Post by Manfred UllrichPost by Detlef MüllerPost by Manfred UllrichBei der Frage, um wieviel ist die Gerade von Eck zur übernächsten Eck in einem
SQRT{4(x²-1) -x²/4} + SQRT{4(x²-1) - [x/2 - SQRT(x²-1)]²} = 1
[...]
die Gleichung stimmt - wenn man nämlich den richtigen Wert einsetzt: 1/sin72°
An der Stelle sehen wir eine Wurzelgleichung ...
Hier hat Martin schon den Plan zum Lösen so einer Wurzelgleichung
gesagt, zu meinen Zeiten hat man das noch in der Schule gelernt
(habe nicht den Eindruck, daß das heute noch passiert).
Post by Manfred UllrichPost by Detlef MüllerWenn man in der Gleichung erst den Term mit der inneren Wurzel
isoliert, quadriert, dann die zwei einfachen wurzeln auf eine
Seite bringt, quadriert und schließlich die eine verbleibende
Wurzel isoliert und wieder quadriert, erhält man die
Diese Rechnungen erzeugen dann wenigstens ein Polynom, jedes
Quadrieren verdoppelt den Grad, wodurch Martin auch die obere
Grenze 8 für den Grad des entstehenden Polynoms sagen konnte.
Post by Manfred UllrichPost by Detlef Müller60*x^6 - 320*x^4 + 512*x^2 - 256 = 0
(Dies wurde mit freundlicher Unterstützung des CAS
"Sage" bestimmt, welchem ich obige Schritte quasi
diktiert habe).
Hier übrigens ein Beispiel, das zeigt, daß ein CAS eben
nicht die Schulbildung überflüssig macht ... wenngleich hier
noch keine tiefe Mathematik betrieben wurde, mit Geduld und
sorgfältigem Rechnen käme man auch von Hand (mit binomischer
Formel und einfacher Termumformung) darauf - ich bin
mir aber sicher, mir wären dabei ab und zu Rechenfehler
unterlaufen :)
Post by Manfred UllrichPost by Detlef MüllerDas Polynom links faktorisiert (auch hier war das CAS
4*(5*x^4 - 20*x^2 + 16)*(3*x^2 - 4)
Das ist der Trickreiche Teil ... ist der Grad >=5, verlässt
einen langsam die Hoffnung auf eine Lösung die mit einfachen
Wurzeln darstellbar ist.
Allerdings war ja Deine Zusatzinformation bekannt, daß sicher
eine Nullstelle, 1/sin(72°) existiert - wenn bekannt ist, daß
diese Zahl sich durch Wurzeln darstellen lässt, macht das wieder
Hoffnung.
Von Hand würde man erst einmal x^2 substituieren und ist praktischer
weise beim Grad 3 angelangt ... die Nullstelle 4/3 lässt sich
durch "Raten einer rationalen Nullstelle" finden (Nenner teilt
den Koeffizienten der höchsten Potenz, Zähler das absolute
Glied - natürlich klammert man erst einmal den ggT aus).
Hat man so glücklich eine Nullstelle gefunden kommt man durch
Polynomdivision zu einer quadratischen Gleichung und alles
ist gut.
Ohne Glück wären für den Grad 3 der letzte Rettungsanker
die "Cardanischen Formeln" ... die allerdings ziemlich gruselig
sind.
Post by Manfred Ullrichdas ist ja ganz schön kompliziert und tröstet mich, dass ich es nicht
selbst herausgekriegt habe.
Ja, ohne Rechner-Unterstützung hätte ich wohl auch auf halbem Wege
keine Lust mehr gehabt :)
Immerhin springt dabei ein Nachweis dafür heraus, daß sin(72°) durch
Wurzelziehen darstellbar ist ... wobei daß das vermutlich auch
einfacher ginge.
Gruß,
Detlef
--
Dr. Detlef Müller,
http://www.mathe-doktor.de oder http://mathe-doktor.de