Post by Bruno Campaninie a chi ti dice che non sai cosa sono gli integrali. (magica).
... che poi si è successivamente corretta.
Dato che mi sembri interessato (e presumendo che tu non sappia già la
risposta) ti do una spiegazione intuitiva e pratica, sebbene non molto
matematica.
Per semplificare, pensia al problema delle aree.
Sappiamo calcolare aree di rettangoli, triangoli e altre figure
geometriche poligonali, ma abbiamo problemi con le figure curve.
Hai presente il simbolo tilde (~)? Prendi un rettangolo e sostituisci il
lato superiore con una linea simile alla tilde. Quanto vale l'area di
tale figura?
Un metodo intuitivo consiste nell'approssimare la curva con una
spezzata, ovvero nel prendere punti lungo la tilde e nel congiungere
questi punti con segmenti. A questo punto sappiamo calcolare le aree di
questi trapezi (rettangoli se il segmento è perfettamente orizzontale).
Non ci resta che calcolare ogni sotto-area e ottenere l'area totale come
somma di quelle parziali. Ovviamente è un'approssimazione, quindi meglio
approssimi la curva, migliore è la stima dell'area.
Quando si parla d'integrali (soprattutto in Fisica) non si approssima
l'area tramite trapezi, ma tramite i rettangoli inscritti o circoscritti
ai trapezi. Non cambia molto, visto che stiamo approssimando.
Ma noi vogliamo l'area esatta, non approssimata!
Introdotto il concetto di infinito e di limite ([...]) si può
considerare un'approssimazione infinita ovvero una somma infinita di
rettangolini che approssimi la nostra area con precisione infinita.
Il limite di una tale somma è l'area esatta.
Il limite è un operatore che permette di calcolare di fatto il limite di
qualcosa. Per es. considera la somma
1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ... + 1/(2^n):
tale somma, se infinita, vale 2. Il valore 2 è il limite di tale somma
poiché si può dimostrare che qualsiasi valore minore o maggiore di 2 non
va bene.
Se per es. si sceglie 1.9998 si può dimostrare che, proseguendo nel
sommare i termini, si trova un valore maggiore di 1.9998 quindi 1.9998
non è il nostro limite.
D'altra parte 2.0001 non va bene perché si può dimostrare che esiste un
numero compreso tra 2 e 2.0001 che non viene "raggiunto" dalla somma. Il
valore 2.0001, per essere il limite, dovrebbe essere il PRIMO (ovvero il
più piccolo) numero a non essere raggiungibile da quella somma, ma se ce
n'è un altro allora non è il primo!
Il limite è 2: la somma gli si avvicina sempre più, ma senza
raggiungerlo mai. Si dice che la somma converge a 2.
Allora possiamo esprimere la nostra approssimazione come somma infinita
di rettangolini e poi calcolarne il limite.
Ma come è possibile fare ciò?
Come è possibile cioè gestire qualcosa d'infinito con strumenti finiti?
Un informatico direbbe che il segreto è la compressione: se riusciamo a
trovare una rappresentazione compressa finita (cioè che si possa
scrivere in tempo finito e che occupi spazio finito) di una cosa di per
sé infinita, allora possiamo trattarla con strumenti finiti.
Una curva ha infiniti punti però anziché elencarli uno ad uno (cosa
impossibile) è possibile scrivere un'equazione che li rappresenti.
L'equazione è quindi una rappresentazione compressa di tutti i punti.
La cosa importante da notare è che i punti sono infiniti mentre la
rappresentazione è finita (poteva anche essere più piccola, ma sempre
infinita...per es. i numeri pari sono la metà di tutti quelli interi, ma
ancora infiniti sono).
Allora possiamo calcolare la nostra area trasformando in qualche modo la
rappresentazione finita, cioè operando direttamente sulla
rappresentazione finita (questo lo possiamo fare).
Cioè partiamo da un'infinita di punti, li esprimiamo tramite una
rappresentazione finita (equazione) e quindi, mediante regole che vanno
ovviamente scoperte, la trasformiamo in una rappresentazione dell'area
ovvero in una formula che ci dia di fatto l'area.
Per es. l'equazione y = x^2 rappresenta tutti i punti (x,y) dove y =
x^2. Se disegni la curva (interpretando x e y come coordinate) vedi bene
che è veramente curva :), ovvero non è poligonale. I Greci avevano
qualche problema con questo genere di cose...
Riassumendo:
infiniti punti: (1,1), ..., (2, 4), ...., (10,100)
(i puntini indicano che abbiamo anche numeri non interi)
Le x vanno da 1 a 10, ma i punti sono comunque infiniti perché gli
incrementi sono infinitesimi.
=>
y = x^2, con x compreso tra 1 e 10,
rappresentazione <compressa> (in realtà anche quella sopra con i puntini
di sospensione è una forma compressa, ma l'equazione esplicita è più
comoda, almeno in questo caso)
=> Int x^2 dx da 1 a 10,
che rappresenta l'area della superficie sottesa alla curva di equazione
y = x^2 limitatamente alla "zona orizzontale" che va da 1 a 10, cioè per
le x da 1 a 10. Del resto il lato di un rettangolo può essere
considerato una retta considerata solo per valori compresi tra due
valori ben precisi.
Si dimostra che tale integrale è uguale a [x^3/3] da 1 a 10, cioè
10^3/3 - 1^3/3 = 333.(3) - 0.(3) = 333,
dove con (3) indico il 3 periodico. Nota come si eliminano a vicenda
dando un risultato intero.
Perché questa sottrazione?
Equivale a calcolare l'area da 0 a 10 e poi a sottrarre l'area da 0 a 1.
A questo punto mi sai dire quanto vale l'integrale da -1 a -1?
Ovvero quanto vale l'area di una curva qualsiasi considerando solo la
"zona" orizzontalmente compresa tra -1 e -1?
Vale 0 poiché non stai di fatto considerando niente. Anche includendo il
singolo punto che si trova in x = -1 ottieni ugualmente area 0 poiché un
punto non ha area.
Praticamente sappiamo che l'area sottesa a una curva di equazione y =
x^n può essere calcolata valutando l'equazione Area(x) = x^(n+1)/(n+1).
Quest'ultima equazione ci dà sempre e solo l'area sottesa alla curva da
0 a x:
Area(10) = 10^(n+1)/(n+1),
Area(20) = 20^(n+1)/(n+1).
(Nota che nell'esempio precedente n valeva 2.)
Se vogliamo invece l'area da x1 a x2, per es. tra 10 e 20, calcoliamo
l'area da 0 a 20 e sottraiamo l'area da 0 a 10:
AreaTra(10, 20) = Area(20) - Area(10).
Ovviamente tutto questo è campato per aria e questo è il ng sbagliato,
ma visto che insistevi tanto...
Kiuhnm