Curiosa domanda: oltre i gruppi.

[Tetis]

Sappiamo che in un gruppo l'elemento neutro "e" tale che
e a = a e = a (per ogni a del gruppo) e' unico, e che ugualmente
l'inverso di ogni elemento definito come l'elemento y(a) tale che
y a = a y = e risulta unico. Non possono esistere,
in un gruppo, ulteriori elementi che sono "neutri" rispetto alla
moltiplicazione
a destra ma non rispetto alla moltiplicazione a sinistra.

Infatti:
se esistesse un tale e_s talche a e_s = a per ogni a del gruppo
allora e_s = e e_s = e. Quindi l'esistenza di un elemento neutro
esclude anche la possibilita' che esistano elementi neutri
"asimmetrici". Non ho usato la proprieta' associativa per dimostrare questo.

Analogamente anche l'elemento inverso e' unico e non ammette versioni
parziali: inverso destro, inverso sinistro. Infatti:

sia y talche' a y = e basta moltiplicare a sinistra per a^(-1) ed otteniamo
y = a^(-1) Questo e' derivato dalle proprieta' associativa.

La domanda ovvia allora e': come si chiama una struttura in cui ci
sono tutti gli assiomi di gruppo tranne l'associativita'?







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[Tetis]

Post by Tetis
La domanda ovvia allora e': come si chiama una struttura in cui ci
sono tutti gli assiomi di gruppo tranne l'associativita'?

Aggiungo per completezza e per agevolare quanti volessero rispondere
che sono a conoscenza di un altro notevole indebolimento della struttura
di gruppo. La struttura di loop. Questa si ottiene rinunciando alla
proprieta'
associativa ma facendo esplicita richiesta che esista un elemento unitario,
e che esista un unico inverso destro ed un unico inverso sinistro. Con
queste
richieste si dimostra che l'inverso destro e l'inverso sinistro coincidono.
Se si rinuncia anche alla richiesta di esistenza dell'elemento neutro si
ottiene la struttura di quasigruppo.

Quindi la domanda e' se qualcuno e' a conoscenza di strutture ulteriori
in cui non si pone il vincolo di unicita' dell'elemento inverso ma
semplicemente
si esclude la proprieta' associativa. Dovrebbe essere una struttura
intermedia fra
il monoide ed i quasi gruppi, ma non mi ricordo di averne mai incontrate in
letteratura.

Post by Tetis
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[Tetis]

Post by Tetis

Post by Tetis
La domanda ovvia allora e': come si chiama una struttura in cui ci
sono tutti gli assiomi di gruppo tranne l'associativita'?

Aggiungo per completezza e per agevolare quanti volessero rispondere
che sono a conoscenza di un altro notevole indebolimento della struttura
di gruppo. La struttura di loop. Questa si ottiene rinunciando alla
proprieta'
associativa ma facendo esplicita richiesta che esista un elemento unitario,
e che esista un unico inverso destro ed un unico inverso sinistro.

Aggiungo anche, visto che sono in tema, un link a quel che dice Wilson,
uno dei principali utilizzatori dei loop di queste strutture e della non
associatività. Notate che anche Wilson non dice se la struttura
in cui si hanno gli assiomi di gruppo eccetto l'associatività abbia
un qualche nome.

http://www.math.wisc.edu/~ono/algresearch.html

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[Poincarè]

Post by Tetis
Se si rinuncia anche alla richiesta di esistenza dell'elemento neutro si
ottiene la struttura di quasigruppo.

Non mi è chiara una cosa un quasigruppo quanti operatori ha 1 o 3?

[Tetis]

Post by Poincarè

Post by Tetis
Se si rinuncia anche alla richiesta di esistenza dell'elemento neutro si
ottiene la struttura di quasigruppo.

Non mi è chiara una cosa un quasigruppo quanti operatori ha 1 o 3?

Ogni gruppo è un quasi gruppo quindi puoi certamente avere quasigruppi
con 1 e 3 elementi ma anche infiniti elementi. Ma forse non ho capito la tua
domanda. Ad ogni modo
anche un loop è anche un quasi gruppo. Gli elementi identici dell'ottetto di
Cayley
formano un loop (con una proprietà aggiuntiva che ne fa un loop di Moufang)
Quanti sono gli elementi identici degli ottonioni, dovrebbero essere otto
se non erro. Lo stesso per i quaternioni, quattro elementi identici,
indagando
algebre complesse di ordine più alto si trovano altri esempi di loops, ma
gli l'identità di Moufang diventa critica. Ad ogni modo esempi di strutture
che
verificano sono quasi gruppi in senso stretto sono semplici da costruire.
Con un elemento: la moltiplicazione a * a = a implica che a/a = a = a\a.
/ divisore a destra a\ divisore a sinistra questi divisori sono unici. Per
garantire
l'unicità con un numero qualsiasi di elementi vai a costruire una tabellina
di moltiplicazione in cui ogni elemento compare esattamente una volta in
ciascuna colonna ed una volta in ciascuna riga.

abc
cab
bca

è una tabella di moltiplicazione di un quasigruppo a tre elementi.
Con una stringa di infiniti elementi puoi costruire un esempio di
quasigruppo infinito dimensionale. La stringa conviene che sia
bilatera e per evitare le ripetizioni sulle colonne ti basta considerare
gli shift di un passo.

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[Enrico Gregorio]

Post by Tetis

Post by Poincarè

Post by Tetis
Se si rinuncia anche alla richiesta di esistenza dell'elemento neutro si
ottiene la struttura di quasigruppo.

Non mi è chiara una cosa un quasigruppo quanti operatori ha 1 o 3?

Ogni gruppo è un quasi gruppo quindi puoi certamente avere quasigruppi
con 1 e 3 elementi ma anche infiniti elementi. Ma forse non ho capito la tua
domanda.

Operatori=operazioni; un gruppo può essere definito come una struttura
con tre operatori, uno binario, uno unario e uno 0-ario:
moltiplicazione, inverso e elemento neutro. In questo modo si evita di
dover richiedere l'esistenza dell'elemento neutro e degli inversi, dando
al loro posto le identità che vanno soddisfatte.

Post by Tetis
Ad ogni modo anche un loop è anche un quasi gruppo. Gli elementi identici
dell'ottetto di Cayley formano un loop (con una proprietà aggiuntiva che
ne fa un loop di Moufang).
Quanti sono gli elementi identici degli ottonioni, dovrebbero essere otto
se non erro. Lo stesso per i quaternioni, quattro elementi identici,
indagando algebre complesse di ordine più alto si trovano altri esempi di
loops, ma lì l'identità di Moufang diventa critica. Ad ogni modo esempi
di strutture che verificano sono quasi gruppi in senso stretto sono
semplici da costruire.

Non userei il termine "elementi identici"; a volte si chiamano "unità".
Il gruppo che si ottiene dai quaternioni ha 8 elementi:

{1,-1,i,-i,j,-j,k,-k}

il loop degli ottonioni (o ottetti) di Cayley e Graves ne ha sedici.
Ovviemente non è associativo, altrimenti anche l'algebra degli ottonioni
lo sarebbe.

Perché 16? Considera la chiusura dell'insieme {i} rispetto alla
moltiplicazione nei complessi: hai subito bisogno di considerare
-1, -i e, ovviamente, 1. Quindi il gruppo generato dalla base {1,i}
ha quattro elementi. Lo stesso per {1,i,j,k} nei quaternioni.

A <http://math.ucr.edu/home/baez/octonions/node3.html> trovi la
tabella di moltiplicazione.

Ciao
Enrico

[Tetis]

Post by Enrico Gregorio

Il 23 Lug 2006, 15:23, "=?iso-8859-1?B?UG9pbmNhcug=?="

Post by Poincarè

Post by Tetis
Se si rinuncia anche alla richiesta di esistenza dell'elemento neutro si
ottiene la struttura di quasigruppo.

Non mi è chiara una cosa un quasigruppo quanti operatori ha 1 o 3?

Ogni gruppo è un quasi gruppo quindi puoi certamente avere quasigruppi
con 1 e 3 elementi ma anche infiniti elementi. Ma forse non ho capito la tua
domanda.

Operatori=operazioni; un gruppo può essere definito come una struttura
moltiplicazione, inverso e elemento neutro. In questo modo si evita di
dover richiedere l'esistenza dell'elemento neutro e degli inversi, dando
al loro posto le identità che vanno soddisfatte.

Grazie Enrico. I quasi gruppi per la loro costruzione richiedono un
operatore
binario dotato in più della proprietà di divisibilità a destra ed a
sinistra.
La confusione deriva dal fatto che spesso gli elementi di questi quasigruppi
possono essere interpretati come operatori su spazi terzi, quindi
distinguerei i termini
e direi operazioni per indicare le applicazioni n-arie dalla n-potenza
cartesiana
nell'insieme di partenza, mentre riserverei la parola operatori per le
trasformazioni
di un insieme in sè. E' vero che una operazione in cui n-1 argomenti sono
intesi
come parametri può essere vista come un operatore, ma non vedo come ottenere
la situazione inversa, anche se per unità di linguaggio si possono
identificare i grafici in J^n con le applicazioni. Ammettendo la priorità
del
linguaggio insiemiestico.

Post by Enrico Gregorio

Ad ogni modo anche un loop è anche un quasi gruppo. Gli elementi identici
dell'ottetto di Cayley formano un loop (con una proprietà aggiuntiva che
ne fa un loop di Moufang).
Quanti sono gli elementi identici degli ottonioni, dovrebbero essere otto
se non erro. Lo stesso per i quaternioni, quattro elementi identici,
indagando algebre complesse di ordine più alto si trovano altri esempi di
loops, ma lì l'identità di Moufang diventa critica. Ad ogni modo esempi
di strutture che verificano sono quasi gruppi in senso stretto sono
semplici da costruire.

Non userei il termine "elementi identici"; a volte si chiamano "unità".

stavo pensando elementi idempotenti ma nemmeno questo
va bene. Sono elementi a quadrato unitario reale. Ma il giusto
modo di intenderli è nel contesto delle algebre di Clifford.
Nel caso delle algebre pensavo agli elementi indipendenti
che sono base dello spazio vettoriale additivo. In particolare
pensavo al numero di elementi che è necessario specificare
per generare tutta la tabella di moltiplicazione. Basta sapere
che - i^2 = - j^2 = -k^2 = 1 e che ij=k. Quindi gli elementi unitari
di base per i quaternioni sono effettivamente 4 ma danno
luogo ad 8 combinazioni.

Post by Enrico Gregorio
{1,-1,i,-i,j,-j,k,-k}

e questo più che un loop mi sembra che formi un gruppo
moltiplicativo.

Post by Enrico Gregorio
il loop degli ottonioni (o ottetti) di Cayley e Graves ne ha sedici.
Ovviemente non è associativo, altrimenti anche l'algebra degli ottonioni
lo sarebbe.

questo è strettamente un loop.

Post by Enrico Gregorio
Perché 16? Considera la chiusura dell'insieme {i} rispetto alla
moltiplicazione nei complessi: hai subito bisogno di considerare
-1, -i e, ovviamente, 1. Quindi il gruppo generato dalla base {1,i}
ha quattro elementi. Lo stesso per {1,i,j,k} nei quaternioni.

Uno split analogo si fa con i sedenioni. La base di questi
argomenti è nel teorema di Cartan-Dinkin per la rappresentazione
delle algebre di Lie. Cartan e Dinkin mostrano come estrarre
da una algebra di Lie (piuttosto generale) un sistema complementare
di operatori di salita e discesa indipendenti che obbediscono
all'algebra di Lie di su(2).

Post by Enrico Gregorio
A <http://math.ucr.edu/home/baez/octonions/node3.html> trovi la
tabella di moltiplicazione.

grazie.

Post by Enrico Gregorio
Ciao
Enrico

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[Poincarè]

Post by Enrico Gregorio

Post by Tetis

Post by Poincarè
Non mi è chiara una cosa un quasigruppo quanti operatori ha 1 o 3?

Ogni gruppo è un quasi gruppo quindi puoi certamente avere quasigruppi
con 1 e 3 elementi ma anche infiniti elementi. Ma forse non ho capito la

tua

Post by Enrico Gregorio

Post by Tetis
domanda.

Operatori=operazioni;

Forse era il caso di usare operazioni binarie?

un gruppo può essere definito come una struttura

Post by Enrico Gregorio
moltiplicazione, inverso e elemento neutro. In questo modo si evita di
dover richiedere l'esistenza dell'elemento neutro e degli inversi, dando
al loro posto le identità che vanno soddisfatte.

Esatto ed esplicitando, da un testo di algebra universale:

1) Un gruppo G è un'algebra (G, *, ^(-1) , 1) con un'operazione
binaria, una
unaria ed una nullaria, tali che siano soddisfatte le seguenti
identità:

(G1): x * (y * z) = (x * y) * z
(G2): x * 1 = 1 * x = x
(G3): x * x^(-1) = x^(-1) * x = 1

2) Un quasigruppo è un'algebra (Q, /, *, \) con tre operazioni
binarie soddisfacenti
le seguenti identità:

(Qg1): x \ (x * y) = y; (x * y) / y = x;
(Qg2): x * (x \ y) = y; (x / y) * y = x;

3) Un ciclo è un quasigruppo unitario, cioè un'algebra (Q, /, *, \,
1) che
soddisfa (Qg1), (Qg2) e (G2).

Ciao
Poincarè

[Enrico Gregorio]

Post by Poincarè

Post by Enrico Gregorio

Post by Tetis

Post by Poincarè
Non mi è chiara una cosa un quasigruppo quanti operatori ha 1 o 3?

Ogni gruppo è un quasi gruppo quindi puoi certamente avere quasigruppi
con 1 e 3 elementi ma anche infiniti elementi. Ma forse non ho capito la

tua

Post by Enrico Gregorio

Post by Tetis
domanda.

Operatori=operazioni;

Forse era il caso di usare operazioni binarie?
un gruppo può essere definito come una struttura

Post by Enrico Gregorio
moltiplicazione, inverso e elemento neutro. In questo modo si evita di
dover richiedere l'esistenza dell'elemento neutro e degli inversi, dando
al loro posto le identità che vanno soddisfatte.

1) Un gruppo G è un'algebra (G, *, ^(-1) , 1) con un'operazione
binaria, una
unaria ed una nullaria, tali che siano soddisfatte le seguenti
(G1): x * (y * z) = (x * y) * z
(G2): x * 1 = 1 * x = x
(G3): x * x^(-1) = x^(-1) * x = 1
2) Un quasigruppo è un'algebra (Q, /, *, \) con tre operazioni
binarie soddisfacenti
(Qg1): x \ (x * y) = y; (x * y) / y = x;
(Qg2): x * (x \ y) = y; (x / y) * y = x;
3) Un ciclo è un quasigruppo unitario, cioè un'algebra (Q, /, *, \,
1) che
soddisfa (Qg1), (Qg2) e (G2).

Se poi usi la notazione polacca diretta (con gli operatori all'inizio),
le identità sono ancora meglio (indico con i l'inverso in un gruppo):

(G1) *x*yz = **xyz
(G2) *x1 = *1x = x
(G3) *xix = *ixx = 1

(Qg1) \x*xy = y; /*xyy = x
(Qg2) *\xxy = y; */xyy = x

Un gruppo può essere definito come un'algebra non vuota con un unico
operatore / (che poi è la divisione a destra) soddisfacente la legge

///x/z/zz/x/y/zzz = y

Un gruppo abeliano da ///zx/xyz = x.

Non serve a niente, ma è carino (tratto da Algebra Universale di Cohn).
Occorre vedere che si può definire un'operazione derivata * che fa da
moltiplicazione che è associativa, ha /xx come elemento neutro e con
le proprietà che *x//xxx = /xx = *//xxxx. Se le si leggono al modo
solito, diventano x*(1/x) = 1 = (1/x)*x (dove chiamo 1 l'elemento /xx,
avendo già dimostrato che è l'elemento neutro e quindi è unico).
x*((x/x)

Ciao
Enrico

[Poincarè]

Post by Enrico Gregorio
Se poi usi la notazione polacca diretta (con gli operatori all'inizio),

o come fa Cohn (che poi è la stessa cosa) e alcune calcolatrici (la
mia mitica HP).

Post by Enrico Gregorio
Un gruppo può essere definito come un'algebra non vuota con un unico
operatore / (che poi è la divisione a destra) soddisfacente la legge
///x/z/zz/x/y/zzz = y

Ammetto che faccio fatica a vedere le proprietà dei gruppi

Post by Enrico Gregorio
Un gruppo abeliano da ///zx/xyz = x.
Non serve a niente, ma è carino (tratto da Algebra Universale di Cohn).
Occorre vedere che si può definire un'operazione derivata * che fa da
moltiplicazione che è associativa, ha /xx come elemento neutro e con
le proprietà che *x//xxx = /xx = *//xxxx. Se le si leggono al modo
solito, diventano x*(1/x) = 1 = (1/x)*x (dove chiamo 1 l'elemento /xx,
avendo già dimostrato che è l'elemento neutro e quindi è unico).
x*((x/x)

? l' ultima riga

Post by Enrico Gregorio
Ciao
Enrico

Ciao
Poincarè

[Poincarè]

Post by Poincarè
o come fa Cohn (che poi è la stessa cosa) e alcune calcolatrici (la
mia mitica HP).

oppure a destra come fa ....

[Tetis]

Il 24 Lug 2006, 15:24, "=?iso-8859-1?B?UG9pbmNhcug=?=" <***@alice.it>
ha scritto:


Anzitutto una curiosità. Ma un'algebra che algebra è
in algebra universale? Scherzo, ma c'è da ammattire
nei cataloghi quando cerchi libri dedicati alle algebre.
Proprio per questo motivo. Che i cataloghi al novanta
per cento quando chiedi di algebre ti rispondono universali.

Post by Poincarè
1) Un gruppo G è un'algebra (G, *, ^(-1) , 1) con un'operazione
binaria, una
unaria ed una nullaria, tali che siano soddisfatte le seguenti
(G1): x * (y * z) = (x * y) * z
(G2): x * 1 = 1 * x = x
(G3): x * x^(-1) = x^(-1) * x = 1

Bene, volendo si potrebbe anche aggiungere che ci sono due
operazioni / e \ tali che x\(x *y) = x^-1 (x * y) = (x * y) y^(-1) = (x *
y)/y.

Post by Poincarè
2) Un quasigruppo è un'algebra (Q, /, *, \) con tre operazioni
binarie soddisfacenti
(Qg1): x \ (x * y) = y; (x * y) / y = x;
(Qg2): x * (x \ y) = y; (x / y) * y = x;

Ovvero esiste un' operazione binaria
tale che per ogni y e per ogni zeta esiste
un solo x: x * y = z ed esiste un solo w tale
che y * w = z. Denotiamo x come inverso
a destra di y rispetto a z e w come inverso
a sinistra di y rispetto a z.

Post by Poincarè
3) Un ciclo è un quasigruppo unitario, cioè un'algebra (Q, /, *, \,
1) che
soddisfa (Qg1), (Qg2) e (G2).

Ok. E quindi abbiamo completato l'elenco. Ma come si
chiama l'algebra tale che:

1) Un "boh" b è un'algebra (b, *, ^(-1) , 1) con un'operazione
binaria, una
unaria ed una nullaria, tali che siano soddisfatte le seguenti
identità:

(b1): x * 1 = 1 * x = x
(b2): x * x^(-1) = x^(-1) * x = 1


?

Post by Poincarè
Ciao
Poincarè

--------------------------------
Inviato via http://arianna.libero.it/usenet/

[Poincarè]

Post by Tetis
Anzitutto una curiosità. Ma un'algebra che algebra è
in algebra universale? Scherzo,

Certo :-) cmq si potrebbe darne una definizione o qlcs del genere?
Suvvia si prova:
Un' algebra è struttura costituita da un insieme K != 0 (vuoto) e una
collezione di operazioni finitarie su K.
Sicuramente si può fare molto meglio.

ma c'è da ammattire

Post by Tetis
nei cataloghi quando cerchi libri dedicati alle algebre.
Proprio per questo motivo. Che i cataloghi al novanta
per cento quando chiedi di algebre ti rispondono universali.

Post by Poincarè
1) Un gruppo G è un'algebra (G, *, ^(-1) , 1) con un'operazione
binaria, una
unaria ed una nullaria, tali che siano soddisfatte le seguenti
(G1): x * (y * z) = (x * y) * z
(G2): x * 1 = 1 * x = x
(G3): x * x^(-1) = x^(-1) * x = 1

Bene, volendo si potrebbe anche aggiungere che ci sono due
operazioni / e \ tali che x\(x *y) = x^-1 (x * y) = (x * y) y^(-1) = (x *
y)/y.

Forse mi sbaglio ma messa così è sempre un gruppo?
Sembra un' algebra/ struttura diversa.

- Operazione nullaria è una costante, in questo caso 1 elemento
dell'insieme,
- operazione unaria è sempre un elemento dell'insieme.

Come lo scrivi sembra una struttura con 3 operatori binari.

Post by Tetis

Post by Poincarè
2) Un quasigruppo è un'algebra (Q, /, *, \) con tre operazioni
binarie soddisfacenti
(Qg1): x \ (x * y) = y; (x * y) / y = x;
(Qg2): x * (x \ y) = y; (x / y) * y = x;

Ovvero esiste un' operazione binaria
tale che per ogni y e per ogni zeta esiste
un solo x: x * y = z ed esiste un solo w tale
che y * w = z. Denotiamo x come inverso
a destra di y rispetto a z e w come inverso
a sinistra di y rispetto a z.

Post by Poincarè
3) Un ciclo è un quasigruppo unitario, cioè un'algebra (Q, /, *, \,
1) che
soddisfa (Qg1), (Qg2) e (G2).

Ok. E quindi abbiamo completato l'elenco.

Perdonami se ho divagato e non ho risposto al nocciolo del problema.
:-) Cercavo di capire alcune cose che non mi erano (sono) chiare.

Ma come si

Post by Tetis
1) Un "boh" b è un'algebra (b, *, ^(-1) , 1) con un'operazione
binaria, una
unaria ed una nullaria, tali che siano soddisfatte le seguenti
(b1): x * 1 = 1 * x = x
(b2): x * x^(-1) = x^(-1) * x = 1
?

Come esistono gli anelli non associativi e le algebre non associative e
come dici tu Wilson esperto del tema non ha dato un nome a tale
algebra, a te l'onore di darne uno. :-)
Forse semplicemete Gruppo non associativo e quindi tutta una serie di
strutture pre gruppo non associative a partire dai semigruppi.

P.S. E' curioso che Chevalley in un suo libro abbia dedicato un intero
capitolo su le algebre associative.

Ciao
Poincarè

[Tetis]

Post by Poincarè

Post by Tetis
Anzitutto una curiosità. Ma un'algebra che algebra è
in algebra universale? Scherzo,

Certo :-) cmq si potrebbe darne una definizione o qlcs del genere?
Un' algebra è struttura costituita da un insieme K != 0 (vuoto) e una
collezione di operazioni finitarie su K.
Sicuramente si può fare molto meglio.

Da qualche parte si troverà già fatto.
Chissà, forse ci penserò in un futuro.

Post by Poincarè

Post by Tetis

Post by Poincarè
1) Un gruppo G è un'algebra (G, *, ^(-1) , 1) con un'operazione
binaria, una
unaria ed una nullaria, tali che siano soddisfatte le seguenti
(G1): x * (y * z) = (x * y) * z
(G2): x * 1 = 1 * x = x
(G3): x * x^(-1) = x^(-1) * x = 1

Bene, volendo si potrebbe anche aggiungere che ci sono due
operazioni / e \ tali che x\(x *y) = x^-1 (x * y) = (x * y) y^(-1) = (x *
y)/y.

Forse mi sbaglio ma messa così è sempre un gruppo?
Sembra un' algebra/ struttura diversa.

Certamente, non fosse altro che per il fatto che questo è
un quasigruppo unitario associativo. In altre parole un loop
associativo, alias un gruppo.

Post by Poincarè

Post by Tetis

Post by Poincarè
2) Un quasigruppo è un'algebra (Q, /, *, \) con tre operazioni
binarie soddisfacenti
3) Un ciclo è un quasigruppo unitario, cioè un'algebra (Q, /, *, \,
1) che
soddisfa (Qg1), (Qg2) e (G2).

Come si chiama un boh?

Post by Poincarè
Come esistono gli anelli non associativi e le algebre non associative e
come dici tu Wilson esperto del tema non ha dato un nome a tale
algebra, a te l'onore di darne uno. :-)
Forse semplicemete Gruppo non associativo e quindi tutta una serie di
strutture pre gruppo non associative a partire dai semigruppi.
P.S. E' curioso che Chevalley in un suo libro abbia dedicato un intero
capitolo su le algebre associative.

Guarda cosa ho trovato in internet.

Three binary operations. Quasigroups are listed here, despite their having 3
binary operations, because they are (nonassociative) magmas. Quasigroups
feature 3 binary operations only because establishing the quasigroup
cancellation property by means of identities alone requires two binary
operations in addition to the group operation.

Quasigroup: a cancellative magma. Equivalently, &#8704;x,y&#8712;S,
&#8707;a,b&#8712;S, such that xa = y and bx = y.
Loop: a unital quasigroup with a unary operation, inverse.
Moufang loop: a loop in which a weakened form of associativity, (zx)(yz) =
z(xy)z, holds.
Group: an associative loop.

La pagina è:
http://en.wikipedia.org/wiki/Algebraic_structure
Come vedi adesso il Loop è diventato esattamente
quello che sarebbe diventato un gruppo se avessimo tolto la
proprietà associativa e l'avessimo sostituita con la richiesta
che esiste almeno un inverso. Ma questa definizione qui è
errata perchè la definizione che davi sopra implica l'unicità degli
inversi destro e sinistro. Occorre aggiungere un ! è su wikipedia,
quindi potremmo correggerlo anche noi.

La struttura che vorrei battezzare è di certo un magma unitario,
ma dato che manca la proprietà associativa secondo me non
possiamo dire che è cancellativo. (cancellativo significa
za = zb <-> a=b) Il quasigruppo ha di notevole la proprietà
che pur se non è associativo è comunque cancellativo.

Post by Poincarè
Ciao
Poincarè

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[Poincarè]

Tetis ha scritto:

1)

Post by Tetis

Post by Poincarè
Forse mi sbaglio ma messa così è sempre un gruppo?
Sembra un' algebra/ struttura diversa.

Certamente, non fosse altro che per il fatto che questo è
un quasigruppo unitario associativo. In altre parole un loop
associativo, alias un gruppo.

2)

Post by Tetis
Come si chiama un boh?

Post by Poincarè
Forse semplicemete Gruppo non associativo e quindi tutta una serie di
strutture pre gruppo non associative a partire dai semigruppi.

OK!!!
Non mi era chiara una cosa fondamentale.
I gruppi sono generalizzati attraverso due direzioni:
- Semigruppi e Monoidi
- Quasigruppi e Cicli

http://en.wikipedia.org/wiki/Magma_%28algebra%29

Post by Tetis
http://en.wikipedia.org/wiki/Algebraic_structure

Thank you

Post by Tetis
Come vedi adesso il Loop è diventato esattamente
quello che sarebbe diventato un gruppo se avessimo tolto la
proprietà associativa e l'avessimo sostituita con la richiesta
che esiste almeno un inverso. Ma questa definizione qui è
errata perchè la definizione che davi sopra implica l'unicità degli
inversi destro e sinistro. Occorre aggiungere un ! è su wikipedia,
quindi potremmo correggerlo anche noi.

? Occorre aggiungere un ! è su wikipedia ?
cosa intendi?

Post by Tetis
La struttura che vorrei battezzare è di certo un magma unitario,
ma dato che manca la proprietà associativa secondo me non
possiamo dire che è cancellativo. (cancellativo significa
za = zb <-> a=b) Il quasigruppo ha di notevole la proprietà
che pur se non è associativo è comunque cancellativo.

Ciao
Poincarè

[Tetis]

Post by Tetis
http://en.wikipedia.org/wiki/Algebraic_structure

? Occorre aggiungere un ! è su wikipedia ?
cosa intendi?

In quella pagina scrivono:
&#8704;x,y&#8712;S, (&#8707;a,b&#8712;S), such that xa = y and bx = y.
che va bene solo se gli elementi del quasi gruppo
sono in numero finito. In generale risulta l'equivalenza

Post by Tetis

Post by Poincarè
2) Un quasigruppo è un'algebra (Q, /, *, \) con tre operazioni
binarie soddisfacenti
(Qg1): x \ (x * y) = y; (x * y) / y = x;
(Qg2): x * (x \ y) = y; (x / y) * y = x;

E la definizione che proponevo io.

Post by Tetis
Ovvero esiste un' operazione binaria
tale che per ogni y e per ogni zeta esiste
un solo x: x * y = z ed esiste un solo w tale
che y * w = z. Denotiamo x come inverso
a destra di y rispetto a z e w come inverso
a sinistra di y rispetto a z.

Quindi dobbiamo scrivere:

&#8704;x,y&#8712;S, (&#8707;!a&#8712;S &&#8707;!b&#8712;S), such that xa = y
and bx = y.

E solo nel
caso di un numero finito di elementi dalla proprietà
&#8704;x,y&#8712;S, (&#8707;a,b&#8712;S), such that xa = y and bx = y.
segue l'unicità di a e b. Se il quasi
gruppo ha infiniti elementi ciò direi che
non basta ed occorre esplicatare l'unicità
e mi sembra abbastanza semplice costruire
un esempio di struttura moltiplicativa per cui
non vale la proprietà cancellativa. Per esempio
data una lista infinita di elementi costruiamo la
tavola moltiplicativa in cui ogni due righe introduciamo
una traslazione di un passo. Risulta che gli elmenti
si radunano a coppie x_2i a = x_(2i+1) a = y. Se anche
scegliessimo y/a = x_2i non potremmo garantire, con
questa scelta, la proprietà Qg1 per ogni scelta di x_(2i).

Notevole che i quasi gruppi danno luogo naturalmente
ad una struttura di gruppo.

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[Tetis]

Post by Poincarè
OK!!!
Non mi era chiara una cosa fondamentale.
- Semigruppi e Monoidi
- Quasigruppi e Cicli

Infatti la prima è una scelta che è adottata ad esempio
fin dalle prime pagine del Bourbaki, dopo avere introdotto
la nozione di Magma e quella di Quasigruppo insiste
pochissimo sui Cicli, che forse al tempo erano ancora
visti come una sorta di bizzarria matematica, mentre
introduce presto la proprietà associativa quindi
i Semigruppi, i Monoidi ed infine i Gruppi. Da allora
molta attenzione è stata dedicata ad un tipo di semigruppo
inversivo che ricorda in qualche modo la struttura di quasigruppo.
Sono i semigruppi inversi. Ovvero semigruppi in cui per ogni
x esiste un unico y tale che xyx=x ed yxy=y. Emergono naturalmente
in teoria dello scattering inverso. In qualche modo sembra
che per fare algebra un minimo di proprietà di semplificazione
siano sempre richieste. Mi sono permesso di modificare la pagina
di wikipedia aggiungendo la richiesta di unicità degli inversi destro e
sinistro.
Ho approntato la dimostrazione che la richiesta di unicità è necessaria
per garantire la coerenza con la definizione naturale dell'Algebra
Universale corredandola dell'esempio che avevo già postato.


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[unknown]

Post by Tetis
Il 24 Lug 2006, 15:24, "=?iso-8859-1?B?UG9pbmNhcug=?="
Anzitutto una curiosità. Ma un'algebra che algebra è
in algebra universale? Scherzo, ma c'è da ammattire
nei cataloghi quando cerchi libri dedicati alle algebre.
Proprio per questo motivo. Che i cataloghi al novanta
per cento quando chiedi di algebre ti rispondono universali.

In AU anche i gruppi sono algebre, così come i semigruppi, i monoidi, gli
anelli, gli R-moduli (e quindi anche gli spazi vettoriali), i reticoli e i
semireticoli, le algebre su un anello (forse è questo che volevi sapere?),
le algebre di Boole, le algebre di Heyting ecc.
I gruppi sono algebre di tipo (2,1,0). Gli spazi vettoriali ad esempio
possono avere tipo non "finito". I campi non sono algebre.

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[ex-matematico]

Una curiosita': anche I gruppoidi possono essere spiegati nell'ambito
dell'algebra universale? Questo mi sembrerebbe infatti un legame molto
potente tra AU e teoria delle categorie.

Grazie in anticipo,
Ex-matematico

Post by unknown

Post by Tetis
Il 24 Lug 2006, 15:24, "=?iso-8859-1?B?UG9pbmNhcug=?="
Anzitutto una curiosità. Ma un'algebra che algebra è
in algebra universale? Scherzo, ma c'è da ammattire
nei cataloghi quando cerchi libri dedicati alle algebre.
Proprio per questo motivo. Che i cataloghi al novanta
per cento quando chiedi di algebre ti rispondono universali.

In AU anche i gruppi sono algebre, così come i semigruppi, i monoidi, gli
anelli, gli R-moduli (e quindi anche gli spazi vettoriali), i reticoli e i
semireticoli, le algebre su un anello (forse è questo che volevi sapere?),
le algebre di Boole, le algebre di Heyting ecc.
I gruppi sono algebre di tipo (2,1,0). Gli spazi vettoriali ad esempio
possono avere tipo non "finito". I campi non sono algebre.
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[unknown]

Post by ex-matematico
Una curiosita': anche I gruppoidi possono essere spiegati nell'ambito
dell'algebra universale? Questo mi sembrerebbe infatti un legame molto
potente tra AU e teoria delle categorie.

Sì, credo sia il primo esempio di algebra che venga introdotto. Poi da
questo ne seguono i semigruppi (gruppoidi associativi), gli "sloops" e gli
"squags" (Steiner), i quasigruppi eccetera.

Post by ex-matematico

Post by unknown

Post by Tetis
Il 24 Lug 2006, 15:24, "=?iso-8859-1?B?UG9pbmNhcug=?="
Anzitutto una curiosità. Ma un'algebra che algebra è
in algebra universale? Scherzo, ma c'è da ammattire
nei cataloghi quando cerchi libri dedicati alle algebre.
Proprio per questo motivo. Che i cataloghi al novanta
per cento quando chiedi di algebre ti rispondono universali.

In AU anche i gruppi sono algebre, così come i semigruppi, i monoidi, gli
anelli, gli R-moduli (e quindi anche gli spazi vettoriali), i reticoli e i
semireticoli, le algebre su un anello (forse è questo che volevi sapere?),
le algebre di Boole, le algebre di Heyting ecc.
I gruppi sono algebre di tipo (2,1,0). Gli spazi vettoriali ad esempio
possono avere tipo non "finito". I campi non sono algebre.
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[Tetis]

Post by unknown

Post by ex-matematico
Una curiosita': anche I gruppoidi possono essere spiegati nell'ambito
dell'algebra universale? Questo mi sembrerebbe infatti un legame molto
potente tra AU e teoria delle categorie.

Sì, credo sia il primo esempio di algebra che venga introdotto. Poi da
questo ne seguono i semigruppi (gruppoidi associativi), gli "sloops" e gli
"squags" (Steiner), i quasigruppi eccetera.

Non so se è una svista o un'intenzione hai scritto sloops e squags
che sono loop di Steiner e quasigruppi di Steiner prima dei quasigruppi,
ma ne parlo più avanti.
I gruppoidi sono anche noti come magma, questo per lo meno in
Bourbaki, invece la denominazione di gruppoide credo sia stato
introdotto inizialmente, e prima della scelta bourbakista,
nel contesto della prima teoria dei grafi (Hamilton) per la somiglianza
fra le tabelle moltiplicative di quel caso e le tabelle moltiplicative
introdotte
inizialmente da Cayley per i gruppi. La scelta della parola magma riflette
il punto di vista costruttivista orientato alle strutture, il magma
corrisponde
alla materia primigenia. I morfismi di una categoria hanno la struttura di
monoide, ovvero sono un semigruppo unitario, ovvero un magma
associativo ed unitario. Le cose cambiano nella prospettiva di Groethendieck
alle categorie, perchè allora i morfismi fra due oggetti dati formano un
gruppo abeliano. Ma quello che è importante nella categoria sono gli
oggetti su cui la categoria agisce. La classe degli oggetti di una categoria
è una parte integrante della struttura. Per quanto ne so prima di Eilenberg
e Mac Lane la nozione di categoria era stata considerata dalla scuola
polacca,
a proposito della topologia, già nel 1930, si parlava allora di
intuizionismo e
gli oggetti delle "categorie" della scuola polacca erano una variante degli
spazi di Banach.

Post by unknown

Post by ex-matematico

Post by unknown
In AU anche i gruppi sono algebre, così come i semigruppi, i monoidi,

gli

Post by ex-matematico

Post by unknown
anelli, gli R-moduli (e quindi anche gli spazi vettoriali), i reticoli

e

Post by unknown
i

Post by ex-matematico

Post by unknown
semireticoli, le algebre su un anello (forse è questo che volevi

sapere?),

Nei corsi di algebra astratta tipicamente le algebre sono solamente
le algebre su un anello. In algebra universale le algebre sono tutte
le strutture, comprese, forse le categorie, almeno così si legge in questo
bel libro che si trova gratuitamente on-line:
http://www.eevl.ac.uk/show_full.htm?rec=linda.1029142698
dove si accenna alle categorie nel contesto delle algebre libere, ovvero
algebre di termini. Forse questo ristabilisce il nesso fra la scuola polacca
e la scuola americana.

Post by unknown

Post by ex-matematico

Post by unknown
le algebre di Boole, le algebre di Heyting ecc.
I gruppi sono algebre di tipo (2,1,0). Gli spazi vettoriali ad esempio
possono avere tipo non "finito". I campi non sono algebre.

E' vero: in algebra universale non si parla esplicitamente di
campi come di strutture autonome, mentre in algebra astratta
i campi sono delle algebre di divisione. Una delle definizioni è:
un campo è un anello commutativo in cui lo zero del
gruppo additivo non coincide con l'unità del gruppo moltiplicativo
e tutti gli elementi, eccetto lo zero, hanno un inverso moltiplicativo.
Di conseguenza ogni campo è un'algebra di divisione su un campo
(se medesima).
Conosco almeno un esempio di algebra di Boole che è costruibile da un
algebra nel senso dei corsi di algebra astratta. GF(2) è
un campo e poichè con l'elemento opposto, e con and
è possibile costuire anche or, allora contiene la struttura di
algebra di Boole. Ad ogni modo i reticoli sono una nozione più
primitiva ed il modo migliore per approcciare le algebre di Boole.

a or b = - (-a & -b)

Post by unknown

Post by ex-matematico

Post by unknown
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[unknown]

Post by Tetis

Post by unknown

Post by ex-matematico
Una curiosita': anche I gruppoidi possono essere spiegati nell'ambito
dell'algebra universale? Questo mi sembrerebbe infatti un legame molto
potente tra AU e teoria delle categorie.

Sì, credo sia il primo esempio di algebra che venga introdotto. Poi da
questo ne seguono i semigruppi (gruppoidi associativi), gli "sloops" e gli
"squags" (Steiner), i quasigruppi eccetera.

Non so se è una svista o un'intenzione hai scritto sloops e squags
che sono loop di Steiner e quasigruppi di Steiner prima dei quasigruppi,
ma ne parlo più avanti.
I gruppoidi sono anche noti come magma, questo per lo meno in
Bourbaki, invece la denominazione di gruppoide credo sia stato
introdotto inizialmente, e prima della scelta bourbakista,
nel contesto della prima teoria dei grafi (Hamilton) per la somiglianza
fra le tabelle moltiplicative di quel caso e le tabelle moltiplicative
introdotte
inizialmente da Cayley per i gruppi. La scelta della parola magma riflette
il punto di vista costruttivista orientato alle strutture, il magma
corrisponde
alla materia primigenia. I morfismi di una categoria hanno la struttura di
monoide, ovvero sono un semigruppo unitario, ovvero un magma
associativo ed unitario.

Forse non ho capito cosa volevi dire, ma... dove hai letto questo? E'
probabile che sia così, però sui monoidi una operazione deve essere definita
su tutto il monoide. Se consideri la classe dei morfismi Mor(C) di una
categoria C vedi che la composizione "°" di morfismi è soltanto
->parzialmente<- definita.

Post by Tetis
Le cose cambiano nella prospettiva di Groethendieck
alle categorie, perchè allora i morfismi fra due oggetti dati formano un
gruppo abeliano. Ma quello che è importante nella categoria sono gli
oggetti su cui la categoria agisce.

Sono d'accordo, anche se una delle stranezze delle categorie è che esse
possono, in linea di principio, prescindere dagli oggetti della categorie
stesse!

Post by Tetis
La classe degli oggetti di una categoria
è una parte integrante della struttura. Per quanto ne so prima di Eilenberg
e Mac Lane la nozione di categoria era stata considerata dalla scuola
polacca,
a proposito della topologia, già nel 1930, si parlava allora di
intuizionismo e
gli oggetti delle "categorie" della scuola polacca erano una variante degli
spazi di Banach.

Post by unknown

Post by ex-matematico

Post by unknown
In AU anche i gruppi sono algebre, così come i semigruppi, i monoidi,

gli

Post by ex-matematico

Post by unknown
anelli, gli R-moduli (e quindi anche gli spazi vettoriali), i reticoli

e

Post by unknown
i

Post by ex-matematico

Post by unknown
semireticoli, le algebre su un anello (forse è questo che volevi

sapere?),

Nei corsi di algebra astratta tipicamente le algebre sono solamente
le algebre su un anello. In algebra universale le algebre sono tutte
le strutture, comprese, forse le categorie, almeno così si legge in questo
http://www.eevl.ac.uk/show_full.htm?rec=linda.1029142698
dove si accenna alle categorie nel contesto delle algebre libere, ovvero
algebre di termini. Forse questo ristabilisce il nesso fra la scuola polacca
e la scuola americana.

E' un grande libro.

Post by Tetis

Post by unknown

Post by ex-matematico

Post by unknown
le algebre di Boole, le algebre di Heyting ecc.
I gruppi sono algebre di tipo (2,1,0). Gli spazi vettoriali ad esempio
possono avere tipo non "finito". I campi non sono algebre.

E' vero: in algebra universale non si parla esplicitamente di
campi come di strutture autonome, mentre in algebra astratta
un campo è un anello commutativo in cui lo zero del
gruppo additivo non coincide con l'unità del gruppo moltiplicativo
e tutti gli elementi, eccetto lo zero, hanno un inverso moltiplicativo.
Di conseguenza ogni campo è un'algebra di divisione su un campo
(se medesima).

Per farla semplice, i campi hanno una operazione che non è definita su tutto
l'universo del campo. Ciò non permette di annoverarli tra le "algebre" nel
senso dell'AU.




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[Tetis]

I morfismi di una categoria hanno la struttura di

Post by unknown

Post by Tetis
monoide, ovvero sono un semigruppo unitario, ovvero un magma
associativo ed unitario.

Forse non ho capito cosa volevi dire, ma... dove hai letto questo? E'
probabile che sia così, però sui monoidi una operazione deve essere definita
su tutto il monoide. Se consideri la classe dei morfismi Mor(C) di una
categoria C vedi che la composizione "°" di morfismi è soltanto
->parzialmente<- definita.

Spero bene di non averlo letto da nessuna parte perchè ho sbagliato.
La struttura di monoide, come dici tu, non pertiene all'intera classe dei
morfismi, pertiene con certezza agli endomorfismi di
una categoria. Per il resto si tratta solo di una vaga somiglianza,
fu questa somiglianza che ingannò, a quanto sembra la scuola
bourbakista.

Evidentemente: l'apparente semplicità della nozione
di categoria è uno di quei fenomeni in cui la semplicità nasconde,
per dualità leibniziana, una grande estensione e sottindende quindi
un edificio di astrazione. In questo caso è notevole che la semplicità
con cui il concetto di categoria può essere formulato ed il fatto che
la nozione di morfismo implica di dovere specificare un insieme
di coppie connesse da morfismi fa pensare subito alla nozione di
grafo.

Tuttavia è solamente con Lambeck, che propone di vedere le
categorie come grafi e poi come sistemi deduttivi, ovvero come
un'algebrizzazione
della nozione di deduzione, è così la teoria delle categorie svela di essere
anche un contenitore per un altro grande filone: i grafi, i posets, e le
algebre di
Boole. Questo rispristina un ulteriore nesso fra la scuola americana
e la scuola logico matematica di Lindebaum e Tarskij, ma non esaurisce
in effetti la profondità di pensiero a cui si era spinta la scuola polacca.
Ne parlano ad esempio sull'enciclopedia della filosofia dell'università di
Stanford
che è free on line: http://plato.stanford.edu/entries/category-theory/ dove
trovi

Post by unknown

Post by Tetis
Le cose cambiano nella prospettiva di Groethendieck
alle categorie, perchè allora i morfismi fra due oggetti dati formano un
gruppo abeliano. Ma quello che è importante nella categoria sono gli
oggetti su cui la categoria agisce.

Sono d'accordo, anche se una delle stranezze delle categorie è che esse
possono, in linea di principio, prescindere dagli oggetti della categorie
stesse!

Anche a questo ulteriore punto di vista si fa cenno in quell'articolo,
che forse era implicito fin dalla formulazione iniziale:
"Eilenberg e Mac Lane erano interessati a caratterizzare
i "funtori"", in vista di comprendere un fenomeno generale
della teoria dell'omologia, ma si trovarono in mano uno
strumento estremamente astratta e versatile che aveva applicazione
più generale. Sembra infatti che sia stato
Lawvere a prendere piena coscienza di questo punto di vista più astratto.
Sebbene la nozione di monade risalga già ad Eilenberg e Mac Lane.

Ad ogni modo quello che, finora, ha stupito tutti coloro che in un modo o
in un altro hanno tentato di ricondurre la nozione di categoria a nozioni
note, è il fatto che ogni volta l'esito dello sforzo era: anche questo
oggetto
può essere visto come una categoria, ma le categorie sono anche altro.
Sul piano delle strutture le categorie si comportano come la dama rispetto
alle pedine.

Un punto di vista proposto è cercare nei nessi fra la logica del primo
ordine
e quella degli ordini superiori la ragione di questa ampiezza, quindi da
Lambek in avvenire con la K-theory inizia l'avventura ed il tentativo di
trovare i contorni di questi oggetti pervasivi che inizialmente sembravano
soltanto una generalizzazione della nozione di monoide e di preordine.

Post by unknown
In algebra universale le algebre sono tutte

Post by Tetis
le strutture, comprese, forse le categorie, almeno così si legge in questo
http://www.eevl.ac.uk/show_full.htm?rec=linda.1029142698
dove si accenna alle categorie nel contesto delle algebre libere, ovvero
algebre di termini. Forse questo ristabilisce il nesso fra la scuola

polacca

Post by Tetis
e la scuola americana.

E' un grande libro.

Si, mi piace molto, a prima vista ritrovo molto del materiale che
avevo avuto modo di apprezzare in alcuni libri per le superiori
tanti anni fa. Devo dire che apprezzo moltissimo Poizat e
Shelah per quanto riguarda le questioni di logica e l'attenzione
a quesiti fondamentali come quello sul concetto di identità,
unità, molteplicità. Sono argomenti la cui comprensione
nitida avrà un ruolo importantissimo nella matematica
del futuro.

Post by unknown

Post by Tetis
in algebra universale non si parla esplicitamente di
campi come di strutture autonome, mentre in algebra astratta
un campo è un anello commutativo in cui lo zero del
gruppo additivo non coincide con l'unità del gruppo moltiplicativo
e tutti gli elementi, eccetto lo zero, hanno un inverso moltiplicativo.
Di conseguenza ogni campo è un'algebra di divisione su un campo
(se medesima).

Per farla semplice, i campi hanno una operazione che non è definita su tutto
l'universo del campo. Ciò non permette di annoverarli tra le "algebre" nel
senso dell'AU.

Stavo per dirlo subito dopo la premessa sul fatto che lo zero fa
eccezione ma mi sembrava di peccare di presunzione. Vedo
con piacere che non è un punto di vista completamente soggettivo.

Post by unknown
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[ex-matematico]

Post by Tetis
I morfismi di una categoria hanno la struttura di
monoide, ovvero sono un semigruppo unitario, ovvero un magma
associativo ed unitario. Le cose cambiano nella prospettiva di

Groethendieck

Post by Tetis
alle categorie, perchè allora i morfismi fra due oggetti dati formano un
gruppo abeliano.

E come e' definita la composizione in generale?

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[Tetis]

Ri-invio con modifiche.

Post by Enrico Gregorio
Operatori=operazioni; un gruppo può essere definito come una struttura
moltiplicazione, inverso e elemento neutro. In questo modo si evita di
dover richiedere l'esistenza dell'elemento neutro e degli inversi, dando
al loro posto le identità che vanno soddisfatte.

Grazie Enrico. I quasi gruppi per la loro costruzione
richiedono un operatore binario dotato in più della
proprietà di divisibilità a destra ed a sinistra.
La confusione deriva dal fatto che spesso gli
elementi di questi quasigruppi possono essere
interpretati come operatori su spazi terzi, quindi
distinguerei i termini e direi operazioni per indicare
le applicazioni n-arie dalla n-potenza cartesiana
nell'insieme di partenza, mentre riserverei la parola
operatori per le trasformazioni di un insieme in sè.
E' vero che una operazione in cui n-1 argomenti sono
intesi come parametri può essere vista come un operatore,
ma non vedo come ottenere la situazione inversa, anche se
per unità di linguaggio si possono identificare i grafici in
J^n con le applicazioni. Ammettendo la priorità del
linguaggio insiemiestico.

Post by Enrico Gregorio

Post by Tetis
Ad ogni modo anche un loop è anche un quasi gruppo. Gli elementi identici
dell'ottetto di Cayley formano un loop (con una proprietà aggiuntiva che
ne fa un loop di Moufang).
Quanti sono gli elementi identici degli ottonioni, dovrebbero essere otto
se non erro. Lo stesso per i quaternioni, quattro elementi identici,
indagando algebre complesse di ordine più alto si trovano altri esempi di
loops, ma lì l'identità di Moufang diventa critica. Ad ogni modo esempi
di strutture che verificano sono quasi gruppi in senso stretto sono
semplici da costruire.

Non userei il termine "elementi identici"; a volte si chiamano "unità".

stavo pensando elementi idempotenti ma nemmeno questo
va bene. Sono elementi a quadrato unitario reale. Ma il giusto
modo di intenderli è nel contesto delle algebre di Clifford.

Nel caso delle algebre pensavo agli elementi indipendenti
che sono base dello spazio vettoriale additivo. In particolare
pensavo al numero di elementi che è necessario specificare
per generare tutta la tabella di moltiplicazione. Basta sapere
che - i^2 = - j^2 = -k^2 = 1 e che ij=k. Quindi gli elementi unitari
di base per i quaternioni sono effettivamente 4 ma danno
luogo ad 8 combinazioni.

Post by Enrico Gregorio
{1,-1,i,-i,j,-j,k,-k}

e questo più che un loop mi sembra che formi un gruppo
moltiplicativo.

Post by Enrico Gregorio
il loop degli ottonioni (o ottetti) di Cayley e Graves ne ha sedici.
Ovviemente non è associativo, altrimenti anche l'algebra degli ottonioni
lo sarebbe.

questo è strettamente un loop.

Post by Enrico Gregorio
Perché 16? Considera la chiusura dell'insieme {i} rispetto alla
moltiplicazione nei complessi: hai subito bisogno di considerare
-1, -i e, ovviamente, 1. Quindi il gruppo generato dalla base {1,i}
ha quattro elementi. Lo stesso per {1,i,j,k} nei quaternioni.

Uno split analogo si fa con i sedenioni. La base di questi
argomenti è nel teorema di Cartan-Dinkin per la rappresentazione
delle algebre di Lie. Cartan e Dinkin mostrano come estrarre
da una algebra di Lie (piuttosto generale) un sistema complementare
di operatori di salita e discesa indipendenti che obbediscono
all'algebra di Lie di su(2).

Post by Enrico Gregorio
A <http://math.ucr.edu/home/baez/octonions/node3.html> trovi la
tabella di moltiplicazione.

grazie. Fra l'altro ho trovato anche un riferimento al piano di Fano
che appunto mette in evidenza la struttura ciclica ci sono 8 elementi
di partenza ma si hanno 16 elementi perchè nel modo di combinarli
si può percorrere il grafo in un verso oppure nel verso contrario.
Domanda complementare a questo punto.

Se consideriamo la logica booleana con operatori xor ed and
possiamo dire che siamo in presenza del campo F_2 ovvero GF(2).
Tutti i grafi possono essere descritti in spazi vettoriali su GF(2)
se non erro. Ma esattamente quali sono gli ingredienti che occorrono
per descrivere un grafo? Lo spazio vettoriale e le matrici di adiacenza
bastano? E per i grafi colorati non occorre estendere questa
nozione oppure si possono immergere in questa struttura?

Post by Enrico Gregorio
Ciao
Enrico

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