder einzelnen rationalen
Zahl - unabhängig von der Betrachtung der Werte für andere rationale
Zahlen.

Die Berechnung so einer Zahl nach der ausgesuchten (und dann fest-
gehaltenen) Formel ist für jede rationale Zahl möglich, genauso, wie
eben auch jede Quitte eine Frucht ist.

Diese Stufe auch erklommen?

[t***@gmail.com]

Post by Andreas Leitgeb
Die Berechnung so einer Zahl nach der ausgesuchten (und dann fest-
gehaltenen) Formel ist für jede rationale Zahl möglich

wobei jede rationale Zahl in jeder beliebigen Abzählung zu einem endlichen Anfangsabschnitt gehört, der selbstverständlich auch nach Größe der RZ wohlgeordnet werden kann. Sollte daraus auf die Abzählbarkeit der aktual unendlichen Menge aller RZ geschlossen werden, so kann ebenso auf die Wohlordnung der aktual unendlichen Menge aller RZ nach Größe geschlossen werden.
Diese Stufe auch erklommen?

Gruß, WM

[H0Iger SchuIz]

Post by t***@gmail.com

Post by Andreas Leitgeb
Die Berechnung so einer Zahl nach der ausgesuchten (und dann fest-
gehaltenen) Formel ist für jede rationale Zahl möglich

wobei jede rationale Zahl in jeder beliebigen Abzählung zu einem endlichen
Anfangsabschnitt gehört,

Es ist des Prefossers grundsätzlicher Fehler, irgendwelche endlichen
Teile ("Anfangsabschnitte", "Schnubbeldubbels") betrachten zu wollen.
Wollte man von diesen auf unendliche Objekte schließen, hätte man es
immer mit einem Grenzübergang oder ähnlichem zu tun. Die Eigenschaften
endlicher Teile einfach so auf etwas Unendliches übertragen zu wollen,
ist kompletter Käse, um es mal so sachlich wie möglich zu formulieren.

Post by t***@gmail.com
der selbstverständlich auch nach Größe der RZ
wohlgeordnet werden kann.
Sollte daraus auf die Abzählbarkeit der aktual
unendlichen Menge aller RZ geschlossen werden,

Nein, das macht niemand. Offensichtlich hat er die Definition für die
Abzählbarkeit immer noch nicht gelesen. Ist ja auch schwer mit all den
vielen bedeutsamen Worten. So viel vorweg: in dieser Definition kommen
jedenfalls weder endliche Anfangsabschnitte noch eine Wohlordnung vor.

Den Rest seines Vortrages muss man sich also nicht mehr durchlesen.

Danke für's Mitspielen, Ihr Anruf wird gezählt.


hs

[b***@gmail.com]

Sind das Stufen die in den Keller des Augsburg
Crank institut führen. Haben sich dort die
fehlenden Zahlen versteckt?

Post by t***@gmail.com

Post by Andreas Leitgeb
Die Berechnung so einer Zahl nach der ausgesuchten (und dann fest-
gehaltenen) Formel ist für jede rationale Zahl möglich

wobei jede rationale Zahl in jeder beliebigen Abzählung zu einem endlichen Anfangsabschnitt gehört, der selbstverständlich auch nach Größe der RZ wohlgeordnet werden kann. Sollte daraus auf die Abzählbarkeit der aktual unendlichen Menge aller RZ geschlossen werden, so kann ebenso auf die Wohlordnung der aktual unendlichen Menge aller RZ nach Größe geschlossen werden.
Diese Stufe auch erklommen?
Gruß, WM

[WM]

Post by b***@gmail.com
Haben sich dort die
fehlenden Zahlen versteckt?

Es gibt keine fehlenden Zahlen, sondern nur fehlendes Verständnis. Matheologen versuchen die Anwendung ihres Abzählreims auf unendliche Mengen dadurch zu rechtfertigen, dass sie "ein allgemeines Element" verwenden. Leider erkennen sie in der Regel nicht, dass auch "ein allgemeines Element" q mit einem endlichen Anfangsabschnitt der Bijektion verknüpft ist: (1, 2, 3, ..., n) steht in Bijektion mit (q1, q2, q3, ..., q). Mehr ist nicht möglich.

Man kann nur von endlichen Anfangsabschnitten auf unendliche Mengen schließen (weil einfach nichts anderes vorhanden ist) --- aber der Schluss geht nach hinten los, weil er für die Wohlordnung der rationalen Zahlen nach Größe ganz genau so richtig und berechtigt ist wie für die Abzählung, nämlich gar nicht.

Gruß, WM

[Helmut Richter]

Post by WM
Es gibt keine fehlenden Zahlen, sondern nur fehlendes
Verständnis. Matheologen versuchen die Anwendung ihres Abzählreims auf
unendliche Mengen dadurch zu rechtfertigen, dass sie "ein allgemeines
Element" verwenden. Leider erkennen sie in der Regel nicht, dass auch "ein
allgemeines Element" q mit einem endlichen Anfangsabschnitt der Bijektion
verknüpft ist: (1, 2, 3, ..., n) steht in Bijektion mit (q1, q2, q3, ...,
q). Mehr ist nicht möglich.

Insbesondere nicht, dass dann die q1, q2, q3, ... auch noch nach der
gewöhnlichen Ordnung der rationalen Zahlen geordnet sind. Das geht nicht;
das wird aber bei einer Bijektion von Mengen auch nicht verlangt.

Wenn man nur die natürlichen Zahlen abzählt, kann man sich das Leben
natürlich einfach machen mit n1=1, n2=2, n3=3, ... . Hier geht also zufällig
die Abzählung der Größe nach, anders als bei den rationalen Zahlen. Aber
jede andere Abzählung, bei der jede Zahl genau einmal vorkommt, geht auch,
z.B. n1=2, n2=4, n3=1, n4=6, n5=8, n6=3, n7=10, ... nach der Regel:

– Ist i durch 3 teilbar, so ist n_i die kleinste noch nicht abgezählte
ungerade Zahl
– Sonst ist n_i die kleinste noch nicht abgezählte gerade Zahl.

Das ist eine gültige Abzählung, denn jede natürlich Zahl kommt irgendwann
dran (sogar einfach vorhersagbar, wann). In jedem Abfangsabschnitt der
Abzählung gibt es mindestens doppelt so viel gerade wie ungerade Zahlen.
Daraus magst du – und die immer noch überschaubare Zahl deiner Jünger –
folgern, dass es mindestens doppelt so viele gerade wie ungerade Zahlen
gibt. (Andersherum gehts natürlich auch, oder so, dass der Anteil ungerader
Zahlen gegen 0 geht und trotzdem alle vorkommen.)

--
Helmut Richter

[WM]

Post by Helmut Richter

Post by WM
Matheologen versuchen die Anwendung ihres Abzählreims auf
unendliche Mengen dadurch zu rechtfertigen, dass sie "ein allgemeines
Element" verwenden. Leider erkennen sie in der Regel nicht, dass auch "ein
allgemeines Element" q mit einem endlichen Anfangsabschnitt der Bijektion
verknüpft ist: (1, 2, 3, ..., n) steht in Bijektion mit (q1, q2, q3, ...,
q). Mehr ist nicht möglich.

Insbesondere nicht, dass dann die q1, q2, q3, ... auch noch nach der
gewöhnlichen Ordnung der rationalen Zahlen geordnet sind.

Das ist keine Frage. Das Problem ist aber folgendes: Die Abzählbarkeit der rationalen Zahlen wird durch die Abzählbarkeit endlicher Anfangsabschnitte bewiesen oder durch das "allgemeine Element" q, das aber nichts anderes als einen allgemeinen endlichen Anfangsabschnitt (q1, q2, q3, ..., q) darstellt. Diese Beweisführung lässt sich auch auf die Wohlordung der rationalen Zahlen nach Größe ebenso anwenden. Dort führt Sie zu einem klar ersichtlichen Fehler.

Post by Helmut Richter
Das geht nicht;
das wird aber bei einer Bijektion von Mengen auch nicht verlangt.

Es geht für jeden endlichen Anfangsabschnitt, ebenso wie die Abzählung von Mengen. Der Schluss auf die unendliche Menge ist nicht erlaubt, wie das Wohlordnungsbeispiel zeigt. Das zeigt sich übrigens auch daran, dass bis zu jedem Index n die Anzahl der nicht indizierten rationalen Zalhlen zwischen 1 und n unendlich ist, sogar die des (in Cantor's Abzählung) meistindizierten Intervalls zwischen 0 und 1. Mathematisch bleibt da kein Argument für den Grenzwert 0 an nicht abgezählten Brüchen. Der analytische Grenzwert der nicht abgezählten Brüche ist oo. Das Minorantenkriterium ist da ganz hart. Und die immer wieder gehörte Behauptung, dass das bei Mengen alles gleichzeitig geschieht, kann man damit entkräften, dass jede Folge (wie die Abzählung) rein mathematisch betrachtet an jeder Stelle analysiert werden darf.

Post by Helmut Richter
Wenn man nur die natürlichen Zahlen abzählt, kann man sich das Leben
natürlich einfach machen mit n1=1, n2=2, n3=3, ... . Hier geht also zufällig
die Abzählung der Größe nach, anders als bei den rationalen Zahlen. Aber
jede andere Abzählung, bei der jede Zahl genau einmal vorkommt, geht auch,
– Ist i durch 3 teilbar, so ist n_i die kleinste noch nicht abgezählte
ungerade Zahl
– Sonst ist n_i die kleinste noch nicht abgezählte gerade Zahl.
Das ist eine gültige Abzählung, denn jede natürlich Zahl kommt irgendwann
dran (sogar einfach vorhersagbar, wann).

Das Argument greift nicht, denn jede natürliche Zahl gehört zu einem endlichen Anfangsabschnitt, auf den noch unendlich viele natürliche Zahlen folgen. Es ist völlig verfehlt, dieses für einen verschwindenden Bruchteil der Menge |N gültige Argument auf die gesamte Menge anzuwenden. Durch häufige Anwendung wird es nicht richtig.

Gruß, WM

[Helmut Richter]

Post by WM

Post by Helmut Richter
Insbesondere nicht, dass dann die q1, q2, q3, ... auch noch nach der
gewöhnlichen Ordnung der rationalen Zahlen geordnet sind.

Das ist keine Frage. Das Problem ist aber folgendes: Die Abzählbarkeit
der rationalen Zahlen wird durch die Abzählbarkeit endlicher
Anfangsabschnitte bewiesen oder durch das "allgemeine Element" q, das
aber nichts anderes als einen allgemeinen endlichen Anfangsabschnitt
(q1, q2, q3, ..., q) darstellt.

Mir ist so eine Beweisführung noch nie begegnet. Wer macht das so?

Post by WM
Diese Beweisführung lässt sich auch auf
die Wohlordung der rationalen Zahlen nach Größe ebenso anwenden. Dort
führt Sie zu einem klar ersichtlichen Fehler.

Eine Wohlordnung der rationalen Zahlen – oder auch der nichtnegativen unter
ihnen – „nach Größe“ gibt es nicht, wenn mit „Größe“ die nach der üblichen
Größerrelation gemeint ist. So hat die Teilmenge
{x aus Q : x >= 0 und x² < 2} kein kleinstes Element, wie es für
Wohlordnungen vorgeschrieben wäre.

Post by WM
Das Argument greift nicht, denn jede natürliche Zahl gehört zu einem
endlichen Anfangsabschnitt, auf den noch unendlich viele natürliche Zahlen
folgen. Es ist völlig verfehlt, dieses für einen verschwindenden Bruchteil
der Menge |N gültige Argument auf die gesamte Menge anzuwenden. Durch
häufige Anwendung wird es nicht richtig.

Die einzigen Anwendungen solcher falschen Schlüsse von den Eigenschaften
endlicher Mengen auf eine unendliche, die den – wie immer auch definierten –
„Limes“ dieser Mengen bildet, habe ich bisher nur von dir gesehen. Die
Leute, die du Matheologen nennst, haben dieses mächtige Werkzeug zum
Beweisen falscher Sätze nicht zur Verfügung.

--
Helmut Richter

[Helmut Richter]

Post by Helmut Richter
Eine Wohlordnung der rationalen Zahlen – oder auch der nichtnegativen unter
ihnen – „nach Größe“ gibt es nicht, wenn mit „Größe“ die nach der üblichen
Größerrelation gemeint ist. So hat die Teilmenge
{x aus Q : x >= 0 und x² < 2} kein kleinstes Element, wie es für
Wohlordnungen vorgeschrieben wäre.

Quatsch. Muss heißen „x² > 2“. Oder „x > 0“ tuts auch.

[WM]

Post by Helmut Richter

Post by WM

Post by Helmut Richter
Insbesondere nicht, dass dann die q1, q2, q3, ... auch noch nach der
gewöhnlichen Ordnung der rationalen Zahlen geordnet sind.

Das ist keine Frage. Das Problem ist aber folgendes: Die Abzählbarkeit
der rationalen Zahlen wird durch die Abzählbarkeit endlicher
Anfangsabschnitte bewiesen oder durch das "allgemeine Element" q, das
aber nichts anderes als einen allgemeinen endlichen Anfangsabschnitt
(q1, q2, q3, ..., q) darstellt.

Mir ist so eine Beweisführung noch nie begegnet. Wer macht das so?

Jeder. Nur merken es die meisten nicht.

Post by Helmut Richter

Post by WM
Diese Beweisführung lässt sich auch auf
die Wohlordung der rationalen Zahlen nach Größe ebenso anwenden. Dort
führt Sie zu einem klar ersichtlichen Fehler.

Eine Wohlordnung der rationalen Zahlen – oder auch der nichtnegativen unter
ihnen – „nach Größe“ gibt es nicht

Das ist bekannt und wird hier benutzt um zu zeigen, dass es auch keine Abzählung der rationalen Zahlen geben kann.

Post by Helmut Richter

Post by WM
Das Argument greift nicht, denn jede natürliche Zahl gehört zu einem
endlichen Anfangsabschnitt, auf den noch unendlich viele natürliche Zahlen
folgen. Es ist völlig verfehlt, dieses für einen verschwindenden Bruchteil
der Menge |N gültige Argument auf die gesamte Menge anzuwenden. Durch
häufige Anwendung wird es nicht richtig.

Die einzigen Anwendungen solcher falschen Schlüsse von den Eigenschaften
endlicher Mengen auf eine unendliche, die den – wie immer auch definierten –
„Limes“ dieser Mengen bildet, habe ich bisher nur von dir gesehen.

So hast Du niemals Cantor's zweites Erzeugungsprinzip kennengelern? "Oder aber die Zahlen b enthalten keine größte, dann besitzen sie (nach dem zweiten Erzeugungsprinzip) eine 'Grenze' b', welche auf alle b zunächst folgt" [Cantor, p. 208f]. Das ist genau der Schluss vom Endlichen aufs Unendliche. Denn "die Zahlen" gehören natürlich zu Anfangsabschnitten.

Post by Helmut Richter
Die
Leute, die du Matheologen nennst, haben dieses mächtige Werkzeug zum
Beweisen falscher Sätze nicht zur Verfügung.

Sie benutzen das "allgemeine Element" oder "die Zahlen", was aber den Schluss vom Anfangsabschnitt auf die unendliche Menge nicht vermeiden kann.

Gruß, WM

[H0Iger SchuIz]

Post by WM

Post by Helmut Richter

Post by WM

Post by Helmut Richter
Insbesondere nicht, dass dann die q1, q2, q3, ... auch noch nach der
gewöhnlichen Ordnung der rationalen Zahlen geordnet sind.

Das ist keine Frage. Das Problem ist aber folgendes: Die Abzählbarkeit
der rationalen Zahlen wird durch die Abzählbarkeit endlicher
Anfangsabschnitte bewiesen oder durch das "allgemeine Element" q, das
aber nichts anderes als einen allgemeinen endlichen Anfangsabschnitt
(q1, q2, q3, ..., q) darstellt.

Mir ist so eine Beweisführung noch nie begegnet. Wer macht das so?

Jeder. Nur merken es die meisten nicht.

Jetzt wird's lächerlich. Für jemanden, der noch nicht mal in der Lage
ist, die Defintion der Abzählbarkeit zu zitieren, leht er sich ganz
schön weit aus dem Fenster. Da er dese Definition nicht kennt oder nicht
versteht, macht es keinen Sinn über die Details der Beweisführung mit
ihm zu diskutieren. Seien falsche Idee von der Beweisführung vertritt er
durch Fußaufstampfen.

Post by WM

Post by Helmut Richter

Post by WM
Diese Beweisführung lässt sich auch auf
die Wohlordung der rationalen Zahlen nach Größe ebenso anwenden. Dort
führt Sie zu einem klar ersichtlichen Fehler.

Eine Wohlordnung der rationalen Zahlen – oder auch der nichtnegativen unter
ihnen – "nach Größe" gibt es nicht

Das ist bekannt und wird hier benutzt um zu zeigen, dass es auch keine
Abzählung der rationalen Zahlen geben kann.

Soll benutzt werden. Funktioniert aber nicht. Die Wohlordnung hat mit
der Abzähöbarkeit halt nichts zu tun. Seine Idee, die Wohlordnung als
zusätzliche Bedingung der Abzählbarkeit zu machen, entbehrt jeder
Grundlage.

Post by WM

Post by Helmut Richter

Post by WM
Das Argument greift nicht, denn jede natürliche Zahl gehört zu einem
endlichen Anfangsabschnitt, auf den noch unendlich viele natürliche Zahlen
folgen. Es ist völlig verfehlt, dieses für einen verschwindenden Bruchteil
der Menge |N gültige Argument auf die gesamte Menge anzuwenden. Durch
häufige Anwendung wird es nicht richtig.

Die einzigen Anwendungen solcher falschen Schlüsse von den Eigenschaften
endlicher Mengen auf eine unendliche, die den – wie immer auch definierten –
"Limes" dieser Mengen bildet, habe ich bisher nur von dir gesehen.

So hast Du niemals Cantor's zweites Erzeugungsprinzip kennengelern? "Oder
aber die Zahlen b enthalten keine größte, dann besitzen sie (nach dem
zweiten Erzeugungsprinzip) eine 'Grenze' b', welche auf alle b zunächst
folgt" [Cantor, p. 208f].

Die Quellenangabe ist mal wieder unvollständig, Herr Prefosser. Wie
wär's mal, Zitieren zu lernen? Aus welchem von Cantors Texten zitiert er
hier? Von wann dieser Text ist, wäre schon interessant. Cantors Ideen
sind sehr wohl in die Entwicklung der Begriffe um die Mengenlehre
eingegangen. Man darf davon ausgehen, dass sie in diesem Text noch nicht
fertig formalisiert waren.

Das sit nicht unähnlich den Kreatinionisten, die meinen, Darwin könnte
ja gar nicht recht gehabt haben, weil er diese und jenes noch nicht
wusste. Patsch.

Ist die Bibliothek der Hochschule Augsburg eigentlich eine reines Museum
oder gibt es da auch zeitgemäße Texte? Oder ist der Zugriff darauf den
richtigen Akademikern vorbehalen, während die Aushilfslehrkräfte und
Pausenclown die Reste nehmen müssen? Und nicht falsch verstanden zu
werden, es macht durchaus Sinn, historische Fachtexte zu lesen.
Allerdings dann bitte auch im historischen Kontext.

Was dieses Textstück mit Abzählbarkeit und Wohlordnung zu tutn hat,
bleibt auch unklar.

Post by WM
Das ist genau der Schluss vom Endlichen aufs
Unendliche.

Das kann ich diesem kontextfreien Satz nicht entnehmen.

Post by WM
Denn "die Zahlen" gehören natürlich zu Anfangsabschnitten.

Von Anfangsabschnitten ist da nicht die Rede.

Post by WM

Post by Helmut Richter
Die
Leute, die du Matheologen nennst, haben dieses mächtige Werkzeug zum
Beweisen falscher Sätze nicht zur Verfügung.

Sie benutzen das "allgemeine Element"
oder "die Zahlen",
was aber den Schluss vom Anfangsabschnitt auf die unendliche Menge nicht
vermeiden kann.

Ohje, er weiß immer noch nicht, wie Abzählbarkeit definiert ist,
versteht die klassischen Beweise nicht un denkt sich dann etwas aus,
dass er doof finden kann.

hs

[Ralf Bader]

Post by H0Iger SchuIz

Post by WM

Post by Helmut Richter

Post by WM

Post by Helmut Richter
Insbesondere nicht, dass dann die q1, q2, q3, ... auch noch nach
der gewöhnlichen Ordnung der rationalen Zahlen geordnet sind.

Das ist keine Frage. Das Problem ist aber folgendes: Die
Abzählbarkeit der rationalen Zahlen wird durch die Abzählbarkeit
endlicher Anfangsabschnitte bewiesen oder durch das "allgemeine
Element" q, das aber nichts anderes als einen allgemeinen endlichen
Anfangsabschnitt (q1, q2, q3, ..., q) darstellt.

Mir ist so eine Beweisführung noch nie begegnet. Wer macht das so?

Jeder. Nur merken es die meisten nicht.

Jetzt wird's lächerlich. Für jemanden, der noch nicht mal in der Lage
ist, die Defintion der Abzählbarkeit zu zitieren, leht er sich ganz
schön weit aus dem Fenster. Da er dese Definition nicht kennt oder nicht
versteht, macht es keinen Sinn über die Details der Beweisführung mit
ihm zu diskutieren. Seien falsche Idee von der Beweisführung vertritt er
durch Fußaufstampfen.

Es wäre einmal interessant, zu erfahren, wie es um solche Aussagen wie
a+b=b+a für die Addition natürlicher Zahlen bestellt ist. Da kommen ja nach
a und b ebenfalls noch "unendlich viele weitere" Kandidaten, für die noch
nichts bewiesen ist.

Das ist auch deshalb wichtig, weil "wir" ja inzwischen nicht mehr Papst noch
Fußballweltmeister sind, dafür aber immerhin Fields-Medaillen-Gewinner. Nur
hat Peter Scholze irgendwo als wohl kürzestmögliche Darstellung seines
Interesses für Journalisten erklärt, es ginge ihm um das Verständnis der
natürlichen Zahlen. Und da ist nun zu befürchten, daß die Dinge, die
Scholze treibt, sich im Lichte Mückenheimscher Erkenntnisse als hohler Tand
erweisen.

Post by H0Iger SchuIz

Post by WM

Post by Helmut Richter

Post by WM
Diese Beweisführung lässt sich auch auf
die Wohlordung der rationalen Zahlen nach Größe ebenso anwenden. Dort
führt Sie zu einem klar ersichtlichen Fehler.

Eine Wohlordnung der rationalen Zahlen – oder auch der nichtnegativen
unter ihnen – "nach Größe" gibt es nicht

Das ist bekannt und wird hier benutzt um zu zeigen, dass es auch keine
Abzählung der rationalen Zahlen geben kann.

Soll benutzt werden. Funktioniert aber nicht. Die Wohlordnung hat mit
der Abzähöbarkeit halt nichts zu tun. Seine Idee, die Wohlordnung als
zusätzliche Bedingung der Abzählbarkeit zu machen, entbehrt jeder
Grundlage.

Post by WM

Post by Helmut Richter

Post by WM
Das Argument greift nicht, denn jede natürliche Zahl gehört zu einem
endlichen Anfangsabschnitt, auf den noch unendlich viele natürliche
Zahlen folgen. Es ist völlig verfehlt, dieses für einen
verschwindenden Bruchteil der Menge |N gültige Argument auf die
gesamte Menge anzuwenden. Durch häufige Anwendung wird es nicht
richtig.

Die einzigen Anwendungen solcher falschen Schlüsse von den
Eigenschaften endlicher Mengen auf eine unendliche, die den – wie immer
auch definierten – "Limes" dieser Mengen bildet, habe ich bisher nur
von dir gesehen.

So hast Du niemals Cantor's zweites Erzeugungsprinzip kennengelern? "Oder
aber die Zahlen b enthalten keine größte, dann besitzen sie (nach dem
zweiten Erzeugungsprinzip) eine 'Grenze' b', welche auf alle b zunächst
folgt" [Cantor, p. 208f].

Die Quellenangabe ist mal wieder unvollständig, Herr Prefosser. Wie
wär's mal, Zitieren zu lernen? Aus welchem von Cantors Texten zitiert er
hier? Von wann dieser Text ist, wäre schon interessant. Cantors Ideen
sind sehr wohl in die Entwicklung der Begriffe um die Mengenlehre
eingegangen. Man darf davon ausgehen, dass sie in diesem Text noch nicht
fertig formalisiert waren.

Es handelt sich um die Gesammelten Abhandlungen Cantors, wohlfeil
herunterladbar beim Göttinger Digitalisierungszentrum. Das ergibt sich auch
daraus, daß sich die Stelle, aus der Mückenheim hier herausliest, was nicht
drinsteht, auf der PDF-Seite 208, was aber die Buchseite 195 ist, findet.
Die beiden Erzeugungsprinzipien sind im übrigen zwischenzeitlich von primär
historischem Interesse, da auch diese Sache im heute üblichen Aufbau von
ZFC sich anders darstellt; es geht um Nachfolger- bzw. Limesordinalzahlen.

Post by H0Iger SchuIz
Das sit nicht unähnlich den Kreatinionisten, die meinen, Darwin könnte
ja gar nicht recht gehabt haben, weil er diese und jenes noch nicht
wusste. Patsch.
Ist die Bibliothek der Hochschule Augsburg eigentlich eine reines Museum
oder gibt es da auch zeitgemäße Texte? Oder ist der Zugriff darauf den
richtigen Akademikern vorbehalen, während die Aushilfslehrkräfte und
Pausenclown die Reste nehmen müssen? Und nicht falsch verstanden zu
werden, es macht durchaus Sinn, historische Fachtexte zu lesen.
Allerdings dann bitte auch im historischen Kontext.

Diese Hochschule hat ganz andere Probleme als die Sortimentierung einer
Bibliothek, die Mückenheim hier offensichtlich nicht brauchte.
Beispielsweise, daß dortiges Personal in fake journals publiziert, was ja
nun, wie jeder Tagesschaugucker weiß, verpönt ist:
http://www.scirp.org/journal/PaperInformation.aspx?PaperID=53512
Oder daß dortige Dozenten offenbar ungestört crackpotistischen Blödsinn
verzapfen dürfen, ja dafür noch eine Art hochschuloffizielle Belobigung
erhalten:
https://www.hs-augsburg.de/Binaries/Binary8853/forschungsbericht-2011.pdf
(S. 44ff)

[H0Iger SchuIz]

Post by WM
Die Abzählbarkeit der
rationalen Zahlen wird durch die Abzählbarkeit endlicher Anfangsabschnitte
bewiesen

Nein.

Post by WM
oder durch das "allgemeine Element" q, das aber nichts anderes
als einen allgemeinen endlichen Anfangsabschnitt (q1, q2, q3, ..., q)
darstellt.

Nein.

Vielleicht solte er sich die Definition der Abzählbarkeit doch mal
ansehen. Und dann ein paar Beispiele, in denen sie bewiesen wird.

Beweisführungen, die es nicht gitb, zu widersprechen, ist mal wieder
Kreationisten- und Esoteriker-Stil.

[Andreas Leitgeb]

Post by Andreas Leitgeb
Die Berechnung so einer Zahl nach der ausgesuchten (und dann fest-
gehaltenen) Formel ist für jede rationale Zahl möglich

wobei jede rationale Zahl in jeder beliebigen Abzählung [...]

...offenbar den WM auf logische Irrwege führen kann, die dann
in Sümpfen enden. Auf dem richtigen Weg verbleibend kommt man
jedoch - weit an allen Sümpfen vorbei - sicher ans Ziel.

Deine Sorge, dass bei einer etwaigen Bergung aus dem Sumpf dann
auch gleich ein paar Krokodile mit herausgezogen werden könnten
ist zum Glück hinfällig, da es eine solche Bergung ja eben gar
nicht gibt.

Sollte daraus auf die Abzählbarkeit [...] geschlossen werden,

Nein, da kannst du ganz beruhigt sein. Der richtige Beweisweg
führt nicht durch diesen Sumpf.

Wir wissen also nun, dass man (ohne Beachtung etwaiger Anfangs-
abschnitte) *jeder* rationalen Zahl ein Paar aus einer ganzen
Zahl "p" und einer natürlichen Zahl "q" zugeordnet ist.

Aus p berechnen wir nun ein p', und zwar so, dass p' für
p > 0 auf 2*p gesetzt wird, und für p <= 0 auf 1-2*p .
Diese Zuordnung ist injektiv, da positive p zu geraden p'
und die anderen zu ungeraden p' führen, und für positive p
die Abbildung streng monoton steigend ist, während sie für
p<=0 streng monoton fallend ist. Keine zwei Werte von
p können also zum gleichen p' führen.

Somit sind nun jeder rationalen Zahl zwei ganze Zahlen p'
und q, jeweils >= 0 zugeordnet, die dann in die (ihrerseits
injektive) Cantor'sche Paarungsfunktion \pi(x,y) eingesetzt
werden:
\pi(p',q) = q + (p' + q)*(p' + q + 1)/2

So ergibt sich nun für jede rationale Zahl ein Wert, den sie
mit keiner anderen rationalen Zahl "teilen" muss. Verschiedene
rationale Zahlen haben also stets unterschiedliche Ergebnisse.
(Egal, ob der Bruch p/q nun gekürzt war, oder nicht)

Und das ist bereits ausreichend um die Existenz einer "injektiven"
Abbildung von |Q nach |N - konstruktiv - zu beweisen.

Siehst du? Kein Sumpf von Anfangsabschnitten weit und breit,
aus dem man sich (nur mitsamt Krokodilen) herausziehen lassen
müsste. Mit dieser injektiven Abbildung alleine haben wir aber
noch nichteinmal eine Abzählung, also hätte der Begriff "Anfangs-
abschnitt" hier noch nichteinmal Sinn.

Stufe erklommen?

[WM]

Post by Andreas Leitgeb

Sollte daraus auf die Abzählbarkeit [...] geschlossen werden,

Nein, da kannst du ganz beruhigt sein. Der richtige Beweisweg
führt nicht durch diesen Sumpf.

Zeige einmal Deine "richtige Beweisführung, dann zeige ich Dir Deinen Irrtum.

Post by Andreas Leitgeb
Wir wissen also nun, dass man (ohne Beachtung etwaiger Anfangs-
abschnitte) *jeder* rationalen Zahl ein Paar aus einer ganzen
Zahl "p" und einer natürlichen Zahl "q" zugeordnet ist.

Die Nichtbeachtung der Anfangsabschnitte beseitigt sie nicht. Auch die im Folgenden verwendete geschlossene Formel aus Wikipedia hilft dazu nicht.

Post by Andreas Leitgeb
Mit dieser injektiven Abbildung alleine haben wir aber
noch nichteinmal eine Abzählung, also hätte der Begriff "Anfangs-
abschnitt" hier noch nichteinmal Sinn.

Du siehst sie nicht oder willst sie nicht sehen. Das beseitigt sie aber nicht. Selbstverständlich besitzt jede natürliche Zahl ebenso wie in jeder sich anschließenden Abzählung jede rationale Zahl einen Anfangsabschnitt. Die "allgemeine" frei schwebende Zahl existiert in einer Abzählung nun einmal nicht.

Gruß, WM

[H0Iger SchuIz]

Post by WM

Post by Andreas Leitgeb

Sollte daraus auf die Abzählbarkeit [...] geschlossen werden,

Nein, da kannst du ganz beruhigt sein. Der richtige Beweisweg
führt nicht durch diesen Sumpf.

Zeige einmal Deine "richtige Beweisführung, dann zeige ich Dir Deinen Irrtum.

Gibt's ind er Lteratur zu Hauf. da er sie da nicht verstanen hat, ist es
auch nutzlos, es ihm nochmals aufzuschreiben. Ganz offensichtlich hat er
die Definition für die Abzählbarkeit immer noch nicht verstanden.

Post by WM

Post by Andreas Leitgeb
Wir wissen also nun, dass man (ohne Beachtung etwaiger Anfangs-
abschnitte) *jeder* rationalen Zahl ein Paar aus einer ganzen
Zahl "p" und einer natürlichen Zahl "q" zugeordnet ist.

Die Nichtbeachtung der Anfangsabschnitte beseitigt sie nicht.

Mag sein. Hat er eigentlich schon mal definiert, was er unter einem
"Anfangsabschnitt" verstehen will? Okay, es ist nach wie vor nicht fair,
Oftmals Falsch nach Definitionen zu fragen.

Ist auch nicht wichtig, die Anfangsabschnitte haben nun mal mit der
Abzählbarkeit nichts zu tun.

Post by WM
Selbstverständlich besitzt jede natürliche Zahl ebenso wie in jeder
sich anschließenden Abzählung jede rationale Zahl einen Anfangsabschnitt.

Mag sein. Hat er eigentlich schon mal definiert, was er unter einem
"Anfangsabschnitt" verstehen will? Okay, es ist nach wie vor nicht fair,
Oftmals Falsch nach Definitionen zu fragen.

Ist auch nicht wichtig, die Anfangsabschnitte haben nun mal mit der
Abzählbarkeit nichts zu tun.

Post by WM
Die "allgemeine" frei schwebende Zahl existiert in einer Abzählung nun
einmal nicht.

Deshalb kommt eine solche Zahl ja auch weder in der Definition der
Abzählbarkeit vor noch in deren Nachweis. So wie alle seine
Hirngespinste, die er sich ausdenkt, um sie doof zu finden.

Schwebende Zahlen, tztztz.

hs

[Andreas Leitgeb]

Post by WM

Post by Andreas Leitgeb
Mit dieser injektiven Abbildung alleine haben wir aber
noch nichteinmal eine Abzählung, also hätte der Begriff "Anfangs-
abschnitt" hier noch nichteinmal Sinn.

Du siehst sie nicht oder willst sie nicht sehen.

Ich sehe Anfangsabschnitte zu jeder natürlichen Zahl n,
sowie zu Folgen und Reihen deren Glieder mit natürlichen
Zahlen indiziert sind.

Ich sehe zu jeder natürlichen Zahl auch ihre Primfaktoren-
zerlegung, dezimale Ziffernsumme, uvam.

Doch nichts davon spielt eine Rolle, wenn rationalen Zahlen
auf Basis einer ihrer Bruch-darstellungen natürliche Zahlen
zugeordnet werden können.

Da wird z.B. aus 355/113 eben p=355,q=113 und p'=710 und somit
die zugeordnete Zahl 339189. Zu dieser Zahl kann man nun die
Primfaktorenzerlegung, Ziffernsumme, Anfangsabschnitte von |N,
oder etwaige "befreundete" Zahlen dazu betrachten, oder mitzählen,
wie lange man das "mal 3 plus 1 ; solange gerade: durch 2"
Spielchen spielen kann, bis man die 1 erreicht. Aber das alles
ist Fleißaufgabe. Wirklich wichtig ist nur, dass keine *andere*
rationale Zahl durch die angegebene Abbildung diese Zahl 339189
zugeordnet bekommt.

Und durch diese injektive Abbildung ist eine Höhermächtigkeit
von |Q versus |N bereits ausgeschlossen.

Post by WM
Die "allgemeine" frei schwebende Zahl existiert in einer
Abzählung nun einmal nicht.

Eine "Abzählung" gibt es hier in dieser Beweisführung noch
gar nicht. Es gibt hier nur eine injektive Abbildung, die
dabei sogar etliche natürliche Zahlen überspringt - etwa
alle jene, die auf p'=0 oder q=0 als Parameter der Cantor'
schen Paarungsfunktion zurückzuführen wären.

Würde jemand beim Hochzählen soviele Zahlen auslassen, dann
könnte man das kaum als korrektes Zählen bezeichnen. Zum
Glück muss aber auch gar nicht gezählt werden. Es reicht
hier vollkommen, injektiv abzubilden, und das nur auf
intrinsischen Eigenschaften von rationalen Zahlen beruhend.

[WM]

Post by Andreas Leitgeb

Post by WM

Post by Andreas Leitgeb
Mit dieser injektiven Abbildung alleine haben wir aber
noch nichteinmal eine Abzählung, also hätte der Begriff "Anfangs-
abschnitt" hier noch nichteinmal Sinn.

Du siehst sie nicht oder willst sie nicht sehen.

Ich sehe Anfangsabschnitte zu jeder natürlichen Zahl n,
sowie zu Folgen und Reihen deren Glieder mit natürlichen
Zahlen indiziert sind.
Ich sehe zu jeder natürlichen Zahl auch ihre Primfaktoren-
zerlegung, dezimale Ziffernsumme, uvam.

Diese haben mit quantitativen Aussagen über die Menge nichts zu tun.

Post by Andreas Leitgeb
Doch nichts davon spielt eine Rolle, wenn rationalen Zahlen
auf Basis einer ihrer Bruch-darstellungen natürliche Zahlen
zugeordnet werden können.

Es spielt aber eine Rolle, wenn von den Anfangsabschnitte auf die unendliche Menge geschlossen werden soll.

Post by Andreas Leitgeb
Wirklich wichtig ist nur, dass keine *andere*
rationale Zahl durch die angegebene Abbildung diese Zahl 339189
zugeordnet bekommt.

Der Schluss auf alle rationalen Zahlen ist falsch, denn jedes Beispiel gehört zu einem verschindend kleinen Anfangsabschnitt, verglichen mit einer unendlichen Meng.

Post by Andreas Leitgeb
Und durch diese injektive Abbildung ist eine Höhermächtigkeit
von |Q versus |N bereits ausgeschlossen.

Das ist falsch. Dein Argument gilt nur für endliche Anfangsabschnitte. Der Schluss auf die unendliche Menge ist nicht erlaubt, wie das Wohlordnungsbeispiel zeigt. Das zeigt sich übrigens auch daran, dass bis zu jedem Index n die Anzahl der nicht indizierten rationalen Zalhlen zwischen 1 und n unendlich ist, sogar die des (in Cantor's Abzählung) meistindizierten Intervalls zwischen 0 und 1. Mathematisch bleibt da kein Argument für den Grenzwert 0 an nicht abgezählten Brüchen. Der analytische Grenzwert der nicht abgezählten Brüche ist oo. Das Minorantenkriterium ist da ganz hart. Und die immer wieder gehörte Behauptung, dass das bei Mengen alles gleichzeitig geschieht, kann man damit entkräften, dass jede Folge (wie die Abzählung) rein mathematisch betrachtet an jeder Stelle analysiert werden darf.

Post by Andreas Leitgeb

Post by WM
Die "allgemeine" frei schwebende Zahl existiert in einer
Abzählung nun einmal nicht.

Eine "Abzählung" gibt es hier in dieser Beweisführung noch
gar nicht.

Jede natürliche Zahl und jede Summe aus p und q definiert einen Anfangsabschnitt.

Post by Andreas Leitgeb
Es gibt hier nur eine injektive Abbildung

Nur für endiche Anfangsabschnitte bewiesen, für die auch eine Wohlordnung rationaler Zahlen nach Größe möglich ist.

Post by Andreas Leitgeb
Würde jemand beim Hochzählen soviele Zahlen auslassen, dann
könnte man das kaum als korrektes Zählen bezeichnen. Zum
Glück muss aber auch gar nicht gezählt werden. Es reicht
hier vollkommen, injektiv abzubilden, und das nur auf
intrinsischen Eigenschaften von rationalen Zahlen beruhend.

Injektivität wird hier nur für endiche Anfangsabschnitte bewiesen, für die auch eine Wohlordnung rationaler Zahlen nach Größe möglich ist.

Gruß, WM

[Andreas Leitgeb]

Post by WM
Injektivität wird hier nur für endiche Anfangsabschnitte bewiesen,

köstlich

[WM]

Post by t***@gmail.com
It is possible for every n ∈ |N to enumerate the first n rational numbers q1, q2, q3, ..., qn – for instance like Cantor did it. Set theorists claim that this proves the possibility of enumerating all rational numbers, i.e., listing them as a sequence.
It is possible for every n ∈ |N to well-order these first n rational numbers q1, q2, q3, ..., qn by size. Set theorists do not claim that this proves the possibility of well-ordering all rational numbers by size.
What is the difference? Nothing. If for every n ∈ |N all rational numbers q1, q2, q3, ..., qn can be put in a well-order by size then for every n ∈ |N there is nothing left that could be enumerated but not be put in a well-order by size.

Zusammenfassung: Nach vierzehntägiger Bedenkzeit stellt sich nun also heraus, dass in dsm niemand ein Argument gegen die gleiche Stringenz der Beweise für Abzählbarkeit und Wohlordbarkeit nach Größe der rationalen Zahlen vorzubringen weiß. In anderen Foren kommt wenigstens zuweilen noch der lahme Einwand, dass bei der Abzählung eine einmal gebildete Zuordnung nicht mehr verändert wird. Aber hier scheint man diesen Einwand nicht zu kennen, oder man verwirft ihn zu recht wegen seiner Schwäche. Der Glaube an die Matheologie leidet darunter offensichtlich in keinem Falle.

Gruß, WM

[Helmut Richter]

Post by t***@gmail.com
It is possible for every n ∈ |N to well-order these first n rational
numbers q1, q2, q3, ..., qn by size. Set theorists do not claim that
this proves the possibility of well-ordering all rational numbers by
size.

Schwupp, da ist er wieder, der falsche Schritt. Ich hatte geschrieben:

| Die einzigen Anwendungen solcher falschen Schlüsse von den Eigenschaften
| endlicher Mengen auf eine unendliche, die den – wie immer auch definierten
| – „Limes“ dieser Mengen bildet, habe ich bisher nur von dir gesehen. Die
| Leute, die du Matheologen nennst, haben dieses mächtige Werkzeug zum
| Beweisen falscher Sätze nicht zur Verfügung.

Und dieses Werkzeug, das du da benutzt hast, funktioniert eben nicht. Der
Schluss von Eigenschaften endlicher Mengen auf die unendlicher geht nicht.
Die genannten „set theorists“ haben also recht, wenn sie ihn nicht benutzen.

Satz: Die natürlichen Zahlen sind endlich viele.

Beweis: Für jedes n sind die Zahlen 1, ..., n endlich viele. Der Rest geht
nach dem (falschen) Schluss auf die gesamte Menge.

Es wird wirklich immer absurder.

--
Helmut Richter

[WM]

Post by Helmut Richter

Post by t***@gmail.com
It is possible for every n ∈ |N to well-order these first n rational
numbers q1, q2, q3, ..., qn by size. Set theorists do not claim that
this proves the possibility of well-ordering all rational numbers by
size.

| Die einzigen Anwendungen solcher falschen Schlüsse von den Eigenschaften
| endlicher Mengen auf eine unendliche, die den – wie immer auch definierten
| – „Limes“ dieser Mengen bildet, habe ich bisher nur von dir gesehen.

Hatte ich Dich nicht aufgeklärt? Hier also der Meister: "Oder aber die Zahlen b enthalten keine größte, dann besitzen sie (nach dem zweiten Erzeugungsprinzip) eine 'Grenze' b', welche auf alle b zunächst folgt" [Cantor, p. 208f].

Post by Helmut Richter
Die
| Leute, die du Matheologen nennst, haben dieses mächtige Werkzeug zum
| Beweisen falscher Sätze nicht zur Verfügung.

Sie haben aber auch kein anderes Werkzeug zur Verfügung, wie Deine Ausführungen zeigen. Denn der "richtige Schritt" fehlt dort.

Post by Helmut Richter
Und dieses Werkzeug, das du da benutzt hast, funktioniert eben nicht.

Das ist zwar richtig. In der Mengenlehre wird es aber benötigt. Andernfalls hättest Du nicht absurde Folgerungen des falschen, sondern die Anwendung des richtigen Weges aufgezeigt.

Gruß, WM

[Klaus Loeffler]

It is possible for every n ? |N to enumerate the first n rational numbers
q1, q2, q3, ..., qn – for instance like Cantor did it. Set theorists claim
that this proves the possibility of enumerating all rational numbers,
i.e., listing them as a sequence. > > It is possible for every n ? |N to
well-order these first n rational numbers q1, q2, q3, ..., qn by size. Set
theorists do not claim that this proves the possibility of well-ordering
all rational numbers by size. > > What is the difference? Nothing. If for
every n ? |N all rational numbers q1, q2, q3, ..., qn can be put in a
well-order by size then for every n ? |N there is nothing left that could
be enumerated but not be put in a well-order by size. >
Zusammenfassung: Nach vierzehntägiger Bedenkzeit stellt sich nun also
heraus, dass in dsm niemand ein Argument gegen die gleiche Stringenz der
Beweise für Abzählbarkeit und Wohlordbarkeit nach Größe der rationalen
Zahlen vorzubringen weiß. In anderen Foren kommt wenigstens zuweilen noch
der lahme Einwand, dass bei der Abzählung eine einmal gebildete Zuordnung
nicht mehr verändert wird. Aber hier scheint man diesen Einwand nicht zu
kennen, oder man verwirft ihn zu recht wegen seiner Schwäche. Der Glaube
an die Matheologie leidet darunter offensichtlich in keinem Falle.

Du verwechselst die Wohlordnung, die eine Abz"ahlung - also eine
bijektive Abbildung von N in Q - induziert, mit der Ordnung der
rationalen Zahlen nach Größe. Die beiden haben nichts miteinander zu
tun, insbesondere braucht die durch die Abzählung induzierte
Ordnungsrelation bezüglich Addition und Multiplikation mit positiven
Zahlen auch keine Kongruenzrelation zu sein.
Mal wieder Äpfel mit Birnen verwechselt ...

Klaus-R.

[WM]

Post by Klaus Loeffler
Du verwechselst die Wohlordnung, die eine Abz"ahlung - also eine
bijektive Abbildung von N in Q - induziert, mit der Ordnung der
rationalen Zahlen nach Größe.

Nein! Ich zeige, dass beides für endliche Mengen erzeugt werden kann.

Post by Klaus Loeffler
Die beiden haben nichts miteinander zu
tun,

Doch! Beide lassen sich für endliche Mengen erzeugen. Und der Schluss auf unendliche Mengen wird in der Mengenlehre so geführt: "Oder aber die Zahlen b enthalten keine größte, dann besitzen sie (nach dem zweiten Erzeugungsprinzip) eine 'Grenze' b', welche auf alle b zunächst folgt" [Cantor, p. 208f].

"Es ist sogar erlaubt, sich die neugeschaffene Zahl omega als Grenze zu denken, welcher die Zahlen n zustreben, wenn darunter nichts anderes verstanden wird, als daß omega die erste ganze Zahl sein soll, welche auf alle Zahlen n folgt, d. h. größer zu nennen ist als jede der Zahlen n" [Cantor, p. 195].

Hier ist die unendliche Menge Q die Grenze.

Gruß, WM

[Ralf Bader]

Post by WM

Post by Klaus Loeffler
Du verwechselst die Wohlordnung, die eine Abz"ahlung - also eine
bijektive Abbildung von N in Q - induziert, mit der Ordnung der
rationalen Zahlen nach Größe.

Nein! Ich zeige, dass beides für endliche Mengen erzeugt werden kann.

Post by Klaus Loeffler
Die beiden haben nichts miteinander zu tun,

Doch! Beide lassen sich für endliche Mengen erzeugen. Und der Schluss
auf unendliche Mengen wird in der Mengenlehre so geführt: "Oder aber
die Zahlen b enthalten keine größte, dann besitzen sie (nach dem
zweiten Erzeugungsprinzip) eine 'Grenze' b', welche auf alle b
zunächst folgt" [Cantor, p. 208f].
"Es ist sogar erlaubt, sich die neugeschaffene Zahl omega als Grenze
zu denken, welcher die Zahlen n zustreben, wenn darunter nichts
anderes verstanden wird, als daß omega die erste ganze Zahl sein
soll, welche auf alle Zahlen n folgt, d. h. größer zu nennen ist als
jede der Zahlen n" [Cantor, p. 195].
Hier ist die unendliche Menge Q die Grenze.
Gruß, WM

Genau, Mückenheim. Es genügt nicht, frei nach Karl Kraus, von den
Sachen, die man so zusammenliest, nicht das Geringste zu kapieren, man
muß auch fähig sein, saudumm darüber zu quatschen.
(Mit den beiden Erzeugungsprinzipien werden die Ordinalzahlen erzeugt,
mit dem ersten die Nachfolger-, mit dem zweiten die Limesordinalzahlen.)

[WM]

Post by Ralf Bader

Post by WM
"Es ist sogar erlaubt, sich die neugeschaffene Zahl omega als Grenze
zu denken, welcher die Zahlen n zustreben, wenn darunter nichts
anderes verstanden wird, als daß omega die erste ganze Zahl sein
soll, welche auf alle Zahlen n folgt, d. h. größer zu nennen ist als
jede der Zahlen n" [Cantor, p. 195].
Hier ist die unendliche Menge Q die Grenze.

(Mit den beiden Erzeugungsprinzipien werden die Ordinalzahlen erzeugt,
mit dem ersten die Nachfolger-, mit dem zweiten die Limesordinalzahlen.)

Und genau diese werden für unendliche Mengen benötigt. Keine endliche Zahl reicht aus. Erst |N (oder moderner: omega) steht in Bijektion mit der Menge Q der rationalen Zahlen.

Gruß, WM

[WM]

Im konkreten ist seine "Argumentation", dass alles, was man mit
unendlichen Mengen tun kann irgendwie über endliche Mengen gehen
muss

denn andernfalls wäre es von der Mathematik völlig abgehoben. Dass dem nicht so ist, zeigt, um nur ein Beispiel unter vielen zu nennen, der Binäre Baum. Da existiert keine Lücke zwischen dem endlichen Teil und dem "Unendlichen". Alles fügt sich Schritt für Schritt --- oder gar nicht.

Wäre es so, dann könnte man eben auch Unsinn
wie nach-Größe-sortierte Abzählungen von |Q daraus ableiten.

Richtig!

Dass es eben nicht so ist

Wie es aber ist, kann leider kein "Eingeweihter" dem Ungläubigen erklären. Schade.

Gruß, WM

[Andreas Leitgeb]

Post by WM

Im konkreten ist seine "Argumentation", dass alles, was man mit
unendlichen Mengen tun kann irgendwie über endliche Mengen gehen
muss

denn andernfalls wäre es von der Mathematik völlig abgehoben.

Dass es von WM's bisher dargelegten Vorstellungen von Mathematik
abgehoben ist, ist wohl erforderlich.

Post by WM
Dass dem nicht so ist, zeigt, um nur ein Beispiel unter vielen
zu nennen, der Binäre Baum. Da existiert keine Lücke zwischen
dem endlichen Teil und dem "Unendlichen". Alles fügt sich Schritt
für Schritt --- oder gar nicht.

Gutes Beispiel. Bevor man sich von dem Gesülze über "Lücken zwischen
endlich und unendlich" nicht abhebt, kommt nix raus.

Post by WM

Wäre es so, dann könnte man eben auch Unsinn
wie nach-Größe-sortierte Abzählungen von |Q daraus ableiten.

Richtig!

Ob er den Konjunktiv verstanden hat?

Post by WM

Dass es eben nicht so ist

Wie es aber ist, kann leider kein "Eingeweihter" dem Ungläubigen erklären. Schade.

Das liegt aber daran, dass sich der Ungläubige angesichts injektiver
Abbildungen die Ohren zugehalten und "lalala" geschrien hat.

Wenn eine Abbildung existiert, die aufbauend auf grundlegenden Eigen-
schaften rationaler Zahlen (nämlich: als Bruch darstellbar zu sein)
eine Zuuordnung zu natürlichen Zahlen ohne doppel-Belegungen gibt,
dann kann das Beiziehen von "Anfangsabschnitten" ja wohl nur als "lalala"
bewertet werden.

Die injektive Abbildung stellt noch keine Abzählung dar, aber ohne eine
konkrete Abzählung (also eine nicht nur injektive sondern auch
surjektive Abbildung) ergibt der Begriff Anfangsabschnitt für |Q
noch überhaupt keinen Sinn.

[WM]

Post by Andreas Leitgeb
Wenn eine Abbildung existiert, die aufbauend auf grundlegenden Eigen-
schaften rationaler Zahlen (nämlich: als Bruch darstellbar zu sein)
eine Zuuordnung zu natürlichen Zahlen ohne doppel-Belegungen gibt,

dann gehört weiterhin jede natürliche Zahl zu einem endlichen verschwindend kleinen Anfangsabschnitt und der Schluss von einigen wenigen auf die aktual unendliche Menge ist unberechtigt.

Post by Andreas Leitgeb
Die injektive Abbildung stellt noch keine Abzählung dar, aber ohne eine
konkrete Abzählung (also eine nicht nur injektive sondern auch
surjektive Abbildung) ergibt der Begriff Anfangsabschnitt für |Q
noch überhaupt keinen Sinn.

Jede natürliche Zahl definiert einen (verschwinden kleinen) Anfangsabschnitt. Jede Bijektion definiert für jedes Paar (n, q) und damit für jede rationale Zahl q einen (verschwinden kleinen) Anfangsabschnitt zu dem sie gehört.

Daraus auf die vollendet unendliche Menge schließen zu wollen, ist Hochstapelei gepaart mit unmathematischem Denken (bewusster Verzicht auf die mathematische Analyse der Bijektion mit Hilfe des Majorantenkriteriums https://www.hs-augsburg.de/~mueckenh/Transfinity/Transfinity/pdf, p. 255).

Gruß, WM

[Andreas Leitgeb]

Post by WM

Post by Andreas Leitgeb
Wenn eine Abbildung existiert, die aufbauend auf grundlegenden Eigen-
schaften rationaler Zahlen (nämlich: als Bruch darstellbar zu sein)
eine Zuuordnung zu natürlichen Zahlen ohne doppel-Belegungen gibt,

dann gehört weiterhin jede natürliche Zahl zu einem endlichen
verschwindend kleinen Anfangsabschnitt
und der Schluss von einigen wenigen auf die aktual unendliche
Menge ist unberechtigt.

Das Positive zuerst: ja, beides stimmt für sich.
Aber: Es ist völlig egal, da dieser (unberechtigte)
Schluss ja eben garnicht verwendet wird.

Der echte Schluss folgt nicht aus etwaigen Anfangsabschnitten,
sondern aus den Elementen selbst.

In derselben Weise, wie jede Quitte eine Frucht ist, unabhängig
davon, in welcher Kiste sie mit welchen anderen Quitten zusammen
liegt, ist jede rationale Zahl als Bruch darstellbar, und bekommt
über die genannte Formel eine natürliche Zahl zugewiesen. Da sich
aus jeder derart erhaltenen natürlichen Zahl auch wieder der
originale Bruch zurückermitteln lässt, kann die Mächtigkeit
von |Q schon mal nicht größer als die von |N sein. Das ist
so eine Art erweitertes "Schubladenprinzip". Wenn ich Äpfel
in Schubladen lege, und am Ende keine Schublade mehr als einen
Apfel enthält, dann ist die Mächtigkeit der Menge der verteilten
Äpfel offenbar nicht größer als die der Menge der Schubladen.

Post by WM

Post by Andreas Leitgeb
Die injektive Abbildung stellt noch keine Abzählung dar, aber ohne eine
konkrete Abzählung (also eine nicht nur injektive sondern auch
surjektive Abbildung) ergibt der Begriff Anfangsabschnitt für |Q
noch überhaupt keinen Sinn.

Jede natürliche Zahl definiert einen (verschwinden kleinen) Anfangsabschnitt.
Jede Bijektion definiert für jedes Paar (n, q) und damit für jede rationale
Zahl q einen (verschwinden kleinen) Anfangsabschnitt zu dem sie gehört.

Isch 'abe 'ier aber gar keine Bijeksjo ge'abt. Nür eine Injeksjo.

(Ich probiers mal mit "französisch", weil auf deutsch hast du es ja nicht
verstanden. ;-)

[WM]

Post by Andreas Leitgeb

Post by WM

Post by Andreas Leitgeb
Wenn eine Abbildung existiert, die aufbauend auf grundlegenden Eigen-
schaften rationaler Zahlen (nämlich: als Bruch darstellbar zu sein)
eine Zuuordnung zu natürlichen Zahlen ohne doppel-Belegungen gibt,

dann gehört weiterhin jede natürliche Zahl zu einem endlichen
verschwindend kleinen Anfangsabschnitt
und der Schluss von einigen wenigen auf die aktual unendliche
Menge ist unberechtigt.

Das Positive zuerst: ja, beides stimmt für sich.
Aber: Es ist völlig egal, da dieser (unberechtigte)
Schluss ja eben garnicht verwendet wird.
Der echte Schluss folgt nicht aus etwaigen Anfangsabschnitten,
sondern aus den Elementen selbst.

Diese gehören nun einmal zu endlichen Anfangsabschnitten. Was sollte daran berechtigter sein? Das Weglassen oder Nichtbeachten der Vorgänger?

Post by Andreas Leitgeb
In derselben Weise, wie jede Quitte eine Frucht ist, unabhängig
davon, in welcher Kiste sie mit welchen anderen Quitten zusammen
liegt, ist jede rationale Zahl als Bruch darstellbar, und bekommt
über die genannte Formel eine natürliche Zahl zugewiesen.

die zu einem endlichen Anfangsabschnitt in der natürlichen Ordnung gehört. Die Betrachtung der Elemente ohne ihre Vorgänger steigert die Berechtigung des Argumentes in keiner Weise.

Gruß, WM